Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A háromdimenziós spinorok elméletének tárgyalásakor a (III. kötetben) nem vizsgáltuk, hogyan viselkednek ezek térbeli tükrözés esetén, mivel a nemrelativisztikus elméletben ez nem vezetett volna semmilyen új fizikai eredményre. Most azonban elidőzünk ennél a kérdésnél, hogy a későbbiekben jobban megértsük a négyesspinorok tükrözési tulajdonságait.
A tükrözés művelete nem változtatja meg az axiális vektorok előjelét. A spin is
ilyen, és így nem változik meg vetülete, sem. Ebből következik, hogy a spinor bármelyik
komponense csak önmagába transzformálódhat, azaz
ahol állandó együttható. Kétszer tükrözve, az eredeti koordináta-rendszerhez
térünk vissza. Spinorok esetében azonban a kezdeti helyzetbe való visszatérést
kétféleképpen lehet értelmezni: a rendszer
-os vagy
-os elforgatásaként. Spinorok esetén ez a két meghatározás nem
ekvivalens, mert a
komponensek előjelet váltanak
-os forgatás esetén. Így a tükrözés két, egymástól különböző módon
fogható fel: egyik esetben
Lényeges, hogy a tükrözés fogalmát minden spinorra egyformán határozzuk meg. Nem
megengedett, hogy különböző spinorok másképpen viselkedjenek tükrözéskor [(19,2) vagy (19,3)
szerint], mivel akkor nem lehetne bármely két spinorból skalárt (vagy pszeudoskalárt)
összeállítani: ha (19,2) szerint,
pedig (19,3) szerint
transzformálódna, akkor a
, mennyiség
-vel szorzódna tükrözés esetén, ahelyett, hogy változatlanul maradna
(vagy csak előjelet váltana).
Azt is meg kell jegyeznünk, hogy (a tükrözés bármely definíciója esetén) egy
spinornak nem tulajdoníthatunk abszolút értelemben vett paritást, mivel a spinorok
-vel elforgatva, előjelet váltanak, és ezt a forgatást mindig
végrehajthatjuk a tükrözéssel egyidőben. Azonban abszolút jellege van két spinor
„relatív paritásának”, amelyet a belőlük összeállított
skalár paritásaként definiálunk; mivel
-vel elforgatva mindkét spinor előjelet vált, az ezzel kapcsolatos
határozatlanság nem tükröződik a fenti skalár paritásában.
Térjünk át most a négydimenziós spinorokra.
Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy mivel a tükrözés a négy koordinátából csak háromnak, (
)-nek az előjelét változtatja meg, így ez felcserélhető a térbeli
elforgatásokkal, de nem cserélhető fel a
tengelyt is elforgató transzformációkkal. Ha az
Lorentz-transzformáció a
sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át, akkor
, ahol
a
sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át.
Innen következik, hogy tükrözéskor a négyesspinor komponensei nem transzformálódhatnak önmagukba. Ha a
spinor tükrözése most is a (19,1)
transzformációt jelentené (azaz az egységmátrixszal arányos mátrix jellemezné), akkor ez
a transzformáció az összes Lorentz-transzformációval kommutálna, ami viszont nem
lehetséges (mert az
és
operációk
-ra hatva, különböző eredményt adnak).
