Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Egy spinű, meghatározott
impulzusmomentumú szabad részecske hullámfüggvénye egy
spinor-gömbhullám. Ahhoz, hogy ennek az alakját meghatározzuk, idézzük fel először a
nemrelativisztikus elmélet megfelelő képleteit.
A nemrelativisztikus hullámfüggvény egy háromdimenziós spinor. Ha egy részecske
energiája (és vele együtt
impulzusa),[74]
pálya-impulzusmomentuma,
teljes impulzusmomentuma és annak
vetülete adott, akkor hullámfüggvénye
alakú.*[75] Az szögfüggő rész háromdimenziós spinor, amelynek komponenseit (az adott
érték mellett lehetséges
-re) az
képletek adják meg (l. a III. 106. feladatát). -et gömbi spinornak fogjuk nevezni. Ezek úgy
vannak normálva, hogy kielégítsék az alábbi feltételt:
Az radiális függvény a spinor két komponensének közös szorzótényezője, és
a III. (33,10) képlet szerint[76]
A radiális függvények normálása:
Visszatérve a relativisztikus esetre, először is emlékeztetjük az olvasót
arra, hogy a spin és a pálya-impulzusmomentum külön-külön nem marad meg: az
és
operátorok nem cserélhetők fel a Hamilton-operátorral. Azonban az
előzőekhez hasonlóan (szabad részecskére) megmarad az állapot paritása. Ezért az
kvantumszám elveszti a pálya-impulzusmomentumra utaló jelentését, de
ez határozza meg (lásd alább) az állapot paritását.
Tekintsük a keresett hullámfüggvényt (bispinort) standard reprezentációban:
. Térbeli forgatásokkal szemben
és
háromdimenziós spinorként viselkedik. Ezért szögfüggésüket ugyanaz az
gömbi spinor adja meg. Legyen
, ahol
a
és
értékek valamelyike. Tükrözéskor
[l. (21,18)], és mivel
, azért
A komponensek tükrözéskor
szerint transzformálódnak. Hogy az állapot határozott paritású legyen
(tehát hogy komponensei tükrözéskor azonos tényezővel szorzódjanak), következésképpen az
szükséges, hogy
-ben az
gömbi spinor szerepeljen a másik
értékkel (a két lehetséges közül): mivel ezek
-gyel térnek el egymástól, így
.
és
radiális részei ugyancsak
és
lesznek (azzal az
és
értékkel, amely a megfelelő
gömbfüggvényben szerepel). Ez abból látható, hogy
mindegyik komponense eleget tesz a
másodrendű egyenletnek, amely adott
érték mellett
alakú, tehát formálisan megegyezik a szabad részecskére felírt nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettel .
ahol már csak az és
állandó együtthatókat kell meghatároznunk. Tekintsünk ezért olyan
távoli térrészt, ahol a gömbhullámot síkhullámnak vehetjük. A III. (33,12) aszimptotikus
képlet szerint
tehát két olyan síkhullám különbsége, amelyek a
irányban (
) terjednek. Mindkettőre fennáll (23,8) szerint, hogy
A fentiekből [(24,6) képletek]
nyilvánvaló, hogy , ahol
állandó. Ezt az állandót könnyen meg lehet határozni, ha
összehasonlítjuk az egyenlőség két oldalát
esetén, és amikor az
irány a
tengely irányával esik egybe. (7,2a) felhasználásával azt kapjuk, hogy
A fenti képletek és (24,6) alapján így
Végül az együtthatót
normálása határozza meg. Ha
-t az
feltétellel normáljuk, a következő végeredményt kapjuk:
Így adott és
(és
energia) mellett két állapot lehetséges, amelyek paritásukban
különböznek. Az utóbbit egyértelműen meghatározza az
szám, amely
értékeket vehet fel: tükrözéskor a (24,10) bispinor az
tényezővel szorzódik. Ugyanakkor a bispinor komponensei egyaránt
tartalmaznak
és
rendű gömbfüggvényeket – ez fejezi ki azt a tényt, hogy a
pálya-impulzusmomentumnak nincs meghatározott értéke.
Ha , akkor a tér kis részében a (24,7)
gömbhullámokat
impulzusú síkhullámoknak is tekinthetjük. Ezért nyilvánvaló, hogy
impulzusreprezentációban a hullámfüggvény lényegében csak abban tér el (24,10)-től, hogy hiányzik belőle a radiális rész, és az
vektort az impulzus irányaként értelmezzük.
Közvetlenül áttérhetünk az impulzusreprezentációra a Fourier-kifejtés segítségével:
Az integrál kiszámítható, ha felhasználjuk a síkhullám gömbhullámok szerinti
kifejtését [lásd a III. (34,3)
képletet]:
A (24,11)-ben szereplő tényezőt (24,12) alakban felírva és
a (24,5) feltételt figyelembe véve, a
függvény Fourier-komponenseire a
kifejezést kapjuk. Az itt szereplő integrál megegyezik a (24,2) gömbi spinorokban
található gömbfüggvények együtthatóival , és az
tényezővel együtt ismét ugyanazt a gömbi spinort alkotja, de ennek már
az argumentuma:
A fenti eredményt a (24,10) bispinor hullámfüggvényre alkalmazva, megkapjuk azt impulzusreprezentációban:
A állapotok megegyeznek a 16. §-ban
vizsgált
állapotokkal (ahol
): mindkettőhöz meghatározott
és paritás tartozik. Így az
gömbi spinorok meghatározott összefüggésben állnak a
függvényekkel (mindkettő argumentuma
). Ha
, a (24,13) hullámüggvényből
háromdimenziós spinor lesz, amelynek paritása
(ahol
a spinor „belső paritása” ). A
16. § eredményeivel való összehasonlításból a
következő képletet kapjuk:
( esetén), ahol
a (23,14) háromdimenziós spinorokat
jelöli.