Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A másodkvantálás általános szabályai szerint tetszőleges hullámfüggvényt a szabad részecskeállapotok teljes rendszere szerint kell kifejteni. Ha teljes rendszerként a síkhullámokat használjuk, akkor
A következő lépésben az együtthatókat a
hármasimpulzusú részecskék
eltüntető és keltő operátorának kellene tekintenünk.[37]
Ezen a ponton azonban a nemrelativisztikus elmélethez képest új, elvi jelentőségű
körülménnyel találjuk magunkat szemben. A (10,5)
egyenletet kielégítő síkhullám energiájának adott hármasimpulzus mellett csak az
feltételt kell kielégítenie, azaz két értéket vehet fel:
. A síkhullám szabad részecskét ír le, fizikai értelme csak a pozitív
energiának van. A negatív energiás tagokat ennek ellenére nem
hagyhatjuk el: a hullámegyenlet általános megoldását csak az összes független megoldás
szuperpozíciójaként kapjuk. Ez arra mutat, hogy a
és a
kifejtésében fellépő együtthatók értelmezésekor körültekintően kell
eljárnunk.
A kifejtést írjuk a következő alakban:
ahol az elsőösszeg a pozitív , a második a
negatív „frekvenciás”, (10,16) szerint normált
síkhullámokat tartalmazza; mindig pozitív:
. Másodkvantáláskor az elsőösszeg
együtthatóit a szokásos módon az
eltüntető operátorokkal helyettesítjük. A második összeg vizsgálatánál
észre kell vennünk, hogy mikor majd ennek mátrixelemeit képezzük, az összeg tagjainak
időfüggése egy részecske keltésének, nem pedig eltüntetésének felel meg: az
tényező a végállapotban megjelenő
energiájú részecskének felel meg (vö.
a refS.22. § végével). Ezért az
együtthatókat valamilyen más részecske
keltő operátoraival helyettesítjük. Ha (11,1) második tagjában a
-re valóösszegezést
-re valóösszegezésre írjuk át (hogy az exponenciális
tényező
alakú legyen), a
-operátorokra a következő kifejezés adódik:
(11,2)-ben azok a tagok, amelyekben az
operátorok szerepelnek, a „helyes” (
) időfüggést mutatják, az
operátorok mellett álló exponenciális tényező az előzőnek komplex
konjugáltja. Ez lehetővé teszi azt, hogy
, ill.
operátorokat
impulzusú,
energiájú részecskék eltüntető, ill. keltő operátoraiként értelmezzük.
Az eddigiekből azt látjuk, hogy két részecske együtt és egyenrangúan jelentkezik.
Ezekről beszélünk úgy, mint részecskéről és
antirészecskéről (az elnevezés magyarázata a későbbiekben következik). Az
egyik leírására használjuk az ,
, a másikéra a
,
operátorokat. Ezek ugyanabban az
-operátorban szerepelnek, így a részecske és az antirészecske tömege
egyenlő.
Ehhez az eredményhez a relativisztikus invariancia követelményeiből is eljuthatunk.
A Lorentz-transzformáció matematikailag a
négydimenziós koordináta-rendszer olyan elforgatásait jelenti, amelyek során az
időtengely iránya megváltozik (a tiszta térbeli forgatásokkal – melyek nem változtatják
meg az időtengely irányát – együtt ezek a transzformációk csoportot alkotnak, ezt hívjuk
Lorentz-csoportnak[38]). A transzformációk közös tulajdonsága, hogy a időtengelyt nem vezetik ki a fénykúp megfelelő részéből; ezen
keresztül is kifejezésre jut az a fizikai elv, amely szerint tetszőleges jel terjedési
sebessége nem léphet túl bizonyos határsebességet .
Matematikai értelemben forgatást jelent az is, ha mind a négy koordináta előjelét
egyidejűleg megváltoztatjuk (négydimenziós tükrözés): minden más forgatáshoz hasonlóan e transzformáció
determinánsa is . Az ilyen transzformáció során az időtengely a fénykúp egyik
tartományából átkerül egy másikba. Noha ez a körülmény azt jelenti, hogy a
vonatkoztatási rendszer ilyen transzformációja fizikailag megvalósíthatatlan,
matematikailag csupán ahhoz vezet, hogy (a pszeudoeuklideszi metrika miatt) az elforgatás során komplex
koordinátatranszformációt is meg kell engednünk.
Természetes gondolat, hogy mivel négydimenziós invarianciáról van szó, ez a különbség nem lehet lényeges. Ekkor
minden, a Lorentz-transzformációval szemben invariáns kifejezésnek a
négyestükrözéssel szemben is invariánsnak kell lennie. A
13. §-ban tárgyaljuk, hogyan kell ezt a követelményt
a skalár -operátorra pontosan megfogalmazni. Annyit azonban rögtön látunk, hogy
a
-operátor mindkét tagjának egyidejűleg jelen kell lennie, hiszen a
transzformáció éppen a pozitív és negatív frekvenciás tagokat viszi át
egymásba.