Ily módon a tükrözés a spinor komponenseit más mennyiségekbe viszi át. Ilyen mennyiségek csak a
-tól eltérő módon transzformálódó, valamilyen más spinor
komponensei lehetnek. Mint azt fentebb megjegyeztük, a tükrözés nem
változtatja meg a spin
vetületét, így a
és
komponensek tükrözéskor csak az
és
komponensekbe mehetnek át; ezek felelnek meg ugyanazoknak az
és
értékeknek. Tükrözésen olyan műveletet értve, amely kétszer
megismételve
-et ad, hatását a következő képletekkel adhatjuk meg:
[a kovariáns és a kontravariáns
komponensekre a transzformációk ellenkező előjelűek:
mivel ugyanannak az indexnek a lehúzása és felhúzása különböző előjelet
eredményez, lásd a (17,5)és (17,9) képleteket].[60] Ha a tükrözést úgy értelmezzük, hogy , akkor a transzformációs képletek:
A tükrözés kétféle definíciója jellegében némileg különbözik egymástól. A második
definíciót használva a komplex konjugált spinorok az eredetiekhez hasonlóan
transzformálódnak: ha ,
, akkor (19,5) szerint
,
, azaz ugyanaz a szabály, mint ami
-ra és
-ra vonatkozik. A (19,4) definícióból
a
,
transzformációt kapnánk, ami előjelben különbözik
és
transzformációjától. E különbség lehetséges fizikai vonatkozásaira a
27. §-ban visszatérünk.
A továbbiakban mindenütt a (19,5) definíciót használjuk.
A térbeli elforgatások alcsoportjára, mint tudjuk, és
egyformán transzformálódik. Az ezekből képezett
mennyiségek tükrözés esetén (19,1) szerint
transzformálódnak, -vel. A fenti kombinációk azonban nem minden Lorentz-transzformációval
szemben viselkednek spinorként.
Így ahhoz, hogy a térbeli tükrözést is belevegyük a szimmetriacsoportba, egy
spinorpárt kell egyidejűleg tekintenünk; ezt (elsőrendű)
bispinornak nevezzük. A bispinor négy komponense a kiterjesztett
Lorentz-csoport egy irreducibilis ábrázolását valósítja meg.
Két bispinor, és
skalárszorzatát kétféle módon képezhetjük. A
mennyiség tükrözés esetén nem változik, tehát valódi skalár. A
mennyiség, szintén invariáns a négydimenziós koordináta-rendszer
elforgatásával szemben, de tükrözéskor előjelet vált; más szóval pszeudoskalár.
A másodrendű spinort is kétféleképpen definiálhatjuk. Ha a
transzformációs képlettel definiáljuk, akkor tükrözés esetén
Ekkor az négyesvektor, amely ezzel a spinorral ekvivalens [a (18,1) képleteknek megfelelően],
szerint transzformálódik, azaz valódi négyesvektor (a háromdimenziós
vektor poláris vektor).
Definiálhatjuk azonban -ot a következő módon is:
Ekkor[61]
Egy ilyen spinornak megfelelő négyesvektor szerint transzformálódik, azaz négyespszeudovektor (a háromdimenziós
pedig axiális vektor).
Egyforma típusú indexekkel rendelkező másodrendű szimmetrikus spinorok definíciója a következő:
Ezek tükrözés esetén egymásba mennek át:
A pár másodrendű bispinort alkot. Független komponenseinek száma
. Ugyanennyi független komponense van az
másodrendű antiszimmetrikus tenzornak is. Ezért a kettő között
valamilyen kapcsolat áll fenn (a kiterjesztett Lorentz-csoport ekvivalens irreducibilis ábrázolásait valósítják
meg).
Mivel a saját Lorentz-csoportra nézve és
függetlenül transzformálódik, ezért az
négyestenzor komponenseiből két olyan több komponensű mennyiséget
állíthatunk össze, amelyek egymástól függetlenül transzformálódnak a négydimenziós
koordináta-rendszer tetszőleges elforgatása esetén. Ez a felbontás a következő módon
valósítható meg.
Vezessük be a háromdimenziós poláris vektort és a háromdimenziós axiális
vektort, amelyeknek az
négyestenzor komponenseivel való kapcsolata:
[a kifejezést a fenti tenzor rövid jelölésére fogjuk használni].
Ugyanakkor
, és az
mennyiségek közül az első skalár, a második pszeudoskalár; a saját
Lorentz-csoportra nézve mindkettő invariáns. Velük együtt az háromdimenziós vektorok hossza is invariáns. Ez azt jelenti, hogy
bármely elforgatás a négydimenziós térben az
vektorokra ekvivalens egy háromdimenziós, általában véve komplex
szögekkel való „elforgatással” (a négydimenziós koordináta-rendszer hat elforgatási
szögének a háromdimenziós tér három komplex „elforgatási szöge” felel meg). A térbeli
tükrözés
előjelét megváltoztatja,
-ét nem, így az
és a
vektorokat egymásba viszi át. E vektorok komponensei alkotják az
tenzor komponenseinek két keresett csoportját.
