Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az elektromágneses tér kvantumelméletbeli fizikai jelentésének egyedül a fotonok halmazával történő leírás felel meg. Ez lép a klasszikus térerősségekkel való leírás helyére. Ezek a fotonkép apparátusában mint a második kvantálás operátorai lépnek fel.
Mint ismeretes, a kvantumrendszerek viselkedése akkor közelítőleg klasszikus, mikor a
stacionárius állapotokat jellemző kvantumszámok nagyok. Szabad (adott térfogatbeli)
elektromágneses tér esetén ez azt jelenti, hogy az oszcillátorok kvantumszámainak , azaz az fotonszámoknak nagyoknak kell lenniük. Ezért
mély jelentése van annak, hogy a fotonok Bose-statisztikával írhatók le. Az elmélet matematikai formalizmusában a
Bose-statisztika és a klasszikus tér tulajdonságainak kapcsolata a
és
operátorok felcserélési szabályaiban nyilvánul meg. Nagy
értékek esetén, mikor az operátorok mátrixelemei nagyok, a (2,16) felcserélési reláció jobb oldalán az egységet
elhanyagolhatjuk, és így a
összefüggésre jutunk, azaz az operátorok felcserélhetők egymással
csakúgy, mint a klasszikus térerősségeket meghatározó és
mennyiségek.
A tér kváziklasszikus jellege még további pontosításra szorul. Ha ugyanis az összes
szám nagy, akkor a
állapotokra való összegezés során a térenergia végtelenné válik, azaz
a feltétel így értelmetlen.
A fizikailag átgondolt kérdésfeltevés, amely a kváziklasszikus jelleg feltételeire
vonatkozik, a térerősség értékeinek egy kis időtartamra vett átlagát vizsgálja. Ha a klasszikus elektromos teret,
-t (vagy a mágneseset,
-t) Fourier-kifejtés formájában adjuk meg, akkor a
időre való átlagolásakor az
középértékhez lényeges járulékot csak azok a Fourier-komponensek
adnak, amelyek frekvenciái eleget tesznek az
feltételnek; ellenkező esetben az
oszcilláló szorzótényező
átlagoláskor lényegében nullát ad. Ezért a kváziklasszikus viselkedés feltételeinek
vizsgálata során csak azokat a kvantumoszcillátorokat
kell tekintetbe venni, amelyeknek frekvenciájára
teljesül. Elegendő megkövetelni, hogy ezeknek az oszcillátoroknak a
kvantumszámai legyenek nagyok.
Azoknak az oszcillátoroknak a száma, amelyeknek frekvenciája és
közé esik (
térfogatra vonatkoztatva) nagyságrendileg[15]:
Egységnyi térfogat teljes energiája . Ha ezt a mennyiséget az oszcillátorok számával és a foton átlagos
energiájával (
) elosztjuk, akkor megkapjuk a fotonok számának nagyságrendjét ,
Ha ezt a számot nagynak követeljük meg, akkor a következő egyenlőtlenségre jutunk:
Ez az a keresett feltétel, amely a időre átlagolt tér leírására a klasszikus közelítés jogosságát
korlátozza. Láthatjuk, hogy a térnek annál intenzívebbnek kell lennie, minél rövidebb a
intervallum. Változó terekre ez az időtartam nyilván kisebb kell, hogy
legyen a tér változását jellemző időtartamnál. Így az elég gyenge terek semmi esetre sem
kváziklasszikusak. Csak sztatikus (időbenállandó) terekre lehet
-t venni, mikor is (5,2) jobb oldala
nulla lesz, azaz a sztatikus tér mindig klasszikus.
Mint megmutattuk, az elektromágneses tér klasszikus síkhullámok szuperpozíciójaként
való előállítását a kvantumelméletben operátorkifejezésként kell tekinteni. Ezeknek az
operátoroknak a fizikai jelentése azonban erősen korlátozott. Például egy fizikailag
konzekvens térerősség-operátor sajátértéke a foton–vákuum állapotban nulla kellene, hogy legyen. Ugyanakkor az
téroperátor-négyzet átlagértéke az alapállapotban konstans
szorzótényező erejéig megegyezik a rendszer nullponti energiájával, tehát végtelennek
adódik („átlagértéken” kvantummechanikai átlagot ,
azaz az operátor megfelelő diagonális elemét értjük). Ezt a körülményt még valamely
formális levonási művelet segítségével sem lehet kiküszöbölni, mivel ehhez az
és
operátorokat (és nem a négyzeteiket) kellene újra definiálni, ami nem
lehetséges. Így a szokványos kvantummechanikával szemben a kvantumelektrodinamikai
operátorok nem feleltethetők meg
semmiféle értelmes fizikai mennyiségnek.