Geodézia 8., Sokszögelés
Tarsoly Péter (2010)
Nyugat-magyarországi Egyetem
A sokszögvonal egyes pontjainak számításánál az ismert alappontok koordinátáinak és a mért szögeknek segítségével számítjuk az egyes sokszögoldalak tájékozott irányértékeit, majd a sokszögoldalak hosszának ismeretében a haladási iránynak megfelelően a sokszögpontok koordinátáit. Abban az esetben, ha a sokszögvonal mérése során fölös méréseket is végzünk, a mérési hibák és a meglévő alappontok kerethibái miatt a mérési eredményeink között ellentmondások fognak fellépni. Lehetőségünk lenne ezeknek az ellentmondásoknak a feloldására kiegyenlítő számítások alkalmazásával, azonban az előző pontban ismertetett okokból közelítő hibaelosztási eljárásokat alkalmazunk. Ezek a közelítő eljárások a gyakorlati elvárásoknak megfelelő megbízhatóságú adatokat fognak szolgáltatni.
Ebben az esetben az 1, 2, ....n sokszögpontok koordinátáinak meghatározásához mértük a közöttük lévő távolságokat, a törésszögeket; valamint a kezdőponton a szomszédos sokszögpont mellett legalább egy (az ábrán pontosan egy) tájékozó pontra is végeztünk iránymérést (8-2. ábra).
Ha a rendelkezésünkre álló adatok alapján ki tudjuk számítani az egyes sokszögoldalak tájékozott irányértékét, akkor ezeknek és a mért oldalhosszaknak ismeretében az első geodéziai főfeladat következetes ismétlésével számíthatjuk az egyes sokszögpontok koordinátáit. Mivel az (8-2. ábra) szerint kezdőponton mértünk egy tájékozó irányt, ezért az álláspont és a tájékozó pont koordinátáiból tudjuk számolni a δKT irányszöget. Ezután
képlettel tudjuk számítani az első sokszögoldal tájékozott irányértékét. Ha ezt az irányértéket 180°-al megfordítjuk (ellentett irányt számolunk), akkor számolni tudjuk az 1-es sokszögpontról a kezdőpontra menő tájékozott irányértéket. Ha ehhez hozzáadjuk az első ponton mért törésszöget, akkor megkapjuk az 1-es sokszögpontról a 2-es sokszögpontra menő tájékozott irányértéket. Tehát:
Az egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításának lépéseit a következőkben foglaljuk össze:
A tájékozó irány irányszögének számítása a kezdőpont és a tájékozó pont koordinátáiból.
A sokszögoldalak tájékozott irányértékének számítása a 8.2-es képlet mintája alapján.
A sokszögoldalak koordinátatengelyekre eső vetületeink számítása.
A koordináták számítása.
Abban az esetben, ha a kezdőponton nem egy, hanem több tájékozó irányt mérünk (ez a gyakorlatban mindenképpen kívánatos), az egyes tájékozó irányokhoz tartozó tájékozási szögekből kiszámíthatjuk a súlyozott középtájékozási szöget, és ezután a már megismert módon tudjuk képezni az első sokszögoldal tájékozott irányértékét. Ebben az esetben a levezetett tájékozott irányértéket fogjuk az első oldal törésszögének tekinteni (βK=δ’K1). Ennél a sokszögvonal típusnál láthatóan nincs fölös mérés, a mérésre, és a számításunkra tehát nincs ellenőrzésünk. Az ilyen sokszögvonalat szabad sokszögvonalnak nevezzük. A számítás egy részére ellenőrzés lehet, ha ellenőrzésül kiszámítjuk a kezdő- és végpont koordináta különbségét, ennek meg kell egyeznie a megfelelő oldalvetületek összegével.
A nyílt, önálló sokszögvonalak számítása nagyon hasonló a szabad sokszögvonalhoz. Az önálló sokszögvonalnál természetesen nem mértünk a kezdőponton tájékozó irányt, és nem ismerjük a kezdőpont koordinátáit sem. Ebben az esetben a kezdőpont koordinátáit és a kezdő oldal tájékozott irányértékét az adott feladat kívánalmainak megfelelően kell megválasztani.
A kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal abban különbözik az egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonaltól, hogy a végpontja is ismert koordinátájú pont. (8-3 ábra)
Ebben az esetben ismertek a kezdő- és végpont, továbbá a tájékozó pont koordinátái. Mérési eredményeink a megfelelő távolságok és törésszögek. Ha a sokszögvonal n darab sokszögpontból áll, akkor ebben az esetben összesen 2n+2 darab távolság és törésszög mérhető. (Emlékeztetőül: az egyszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonalnál ennél kettővel kevesebb, csupán 2n mérési eredményünk) Miután n darab sokszögpont koordinátáinak meghatározásához elegendő 2n darab távolság és törésszög, ezért van két fölös mérésünk. A fölös mérések lehetőséget adnak a méréseink és a felhasznált alappontok ellenőrzésére. A sokszögoldalak koordinátatengelyekre eső vetületeinek összegének – abban az esetben, ha kerethibák és mérési hibák nem lennének – meg kellene egyeznie a kezdő-és végpont megfelelő koordináta különbségeivel (ezt koordináta-feltételnek is hívjuk).
A mérési és a kerethibák miatt ezek a feltételek nem lesznek kielégítve, hanem:
ahol a dy és dx mennyiségeket koordináta záróhibának nevezzük. Ha a záróhiba kisebb, mint az ezzel a módszerrel meghatározandó alappontok jellegének megfelelően megállapított hibahatár, akkor a mérést jónak vehetjük, és a mérést kiegyenlíthetjük olyan módon, hogy a kiegyenlített értékekkel számítva nulla záróhibákat kapjunk. A kiegyenlítéskor nem a hosszadalmas szigorú eljárást alkalmazzuk, hanem a már említett közelítő kiegyenlítést. A mérési eredményekből számított oldalvetületeket csak előzetes értéknek tekintjük, és kiszámítva a hosszegységre eső
záróhibákat, az egyes oldalvetületeket megjavítjuk a mért oldalhosszak arányában. Például az 1-2 sokszögoldalra az előzetes és a javított oldalvetületek:
A kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításának lépéseit a következőkben foglaljuk össze:
1. A tájékozó irány irányszögének számítása
2. A sokszögoldalak tájékozott irányértékének számítása
3. Az előzetes oldalvetültetek számítása
4. A koordináta záróhibák és a hosszegységre jutó záróhibák (javítások) számítása
5. A kiegyenlített oldalvetületek számítása
6. A koordináták számítása
Abban az esetben, ha a kezdőponton nem egy, hanem több tájékozó irányt mértünk, a súlyozott középtájékozási szög felhasználásával kell a kezdő sokszögoldal tájékozott irányértékét levezetni (βK=δ’K1).
A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonalat nevezik kétszeresen tájékozott sokszögvonalnak is. Abban különbözik az előző pontban ismertetett kétszeresen csatlakozó, egyszeresen tájékozott sokszögvonaltól, hogy nemcsak a kezdőponton, hanem a végponton is mértünk tájékozó irányt. Adottak tehát a kezdő-és végpont, valamint a tájékozó pontok koordinátái. Mérési eredmények az n+1 darab távolság, valamint az n+2 darab törésszög. Mivel az ismeretlenek száma (az új pontok vetületi koordinátái) nem változott, ennek megfelelően három fölös mérésünk van, más megközelítésben a mérési eredményeknek három geometriai feltételt kell kielégíteniük.
Két feltétel megegyezik a kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonalnál részletezett feltételekkel, a dy és a dx koordináta záróhibákkal. A kétszeresen tájékozott sokszögvonalnál ehhez egy harmadik feltétel csatlakozik, amely a tájékozó irányok irányszögei és a mért törésszögek között fejez ki kapcsolatot. A kezdőponton mért tájékozó irány irányszögéből kiindulva a törésszögek felhasználásával levezethető az utolsó sokszögoldal tájékozott irányértéke. Mivel a végponton is mértük a βv törésszöget, ezért számíthatjuk a végponton mért tájékozó irány δ’VT2 tájékozott irányértékét:
Kerethibáktól és mérési hibáktól mentes hálózatot feltételezve az ilyen módon levezetett tájékozott irányértéknek egyenlőnek kellene lennie a koordinátákból számítható irányszöggel. Mivel a mérést hibák terhelik, ezért:
A dφ értéket szögzáró hibának nevezzük. A szögzáró hiba gyakorlati kiszámításához nem szükséges az egyes oldalak tájékozott irányértékeinek számításán keresztül előállítani a végponton mért tájékozó irány tájékozott irányértékét. Előállíthatjuk δ’VT2 értékét a kezdőponton a tájékozó pontra számított irányszög és a mért törésszögek függvényeként is. A részletes bizonyítás nélkül:
Azaz
Ha a szögzáró hiba abszolút értéke a megállapított hibahatárnál nem nagyobb, akkor a szögzáró hibát a törésszögekre egyenlően osztjuk el.
