ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

26.§. Töltéskonjugáció és a spinorok időtükrözése

A (25,1) kifejezésben szereplő ψpσ=upσe–ipx szorzótényező, amely az apσ , operátor mellett áll, egy impulzusú és polarizációjú részecske (a továbbiakban elektront fogunk mondani) hullámfüggvénye:

A bpσ operátor mellett álló ψ̄–p–σ szorzótényezőt egy ugyanazon -hez és -hoz tartozó pozitron hullámfüggvényének kell tekinteni. Ezek az elektron és pozitron hullámfüggvények azonban különböző bispinor reprezentációban vannak kifejezve. Ez abból látható, hogy és különböző transzformációs tulajdonságú, komponenseik pedig különböző egyenletrendszereknek tesznek eleget. Hogy ezt a hiányosságot eltüntessük, ψ̄–p–σ komponensein olyan unitér transzformációt kell végrehajtanunk, hogy az új, négykomponensű függvény ugyanannak az egyenletnek tegyen eleget, mint ψpσ .^[80] Et a hullámfüggvényt fogjuk a ( impulzusú és polarizációjú) pozitron hullámfüggvényének nevezni. -vel jelölve a keresett unitér transzformáció mátrixát:

3.147. egyenlet - (26,1)

ψ_{p σ}^{(p)} = U_{C} {\bar{ψ}}_{- p - σ} .

Azt a műveletet, amelynek segítségével ezt a hullámfüggvényt ψ–p–σ -ból megkapjuk, a hullámfüggvény töltéskonjugációjának nevezzük. Ez a fogalom természetesen nincsen csupán a síkhullámokra korlátozva. Bármely függvénynek létezik „töltéskonjugáltja”:

3.148. egyenlet - (26,2)

C ψ (t, r) = U_{C} \bar{ψ} (t, r),

amely ugyanúgy transzformálódik, mint , és ugyanannak az egyenletnek tesz eleget.

Az mátrix tulajdonságai ebből a meghatározásból következnek. Ha a (γp–m)ψ=0 Dirac-egyenlet megoldása, akkor kielégíti a

egyenletet. Szorozzuk meg ezt az egyenletet balról -vel:

és követeljük meg, hogy az UCψ̄ függvény ugyanazt az egyenletet elégítse ki, mint :

A két egyenletet összehasonlítva, az és a mátrixokra a következő „felcserélési szabályt” kapjuk:^[81]

3.149. egyenlet - (26,3)

U c {\tilde{γ}}^{μ} = - γ^{μ} U_{C} .

Feltesszük továbbá, hogy a hullámfüggvények spinor- vagy standard reprezentációban vannak megadva (a tetszőleges reprezentációra vonatkozó általános esetre csak e szakasz végén térünk majd vissza). Ezekben a reprezentációkban

3.150. egyenlet - (26,4)

\begin{aligned} γ^{0, 2} & = {\tilde{γ}}^{0, 2}, & γ^{1, 3} & = - {\tilde{γ}}^{1, 3}, \\ {(γ^{0, 1, 3})}^{*} & = γ^{0, 1, 3}, & γ^{2 *} & = - γ^{2} . \end{aligned}

Ekkor a (26,3) feltételeket az UC=ηCγ2γ0 mátrix elégíti ki, ahol tetszőleges állandó. A C2=1 feltételből következik, hogy |ηC|2=1 , így az mátrix egy fázisszorzótól eltekintve meghatározott. A továbbiakban ηC=1 -et fogjuk használni, így

3.151. egyenlet - (26,5)

U_{C} = γ^{2} γ^{0} = - α_{y} .

Észrevéve, hogy ψ̄=ψ∗γ0=γ̃0ψ∗=γ0ψ∗ , a operátor hatását a következő alakban is felírhatjuk

3.152. egyenlet - (26,6)

C ψ = γ^{2} γ^{0} \bar{ψ} = γ^{2} ψ^{*} .

A (26,6) transzformáció explicit alakban spinorreprezentáció esetén:

3.153. egyenlet - (26,7a)

C : ξ^{α} \to - i η^{\dot{α} *}, η_{\dot{α}} \to - i ξ_{α}^{*},

vagy, ami ugyanaz

3.154. egyenlet - (26,7b)

C : ξ_{α} \to - i η_{\dot{α}}^{*}, η^{\dot{α}} \to - i ξ^{α *} .

