Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az egy pontozott és egy pontozatlan indexű spinornak
független komponense van – éppen annyi, ahány egy négyesvektornak.
Ezért nyilvánvaló, hogy mindkettő a saját Lorentz-csoportnak ugyanazt az irreducibilis
ábrázolását valósítja meg, és így komponenseik között valamilyen megfeleltetés
létesíthető.
Hogy ezt az összefüggést feltárjuk, vizsgáljuk először az analóg megfeleltetést a háromdimenziós esetben, figyelembe véve azt, hogy a tiszta térbeli elforgatások során a hármas- és négyesspinorok egyformán viselkednek.
A hármasspinorokra vonatkozó megfeleltetést (l. III. 57. §) a következő alakra írjuk át:
ahol ,
,
egy háromdimenziós
vektor komponensei. A négydimenziós esetre áttérve a
komponenseket
-tal kell helyettesítenünk, az
,
,
komponenseket pedig egy négyesvektor
,
,
kontravariáns komponenseiként kell értelmeznünk. A vektor negyedik
komponensének,
-nak az alakja már eleve nyilvánvaló a 17-ban tett megjegyzésből: a (17,6)
mennyiség úgy transzformálódik, mint
. Ezért
, az arányossági tényezőt pedig úgy választjuk meg, hogy a
skalár megegyezzék a
skalárral.
Így a megfeleltetést a következő képletek írják le:
Az utóbbi egyenlőség abból következik, hogy a másodrendű spinor antiszimmetrikus
indexeiben, és így arányos a metrikus spinorral.
A spinor és egy négyesvektor közötti kapcsolat egy általános szabály
speciális esete: minden
rendű szimmetrikus spinor ekvivalens
egy szimmetrikus, irreducibilis (azaz bármely indexpárjában összeejtve nullává váló),
-adrendű négyestenzorral.
A spinorok és négyesvektorok kapcsolatát tömören leírhatjuk a -es Pauli-mátrixok segítségével:
Ha szimbolikusan -val jelöljük a
felső indexes mennyiségek mátrixát (az első index pontozatlan), akkor
a (18,2) képleteket egyszerűbb alakba
írhatjukát:
(a második tagban -t természetesen az egységmátrixszal szorozzuk). Az inverz
képletek:
A (18,6), (18,7) képletek segítségével megállapíthatjuk a négyesvektor és a spinor transzformációja közötti kapcsolatot, és így a spinor transzformációs szabályát kifejezhetjük a négydimenziós koordináta-rendszer forgatási paramétereivel.
Írjuk fel a spinor transzformációját
alakban, ahol a bináris transzformáció együtthatóiból álló
-es mátrix. Ekkor a pontozott spinor transzformációja:
így a másodrendű spinor transzformációját szimbolikusan
alakban írjuk.[58] Végtelen kis transzformáció esetén
, ahol
kis mátrix, és a végtelen kis mennyiségek szerint első rendig:
Tekintsünk először egy olyan Lorentz-transzformációt , amely végtelen kis sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át (a térbeli tengelyek
iránya változatlan marad). Ekkor az
négyesvektor a következőképpen transzformálódik:
A (18,7) képletek segítségével
transzformációját felírhatjuk egyrészt mint
másrészt mint
kifejezést. E két kifejezés azonosan (azaz tetszőleges
-ra) egyenlő. Innen a következő egyenlőséget kapjuk:
Hasonlóan, transzformációját tekintve:
Ezeknek a -ra vonatkozó egyenleteknek a megoldása
Így végtelen kis Lorentz-transzformációja a
mátrix segítségével valósítható meg, ahol a
sebesség irányába mutató egységvektor. Innen könnyen megkapható a
transzformáció véges
sebesség esetére is. Emlékezzünk vissza, hogy a Lorentz-transzformáció
(geometriailag) a négydimenziós koordináta-rendszernek a
síkban
szöggel való elforgatását jelenti, ahol
.[59] Végtelen kis transzformációnak
szög felel meg, véges szöggel való elforgatás pedig a
-vel való elforgatás
-szeres ismétlésével valósítható meg. A (18,12) operátort
hatványra emelve és a
határátmenetet tekintve,
Vegyük észre, hogy minden páros hatványa
, és minden páratlan hatványa
. Figyelembe véve, hogy a
az argumentum páros, a
pedig páratlan hatványai szerint fejthető ki, a következő kifejezést
kapjuk:
Megjegyezzük, hogy Lorentz-transzformáció esetén hermitikus mátrixot kaptunk:.
Tekintsük most a térbeli koordináta-rendszer végtelen kis elforgatását. Ekkor a
háromdimenziós vektor
szerint transzformálódik, ahol a végtelen kis elforgatás szöge . A spinor transzformációját az előzőkhöz
hasonló módon is megkaphatnánk, de erre most nincs szükség, mert a térbeli
elforgatásokra nézve a négyesspinorok viselkedése megegyezik a hármasspinorokéval. Az
utóbbiak transzformációja eleve ismert a spinoperátornak és a végtelen kis elforgatás
operátorának általánosösszefüggéséből:
Véges szögre valóáttérés a (18,12)-ről (18,14)-re valóáttéréshez
hasonló:
ahol a forgástengely irányába mutató egységvektor. Ez a mátrix unitér
(
), amint annak lennie kell a térbeli elforgatások esetén.