Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A Dirac-egyenlet legtermészetesebb alakja a spinoralak abban az értelemben, hogy ez szemmel láthatóan relativisztikusan invariáns. A különböző alkalmazásokban azonban néha a hullámegyenlet más alakjait kényelmesebb használni. Ezeket a hullámfüggvény négy független komponensének más választásával kapjuk.
A négykomponensű hullámfüggvényt -vel fogjuk jelölni (a négy komponens
). Spinorreprezentációban ez bispinor:
Ugyanolyan joggal a és
spinorok komponenseinek tetszőleges független lineáris kombinációit is
választhatjuk
komponenseiként.[65] A megengedett lineáris átalakításokat csak az unitaritás követelményével
korlátozzuk; az ilyen transzformációk nem változtatják meg a
és
segítségével képezett bilineáris kifejezéseket (28. §).
A komponensek tetszőleges választása esetén a Dirac-egyenletet
alakban írhatjuk, ahol -es mátrixokat jelöl (Dirac-mátrixok ). Ezt az egyenletet általában
szimbolikus alakban fogjuk felírni, a mátrixindexeket elhagyva:
ahol
Így a (21,1) spinoralakban felírt egyenletnek a
mátrixok felelnek meg.[66] Ez könnyen látható, ha a (20,5)
egyenleteket
alakban írjuk, és összehasonlítjuk (21,2)-vel.
Általános esetben a mátrixoknak csak a
egyenlőségből következő feltételeket kell kielégíteniük. Ezek
meghatározása céljából szorozzuk meg a (21,2)
egyenletet balról
-vel. Ekkor
Mivel szimmetrikus tenzor (a
operátorok kommutálnak egymással), ezt az egyenlőséget
alakban is írhatjuk, ahonnan látható, hogy a
feltételnek kell teljesülnie. Tehát bármely két különböző mátrix antikommutál egymással, négyzeteik pedig a
egyenlőségeknek tesznek eleget.
komponenseinek tetszőleges unitér transzformációja esetén (
, ahol
egy
-es unitér mátrix) a
mátrixok
szerint transzformálódnak [tehát a egyenlet a
egyenletbe megy át]. A (21,4)
felcserélési relációk természetesen változatlanok maradnak.
A (21,3)-beli mátrix hermitikus , a
mátrixok antihermitikusak . Ezek
a tulajdonságaik tetszőleges unitér transzformáció esetén megmaradnak, így mindig igaz,
hogy:[67]
Írjuk fel a komplex konjugált függvényre vonatkozó egyenletet is. A (21,2) egyenletet komplex konjugálva és a (21,7) tulajdonságokat felhasználva a
egyenletet kapjuk. Itt -ot a többi tényezőn átemelhetjük a
egyenlőség alapján. Ezután szorozzuk be az egyenletet jobbról
-lal, és felhasználva, hogy
, valamint egy új bispinort bevezetve:
a következő egyenletre jutunk:
Akárcsak (20,11)-ben, a operátor a tőle balra álló függvényre hat. A
függvényt a
függvény Dirac-konjugáltjának (vagy relativisztikus konjugáltjának) nevezik. A definíciójában szereplő
szorzóértelme az, hogy (spinorreprezentációban) felcseréli a
és
spinorokat, és így
-ban az első helyen (akárcsak
)-ben) a pontozatlan, a második helyen a pontozott spinor áll. Ez az
oka annak, hogy
természetesebb „társa”
-nek, mint
, mikor pl. együtt fordulnak elő különböző bilineáris kifejezésekben
(l. a 28. §-t).
A hullámfüggvény transzformációja tükrözés esetén
A spinorreprezentációjában a
mátrix a
és
komponenseket felcseréli, amint annak tükrözéskor lennie kell. A
Dirac-egyenlet invarianciája a (21,10)
transzformációval szemben általános esetben is nyilvánvaló: a (21,2) egyenletben a
helyettesítésekkel
Ezt az egyenletet balról -lal megszorozva, továbbá
és
antikommutativitását felhasználva, visszakapjuk az eredeti
egyenletet.
