ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

19.§. Spinorok tükrözése

A háromdimenziós spinorok elméletének tárgyalásakor a (III. kötetben) nem vizsgáltuk, hogyan viselkednek ezek térbeli tükrözés esetén, mivel a nemrelativisztikus elméletben ez nem vezetett volna semmilyen új fizikai eredményre. Most azonban elidőzünk ennél a kérdésnél, hogy a későbbiekben jobban megértsük a négyesspinorok tükrözési tulajdonságait.

A tükrözés művelete nem változtatja meg az axiális vektorok előjelét. A spin is ilyen, és így nem változik meg vetülete, sem. Ebből következik, hogy a spinor bármelyik komponense csak önmagába transzformálódhat, azaz

3.28. egyenlet - (19,1)

ψ^{α} \to P ψ^{α},

ahol állandó együttható. Kétszer tükrözve, az eredeti koordináta-rendszerhez térünk vissza. Spinorok esetében azonban a kezdeti helyzetbe való visszatérést kétféleképpen lehet értelmezni: a rendszer -os vagy 360∘ -os elforgatásaként. Spinorok esetén ez a két meghatározás nem ekvivalens, mert a komponensek előjelet váltanak 360∘ -os forgatás esetén. Így a tükrözés két, egymástól különböző módon fogható fel: egyik esetben

3.29. egyenlet - (19,2)

P^{2} = 1, P = \pm 1,

a másikban

3.30. egyenlet - (19,3)

P^{2} = - 1, P = \pm i .

Lényeges, hogy a tükrözés fogalmát minden spinorra egyformán határozzuk meg. Nem megengedett, hogy különböző spinorok másképpen viselkedjenek tükrözéskor [(19,2) vagy (19,3) szerint], mivel akkor nem lehetne bármely két spinorból skalárt (vagy pszeudoskalárt) összeállítani: ha (19,2) szerint, pedig (19,3) szerint transzformálódna, akkor a ψαφα , mennyiség -vel szorzódna tükrözés esetén, ahelyett, hogy változatlanul maradna (vagy csak előjelet váltana).

Azt is meg kell jegyeznünk, hogy (a tükrözés bármely definíciója esetén) egy spinornak nem tulajdoníthatunk abszolút értelemben vett paritást, mivel a spinorok -vel elforgatva, előjelet váltanak, és ezt a forgatást mindig végrehajthatjuk a tükrözéssel egyidőben. Azonban abszolút jellege van két spinor „relatív paritásának”, amelyet a belőlük összeállított ψαφα skalár paritásaként definiálunk; mivel -vel elforgatva mindkét spinor előjelet vált, az ezzel kapcsolatos határozatlanság nem tükröződik a fenti skalár paritásában.

Térjünk át most a négydimenziós spinorokra.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy mivel a tükrözés a négy (x,y,z,t) koordinátából csak háromnak, ( x,y,z )-nek az előjelét változtatja meg, így ez felcserélhető a térbeli elforgatásokkal, de nem cserélhető fel a tengelyt is elforgató transzformációkkal. Ha az Lorentz-transzformáció a sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át, akkor PL=L′P , ahol a sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át.

Innen következik, hogy tükrözéskor a négyesspinor komponensei nem transzformálódhatnak önmagukba. Ha a spinor tükrözése most is a (19,1) transzformációt jelentené (azaz az egységmátrixszal arányos mátrix jellemezné), akkor ez a transzformáció az összes Lorentz-transzformációval kommutálna, ami viszont nem lehetséges (mert az és operációk -ra hatva, különböző eredményt adnak).

Ily módon a tükrözés a spinor komponenseit más mennyiségekbe viszi át. Ilyen mennyiségek csak a -tól eltérő módon transzformálódó, valamilyen más spinor ηα̇ komponensei lehetnek. Mint azt fentebb megjegyeztük, a tükrözés nem változtatja meg a spin vetületét, így a és komponensek tükrözéskor csak az η1̇ és η2̇ komponensekbe mehetnek át; ezek felelnek meg ugyanazoknak az sz=1∕2 és sz=–1∕2 értékeknek. Tükrözésen olyan műveletet értve, amely kétszer megismételve -et ad, hatását a következő képletekkel adhatjuk meg:

3.31. egyenlet - (19,4)

