Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Egy spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy kétkomponensű mennyiséggel
– egy háromdimenziós spinorral írhatunk le. „Négydimenziós eredetét” tekintve, ez lehet
pontozott vagy pontozatlan négyesspinor. Ha a részecskét tetszőleges
koordináta-rendszerben akarjuk leírni, mind a két négyesspinort használnunk kell;
-val és
-tal jelöljük őket.[64]
Szabad részecske esetén a hullámegyenletben szereplő egyetlen operátor (amint ezt már
a 10. §-ban megjegyeztük) csak a négyesimpulzus
operátora lehet. Spinorjelölésekben
ennek a négyesvektornak a
operátorspinor felel meg:
A hullámegyenlet a operátor segítségével létrehozott lineáris differenciális kapcsolat a
spinorok komponensei közt. A relativisztikus invariancia követelménye csak a következő
egyenletrendszert engedi meg:
ahol dimenzióval rendelkezőállandó. Különböző
és
állandók bevezetése (vagy
előjelének megváltoztatása) értelmetlen lenne, mert
és
megfelelőátdefiniálásával az eredeti alakra hozhatnánk az egyenletet.
Küszöböljük ki a (20,2) egyenletekből az egyik
spinort úgy, hogy a második egyenletből -ot az elsőbe helyettesítjük:
Viszont (18,4) szerint
, így
ahonnan látható, hogy a részecske tömege.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a tömeg bevezetése a hullámegyenletbe megköveteli a
két spinor ( és
) egyidejű jelenlétét; csupán egyikük segítségével nem írhatunk fel
dimenziós paramétert tartalmazó relativisztikusan invariáns egyenletet. Így a
hullámegyenlet automatikusan tükrözésinvariáns, ha a hullámfüggvény transzformációját
szerint definiáljuk. Könnyen látható, hogy ilyen helyettesítéssel [és
egyidejűleg a helyettesítéssel, amint ez a (20,1)
képletekből látható](20,2) két egyenlete egymásba megy
át. Két spinor, amely tükrözéskor egymásba megy át, egy négykomponensű mennyiséget –
bispinort – alkot.
A (20,2) relativisztikus hullámegyenletet Dirac-egyenletnek nevezzük (Dirac állította fel 1928-ban). Az egyenlet további vizsgálatának és felhasználásának céljából nézzük meg azokat a különböző alakokat, amelyekben az egyenlet felírható.
A (18,6) képletek segítségével a (20,2) egyenleteket
alakra hozzuk. Itt a és
szimbólumok kétkomponensű mennyiségeket – spinorokat –
jelölnek:
(az első felső, a második alsó indexekkel); egy mátrix és egy tetszőleges kétkomponensű
mennyiség szorzatát közönséges mátrixszorzatkéntértelmezzük:
függőleges oszlopba írása annak felel meg, hogy
mindegyik sorát az
oszloppal szorozzuk meg.
A további hivatkozások megkönnyítésére még egyszer leírjuk a Pauli-mátrixokat:
és emlékeztetünk alapvető tulajdonságaikra:
(l. III. 55. §).
Írjuk le azt a hullámegyenletet is, amelynek a komplex konjugált hullámfüggvény tesz eleget. Ez utóbbit a
spinorok alkotják. Mivel mindegyik operátor
szorzótényezőt tartalmaz, így
. A (20,5) egyenletek komplex
konjugálásakor figyelembe kell venni, hogy a
mátrixok hermitikus volta (
) miatt
és így az egyenletek a következők:
Ebben az írásmódban a operátort úgy értelmezzük, hogy a tőle balra álló függvényre hat. A
és
spinorokat vízszintes sorba írtuk – ez felel meg a fenti egyenletekben
a mátrixszorzásnak: az
sort a
mátrix oszlopaival szorozzukössze:
Tükrözéskor és
transzformációját a (20,4) művelet
komplex konjugáltjával definiáljuk:
[64] Háromdimenziós elsőrendű spinor olyan magasabb páratlan rendű négyesspinorokból is „eredhet”, amelyek a részecske nyugalmi rendszerében egy vagy több indexpárban antiszimmetrikussá válnak. Ez azonban magasabb rendű egyenletekre vezetne (lásd a II. fejezet 3. lábjegyzetét).