A ψ±pσ síkhullámok töltéskonjugálását könnyű elvégezni, ha felhasználjuk a (23,9)-ben felírt alakjukat és az mátrixot standard reprezentációban:

3.155. egyenlet - (26,8)

U_{C} = (\begin{matrix} 0 & - σ_{y} \\ - σ_{y} & 0 \end{matrix}) .

Észrevéve, hogy

w(σ)′ meghatározásakor (23,16) szerint azt kapjuk, hogy:

3.156. egyenlet - (26,9)

U_{C} ū_{- p - σ} = u_{p σ}, U_{C} u_{- p - σ} = ū_{p σ} .

Így

3.157. egyenlet - (26,10)

C ψ_{- p - σ} = ψ_{p σ},

tehát a ψ–p–σ függvény, amely a (25,1)-operátorban a bpσ operátor mellett szerepel, tényleg egy impulzusúés polarizációjúállapotban levő részecske hullámfüggvényének felel meg. Az is látható, hogy az elektron és pozitron állapotokat egyazon függvények írják le:

Ez egészen természetes, hiszen a ψpσ függvény csak a részecske impulzusáról és polarizációjáról tartalmaz információt.

Hasonló módon vizsgálhatjuk az időtükrözés műveletét. Az idő előjelének megváltoztatásával együtt a hullámfüggvényt komplex-konjugálni kell. Hogy az „időben tükrözött” (Tψ) hullámfüggvényt ugyanabban a reprezentációban kapjuk meg, mint a kezdeti -t, (vagy ) komponensein még egy unitér transzformációt kell végrehajtanunk. Tehát (26,2)-höz hasonló módon a operátor hatását -re a következő alakban írjuk fel:

3.158. egyenlet - (26,11)

T ψ (t, r) = U_{T} \bar{ψ} (- t, r),

ahol unitér mátrix.

Írjuk fel ismét a -re vonatkozó Dirac-egyenletet

és a -ra vonatkozó egyenletet:

Az utóbbi egyenletben hajtsuk végre a t→–t cserét, majd szorozzuk be balról –UT -vel:

(iUTγ̃0(∂/∂t)–iUTγ̃∇)ψ̄(–t,r)–mUTψ̄(–t,r)=0.

Azt szeretnénk, hogy az UTψ̄(–t,r) függvény ugyanazt az egyenletet elégítse ki, mint

(iγ0(∂/∂t)–iγ∇)UTψ̄(–t,r)–mUTψ̄(–t,r)=0.

Ezeket az egyenleteket összehasonlítva, azt kapjuk, hogy az mátrixnak ki kell elégítenie a következő feltételeket:

3.159. egyenlet - (26,12)

U_{T} {\tilde{γ}}^{0} = γ^{0} U_{T}, U_{T} \tilde{γ} = - γ U_{T} .

Spinor- és standard reprezentációban az

3.160. egyenlet - (26,13)

U_{T} = i γ^{3} γ^{1} γ^{0}

mátrix eleget tesz ezeknek a feltételeknek.^[82]

Így tehát a operátor hatását a következő képlet írja le:

3.161. egyenlet - (26,14)

T ψ (t, r) = i γ^{3} γ^{1} γ^{0} \bar{ψ} (- t, r) = i γ^{3} γ^{1} ψ^{*} (- t, r) .

Spinorreprezentációban e transzformáció explicit alakja:

3.162. egyenlet - (26,15a)

T : ξ^{α} \to - i ξ_{α}^{*}, η_{\dot{α}} \to i η^{\dot{α} *}

vagy

3.163. egyenlet - (26,15b)

T : ξ_{α} \to i ξ^{α *}, η^{\dot{α}} \to - i η_{\dot{α}}^{*} .

Standard reprezentációban:

3.164. egyenlet - (26,16)

U_{T} = (\begin{matrix} σ_{y} & 0 \\ 0 & - σ_{y} \end{matrix}) .

Írjuk fel , és együttes hatását -re. Az operációkat egymás után alkalmazva:

Tψ(t,r) =–iγ1γ3ψ∗(–t,r), PTψ(t,r) =iγ0(Tψ)=γ0γ1γ3ψ∗(–t,−r), CPTψ(t,r) =γ2(γ0γ1γ3ψ∗)∗=γ2γ0γ1γ3ψ(–t,–r),

vagy

3.165. egyenlet - (26,17)

C P T ψ (t, r) = i γ^{5} ψ (- t, - r) .

