ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

24.§. Gömbhullámok

Egy 1∕2 spinű, meghatározott impulzusmomentumú szabad részecske hullámfüggvénye egy spinor-gömbhullám. Ahhoz, hogy ennek az alakját meghatározzuk, idézzük fel először a nemrelativisztikus elmélet megfelelő képleteit.

A nemrelativisztikus hullámfüggvény egy háromdimenziós ψ=(ψ1 / ψ2) spinor. Ha egy részecske energiája (és vele együtt impulzusa),^[74] pálya-impulzusmomentuma, teljes impulzusmomentuma és annak vetülete adott, akkor hullámfüggvénye

3.123. egyenlet - (24,1)

ψ = R_{p l} (r) Ω_{j l m} (𝜃, φ)

alakú.*^[75] Az Ωjlm szögfüggő rész háromdimenziós spinor, amelynek komponenseit (az adott érték mellett lehetséges j=l±1∕2 -re) az

3.124. egyenlet - (24,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} Ω_{l + 1 ∕ 2, l, m} & = (\begin{matrix} \sqrt{\frac{j + m}{2 j}} Y_{l, m - 1 ∕ 2} \\ \sqrt{\frac{j - m}{2 j}} Y_{l, m + 1 ∕ 2} \end{matrix}), \\ Ω_{l - 1 ∕ 2, l, m} & = (\begin{matrix} - \sqrt{\frac{j - m + 1}{2 j + 2}} Y_{l, m - 1 ∕ 2} \\ \sqrt{\frac{j + m + 1}{2 j + 2}} Y_{l, m + 1 ∕ 2} \end{matrix}) \end{aligned} & (24,2) \end{matrix}

képletek adják meg (l. a III. 106. feladatát). Ωjlm -et gömbi spinornak fogjuk nevezni. Ezek úgy vannak normálva, hogy kielégítsék az alábbi feltételt:

3.125. egyenlet - (24,3)

\int Ω_{j l m}^{*} Ω_{j^{'} l^{'} m^{'}} d Ω = δ_{j j^{'}} δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}} .

Az Rpl radiális függvény a spinor két komponensének közös szorzótényezője, és a III. (33,10) képlet szerint^[76]

3.126. egyenlet - (24,4)

R_{p l} = \sqrt{\frac{p}{r}} J_{l + 1 ∕ 2} (p r) .

A radiális függvények normálása:

3.127. egyenlet - (24,5)

\int_{0}^{\infty} r^{2} R_{p^{'} l} R_{p l} d r = δ (p^{'} - p) .

Visszatérve a relativisztikus esetre, először is emlékeztetjük az olvasót arra, hogy a spin és a pálya-impulzusmomentum külön-külön nem marad meg: az és operátorok nem cserélhetők fel a Hamilton-operátorral. Azonban az előzőekhez hasonlóan (szabad részecskére) megmarad az állapot paritása. Ezért az kvantumszám elveszti a pálya-impulzusmomentumra utaló jelentését, de ez határozza meg (lásd alább) az állapot paritását.

Tekintsük a keresett hullámfüggvényt (bispinort) standard reprezentációban: ψ=(φ / χ) . Térbeli forgatásokkal szemben és háromdimenziós spinorként viselkedik. Ezért szögfüggésüket ugyanaz az Ωjlm gömbi spinor adja meg. Legyen φ∝Ωjlm , ahol a j+1∕2 és j–1∕2 értékek valamelyike. Tükrözéskor φ(r)→iφ(–r) [l. (21,18)], és mivel Ωjlm(–n)=(–1)lΩjlm(n) , azért

A komponensek tükrözéskor χ(r)→–iχ(r) szerint transzformálódnak. Hogy az állapot határozott paritású legyen (tehát hogy komponensei tükrözéskor azonos tényezővel szorzódjanak), következésképpen az szükséges, hogy -ben az Ωjl′m gömbi spinor szerepeljen a másik értékkel (a két lehetséges közül): mivel ezek -gyel térnek el egymástól, így (–1)l′=–(–1)l .

és radiális részei ugyancsak Rpl és Rpl′ lesznek (azzal az és értékkel, amely a megfelelő Ωjlm gömbfüggvényben szerepel). Ez abból látható, hogy mindegyik komponense eleget tesz a (p2–m2)ψ=0 másodrendű egyenletnek, amely adott |p| érték mellett

alakú, tehát formálisan megegyezik a szabad részecskére felírt nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettel .

Így

3.128. egyenlet - (24,6)

φ = A R_{p l} Ω_{j l m}, χ = B R_{p l^{'}} Ω_{j l^{'} m},

ahol már csak az és állandó együtthatókat kell meghatároznunk. Tekintsünk ezért olyan távoli térrészt, ahol a gömbhullámot síkhullámnak vehetjük. A III. (33,12) aszimptotikus képlet szerint

3.129. egyenlet - (24,7)

R_{p l} \approx \sqrt{\frac{2}{π}} {\frac{1}{2 i r}}^{\{e^{i (p r - \frac{π l}{2})} - e^{- i (p r - \frac{π l}{2})}\}},

tehát két olyan síkhullám különbsége, amelyek a irányban ( n=r∕r ) terjednek. Mindkettőre fennáll (23,8) szerint, hogy

A fentiekből [(24,6) képletek] nyilvánvaló, hogy (nσ)Ωjlm=aΩjl′m , ahol állandó. Ezt az állandót könnyen meg lehet határozni, ha összehasonlítjuk az egyenlőség két oldalát m=1∕2 esetén, és amikor az irány a tengely irányával esik egybe. (7,2a) felhasználásával azt kapjuk, hogy

3.130. egyenlet - (24,8)

(n σ) Ω_{j l m} = i^{l^{'} - l} Ω_{j l^{'} m} .