Visszatérünk a (11,2) kifejezésre, és meghatározzuk
az (és
) operátorok felcserélési törvényeit. Fotonoknál ez (a
és
operátorokra) az oszcillátorokkal való analógiából, tehát lényegében a
klasszikus elektromágneses tér tulajdonságaiból származtatható. Most erre nincs
lehetőség. Egyedül a Hamilton-operátor alakja az, ami
útmutatást ad a (Bose- vagy Fermi-) felcserélési összefüggések felállítására.
Az utóbbit megkapjuk (l. III. 64. §), ha a és
operátorokat beírjuk az
integrálban[39]
és
helyére:
Könnyen látható, hogy csak akkor kapunk egyszerűen értelmezhető alakot, ha az operátorok felcserélési törvénye Bose-típusú:
(bármely másik két operátor felcserélhető egymással, így többek között
bármelyik részecskeoperátor bármelyik
antirészecske-operátorral ).
Ebben az esetben
Az és a
szorzatok sajátértékei
és
nemnegatív egész számok, a részecskék és antirészecskék száma. A
végtelen nagy additív állandót (a „vákuum energiáját” ) elhagyhatjuk:
[vö. (3,1)-gyel és a hozzáfűzött
megjegyzésekkel]. Ez a kifejezés határozottan pozitív, és megfelel a kétféle,
valóságosan létező részecskéről alkotott elképzelésünknek. A részecskerendszer teljes
impulzusát hasonló módon kapjuk,
Ha (11,4) helyett Fermi-típusú felcserélési törvényt (antikommutátorokat kommutátorok helyett) róttunk volna ki az operátorokra, akkor a Hamilton-operátorra a
(11,5)(11,5) helyett pedig a fizikailag értelmetlen
kifejezést kaptuk volna. Az utóbbi nem pozitív definit, és így nem
értelmezhető szabad részecskék rendszerének energiájaként.
Ezek alapján a zérus spinű részecskék bozonok.
A továbbiakban vizsgáljuk a (10,19)-beli
integrált. A
kifejezésben a
és
függvényeket a
és
operátorokkal helyettesítjük, és elvégezzük az integrálást. Így azt
kapjuk, hogy
A operátor sajátértékei (a
lényegtelen additív állandó levonása után):
azaz a részecskék és antirészecskék számának különbsége.
Mindaddig, amíg mindenféle kölcsönhatástól mentes szabad részecskéket vizsgálunk, a
mennyiségre vonatkozó megmaradási törvény [ugyanúgy, mint a teljes
energia és impulzus megmaradása (11,5), (11,6)] nem mond túl sokat: ténylegesen nemcsak ez az
összeg, hanem az
számok külön-külön is állandók. Hogy
valamilyen kölcsönhatás során is megmarad-e, az a kölcsönhatás
jellegétől függ. Ha
megmaradó mennyiség (azaz a
operátor felcserélhető a kölcsönhatás Hamilton-operátorával), akkor
a (11,8) kifejezés mondja meg, milyen szabály
szerint változhat meg a részecskék száma: csak „részecske+antirészecske” pár keletkezhet
vagy tűnhet el.
Ha egy részecske elektromosan töltött, akkor antirészecskéjének töltése azonos nagyságú, ellentétes előjelű kell, hogy legyen: ha töltésük azonos lenne, akkor páros keletkezésük vagy eltűnésük (szétsugárzásuk) ellentmondana a természet szigorú törvényének, az elektromos töltés megmaradásának. A későbbiekben látni fogjuk (32. §), hogy részecske és antirészecske ellentétes töltése (az elektromágneses tér és a részecskék kölcsönhatásánál) az elmélet közvetlen következménye.
A mennyiséget néha az adott részecsketér töltésének nevezik. Elektromosan töltött részecskéknél
egyebek között meghatározza a rendszer teljes elektromos töltését (az
elemi töltésegységben mérve). Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy a
részecskék és antirészecskék elektromosan semlegesek is lehetnek.
Az elmondottakból látjuk, hogy az energia és impulzus között fennálló relativisztikus
összefüggés (az egyenlet gyökének kétértékűsége), valamint a relativisztikus
invariancia követelménye új részecskeosztályozási elvhez vezet a kvantumelméletben –
különböző részecskék párosával (részecske–antirészecske) keletkezhetnek és tűnhetnek el.
Ezt az igen jelentős állítást először Dirac fogalmazta meg 1930-ban
(feles spinű részecskékre), még az első antirészecske, a pozitron felfedezése előtt.
[37] A -függvényt a
négyesimpulzussal indexeljük, ügyelve arra, hogy a továbbiakban
a „negatív frekvenciás” függvényeket
-vel jelöljük. Az
operátorokat a valódi részecskék állapotát teljesen meghatározó
hármasimpulzus indexeli.
[38] Megjegyezzük, hogy a háromdimenziós (térbeli) forgatások magukban is csoportot alkotnak, ez a Lorentz-csoport részcsoportja . A Lorentz-transzformációk (időbeli forgatások) nem alkotnak csoportot: egymás utáni Lorentz-transzformációk eredménye lehet tiszta térbeli forgatás is.
[39] A nemrelativisztikus elméletben a sorrend is kötött: a adjungált operátor megelőzi
-t. Most ez nem kötelező, mivel
és
felcserélése az egyenrangú
és
operátorok felcseréléséhez vezet. Fontos azonban, begy mindig
azonos sorrendben írjuk le a
és
operátorokat.