Spinorreprezentációban

3.166. egyenlet - (26,18)

C P T : ξ^{α} \to - i ξ^{α}, η_{\dot{α}} \to i η_{\dot{α}}

[amint arról könnyen meggyőződhetünk közvetlenül a (20,4), (26,7a)/(26,7b), (26,15a)/(26,15b) transzformációs képletekből is].^[83]

Az és mátrixokra felírt fenti képletek spinor- vagy standard reprezentációjában érvényesek. Vizsgáljuk meg végül, hogy a fenti kifejezéseknek milyen tulajdonságai maradnak meg tetszőleges reprezentációjában.

Ha -n unitér transzformációt hajtunk végre:

3.167. egyenlet - (26,19)

ψ^{'} = U ψ, γ^{'} = U γ U^{- 1}, {\bar{ψ}}^{'} = ψ^{' *} γ^{0}^{'} = \bar{ψ} U^{+} = \bar{ψ} U^{- 1},

akkor az új reprezentációban

Összehasonlítva ezt az új reprezentációban felírt UC′ mátrix definíciójával [ (Cψ)′=UC′ψ̄′ ], azt kapjuk, hogy

3.168. egyenlet - (26,20)

U_{C}^{'} = {U U}_{C} \tilde{U} .

A (26,20) transzformáció a mátrixok transzformációjával csak valós mátrixok esetén esik egybe. Ezért a (26,5) kifejezés csak olyan reprezentációkban igaz, amelyek a spinor- vagy a standard reprezentációból valós transzformációval kaphatók.

A (26,5) mátrix unitér, transzponáláskor pedig előjelet vált:

3.169. egyenlet - (26,21)

U_{C} U_{C}^{+} = 1, {\tilde{U}}_{C} = - U_{C} .

Ezek a tulajdonságok invariánsak a (26,20) transzformációra nézve, ezért bármely reprezentációban érvényesek. A (26,5) mátrix hermitikus is, de ezt a tulajdonságot a (26,20) transzformáció az általános esetben elrontja.

A fenti kijelentések [(26,21)-et is beleértve] az mátrix tulajdonságaira is vonatkoznak.

A másodkvantálás keretei között a -operátorok , , transzformációit a keltő és eltüntető operátorok megfelelő transzformációs szabályainak segítségével kell megadni. Ezek a szabályok meghatározhatók (akárcsak a 13. §-ban spinű részecskék estére) abból a feltételből, hogy a transzformált -operátorok

3.170. egyenlet - (26,22)

\begin{matrix} \begin{aligned} Ψ^{C} (t, r) & = U_{C} \bar{Ψ} (t, r), \\ Ψ^{P} (t, r) & = i γ^{0} Ψ (t, - r), \\ Ψ^{T} (t, r) & = U_{T} \bar{Ψ} (- t, r) \end{aligned} & (26,22) \end{matrix}

alakúak legyenek.

Feladat

Határozzuk meg a töltéskonjugáció operátorát a Majorana-reprezentációban (lásd a 21. § 2. feladatát).

Megoldás. A Majorana-reprezentációban felírt UC′ mátrix a standard reprezentáció UC=αy mátrixából a (26,20) transzformáció segítségével kapható meg, ahol U=(αy+β)∕√2 . Az eredmény: UC′=αy ( és a standard reprezentáció mátrixai). A Majorana-reprezentációban felírt mennyiségeket vesszővel jelölve: Cψ′=UC′(ψ′∗β′) , és mivel β′=αy , így

azaz a töltéskonjugáció ekvivalens a komplex konjugálással.

^[80] spinű részecskére ez a kérdés fel sem merült, mivel a skalár és -függvények ugyanazt az egyenletet elégítik ki, és ψ–p∗ egyszerűen megegyzik -vel.

^[81] Megemlítjük az ebből következő U0γ̃5=γ5UC (26,3a) egyenlőséget.

^[82](26,13)-ban a fázisszorzó megválasztása összefügg a (26,5) választással, amint majd arra a III. fejezet 27. lábjegyzete rávilágít.

^[83] A CPT írásmódban az operátorok hatásának sorrendje jobbról balra értendő. (26,17) és (26,18) előjele függ az operátorok sorrendjétől, mivel a operátor nem cserélhető fel -vel és -vel (egy bispinorra való hatásukban).