ξ^{α} \to η_{\dot{α}}, η_{\dot{α}} \to ξ^{α}

[a kovariáns és a kontravariáns ηα̇ komponensekre a transzformációk ellenkező előjelűek:

3.32. egyenlet - (19,4a)

ξ_{α} \to - η^{\dot{α}}, η^{\dot{α}} \to - ξ_{α},

mivel ugyanannak az indexnek a lehúzása és felhúzása különböző előjelet eredményez, lásd a (17,5)és (17,9) képleteket].^[60] Ha a tükrözést úgy értelmezzük, hogy P2=–1 , akkor a transzformációs képletek:

3.33. egyenlet - (19,5)

ξ^{α} \to i η_{\dot{α}}, η_{\dot{α}} \to i ξ^{α},

vagy ami ugyanaz:

3.34. egyenlet - (19,5a)

ξ_{α} \to - i η^{\dot{α}}, η^{\dot{α}} \to - i ξ_{α} .

A tükrözés kétféle definíciója jellegében némileg különbözik egymástól. A második definíciót használva a komplex konjugált spinorok az eredetiekhez hasonlóan transzformálódnak: ha Ξα=ηα̇∗ , Hα̇=ξα∗ , akkor (19,5) szerint Ξα→–iHα̇ , Hα̇→–iΞα , azaz ugyanaz a szabály, mint ami -ra és ηα̇ -ra vonatkozik. A (19,4) definícióból a Ξα→Hα̇ , Hα̇→Ξα transzformációt kapnánk, ami előjelben különbözik és ηα̇ transzformációjától. E különbség lehetséges fizikai vonatkozásaira a 27. §-ban visszatérünk.

A továbbiakban mindenütt a (19,5) definíciót használjuk.

A térbeli elforgatások alcsoportjára, mint tudjuk, és ηα̇ egyformán transzformálódik. Az ezekből képezett

3.35. egyenlet - (19,6)

ξ^{α} \pm η_{\dot{α}}

mennyiségek tükrözés esetén (19,1) szerint transzformálódnak, P=±i -vel. A fenti kombinációk azonban nem minden Lorentz-transzformációval szemben viselkednek spinorként.

Így ahhoz, hogy a térbeli tükrözést is belevegyük a szimmetriacsoportba, egy (ξα,ηα̇) spinorpárt kell egyidejűleg tekintenünk; ezt (elsőrendű) bispinornak nevezzük. A bispinor négy komponense a kiterjesztett Lorentz-csoport egy irreducibilis ábrázolását valósítja meg.

Két bispinor, (ξα,ηα̇) és (Ξα,Hα̇) skalárszorzatát kétféle módon képezhetjük. A

3.36. egyenlet - (19,7)

ξ^{α} Ξ_{α} + η_{\dot{α}} H^{\dot{α}}

mennyiség tükrözés esetén nem változik, tehát valódi skalár. A

3.37. egyenlet - (19,8)

ξ^{α} Ξ_{α} - η_{\dot{α}} H^{\dot{α}}

mennyiség, szintén invariáns a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásával szemben, de tükrözéskor előjelet vált; más szóval pszeudoskalár.

A másodrendű ζαβ̇ spinort is kétféleképpen definiálhatjuk. Ha a

3.38. egyenlet - (19,9)

ζ^{α \dot{β}} \sim ξ^{α} H^{\dot{β}} + Ξ^{α} η^{\dot{β}}

transzformációs képlettel definiáljuk, akkor tükrözés esetén

3.39. egyenlet - (19,10)

ζ^{α \dot{β}} \to ζ_{\dot{α} β} .

Ekkor az négyesvektor, amely ezzel a spinorral ekvivalens [a (18,1) képleteknek megfelelően], (a0,a)→(a0,–a) szerint transzformálódik, azaz valódi négyesvektor (a háromdimenziós vektor poláris vektor).

Definiálhatjuk azonban ζαβ̇ -ot a következő módon is:

3.40. egyenlet - (19,11)

ζ^{α \dot{β}} \sim ξ^{α} H^{\dot{β}} - Ξ^{α} η^{\dot{β}} .

Ekkor^[61]

3.41. egyenlet - (19,12)

ζ^{α \dot{β}} \to - ζ_{\dot{α} β} .

