Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Mint minden részecskének, a fotonnak is lehet határozott impulzusmomentuma. Hogy megvilágítsuk e mennyiség tulajdonságait a foton esetében, emlékezetbe idézzük, milyen összefüggés van a részecske hullámfüggvényének tulajdonságai és impulzusmomentuma között a kvantummechanika matematikai apparátusában.
A részecske teljes momentuma az
pálya- és az
sajátmomentumból (spinből) adódik össze. Az
spinű részecske hullámfüggvénye
-edrendű szimmetrikus tenzor, azaz
komponens halmazát jelenti, melyek a koordináta-rendszer elforgatásai
során meghatározott módon transzformálódnak egymásba. A pályamomentum a hullámfüggvény
helyfüggésével kapcsolható össze: az
pályamomentumú állapotoknak olyan hullámfüggvények felelnek meg,
amelyeknek komponensei
-edrendű gömbfüggvények lineáris kombinációjaként állíthatók
elő.
A spin- és pályamomentum következetes megkülönböztetése megköveteli a hullámfüggvény „spin”- és „koordináta”-tulajdonságainak függetlenségét: a spinorkomponensek koordinátafüggését (adott időpillanatban) nem korlátozhatja semmiféle mellékfeltétel.
Impulzusreprezentációban a hullámfüggvény koordinátafüggésének a impulzustól való függés felel meg. A foton hullámfüggvénye (a háromdimenziós transzverzális mérték használata
esetén) az
vektor. A vektor egy másodrendű spinorral ekvivalens, így a fotonhoz
spin rendelhető. De a vektorhullámfüggvény kielégíti a
transzverzalitási mellékfeltételt , tehát az impulzusfüggés adott
időpillanatban nem lehet tetszőleges a vektor minden komponensére, ami miatt lehetetlen
a spin- és a pályamomentum szétválasztása.
Megjegyezzük, hogy a foton esetében nem alkalmazható a spinnek az a definíciója sem, amely szerint az a nyugvó részecske teljes impulzusmomentumával lenne egyenlő, minthogy a fénysebességgel haladó fotonra nem létezik nyugalmi rendszer.
Így csak a foton teljes impulzusmomentumáról beszélhetünk. Eleve nyilvánvaló, hogy ez csak egész értékeket vehet fel. Ez abból is következik, hogy a fotont jellemző mennyiségek között egyetlen páratlan rendű spinor sem szerepel.
Mint minden részecskének, a foton állapotait szintén paritásukkal is jellemezzük,
amely a hullámfüggvény viselkedését adja meg a koordináta-rendszer tükrözése során (l. III. 30. §). Impulzusreprezentációban a koordináta
előjelének megváltozása összes komponensének előjelváltását eredményezi. A tükrözés
operátorának hatása egy
skalár
függvényre csak ebben a változásban nyilvánul meg:
. A vektorfüggvényre való hatásnál figyelembe kell még venni, hogy a
tengelyek irányváltása a vektor összes komponensének előjelét megváltoztatja;
ezért[16]
Bár a foton teljes impulzusmomentumának spinre és pályamomentumra való felbontása
fizikailag tartalmatlan, mégis kényelmes formálisan bevezetni az „spin” és az
„pályamomentum” segédfogalmakat, amelyek a hullámfüggvény forgatással
szembeni viselkedését jellemzik: az
érték a hullámfüggvény vektorjellegének felel meg,
pedig a kifejtésében jelen levő gömbfüggvények rendje. Itt a
határozott impulzusmomentumú fotonállapotok hullámfüggvényeit vettük figyelembe, melyek
szabad részecske esetén gömbhullámok. Az
szám ekkor egyidejűleg meghatározza a fotonállapot paritását is, amely
Ebben az értelemben a teljes impulzusmomentum operátora előállítható az
összeg alakjában. Az impulzusmomentum operátora, mint ismeretes, a
koordinátarendszer infmitezimális elforgatásának operátorával kapcsolatos; az adott
esetben ennek az operátornak a vektortérre kifejtett hatásával. Az
összegben az
operátor a vektori indexekre hat, a vektor különböző komponenseit
egymásba transzformálja. Az
operátor ezekre a komponensekre mint az impulzus (vagy koordináták)
függvényeire hat.