A fenti képletek és (24,6) alapján így

Végül az együtthatót normálása határozza meg. Ha -t az

3.131. egyenlet - (24,9)

\int ψ_{p j l m}^{*} ψ_{p^{'} j^{'} l^{'} m^{'}} d^{3} x = δ_{j j^{'}} δ_{l l^{'}} δ_{m m^{'}} δ (p - p^{'})

feltétellel normáljuk, a következő végeredményt kapjuk:

3.132. egyenlet - (24,10)

ψ_{p j l m} = \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} (\begin{matrix} \sqrt{𝜀 + m} R_{p l} Ω_{j l m} \\ - \sqrt{𝜀 - m} R_{p l^{'}} Ω_{j l^{'} m} \end{matrix}), l^{'} = 2 j - l .

Így adott és (és energia) mellett két állapot lehetséges, amelyek paritásukban különböznek. Az utóbbit egyértelműen meghatározza az szám, amely j±1∕2 értékeket vehet fel: tükrözéskor a (24,10) bispinor az i(–1)l tényezővel szorzódik. Ugyanakkor a bispinor komponensei egyaránt tartalmaznak és rendű gömbfüggvényeket – ez fejezi ki azt a tényt, hogy a pálya-impulzusmomentumnak nincs meghatározott értéke.

Ha r→∞ , akkor a tér kis részében a (24,7) gömbhullámokat p±pn impulzusú síkhullámoknak is tekinthetjük. Ezért nyilvánvaló, hogy impulzusreprezentációban a hullámfüggvény lényegében csak abban tér el (24,10)-től, hogy hiányzik belőle a radiális rész, és az vektort az impulzus irányaként értelmezzük.

Közvetlenül áttérhetünk az impulzusreprezentációra a Fourier-kifejtés segítségével:

3.133. egyenlet - (24,11)

ψ (p^{'}) = \int ψ (r) e^{- i p^{'} r} d^{3} x .

Az integrál kiszámítható, ha felhasználjuk a síkhullám gömbhullámok szerinti kifejtését [lásd a III. (34,3) képletet]:

3.134. egyenlet - (24,12)

e^{i p r} = \frac{{(2 π)}^{3 ∕ 2}}{p} \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{m = - l}^{l} i^{l} R_{p l} (r) Y_{l m}^{*} (\frac{p}{p}) Y_{l m} (\frac{r}{r}) .

A (24,11)-ben szereplő e–ip′r tényezőt (24,12) alakban felírva és a (24,5) feltételt figyelembe véve, a

függvény Fourier-komponenseire a

ψ(p′)=((2π)3∕2/p)δ(p′–p)i–lYlm′((p′/p′))∫Ωjlm((r/r))Ylm′∗((r/r)) dΩ

kifejezést kapjuk. Az itt szereplő integrál megegyezik a (24,2) gömbi spinorokban található gömbfüggvények együtthatóival , és az Ylm′(p′∕p′) tényezővel együtt ismét ugyanazt a gömbi spinort alkotja, de ennek már az argumentuma:

ψ(p′)=((2π)3∕2/p)δ(p′–p)i–lΩjlm((p′/p′)).

A fenti eredményt a (24,10) bispinor hullámfüggvényre alkalmazva, megkapjuk azt impulzusreprezentációban:

3.135. egyenlet - (24,13)

ψ_{p j l m} (p^{'}) = δ (p^{'} - p) \frac{{(2 π)}^{3 ∕ 2}}{p \sqrt{2 𝜀}} (\begin{matrix} \sqrt{𝜀 + m} i^{- l} Ω_{j l m} (p^{'} ∕ p^{'}) \\ \sqrt{𝜀 - m} i^{- l^{'}} Ω_{j l^{'} m} (p^{'} ∕ p^{'}) \end{matrix}) .

A |pjlm⟩ állapotok megegyeznek a 16. §-ban vizsgált |pjm|λ|⟩ állapotokkal (ahol |λ|=1∕2 ): mindkettőhöz meghatározott pjm és paritás tartozik. Így az Ωjlm gömbi spinorok meghatározott összefüggésben állnak a Dλm(j) függvényekkel (mindkettő argumentuma p∕p ). Ha p→0 , a (24,13) hullámüggvényből Ωjlm háromdimenziós spinor lesz, amelynek paritása P=η(–1)l (ahol η=i a spinor „belső paritása” ). A 16. § eredményeivel való összehasonlításból a következő képletet kapjuk: