ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

20.§. A Dirac-egyenlet spinorreprezentációban

Egy 1∕2 spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy kétkomponensű mennyiséggel – egy háromdimenziós spinorral írhatunk le. „Négydimenziós eredetét” tekintve, ez lehet pontozott vagy pontozatlan négyesspinor. Ha a részecskét tetszőleges koordináta-rendszerben akarjuk leírni, mind a két négyesspinort használnunk kell; -val és ηα̇ -tal jelöljük őket.^[64]

Szabad részecske esetén a hullámegyenletben szereplő egyetlen operátor (amint ezt már a 10. §-ban megjegyeztük) csak a négyesimpulzus pμ=i∂μ operátora lehet. Spinorjelölésekben ennek a négyesvektornak a pαβ̇ operátorspinor felel meg:

3.48. egyenlet - (20,1)

\begin{aligned} p^{1 \dot{1}} & = p_{2 \dot{2}} = p_{z} + p_{0}, & p^{2 \dot{2}} & = p_{1 \dot{1}} = p_{0} - p_{z}, \\ p^{1 \dot{2}} & = - p_{2 \dot{1}} = p_{x} + i p_{y}, & p^{1 \dot{2}} & = - p_{2 \dot{1}} = p_{x} - i p_{y} . \end{aligned}

A hullámegyenlet a pαβ̇ operátor segítségével létrehozott lineáris differenciális kapcsolat a spinorok komponensei közt. A relativisztikus invariancia követelménye csak a következő egyenletrendszert engedi meg:

3.49. egyenlet - (20,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} p^{α \dot{β}} η_{\dot{β}} & = m ξ^{α}, \\ p_{\dot{β} α} ξ^{α} & = m η_{\dot{β}}, \end{aligned} & (20,2) \end{matrix}

ahol dimenzióval rendelkezőállandó. Különbözőés állandók bevezetése (vagy előjelének megváltoztatása) értelmetlen lenne, mert és ηα̇ megfelelőátdefiniálásával az eredeti alakra hozhatnánk az egyenletet.

Küszöböljük ki a (20,2) egyenletekből az egyik spinort úgy, hogy a második egyenletből ηβ̇ -ot az elsőbe helyettesítjük:

Viszont (18,4) szerint pαβ̇pγβ̇=p2δαγ , így

3.50. egyenlet - (20,3)

(p^{2} - m^{2}) ξ^{γ} = 0,

ahonnan látható, hogy a részecske tömege.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a tömeg bevezetése a hullámegyenletbe megköveteli a két spinor ( és ηα̇ ) egyidejű jelenlétét; csupán egyikük segítségével nem írhatunk fel dimenziós paramétert tartalmazó relativisztikusan invariáns egyenletet. Így a hullámegyenlet automatikusan tükrözésinvariáns, ha a hullámfüggvény transzformációját

3.51. egyenlet - (20,4)

P : ξ^{α} \to i η_{\dot{α}}, η_{\dot{α}} \to i ξ^{α}

szerint definiáljuk. Könnyen látható, hogy ilyen helyettesítéssel [és egyidejűleg a pα̇β→pαβ̇ helyettesítéssel, amint ez a (20,1) képletekből látható](20,2) két egyenlete egymásba megy át. Két spinor, amely tükrözéskor egymásba megy át, egy négykomponensű mennyiséget – bispinort – alkot.

A (20,2) relativisztikus hullámegyenletet Dirac-egyenletnek nevezzük (Dirac állította fel 1928-ban). Az egyenlet további vizsgálatának és felhasználásának céljából nézzük meg azokat a különböző alakokat, amelyekben az egyenlet felírható.

A (18,6) képletek segítségével a (20,2) egyenleteket

3.52. egyenlet - (20,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} (p_{0} + p σ) η & = m ξ, \\ (p_{0} + p σ) ξ & = m η \end{aligned} & (20,5) \end{matrix}

alakra hozzuk. Itt a és szimbólumok kétkomponensű mennyiségeket – spinorokat – jelölnek:

3.53. egyenlet - (20,6)

ξ = (\begin{matrix} ξ^{1} \\ ξ^{2} \end{matrix}), η = (\begin{matrix} η_{\dot{1}} \\ η_{\dot{2}} \end{matrix})

(az első felső, a második alsó indexekkel); egy mátrix és egy tetszőleges kétkomponensű mennyiség szorzatát közönséges mátrixszorzatkéntértelmezzük:

3.54. egyenlet - (20,7)

{(σ f)}_{α} = σ_{α β} f_{β} .

függőleges oszlopba írása annak felel meg, hogy mindegyik sorát az oszloppal szorozzuk meg.

A további hivatkozások megkönnyítésére még egyszer leírjuk a Pauli-mátrixokat:

3.55. egyenlet - (20,8)

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}),

és emlékeztetünk alapvető tulajdonságaikra:

3.56. egyenlet - (20,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} σ_{i} σ_{k} + σ_{k} σ_{i} = 2 δ_{i k}, \\ σ_{i} σ_{k} = i e_{i k l} σ_{l} + δ_{i k} \end{aligned} & (20,9) \end{matrix}

(l. III. 55. §).

Írjuk le azt a hullámegyenletet is, amelynek a komplex konjugált hullámfüggvény tesz eleget. Ez utóbbit a

3.57. egyenlet - (20,10)

ξ^{*} = (ξ^{1 *}, ξ^{2 *}), η^{*} = (η_{\dot{1}}^{*}, η_{\dot{2}}^{*})

spinorok alkotják. Mivel mindegyik operátor szorzótényezőt tartalmaz, így pμ∗=–pμ . A (20,5) egyenletek komplex konjugálásakor figyelembe kell venni, hogy a mátrixok hermitikus volta ( σ∗=σ̃ ) miatt

és így az egyenletek a következők:

3.58. egyenlet - (20,11)

\begin{matrix} \begin{aligned} η^{*} (p_{0} + p σ) = - m ξ^{*}, \\ ξ^{*} (p_{0} + p σ) = - m η^{*} . \end{aligned} & (20,11) \end{matrix}

Ebben az írásmódban a operátort úgy értelmezzük, hogy a tőle balra álló függvényre hat. A és spinorokat vízszintes sorba írtuk – ez felel meg a fenti egyenletekben a mátrixszorzásnak: az sort a mátrix oszlopaival szorozzukössze:

3.59. egyenlet - (20,12)

{(f^{*} σ)}_{α} = f_{β}^{*} σ_{β α} .

Tükrözéskor és transzformációját a (20,4) művelet komplex konjugáltjával definiáljuk:

3.60. egyenlet - (20,13)

P : ξ^{α *} \to - i η_{\dot{α}}^{*}, η_{\dot{α}}^{*} \to - i ξ^{α *} .

^[64] Háromdimenziós elsőrendű spinor olyan magasabb páratlan rendű négyesspinorokból is „eredhet”, amelyek a részecske nyugalmi rendszerében egy vagy több indexpárban antiszimmetrikussá válnak. Ez azonban magasabb rendű egyenletekre vezetne (lásd a II. fejezet 3. lábjegyzetét).