Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Egy spinű részecske hullámfüggvénye a részecske nyugalmi rendszerében egy
háromdimenziós spinorrá egyszerűsödik (jelöljük ezt
-val). A részecske belső paritásának fogalma azzal kapcsolatos, hogy ez
a spinor hogyan viselkedik térbeli tükrözés esetén. Bár (amint arra a 19. §-ban már utaltunk) a háromdimenziós spinorok két
lehetséges transzformációs törvénye (
) nem ekvivalens egymással, mégsem lehet egy spinorhoz abszolút
értelemben paritást rendelni. Így nincs értelme egy
spinű részecske paritásáról önmagában beszélni. Beszélhetünk azonban
két ilyen részecske relatív belső paritásáról .
Két (háromdimenziós) spinorból -ből és
-ből képezhetjük a
skalárt. Ha ez valódi skalár, akkor azt mondják, hogy a spinorok által
leírt részecskék azonos belső paritásúak; ha ez pszeudoskalár, akkor a részecskék
ellenkező belső paritásáról beszélnek.
Most megmutatjuk, hogy ( spin esetén) a részecskék és antirészecskék ellenkező belső paritásúak
(V. B. Bereszteckij , 1948).
Ehhez vegyük észre, hogy ha a (19,5)-transzformáció (spinorreprezentációban),
mindkét oldalára alkalmazzuk a (26,7a)/(26,7b) műveletet, akkor
ahol a index a
bispinor komponenseit jelöli, amely a
bispinor töltéskonjugáltja. Komplex konjugálás és az indexek
áthelyezése után azt kapjuk, hogy:
Látható, hogy a töltéskonjugált bispinorok egyformán transzformálódnak.
Legyen a részecske (elektron),
pedig az antirészecske (pozitron) hullámfüggvénye. Az utóbbi egy olyan
bispinor, amit a Dirac-egyenlet valamelyik „negatív
frekvenciás” megoldásából töltéskonjugáció segítségével kaptunk. A nyugalmi rendszerben
mindkettő háromdimenziós spinorrá válik:
(27,1) és (27,2)
szerint a és a
spinorok térbeli tükrözés esetén egyaránt a
szabály szerint transzformálódnak. A szorzat előjelet vált, és ezzel a fenti állításunkat
bebizonyítottuk.
A másodkvantálás keretei közt a részecskék és
antirészecskék ellenkező paritása abban nyilvánul meg, hogy térbeli tükrözés esetén
eltüntető operátoraik szorzata előjelet vált: . [l. (26,23)].
Valódi semlegesnek neveznek egy részecskét akkor, ha az „megegyezik” a saját
antirészecskéjével (12. §). Az ilyen részecskék
terének -operátora kielégíti a
feltételt. spinű részecskékre ez a következő feltételeket jelenti
(spinorreprezentációban):
Mint minden olyan összefüggés, amely valamilyen fizikai tulajdonságot fejez
ki, ezek a feltételek is invariánsak a CPT transzformációra nézve.[84] Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy nemcsak a CPT transzformációval szemben
invariánsak, hanem mind a hárommal szemben külön-külön is.
A 19. §-ban a spinorok térbeli tükrözését olyan
műveletként határoztuk meg, amelyre , és eddig ezt a definíciót használtuk. Könnyű belátni, hogy a
részecskék és antirészecskék belső paritására vonatkozó eredmény nem függ attól, hogy
hogyan definiáljuk a térbeli tükrözést.
Ha a feltétellel definiáljuk, akkor (27,1) helyett
adódik. A töltéskonjugált függvény ekkor a
szabály szerint transzformálódik – ez (27,5)-től előjelben különbözik. Ennek megfelelően a háromdimenziós
( spinorok transzformációja:
tehát a szorzat most is pszeudoskalár.
A térbeli tükrözés két felfogása, fizikai következményeit tekintve, csak egy dologban
különbözhet egymástól. Ha a (27,5) definíciót
használjuk, akkor a tér valódi semlegességének feltétele nem invariáns erre a
transzformációra (vagy CP-re): a (27,4) egyenlőségek
két oldalának előjele egymáshoz képest megváltozik. Valódi semleges spinű részecskéket nem ismerünk, és ma még nem lehet megmondani, hogy
a térbeli tükrözés két definíciója között fennálló különbségnek van-e valóságos fizikai
tartalma.[85]
Határozzuk meg a pozitrónium (elektronból és pozitronból álló, a hidrogénatomhoz hasonló rendszer) töltésparitását.
Megoldás. Két fermionból álló rendszer hullámfüggvénye
antiszimmetrikus kell, hogy legyen a részecskék koordinátáinak, spin- és
töltésváltozóinak egyidejű felcserlésével szemben (lásd a 13. § feladatát). Az ezeknek megfelelő szorzótényezők sorra
,
(ahol
vagy
, a rendszer teljes spinje) és a keresett
. A
feltételből azt kapjuk, hogy
Mivel az elektron és a pozitron ellentétes belső paritásúak, így
(a rendszer paritása . A kombinált paritás:
.
[84] Pontosabban, a CPT-transzformációt úgy kell meghatározni, hogy a (27,4) típusú kifejezéseket változatlanul hagyja.
Ezt az , mátrix definíciójában fellépő fázisszorzó konkrét választásával
értük el (lásd a III. fejezet 25. lábjegyzetét).
[85] Arra, hogy a térbeli tükrözés két definíciója nem teljesen ekvivalens, G. Racah mutatott rá (1937).