Egy ilyen spinornak megfelelő négyesvektor (a0,a)→(–a0,a) szerint transzformálódik, azaz négyespszeudovektor (a háromdimenziós pedig axiális vektor).

Egyforma típusú indexekkel rendelkező másodrendű szimmetrikus spinorok definíciója a következő:

3.42. egyenlet - (19,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} ξ^{α β} & \sim ξ^{α} Ξ^{β} + ξ^{β} Ξ^{α}, \\ η_{\dot{α} \dot{β}} & \sim η_{\dot{α}} H_{\dot{β}} + η_{\dot{β}} H_{\dot{α}} . \end{aligned} & (19,13) \end{matrix}

Ezek tükrözés esetén egymásba mennek át:

3.43. egyenlet - (19,14)

ξ^{α β} \to - η_{\dot{α} \dot{β}} .

A (ξαβ,ηα̇β̇) pár másodrendű bispinort alkot. Független komponenseinek száma 3+3=6 . Ugyanennyi független komponense van az aμν másodrendű antiszimmetrikus tenzornak is. Ezért a kettő között valamilyen kapcsolat áll fenn (a kiterjesztett Lorentz-csoport ekvivalens irreducibilis ábrázolásait valósítják meg).

Mivel a saját Lorentz-csoportra nézve ξαβ és ηα̇β̇ függetlenül transzformálódik, ezért az aμν négyestenzor komponenseiből két olyan több komponensű mennyiséget állíthatunk össze, amelyek egymástól függetlenül transzformálódnak a négydimenziós koordináta-rendszer tetszőleges elforgatása esetén. Ez a felbontás a következő módon valósítható meg.

Vezessük be a háromdimenziós poláris vektort és a háromdimenziós axiális vektort, amelyeknek az aμν négyestenzor komponenseivel való kapcsolata:

3.44. egyenlet - (19,15)

a^{μ ν} = (\begin{matrix} 0 & p_{x} & p_{y} & p_{z} \\ - p_{x} & 0 & - a_{z} & a^{y} \\ - p_{y} & a_{z} & 0 & - a_{x} \\ - p_{z} & - a_{y} & a_{x} & 0 \end{matrix}) \equiv (p, a)

[a (p,a) kifejezést a fenti tenzor rövid jelölésére fogjuk használni]. Ugyanakkor aμν=(–p,a) , és az

mennyiségek közül az első skalár, a második pszeudoskalár; a saját Lorentz-csoportra nézve mindkettő invariáns. Velük együtt az f±=p±ia háromdimenziós vektorok hossza is invariáns. Ez azt jelenti, hogy bármely elforgatás a négydimenziós térben az vektorokra ekvivalens egy háromdimenziós, általában véve komplex szögekkel való „elforgatással” (a négydimenziós koordináta-rendszer hat elforgatási szögének a háromdimenziós tér három komplex „elforgatási szöge” felel meg). A térbeli tükrözés előjelét megváltoztatja, -ét nem, így az és a –f– vektorokat egymásba viszi át. E vektorok komponensei alkotják az aμν tenzor komponenseinek két keresett csoportját.

Így nyilvánvalóvá válik az aμν négyestenzor és a ξαβ , ηα̇β̇ spinorok kapcsolata is. Mivel a térbeli forgáscsoport a Lorentz-csoport részcsoportja, a spinor és a háromdimenziós vektor komponenseinek kapcsolata szükségszerűen ugyanaz, mint háromdimenziós spinorok esetén:

3.45. egyenlet - (19,16)

\begin{aligned} f_{x}^{+} & = \frac{1}{2} (ξ^{22} - ξ^{11}), & f_{y}^{+} & = \frac{i}{2} (ξ^{22} + ξ^{11}), & f_{z}^{+} & = ξ^{12}; \\ f_{x}^{-} & = \frac{1}{2} (η_{\dot{2} \dot{2}} - η_{\dot{1} \dot{1}}), & f_{y}^{-} & = \frac{i}{2} (η_{\dot{2} \dot{2}} + η_{\dot{1} \dot{1}}), & f_{z}^{-} & = η_{\dot{1} \dot{2}} . \end{aligned}

Feladat

Határozzuk meg a páros rendű spinorok és négyestenzorok közti általános összefüggést.

