ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

18.§. A spinorok és a négyesvektorok kapcsolata

Az egy pontozott és egy pontozatlan indexű ζαβ̇ spinornak 2⋅2=4 független komponense van – éppen annyi, ahány egy négyesvektornak. Ezért nyilvánvaló, hogy mindkettő a saját Lorentz-csoportnak ugyanazt az irreducibilis ábrázolását valósítja meg, és így komponenseik között valamilyen megfeleltetés létesíthető.

Hogy ezt az összefüggést feltárjuk, vizsgáljuk először az analóg megfeleltetést a háromdimenziós esetben, figyelembe véve azt, hogy a tiszta térbeli elforgatások során a hármas- és négyesspinorok egyformán viselkednek.

A hármasspinorokra vonatkozó megfeleltetést (l. III. 57. §) a következő alakra írjuk át:

ax =(1/2)(ψ22–ψ11)=(1/2)(ψ21+ψ12), ay =–(i/2)(ψ22+ψ11)=(i/2)(ψ12–ψ21), az =(1/2)(ψ12+ψ21)=(1/2)(ψ11–ψ22),

ahol , , egy háromdimenziós vektor komponensei. A négydimenziós esetre áttérve a ψαβ komponenseket ζαβ̇ -tal kell helyettesítenünk, az , , komponenseket pedig egy négyesvektor , , kontravariáns komponenseiként kell értelmeznünk. A vektor negyedik komponensének, -nak az alakja már eleve nyilvánvaló a 17-ban tett megjegyzésből: a (17,6) mennyiség úgy transzformálódik, mint . Ezért a0∼ζ11̇+ζ22̇ , az arányossági tényezőt pedig úgy választjuk meg, hogy a ζαβ̇ζαβ̇ skalár megegyezzék a 2aμaμ≡2a2 skalárral.

Így a megfeleltetést a következő képletek írják le:

3.11. egyenlet - (18,1)

\begin{aligned} a^{1} & = \frac{1}{2} (ζ^{1 \dot{2}} + ζ^{2 \dot{1}}), & a^{2} & = \frac{i}{2} (ζ^{1 \dot{2}} + ζ^{2 \dot{1}}), \\ a^{3} & = \frac{1}{2} (ζ^{1 \dot{1}} + ζ^{2 \dot{2}}), & a^{0} & = \frac{1}{2} (ζ^{1 \dot{1}} + ζ^{2 \dot{2}}) . \end{aligned}

Az inverz képletek:

3.12. egyenlet - (18,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} ζ^{1 \dot{1}} = ζ_{2 \dot{2}} = a^{3} + a^{0}, & ζ^{2 \dot{2}} = ζ_{1 \dot{1}} = a^{0} - 0^{3}, \\ ζ^{1 \dot{2}} = - ζ_{2 \dot{1}} & = a^{1} - i a^{2}, \\ ζ^{2 \dot{1}} = - ζ_{1 \dot{2}} & = a^{1} - i a^{2} . \end{aligned} & (18,2) \end{matrix}

Ekkor

3.13. egyenlet - (18,3)

ζ_{α \dot{β}} ζ^{α \dot{β}} = 2 a^{2} .

Megjegyezzük még, hogy

3.14. egyenlet - (18,4)

ζ_{α \dot{β}} ζ^{γ \dot{β}} = δ_{α}^{γ} a^{2} .

Az utóbbi egyenlőség abból következik, hogy a ζαβ̇ζγβ̇ másodrendű spinor antiszimmetrikus indexeiben, és így arányos a metrikus spinorral.

A ζαβ̇ spinor és egy négyesvektor közötti kapcsolat egy általános szabály speciális esete: minden (k,k) rendű szimmetrikus spinor ekvivalens egy szimmetrikus, irreducibilis (azaz bármely indexpárjában összeejtve nullává váló), -adrendű négyestenzorral.

A spinorok és négyesvektorok kapcsolatát tömören leírhatjuk a 2×2 -es Pauli-mátrixok segítségével:

3.15. egyenlet - (18,5)

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

Ha szimbolikusan -val jelöljük a ζαβ̇ felső indexes mennyiségek mátrixát (az első index pontozatlan), akkor a (18,2) képleteket egyszerűbb alakba írhatjukát:

3.16. egyenlet - (18,6)

ζ = a σ + a^{0}

(a második tagban -t természetesen az egységmátrixszal szorozzuk). Az inverz képletek:

3.17. egyenlet - (18,7)

a = \frac{1}{2} Sp (ζ σ), a^{0} = \frac{1}{2} Sp ζ .

