Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
A nemrelativisztikus elméletben egy tetszőleges spinű részecske leírható egy
komponensű mennyiséggel – egy
rendű szimmetrikus spinorral. Ezek – matematikai szemszögből nézve – a
háromdimenziós forgáscsoport irreducibilis ábrázolásait valósítják meg.
A relativisztikus elméletben ez a csoport csak a bővebb, négydimenziós forgáscsoport – a Lorentz-csoport – részcsoportjaként szerepel. Ezért ki kell dolgozni a négydimenziós spinorok (négyesspinorok) elméletét. Ezek a Lorentz-csoport irreducibilis ábrázolásait megvalósító mennyiségek. A 17–19-ok a négyesspinorok elméletét tárgyalják. A 17 és 18 a térbeli tükrözést nem tartalmazó saját Lorentz-csoporttal foglalkozik, a 19 pedig a térbeli tükrözéssel.
A négyesspinorok elmélete a háromdimenziós spinorokéhoz hasonlóan építhető fel (B. L. van der Waerden , 1929; G. E. Uhlenbeck , O. Laporte , 1931).
A spinor kétkomponensű mennyiség (
, 2); az
spinű részecske hullámfüggvényének komponensei,
és
, rendre a spin
irányú vetületének
, ill.
sajátértékeihez tartoznak. A (saját) Lorentz-transzformáció során
és
a következőképpen transzformálódik:
Az ,
,
,
együtthatók a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatását jellemző
szögek meghatározott függvényei, és kielégítik az
feltételt, azaz a (17,1) bináris
transzformáció determinánsa , akárcsak a Lorentz-csoport koordináta-transzformációinak
determinánsa.
A (17,2) feltétel miatt a bilineáris kifejezés (ahol
és
két spinor) invariáns a (17,1)
transzformációra nézve. (Ez két
spinű részecskéből „összetett”
spinű részecskének felel meg.) A hasonló invariáns kifejezések
természetes leírására a spinor „kontravariáns”
komponensei mellett a „kovariáns”
et, komponenseket is bevezetik. Egyikről a másikra a
„metrikus tenzor” segítségével térhetünk át:[57]
Így a invariáns
skalárszorzat alakban írható. Ugyanakkor
.
Az eddig felsorolt tulajdonságok formálisan megegyeznek a háromdimenziós spinorok tulajdonságaival. Különböznek azonban egymástól, ha a komplex konjugált spinorokat tekintjük.
A nemrelativisztikus elméletben a
összegnek – amely a részecskék térbeli lokalizációjának valószínűségi
sűrűségét határozza meg – skalárnak kell lennie, ezért a komponenseknek kovariáns spinorkomponensekként kell
transzformálódniuk; más szóval, a (17,1)
transzformáció unitér (
,
). A relativisztikus elméletben a részecskesűrűség nem skalár, hanem
egy négyesvektor időkomponense.Így a fenti követelmény elesik, és a transzformáció
együtthatóit nem korlátozzák további feltételek [(17,2)-n kívül]. A négy komplex szám,
,
,
,
a (17,2) feltétel mellett ekvivalens
valós paraméterrel– a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatását
jellemző szögek számának megfelelően (hat koordinátasíkban történő elforgatás).
Így a komplex konjugált bináris transzformáció lényegesen különbözik az eredetitől, azaz a relativisztikus elméletben kétféle spinor van. Hogy ezeket meg tudjuk különböztetni egymástól, a (17,1) képlet komplex konjugáltja szerint transzformálódó spinorok indexében a számjegy fölé egy pontot teszünk (pontozott indexek) . Tehát definíció szerint
ahol a jel az „úgy transzformálódik, mint” szavakat helyettesíti. Más szóval,
a pontozott spinorok transzformációs képlete:
A pontozott indexek lehúzásátés
felhúzását ugyanúgy végezzük, mint a
pontozatlan indexekét:
A térbeli elforgatásokra nézve a négyesspinorok transzformációs tulajdonsága
megegyezik a hármasspinorokéval. Az utóbbiaknál, mint tudjuk, . Így a (17,7) definíció szerint az
négyesspinor forgatáskor úgy viselkedik, mint egy
kontravariáns hármasspinor. Egy
spinű részecske hullámfüggvényének komponenseiként, a spin vetületének
és
sajátértékeihez az
és
kovariáns komponensek tartoznak.
A magasabb rendű spinorok olyan több komponensű mennyiségek, amelyek úgy transzformálódnak, mint több elsőrendű spinor komponenseinek szorzata. A magasabb rendű spinor indexei között lehetnek pontozatlanok és pontozottak is. Így háromféle másodrendű spinor van:
Ilyen értelemben a spinor rendjének megadása nem határozza meg
egyértelműen a magasabb rendű spinor fogalmát. Ezért a spinor rendjét szükség esetén egy
számpárral fogjuk jelölni – ahol
és
a pontozatlan és pontozott indexek száma.
Mivel a (17,1) és (17,8) transzformációk algebrailag függetlenek, nem szükséges rögzíteni a
pontozott és pontozatlan indexek sorrendjét (ebben az értelemben például és
egy és ugyanaz a spinor).
Ahhoz, hogy egy spinoregyenlőség invariáns jellegű legyen, mindkét oldalon azonos
számú pontozott, ill. pontozatlan indexet kell tartalmaznia; ellenkező esetben az
egyenlőség általában nem teljesül, ha más koordináta-rendszerre térünk át. Emlékeznünk
kell azonban arra, hogy komplex konjugálás esetén a pontozott és pontozatlan indexek
szerepe felcserélődik. Így például az egyenlőség invariáns. Spinorok vagy szorzataik összeejtése
(kontrakciója) csak azonos jellegű indexpárok szerint
lehetséges – két pontozott vagy két pontozatlan szerint. Különböző jellegű indexek
szerinti összegezés nem invariáns művelet. Ezért a
spinorból, amely azonos típusú, pontozatlan és
pontozott indexeiben teljesen szimmetrikus, nem képezhetünk
alacsonyabb rendű spinort (szimmetrikus indexek szerinti egyszerűsítés nullát
eredményez). Ez azt jelenti, hogy a (17,10)
mennyiségekből nem lehet kisebb számú, olyan lineáris kombinációt képezni, hogy azok a
csoport tetszőleges transzformációjára csak egymásba transzformálódnának. Más szóval, a
szimmetrikus négyesspinorok a saját
Lorentz-csoport irreducibilis ábrázolásait valósítják meg. Mindegyik irreducibilisábrázolást egy
számpár jellemez.
Mivel mindegyik spinorindex két értéket vehet fel, így (17,10)-ben ténylegesen különböző
sorozat van (ezek
egyest és
kettest tartalmaznak), és hasonlóan
különböző
sorozat. Tehát a
rendű szimmetrikus spinornak
független komponense van; ez az általa megvalósított irreducibilis
ábrázolás dimenziója.