Megoldás. Minden spinor, ahol k+l páros, a kiterjesztett Lorentz-csoport egyértékű, irreducibilis ábrázolását valósítja meg, csakúgy mint a négyestenzorok, ezért ekvivalensek egymással.^[62]

Egy (k,k) rendű spinor tükrözéskor

3.46. egyenlet - (1)

ζ^{α β \dots \dot{γ} \dot{δ} \dots} \to \pm ζ_{\dot{α} \dot{β} \dots γ δ \dots}

szerint transzformálódik. Az ilyen spinor egy teljesen szimmetrikus, irreducibilis,-adrendű négyestenzorral ekvivalens – az (19f,1)-ben szereplő előjeltől függően valódi vagy pszeudotenzorral.

A (k,l) és (l,k) rendű spinorok, amelyek bispinort alkotnak, tükrözéskor a következőképpen transzformálódnak:

3.47. egyenlet - (2)

ζ^{\overset{k}{\overset{︷}{α β \dots}} \overset{l}{\overset{︷}{\dot{γ} \dot{δ} \dots}}} \to {(- 1)}^{\frac{k - l}{2}} χ_{\underset{k}{\underset{︸}{\dot{α} \dot{β} \dots}} \underset{l}{\underset{︸}{γ δ \dots}}} .

Ha l=k+2 , akkor a bispinor ekvivalens az a[μν]ϱσ… irreducibilis, k+2 rendű négyestenzorral, amely [μν] indexeiben antiszimmetrikus, a többiben pedig szimmetrikus. E tenzor irreducibilitása azt jelenti, hogy bármely indexpárjábanösszeejtve nullát ad, és ugyancsak nullát kapunk, ha bármely három indexe szerinti duálisát képezzük (azaz eλμνϱa[μν]ϱσ…=0 ); ez utóbbi egyenlőség azt jelenti, hogy a és egy (tetszőleges) harmadik index szerinti ciklikus összeg eltűnik.

Ha l=k+4 , a bispinor ekvivalens egy irreducibilis, k+4 rendű a[λμ][νϱ]στ… négyestenzorral, amely a következő tulajdonságú: antiszimmetrikus a [λμ] és [νϱ] indexekben, és szimmetrikus az összes többiben, szimmetrikus a [λμ] és [νϱ] indexpárok felcserélésére, nullát ad, ha bármely indexpárjában összeejtjük, és ha bármely indexhármasa szerinti duálisát képezzük.

Általában, ha l=k+2n , a bispinor ekvivalens egy k+2n rendű irreducibilis négyestenzorral, amely indexpárjában antiszimmetrikus, a többi indexében pedig szimmetrikus.^[63]

^[60] A (19,4) definíció bizonyos értelemben feltételes. Ez a és ηα̇ mennyiségek függetlenségével kapcsolatos. Így ηα̇ helyett új spinort bevezetve: ηα̇′=eiδηα̇ , (19,4) helyett vele ekvivalens definíciót kapunk: ξα→e–iδηα̇′, ηα̇′→eiδξα .

^[61] Hangsúlyozzuk, hogy a (19,10) és (19,12) transzformációs képletek, amelyeknek jobb oldalai előjelben különböznek, egyáltalán nem ekvivalensek, mivel mindkét oldalon ugyanannak a spinornak a komponensei szerepelnek (lásd a III. fejezet 4. lábjegyzetét).

^[62] Páratlan rendű spinorok a csoport kétértékű ábrázolásait valósítják meg: 360∘ -kal való térbeli elforgatás megváltoztatja a spinorok előjelét, igy a csoport tetszőleges eleméhez két, ellenkező előjelű mátrix tartozik.

^[63] Olyan négyestenzorok, amelyek több (három, négy stb.) indexükben antiszimmetrikusak, ebben a rendszerezésben egyszerű oknál fogva nem jelennek meg: egy harmadrendű antiszimmetrikus tenzor ekvivalens (duális) egy pszeudovektorral, negyedrendű antiszimmetrikus tenzor visszavezethető egy skalárra (arányos az eλμνϱ egység-pszeudotenzorral); több indexében antiszimmetrikus tenzor pedig a négydimenziós térben egyáltalán nem lehetséges.