A (18,6), (18,7) képletek segítségével megállapíthatjuk a négyesvektor és a spinor transzformációja közötti kapcsolatot, és így a spinor transzformációs szabályát kifejezhetjük a négydimenziós koordináta-rendszer forgatási paramétereivel.

Írjuk fel a spinor transzformációját

3.18. egyenlet - (18,8)

ξ^{α^{'}} = {(B ξ)}^{α}, B = (\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix})

alakban, ahol a bináris transzformáció együtthatóiból álló 2×2 -es mátrix. Ekkor a pontozott spinor transzformációja:

3.19. egyenlet - (18,9)

η^{{\dot{β}}^{'}} = {(B^{*} η)}^{\dot{β}} = {(η B^{+})}^{\dot{β}},

így a ζαβ̇∼ξαηβ̇ másodrendű spinor transzformációját szimbolikusan ζ′=BζB+ alakban írjuk.^[58] Végtelen kis transzformáció esetén B=1+λ , ahol kis mátrix, és a végtelen kis mennyiségek szerint első rendig:

3.20. egyenlet - (18,10)

ζ^{'} = ζ + (λ ζ + ζ λ^{+}) .

Tekintsünk először egy olyan Lorentz-transzformációt , amely végtelen kis sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át (a térbeli tengelyek iránya változatlan marad). Ekkor az aμ=(a0,a) négyesvektor a következőképpen transzformálódik:

3.21. egyenlet - (18,11)

a^{'} = a - a^{0} δ V, a^{0^{'}} = a^{0} - a δ V .

A (18,7) képletek segítségével transzformációját felírhatjuk egyrészt mint

másrészt mint

a0′=(1/2)Spζ′=a0+(1/2)Sp(λζ+ζλ+)=a0+(1/2)Spζ(λ+λ+)

kifejezést. E két kifejezés azonosan (azaz tetszőleges -ra) egyenlő. Innen a következő egyenlőséget kapjuk:

Hasonlóan, transzformációját tekintve:

Ezeknek a -ra vonatkozó egyenleteknek a megoldása

Így végtelen kis Lorentz-transzformációja a

3.22. egyenlet - (18,12)

B = 1 - \frac{1}{2} (σ n) δ V

mátrix segítségével valósítható meg, ahol a sebesség irányába mutató egységvektor. Innen könnyen megkapható a transzformáció véges sebesség esetére is. Emlékezzünk vissza, hogy a Lorentz-transzformáció (geometriailag) a négydimenziós koordináta-rendszernek a t,n síkban szöggel való elforgatását jelenti, ahol thφ=V .^[59] Végtelen kis transzformációnak δφ=δV szög felel meg, véges szöggel való elforgatás pedig a -vel való elforgatás φ∕δφ -szeres ismétlésével valósítható meg. A (18,12) operátort hatványra emelve és a δφ→0 határátmenetet tekintve,

3.23. egyenlet - (18,13)

B = e^{- \frac{φ}{2} n σ} .

Vegyük észre, hogy minden páros hatványa , és minden páratlan hatványa. Figyelembe véve, hogy a chx az argumentum páros, a shx pedig páratlan hatványai szerint fejthető ki, a következő kifejezést kapjuk:

3.24. egyenlet - (18,14)

B = ch \frac{φ}{2} - n σ sh \frac{φ}{2}, th φ = V .

Megjegyezzük, hogy Lorentz-transzformáció esetén hermitikus mátrixot kaptunk: B=B+ .

Tekintsük most a térbeli koordináta-rendszer végtelen kis elforgatását. Ekkor a háromdimenziós vektor

3.25. egyenlet - (18,15)

a^{'} = a - δ 𝜃 \times a

szerint transzformálódik, ahol a végtelen kis elforgatás szöge . A spinor transzformációját az előzőkhöz hasonló módon is megkaphatnánk, de erre most nincs szükség, mert a térbeli elforgatásokra nézve a négyesspinorok viselkedése megegyezik a hármasspinorokéval. Az utóbbiak transzformációja eleve ismert a spinoperátornak és a végtelen kis elforgatás operátorának általánosösszefüggéséből: