ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

21.§. A Dirac-egyenlet szimmetrikus alakja

A Dirac-egyenlet legtermészetesebb alakja a spinoralak abban az értelemben, hogy ez szemmel láthatóan relativisztikusan invariáns. A különböző alkalmazásokban azonban néha a hullámegyenlet más alakjait kényelmesebb használni. Ezeket a hullámfüggvény négy független komponensének más választásával kapjuk.

A négykomponensű hullámfüggvényt -vel fogjuk jelölni (a négy komponens ψi, i=1,2,3,4 ). Spinorreprezentációban ez bispinor:

3.61. egyenlet - (21,1)

ψ = (\begin{matrix} ξ \\ η \end{matrix}) .

Ugyanolyan joggal a és spinorok komponenseinek tetszőleges független lineáris kombinációit is választhatjuk komponenseiként.^[65] A megengedett lineáris átalakításokat csak az unitaritás követelményével korlátozzuk; az ilyen transzformációk nem változtatják meg a és segítségével képezett bilineáris kifejezéseket (28. §).

A komponensek tetszőleges választása esetén a Dirac-egyenletet

alakban írhatjuk, ahol γμ (μ=0,1,2,3) 4×4 -es mátrixokat jelöl (Dirac-mátrixok ). Ezt az egyenletet általában szimbolikus alakban fogjuk felírni, a mátrixindexeket elhagyva:

3.62. egyenlet - (21,2)

(γ p - m) ψ = 0,

ahol

γp≡γμpμ=p0γ0–pγ=iγ0(∂/∂t)+iγ∇, γ=(γ1,γ2,γ3).

Így a (21,1) spinoralakban felírt egyenletnek a

3.63. egyenlet - (21,3)

γ^{0} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), γ = (\begin{matrix} 0 & - σ \\ σ & 0 \end{matrix})

mátrixok felelnek meg.^[66] Ez könnyen látható, ha a (20,5) egyenleteket

alakban írjuk, és összehasonlítjuk (21,2)-vel.

Általános esetben a mátrixoknak csak a p2=m2 egyenlőségből következő feltételeket kell kielégíteniük. Ezek meghatározása céljából szorozzuk meg a (21,2) egyenletet balról -vel. Ekkor

Mivel pμpν szimmetrikus tenzor (a operátorok kommutálnak egymással), ezt az egyenlőséget

alakban is írhatjuk, ahonnan látható, hogy a

3.64. egyenlet - (21,4)

γ^{μ} γ^{ν} + γ^{ν} γ^{μ} = 2 g^{μ ν}

feltételnek kell teljesülnie. Tehát bármely két különböző mátrix antikommutál egymással, négyzeteik pedig a

3.65. egyenlet - (21,5)

{(γ^{1})}^{2} = {(γ^{2})}^{2} = {(γ^{3})}^{2} = - 1, {(γ^{0})}^{2} = 1

egyenlőségeknek tesznek eleget.

komponenseinek tetszőleges unitér transzformációja esetén ( ψ′=Uψ , ahol egy 4×4 -es unitér mátrix) a mátrixok

3.66. egyenlet - (21,6)

γ^{'} = U γ U^{- 1} = U γ U^{+}

szerint transzformálódnak [tehát a (γp–m)ψ=0 egyenlet a (γ′p–m)ψ′=0 egyenletbe megy át]. A (21,4) felcserélési relációk természetesen változatlanok maradnak.

A (21,3)-beli mátrix hermitikus , a mátrixok antihermitikusak . Ezek a tulajdonságaik tetszőleges unitér transzformáció esetén megmaradnak, így mindig igaz, hogy:^[67]

3.67. egyenlet - (21,7)

γ^{+} = - γ, γ^{0 +} = γ^{0} .

Írjuk fel a komplex konjugált függvényre vonatkozó egyenletet is. A (21,2) egyenletet komplex konjugálva és a (21,7) tulajdonságokat felhasználva a

egyenletet kapjuk. Itt -ot a többi tényezőn átemelhetjük a γ̃μψ∗=ψ∗γμ egyenlőség alapján. Ezután szorozzuk be az egyenletet jobbról -lal, és felhasználva, hogy γγ0=–γ0γ , valamint egy új bispinort bevezetve:

3.68. egyenlet - (21,8)

\bar{ψ} = ψ^{*} γ^{0}, ψ^{*} = \bar{ψ} γ^{0},

a következő egyenletre jutunk:

3.69. egyenlet - (21,9)

\bar{ψ} (γ p + m) = 0 .

Akárcsak (20,11)-ben, a operátor a tőle balra álló függvényre hat. A függvényt a függvény Dirac-konjugáltjának (vagy relativisztikus konjugáltjának) nevezik. A definíciójában szereplő szorzóértelme az, hogy (spinorreprezentációban) felcseréli a és spinorokat, és így ψ̄=(η∗,ξ∗) -ban az első helyen (akárcsak )-ben) a pontozatlan, a második helyen a pontozott spinor áll. Ez az oka annak, hogy természetesebb „társa”-nek, mint , mikor pl. együtt fordulnak elő különböző bilineáris kifejezésekben (l. a 28. §-t).

A hullámfüggvény transzformációja tükrözés esetén

3.70. egyenlet - (21,10)

P : ψ \to i γ^{0} ψ, \bar{ψ} \to - i \bar{ψ} γ^{0} .

A spinorreprezentációjában a mátrix a és komponenseket felcseréli, amint annak tükrözéskor lennie kell. A Dirac-egyenlet invarianciája a (21,10) transzformációval szemben általános esetben is nyilvánvaló: a (21,2) egyenletben a p→–p, ψ→iγ0ψ helyettesítésekkel

Ezt az egyenletet balról -lal megszorozva, továbbá és antikommutativitását felhasználva, visszakapjuk az eredeti egyenletet.

Szorozzuk meg a (γp–m)ψ=0 egyenletet balról -sal, a ψ̄(γp+m)=0 egyenletet jobbról -vel, és adjuk össze őket:

ahol a zárójelek arra utalnak, hogy a operátor melyik függvényre hat. A kapott egyenlőség a ∂μjμ=0 kontinuitási egyenlettel azonos alakú, így a

3.71. egyenlet - (21,11)

j^{μ} = \bar{ψ} γ^{μ} ψ = (ψ^{*} ψ, ψ^{*} γ^{0} γ ψ)

mennyiség a részecskék áramsűrűségének négyesvektora. Megjegyezzük, hogy időkomponense, j0=ψ∗ψ pozitív definit.

A Dirac-egyenlet felírható az idő szerinti deriváltra megoldott alakban:

3.72. egyenlet - (21,12)

i \frac{\partial ψ}{\partial t} = H ψ,

ahol a részecske Hamilton-operátora .^[68] Ehhez elegendő a (21,2) egyenletet balról -lal megszorozni. A Hamilton-operátor:

3.73. egyenlet - (21,13)

H = α p + β m,

ahol az általánosan elfogadott jelöléseket használjuk:

3.74. egyenlet - (21,14)

α = γ^{0} γ, β = γ^{0} .

Megjegyezzük, hogy

3.75. egyenlet - (21,15)

α_{i} α_{k} + α_{k} α_{i} = 2 δ_{i k}, β α + α β = 0, β^{2} = 1,

tehát az , mátrixok mind antikommutálnak egymással, mindegyik négyzete ,és mind hermitikusak. Spinorreprezentációban

3.76. egyenlet - (21,16)

α = (\begin{matrix} σ & 0 \\ 0 & - σ \end{matrix}), β = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Kis sebességek határesetében a részecskének leírhatónak kell lennie – akárcsak a nemrelativisztikus elméletben – egyetlen kétkomponensű spinor segítségével. Valóban, a (20,5) egyenletekben a p→0, ε→m határátmenetet elvégezve, azt találjuk, hogy ξ=η , azaz a bispinort alkotó két spinor egybeesik. A Dirac-egyenlet spinoralakban való felírásának éppen ez a hiányossága: határátmenet esetén-nek mind a négy komponense nullától különböző marad, bár csak kettő független. Kényelmesebb a hullámfüggvényt olyan reprezentációban megadni, amelyben határátmenet esetén két komponense nullává válik.

Ennek megfelelően vezessük be és és helyett lineáris kombinációikat, a és mennyiségeket:

3.77. egyenlet - (21,17)

\begin{matrix} \begin{aligned} ψ = (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) & , \\ φ = \frac{1}{\sqrt{2}} (ξ + η), χ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (ξ - η) . \end{aligned} & (21,17) \end{matrix}

Ekkor nyugvó részecskére χ=0 . A hullámfüggvénynek ezt az előállításátstandard reprezentációnak nevezik. Tükrözéskor és önmagukba transzformálódnak:

3.78. egyenlet - (21,18)

P : φ \to i φ, χ \to - i χ .

A -re és -re vonatkozó egyenleteket megkaphatjuk, ha a (20,5) egyenleteket összeadjuk és kivonjuk:

3.79. egyenlet - (21,19)

\begin{matrix} \begin{aligned} p_{0} φ - p σ χ = m φ, \\ - p_{0} χ - p σ φ = m χ . \end{aligned} & (21,19) \end{matrix}

Innen látszik, hogy a standard reprezentációnak a

3.80. egyenlet - (21,20)

γ^{0} \equiv β = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), γ = (\begin{matrix} 0 & σ \\ - σ & 0 \end{matrix}), α = (\begin{matrix} 0 & σ \\ σ & 0 \end{matrix})

mátrixok felelnek meg.

Mivel (21,17)-ben és első és második komponensei külön-külön adódnak össze, így a standard reprezentációban – akárcsak a spinorreprezentációban – a és komponensek a spinvetület +1∕2 , és pedig –1∕2 sajátértékéhez tartoznak.

Tehát mindkét reprezentációban az (1/2)Σ mátrix, ahol

3.81. egyenlet - (21,21)

Σ = (\begin{matrix} σ & 0 \\ 0 & σ \end{matrix}),

a spin háromdimenziós operátorát jelenti. Ha az (1/2)Σz operátorral egy, csak és vagy csak és komponenseket tartalmazó bispinorra hatunk, a bispinor +1∕2 -del vagy –1∕2 -del szorzódik. Ez a mátrix tetszőleges reprezentációban

3.82. egyenlet - (21,22)

Σ = α γ^{5} = - \frac{i}{2} α \times α

alakban írható [a mátrix definícióját lást alább, (22,14)].

Feladatok

1. Határozzuk meg a hullámfüggvény transzformációját infinitezimális Lorentz-transzformáció és infinitezimális térbeli elforgatás esetén.

Megoldás. Spinorreprezentációban infinitezimális Lorentz-transzformáció esetén

[lásd (18,8), (18,8a), (18,10)]. A két képletet

3.83. egyenlet - (1)

ψ^{'} = (1 - \frac{1}{2} α δ V) ψ

alakban egyesíthetjük. Infinitezimális elforgatás esetén hasonló módon adódik, hogy

3.84. egyenlet - (2)

ψ^{'} = (1 - \frac{i}{2} Σ δ 𝜃) ψ .

A transzformációs képleteknek ugyanez az alakja tetszőleges reprezentációban, ha az és mátrixokat ugyanabban a reprezentációban írjuk fel.

Könnyű belátni, hogy az és mátrixok egy antiszimmetrikus „mátrix négyestenzor” komponenseiként tekinthetők:

[a komponenseket a (19,15) szabály szerint értelmezzük]. Vezessük be továbbá a δεμν=(δV,δ) infinitezimális antiszimmetrikus tenzort. Ekkor

és az (21,1f), (21,2f) képleteket az alábbi egységes alakban írhatjuk:

3.85. egyenlet - (3)

ψ^{'} = (1 + \frac{1}{4} σ^{μ ν} δ 𝜀_{μ ν}) ψ .

2. Írjuk fel a Dirac-egyenletet olyan reprezentációban, hogy ne tartalmazzon képzetes együtthatókat (E. Majorana , 1937).

Megoldás. Standard reprezentációban a

((∂/∂t)+αx(∂/∂x)+αy(∂/∂y)+αz(∂/∂z)+imβ)ψ=0

egyenletben csak az és mátrixok képzetesek. A képzetes mátrixokat eltüntethetjük, ha olyan ψ′=Uψ transzformációt hajtunk végre, amely a képzetes és a valós mátrixot felcseréli. Ehhez legyen

Ekkor

és a Dirac-egyenlet a

((∂/∂t)–αx(∂/∂x)+β(∂/∂y)–αz(∂/∂z)+imαy)ψ′=0

alakot veszi fel, ahol az összes együttható valós.

^[65] A négykomponensű mennyiséget a rövidség kedvéért bispinornak fogjuk nevezni nemspinor reprezentációkban is.

^[66] Itt és a továbbiakban a 4×4 -es mátrixokat röviden 2×2 -es mátrixok segítségével jelöljük: (21,3)-ban minden mátrixelem egy 2×2 -es mátrix.

^[67] Ezeket az egyenlőségeket γλ+=γ0γλγ0 (21,7a) alakban egyesíthetjük.

^[68] Zérus spinű részecskék esetén a hullámegyenlet nem írható fel ilyen alakban: a skalárra vonatkozó (10,5) egyenlet az idő szerint másodrendű, a (ψ,ψμ) ötkomponensű mennyiségre vonatkozó (10,4) lineáris egyenletrendszer pedig nem tartalmazza minden komponens idő szerinti deriváltját.