Határozzuk meg azoknak az (adott energiájú) állapotoknak a számát, amelyek adott
impulzusmomentum esetén létrejöhetnek [eltekintve a momentum
irányítása szerinti triviális (
)-szeres elfajulástól].
Független és
esetén ezt egyszerűen az adja meg, hogy hányféle módon lehet a
vektormodell szerint
és
-et úgy összeadni, hogy éppen a kívánt
értéket kapjuk. Az
spinű részecskére így (
adott, nem nulla értéke esetén) három állapot adódik
és
következő értékeivel:
Ha , akkor csak egy állapotot kapunk (
), melynek paritása
.
Ebben az összeszámolásban azonban transzverzalitását még nem vettük figyelembe; mindhárom
vektorkomponenst mint függetlent tekintettük. Ezért a kapott értékből le kell még
vonnunk a longitudinális vektornak megfelelő állapotok számát. Ezt a vektort
alakban írhatjuk, és így látjuk, hogy transzformációs tulajdonságai
(forgatások szempontjából) egy skalár
-vel ekvivalensek.[17] Következésképpen azt mondhatjuk, hogy a transzverzalitási feltétellel
összeférhetetlen, felesleges állapot egy skalár hullámfüggvényű részecskének felel meg (nulladrendű spinor) , azaz amelynek „spinje” 0.[18] Ebben az állapotban a
impulzusmomentum értéke így egybeesik a
-ben megjelenő gömbfüggvények rendjével. Az állapot paritását a
tükrözésoperátornak a
vektorfüggvényre gyakorolt hatása határozza meg:
azaz -nel egyenlő. így a fenti
paritású állapotok számából (kettő
, egy
esetén) egyet le kell vonnunk.
Végül tehát azt az eredményt kapjuk, hogy nullától különböző impulzusmomentum esetén a fotonnak egy páros és egy páratlan állapota
létezik.
esetén nem kapunk egyetlen állapotot sem. Ez azt jelenti, hogy a foton
teljes momentuma nem lehet nulla,
csak az
értékeket futhatja be. A
érték meg nem valósíthatósága eleve nyilvánvaló, minthogy a nulla
momentumú állapot hullámfüggvénye gömbszimmetrikus kell, hogy legyen, amely
transzverzális hullám esetén közismerten lehetetlen.
A foton különböző állapotaira a következő terminológia elfogadott. A impulzusmomentumú
paritású fotont elektromos
-pólusnak (vagy Ej-fotonnak
) hívjuk, míg a
paritásúakat mágneses
-pólusoknak (vagy
Mj-fotonoknak) . Így az elektromos
dipólusfotonnak
-es páratlan állapot, az elektromos kvadrupólusnak
-es páros, a mágneses dipólusnak
-es páros állapot felel meg.[19]
[16] Az állapot paritását aszerint határozzuk meg, hogy mi a tükrözés operátorának
hatása az olyan poláris vektorokra, mint amilyen (vagy a megfelelő elektromos vektor
). Ez előjelben különbözik a
axiális vektorra kifejtett hatástól, minthogy a tükrözés az
utóbbi irányát nem változtatja meg:
.
[17] Valójában, amikor egy mennyiség forgás során mutatott transzformációs
tulajdonságairól beszélünk, akkor adott pontbeli, azaz fix esetén vett transzformációról van szó. Így a transzformáció
során
általában nem változik, tehát skalárként viselkedik.
[18] Nem lehet elégszer hangsúlyozni, hogy itt nem valamiféle létező részecske állapotát tekintjük. A végrehajtott összeszámlálás formális jellegű, és végeredményben matematikailag az egymásba transzformálódó mennyiségek halmazának a forgáscsoport irreducibilis ábrázolásai szerinti osztályozását adja.