Szorozzuk meg a egyenletet balról
-sal, a
egyenletet jobbról
-vel, és adjuk össze őket:
ahol a zárójelek arra utalnak, hogy a operátor melyik függvényre hat. A kapott egyenlőség a
kontinuitási egyenlettel azonos alakú, így a
mennyiség a részecskék áramsűrűségének négyesvektora. Megjegyezzük, hogy
időkomponense, pozitív definit.
A Dirac-egyenlet felírható az idő szerinti deriváltra megoldott alakban:
ahol a részecske Hamilton-operátora .[68] Ehhez elegendő a (21,2) egyenletet balról
-lal megszorozni. A Hamilton-operátor:
ahol az általánosan elfogadott jelöléseket használjuk:
tehát az ,
mátrixok mind antikommutálnak egymással, mindegyik négyzete
,és mind hermitikusak. Spinorreprezentációban
Kis sebességek határesetében a részecskének leírhatónak kell lennie –
akárcsak a nemrelativisztikus elméletben – egyetlen kétkomponensű spinor segítségével.
Valóban, a (20,5) egyenletekben a határátmenetet elvégezve, azt találjuk, hogy
, azaz a bispinort alkotó két spinor egybeesik. A Dirac-egyenlet
spinoralakban való felírásának éppen ez a hiányossága: határátmenet
esetén
-nek mind a négy komponense nullától különböző marad, bár csak kettő
független. Kényelmesebb a
hullámfüggvényt olyan reprezentációban megadni, amelyben határátmenet
esetén két komponense nullává válik.
Ennek megfelelően vezessük be és és
helyett lineáris kombinációikat, a
és
mennyiségeket:
Ekkor nyugvó részecskére . A
hullámfüggvénynek ezt az előállításátstandard
reprezentációnak nevezik. Tükrözéskor
és
önmagukba transzformálódnak:
A -re és
-re vonatkozó egyenleteket megkaphatjuk, ha a (20,5) egyenleteket összeadjuk és kivonjuk:
Innen látszik, hogy a standard reprezentációnak a
mátrixok felelnek meg.
Mivel (21,17)-ben és
első és második komponensei külön-külön adódnak össze, így a standard
reprezentációban – akárcsak a spinorreprezentációban – a
és
komponensek a spinvetület
,
és
pedig
sajátértékéhez tartoznak.
Tehát mindkét reprezentációban az mátrix, ahol
a spin háromdimenziós operátorát jelenti. Ha az operátorral egy, csak
és
vagy csak
és
komponenseket tartalmazó bispinorra hatunk, a bispinor
-del vagy
-del szorzódik. Ez a mátrix tetszőleges reprezentációban
alakban írható [a mátrix definícióját lást alább, (22,14)].
1. Határozzuk meg a hullámfüggvény transzformációját infinitezimális Lorentz-transzformáció és infinitezimális térbeli elforgatás esetén.
Megoldás. Spinorreprezentációban infinitezimális Lorentz-transzformáció esetén
[lásd (18,8), (18,8a), (18,10)]. A két képletet
alakban egyesíthetjük. Infinitezimális
elforgatás esetén hasonló módon adódik, hogy
A transzformációs képleteknek ugyanez az alakja
tetszőleges reprezentációban, ha az és
mátrixokat ugyanabban a reprezentációban írjuk fel.
Könnyű belátni, hogy az és
mátrixok egy antiszimmetrikus „mátrix négyestenzor” komponenseiként
tekinthetők:
[a komponenseket a (19,15)
szabály szerint értelmezzük]. Vezessük be továbbá a infinitezimális antiszimmetrikus tenzort. Ekkor
és az (21,1f), (21,2f) képleteket az alábbi egységes alakban írhatjuk:
2. Írjuk fel a Dirac-egyenletet olyan reprezentációban, hogy ne tartalmazzon képzetes együtthatókat (E. Majorana , 1937).
Megoldás. Standard reprezentációban a
egyenletben csak az és
mátrixok képzetesek. A képzetes mátrixokat eltüntethetjük, ha olyan
transzformációt hajtunk végre, amely a képzetes
és a valós
mátrixot felcseréli. Ehhez legyen
Ekkor
és a Dirac-egyenlet a
alakot veszi fel, ahol az összes együttható valós.