Így nyilvánvalóvá válik az négyestenzor és a
,
spinorok kapcsolata is. Mivel a térbeli forgáscsoport a
Lorentz-csoport részcsoportja, a spinor és a háromdimenziós vektor komponenseinek
kapcsolata szükségszerűen ugyanaz, mint háromdimenziós spinorok esetén:
Határozzuk meg a páros rendű spinorok és négyestenzorok közti általános összefüggést.
Megoldás. Minden spinor, ahol páros, a kiterjesztett Lorentz-csoport egyértékű, irreducibilis
ábrázolását valósítja meg, csakúgy mint a négyestenzorok, ezért ekvivalensek
egymással.[62]
szerint transzformálódik. Az ilyen spinor egy teljesen szimmetrikus,
irreducibilis,-adrendű négyestenzorral ekvivalens – az (19f,1)-ben szereplő előjeltől függően valódi vagy
pszeudotenzorral.
A és
rendű spinorok, amelyek bispinort alkotnak, tükrözéskor a
következőképpen transzformálódnak:
Ha , akkor a bispinor ekvivalens az
irreducibilis,
rendű négyestenzorral, amely
indexeiben antiszimmetrikus, a többiben pedig szimmetrikus. E
tenzor irreducibilitása azt jelenti, hogy bármely
indexpárjábanösszeejtve nullát ad, és ugyancsak nullát kapunk, ha bármely három
indexe szerinti duálisát képezzük (azaz
); ez utóbbi egyenlőség azt jelenti, hogy a
és egy (tetszőleges) harmadik index szerinti ciklikus összeg
eltűnik.
Ha , a bispinor ekvivalens egy irreducibilis,
rendű
négyestenzorral, amely a következő tulajdonságú: antiszimmetrikus a
és
indexekben, és szimmetrikus az összes többiben, szimmetrikus a
és
indexpárok felcserélésére, nullát ad, ha bármely indexpárjában
összeejtjük, és ha bármely indexhármasa szerinti duálisát képezzük.
Általában, ha , a bispinor ekvivalens egy
rendű irreducibilis négyestenzorral, amely
indexpárjában antiszimmetrikus, a többi
indexében pedig szimmetrikus.[63]
[60] A (19,4) definíció bizonyos értelemben
feltételes. Ez a és
mennyiségek függetlenségével kapcsolatos. Így
helyett új spinort bevezetve:
, (19,4) helyett vele
ekvivalens definíciót kapunk:
.
[61] Hangsúlyozzuk, hogy a (19,10) és (19,12) transzformációs képletek, amelyeknek jobb oldalai előjelben különböznek, egyáltalán nem ekvivalensek, mivel mindkét oldalon ugyanannak a spinornak a komponensei szerepelnek (lásd a III. fejezet 4. lábjegyzetét).
[62] Páratlan rendű spinorok a csoport kétértékű ábrázolásait valósítják meg:
-kal való térbeli elforgatás megváltoztatja a spinorok
előjelét, igy a csoport tetszőleges eleméhez két, ellenkező előjelű mátrix
tartozik.
[63] Olyan négyestenzorok, amelyek több (három, négy stb.) indexükben
antiszimmetrikusak, ebben a rendszerezésben egyszerű oknál fogva nem jelennek
meg: egy harmadrendű antiszimmetrikus tenzor ekvivalens (duális) egy
pszeudovektorral, negyedrendű antiszimmetrikus tenzor visszavezethető egy
skalárra (arányos az egység-pszeudotenzorral); több indexében antiszimmetrikus
tenzor pedig a négydimenziós térben egyáltalán nem lehetséges.