Topológia és differenciálgeometria
Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
Korábban már említettük a Frenet-képleteket, amelyek a kísérő háromél vektorainak ívhossz szerinti deriváltjait fejezik ki a kísérő háromél vektorainak segítségével.
Látható, hogy a deriváltak koefficiensei a kísérő háromél bázisában egy ferdén szimmetrikus négyzetes mátrixot alkotnak, amelynek a mellékátlója is eltűnik. Az el nem tűnő koefficiensek között csak a görbület és torzió szerepel. Az első és utolsó egyenletet már korábban beláttuk, a középső egyenlet szorul még igazolásra:
Végül néhány tételt említünk, melyek azt mutatják, hogy a görbület és a torzió nagyon erősen meghatározzák a görbét, illetve annak viselkedését.
5.14. Tétel. Ha két görbének a görbülete és a torziója pontonként megegyezik és a görbületük sehol sem tűnik el, akkor a két görbe csak mozgásban tér el egymástól.
Bizonyítás. Arra az esetre bizonyítjuk az állítást, ha mindkét görbe ívhossz szerinti paraméterezésű. Legyen a közös görbületfüggvény
, a torziófüggvény pedig
. Mozgassuk el a
görbe kezdőpontját az
kezdőpontjába úgy, hogy az ottani kísérő háromél vektorai is egybeessenek, azaz
Konstruáljuk meg a bizonyítás szemponjátból hasznos
függvényt. Ennek deriváltja a Frenet-képletek miatt
azaz az
függvény konstans. Az
pontban
, mert a két háromél egybeesik, így
minden
-re. A Frenet háromél vektorai egységvektorok, tehát ezek skaláris szorzatainak összege csak úgy lehet egyenlő 3-mal, ha a megfelelő egységvektorok minden pontban egybeesnek. De
-ből
következik, ebből pedig az, hogy az
szintén állandó vektor minden
-re. Tudjuk azonban, hogy
, amiből így minden
-re
következik.
Egy görbe görbülete és torziója a görbének két invariánsa, azaz mozgástól eltekintve nemcsak a görbét, hanem annak minden további invariánsát is meghatározzák. A görbület és a torzió a görbe invariáns bázisát alkotja.
5.15. Tétel. Ha
folytonos, pozitív, a
pedig folytonos függvény egy I nyílt intervallumon, akkor egyértelműen létezik az I-n értelmezett olyan
görbe, hogy
egy előre adott
-lal, az ottani kísérő hároméle egy előre adott
ortonormált hároméllel egyenlő és amely
görbének a görbülete és torziója az adott
és
.
A 
egyenleteket a görbe
természetes egyenleteinek nevezzük.