A törésszögek mért értékét olyan módon számítjuk, hogy az előzetes, mért értékhez hozzáadjuk a javítást:
A számítást a kiegyenlített törésszögek ismeretében már a kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonalnál elmondottak szerint végezzük. A számítás menete a következő:
1. A tájékozó irányok irányszögének számítása
2. A szögzáróhiba és a törésszögek javításának számítása
3. A kiegyenlített törésszögek számítása
4. A sokszögoldalak tájékozott irányértékének számítása
5. Az előzetes oldalvetültetek számítása
6. A koordináta záróhibák és a hosszegységre jutó záróhibák (javítások) számítása
7. A kiegyenlített oldalvetületek számítása
8. A koordináták számítása
Abban az esetben, ha mind a kezdő-, mind a végponton több tájékozó irányt is mértünk, a súlyozott középtájékozási szög felhasználásával számítjuk a kezdőponton az első sokszögoldal tájékozott irányértékét δ’K1-et, a végponton pedig az utolsó sokszögoldal tájékozott irányértékét δ’vn-t. Ilyenkor a kezdőponton mért törésszögnek magát a δ’K1 értéket tekintjük:
A végponton mért törésszög:
Ennek megfelelően mindkét végponton a +x tengellyel párhuzamos irányt tekintjük tájékozó iránynak, azaz:
Ebben az esetben a sokszögvonal ismert alappontból indul és ismert alappontban végződik, de valamilyek okból tájékozást egyik végponton sem tudunk mérni. (8-5 ábra) A geodéziai gyakorlatban beillesztett sokszögvonal elsősorban sűrűn beépített városok szűk utcáiban, vagy nagy kiterjedésű, zárt erdőkben fordul elő.
A számításhoz adottak a kezdő-és végpont koordinátái; mérési eredményként pedig a távolságok és a törésszögek. A 2n+1 mérési eredményből 2n koordináta számítható, a fölös mérések száma tehát egy. A beillesztett sokszögvonal számítását visszavezethetjük a kétszeresen csatlakozó és egyszeresen tájékozott sokszögvonal számítására. Tekintsük a 8-6 ábrát.
Számítsuk ki az 8-6 ábrán φ-el jelölt szöget. A φ kiszámításához vegyünk fel egy olyan koordináta-rendszert, melynek kezdőpontja K, +x tengelye pedig a K1 oldallal esik egybe. Ebben az esetben az egyes sokszögoldalak tájékozott irányértékei:
Ezeknek a tájékozott irányértékeknek és a mért távolságoknak ismeretében számíthatók a sokszögoldalak vetületei a segéd koordináta-rendszerben. A végpontnak számítjuk az előzetes koordinátáit. (az 8-6 ábrán (V) jelöli az előzetes ponthelyet) Számítsuk ki mind az előzetes, mind a végleges V pontra vonatkozó irányszögeket és távolságokat a K kezdőponttól. Ezután számítsuk a φ elforgatási szöget valamint az m szorzótényezőt:
Ha a sokszögvonalat φ szöggel elforgatjuk és m értékkel nyújtjuk/zsugorítjuk, akkor a vonal előzetes (V) végpontja a végleges helyre kerül. A sokszögpont koordinátáinak kiszámításához minden oldal előzetes tájékozott irányértékét φ értékével meg kell változtatni; hasonlóan minden mért oldal hosszát az m-szeresére kell változtatnunk. Kiszámítjuk a végleges oldalvetületeket, majd folyamatos összegzéssel a végpont koordinátái. Ennek meg kell egyeznie a végpont ismert koordinátájával (a kerekítési hibáktól eltekintve).
Ha a sokszögvonal kezdő-és végpontja azonos, akkor a sokszögvonalat zártnak nevezzük. A zárt sokszögvonalban a törésszögek összegének elméleti értéke előre ismeretes, hiszen az n oldalú zárt sokszög belső szögeinek összege (n-2)*180, a külső szögeké pedig (n+2)*180.
A zárt sokszögvonalakban mindig felírható egy szögfeltételi egyenlet:
Mivel a kezdő és a végpont egybeesik, ezért számítható koordináta záróhiba is:
Látszólag a zárt sokszögvonal ugyanolyan kedvező mérési ellenőrzések szempontjából, mint a kétszeresen tájékozott sokszögvonal. Azonban ez nincs így. Mint a bevezetőben már említettük a zárt sokszögvonal érzéketlen a hosszak arányos megváltoztatásai iránt. Ezért a lehetőleg kerüljük a zárt sokszögvonalak vezetését.