Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A (25,1) kifejezésben szereplő szorzótényező, amely az
, operátor mellett áll, egy
impulzusú és
polarizációjú részecske (a továbbiakban elektront fogunk mondani)
hullámfüggvénye:
A operátor mellett álló
szorzótényezőt egy ugyanazon
-hez és
-hoz tartozó pozitron hullámfüggvényének kell tekinteni. Ezek az
elektron és pozitron hullámfüggvények azonban különböző bispinor reprezentációban vannak
kifejezve. Ez abból látható, hogy
és
különböző transzformációs tulajdonságú, komponenseik pedig különböző
egyenletrendszereknek tesznek eleget. Hogy ezt a hiányosságot eltüntessük,
komponensein olyan unitér transzformációt kell végrehajtanunk, hogy az
új, négykomponensű függvény ugyanannak az egyenletnek tegyen eleget, mint
.[80] Et a hullámfüggvényt fogjuk a (
impulzusú és
polarizációjú) pozitron hullámfüggvényének nevezni.
-vel jelölve a keresett unitér transzformáció mátrixát:
Azt a műveletet, amelynek segítségével ezt a hullámfüggvényt
-ból megkapjuk, a hullámfüggvény
töltéskonjugációjának nevezzük. Ez a fogalom természetesen
nincsen csupán a síkhullámokra korlátozva. Bármely
függvénynek létezik „töltéskonjugáltja”:
amely ugyanúgy transzformálódik, mint , és ugyanannak az egyenletnek tesz eleget.
Az mátrix tulajdonságai ebből a meghatározásból következnek. Ha
a
Dirac-egyenlet megoldása, akkor
kielégíti a
egyenletet. Szorozzuk meg ezt az egyenletet balról -vel:
és követeljük meg, hogy az függvény ugyanazt az egyenletet elégítse ki, mint
:
A két egyenletet összehasonlítva, az és a
mátrixokra a következő „felcserélési szabályt” kapjuk:[81]
Feltesszük továbbá, hogy a hullámfüggvények spinor- vagy standard reprezentációban vannak megadva (a tetszőleges reprezentációra vonatkozó általános esetre csak e szakasz végén térünk majd vissza). Ezekben a reprezentációkban
Ekkor a (26,3) feltételeket az mátrix elégíti ki, ahol
tetszőleges állandó. A
feltételből következik, hogy
, így az
mátrix egy fázisszorzótól eltekintve meghatározott. A továbbiakban
-et fogjuk használni, így
Észrevéve, hogy , a
operátor hatását a következő alakban is felírhatjuk
A (26,6) transzformáció explicit alakban
spinorreprezentáció esetén:
A síkhullámok töltéskonjugálását könnyű elvégezni, ha felhasználjuk
a (23,9)-ben felírt alakjukat és az
mátrixot standard reprezentációban:
Észrevéve, hogy
meghatározásakor (23,16) szerint
azt kapjuk, hogy:
tehát a függvény, amely a (25,1)
-operátorban a
operátor mellett szerepel, tényleg egy
impulzusúés
polarizációjúállapotban levő részecske hullámfüggvényének felel meg.
Az is látható, hogy az elektron és pozitron állapotokat egyazon függvények írják le:
Ez egészen természetes, hiszen a függvény csak a részecske impulzusáról és polarizációjáról tartalmaz
információt.
Hasonló módon vizsgálhatjuk az időtükrözés műveletét. Az idő előjelének
megváltoztatásával együtt a hullámfüggvényt komplex-konjugálni kell. Hogy az „időben
tükrözött” hullámfüggvényt ugyanabban a reprezentációban kapjuk meg, mint a
kezdeti
-t,
(vagy
) komponensein még egy unitér transzformációt kell végrehajtanunk.
Tehát (26,2)-höz hasonló módon a
operátor hatását
-re a következő alakban írjuk fel:
ahol unitér mátrix.
Írjuk fel ismét a -re vonatkozó Dirac-egyenletet
és a -ra vonatkozó egyenletet:
Az utóbbi egyenletben hajtsuk végre a cserét, majd szorozzuk be balról
-vel:
Azt szeretnénk, hogy az függvény ugyanazt az egyenletet elégítse ki, mint
Ezeket az egyenleteket összehasonlítva, azt kapjuk, hogy az
mátrixnak ki kell elégítenie a következő feltételeket:
Spinor- és standard reprezentációban az
mátrix eleget tesz ezeknek a feltételeknek.[82]
Így tehát a operátor hatását a következő képlet írja le:
Spinorreprezentációban e transzformáció explicit alakja:
Írjuk fel ,
és
együttes hatását
-re. Az operációkat egymás után alkalmazva:
[amint arról könnyen meggyőződhetünk közvetlenül a (20,4), (26,7a)/(26,7b), (26,15a)/(26,15b) transzformációs
képletekből is].[83]
Az és
mátrixokra felírt fenti képletek
spinor- vagy standard reprezentációjában érvényesek. Vizsgáljuk meg
végül, hogy a fenti kifejezéseknek milyen tulajdonságai maradnak meg
tetszőleges reprezentációjában.
Ha -n unitér transzformációt hajtunk végre:
akkor az új reprezentációban
Összehasonlítva ezt az új reprezentációban felírt mátrix definíciójával [
], azt kapjuk, hogy
A (26,20) transzformáció a mátrixok transzformációjával csak valós
mátrixok esetén esik egybe. Ezért a (26,5) kifejezés csak olyan reprezentációkban igaz, amelyek a spinor- vagy a
standard reprezentációból valós transzformációval kaphatók.
A (26,5) mátrix unitér, transzponáláskor pedig előjelet vált:
Ezek a tulajdonságok invariánsak a (26,20) transzformációra nézve, ezért bármely reprezentációban érvényesek.
A (26,5) mátrix hermitikus is, de ezt a
tulajdonságot a (26,20) transzformáció az általános
esetben elrontja.
A fenti kijelentések [(26,21)-et is beleértve] az
mátrix tulajdonságaira is vonatkoznak.
A másodkvantálás keretei között a -operátorok
,
,
transzformációit a keltő és eltüntető operátorok megfelelő
transzformációs szabályainak segítségével kell megadni. Ezek a szabályok meghatározhatók
(akárcsak a 13. §-ban
spinű részecskék estére) abból a feltételből, hogy a transzformált
-operátorok
alakúak legyenek.
Határozzuk meg a töltéskonjugáció operátorát a Majorana-reprezentációban (lásd a 21. § 2. feladatát).
Megoldás. A Majorana-reprezentációban felírt mátrix a standard reprezentáció
mátrixából a (26,20)
transzformáció segítségével kapható meg, ahol
. Az eredmény:
(
és
a standard reprezentáció mátrixai). A Majorana-reprezentációban
felírt mennyiségeket vesszővel jelölve:
, és mivel
, így
azaz a töltéskonjugáció ekvivalens a komplex konjugálással.
[80] spinű részecskére ez a kérdés fel sem merült, mivel a skalár
és
-függvények ugyanazt az egyenletet elégítik ki, és
egyszerűen megegyzik
-vel.
[81] Megemlítjük az ebből következő egyenlőséget.
[82] (26,13)-ban a fázisszorzó megválasztása összefügg a (26,5) választással, amint majd arra a III. fejezet 27. lábjegyzete rávilágít.