ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

28.§. Bilineáris kifejezések

Vizsgáljuk meg a és függvények komponenseiből összeállítható bilineáris kifejezések transzformációs tulajdonságait. Az ilyen kifejezéseknek nagy szerepe van a kvantummechanikában, ezek közé tartozik például az áramsűrűség (21,11)-ben felírt négyesvektora.

Mivel és négy-négy komponenssel rendelkezik, összesen 4⋅4=16 független bilineáris kombinációt képezhetünk belőlük. E mennyiségek transzformációs tulajdonságai nyilvánvalóak a 19. §-ban tárgyaltak alapján, ahol felsoroltuk két tetszőleges bispinor (ami most és ) összeszorzásának lehetséges módjait. Eszerint képezhetünk egy skalárt (jelöljük ezt -sel), egy pszeudoskalárt (), egy kevert másodrendű spinort, amely ekvivalens egy valódi négyesvektorral ( független mennyiség), egy kevert másodrendű spinort, amely ekvivalens egy négyes pszeudovektorral ( mennyiség) és egy másodrendű bispinort, amely ekvivalens egy Tμν antiszimmetrikus négyestenzorral ( mennyiség).

Szimmetrikus alakban ( tetszőleges reprezentációja esetén) ezek a kombinációk a következőképpen írhatók fel:

3.176. egyenlet - (28,1)

\begin{gathered} S = \bar{ψ} ψ, P = \bar{ψ} γ^{5} ψ, \\ V^{μ} = \bar{ψ} γ^{μ} ψ, A^{μ} = \bar{ψ} γ^{μ} γ^{5} ψ, T^{μ ν} = i \bar{ψ} σ^{μ ν} ψ, \end{gathered}

ahol

3.177. egyenlet - (28,2)

σ^{μ ν} = \frac{1}{2} (γ^{μ} γ^{ν} - γ^{ν} γ^{μ}) = (α, i Σ)

[(28,2)-ben a komponensek felsorolása (19,5) szerintértendő].^[86] A fenti mennyiségek mind valósak.

Az, hogy skalár, pedig pszeudoskalár, nyilvánvaló a spinorreprezentációban:

ami éppen megfelel a (19,7) és (19,8) kifejezéseknek. Ezután a mennyiségek vektorjellege is nyilvánvaló a Dirac-egyenlet alapján: a pμγμψ=mψ egyenlőséget balról -sal beszorozva azt kapjuk, hogy

mivel a jobb oldalon skalár áll, így a bal oldalnak is skalárnak kell lennie.

A (28,1) mennyiségek képzési szabálya nyilvánvaló: úgy képezzük őket, mintha a mátrixok négyesvektort alkotnának, pszeudoskalár lenne, a két oldalon álló és pedig együtt skalárt alkotna.^[87] A szimmetrikus négyestenzor jellegű mennyiségek hiánya, ami nyilvánvaló a spinorreprezentációban, ebből a szabályból is rögtön következik; mivel a mátrixok szimmetrikus kombinációja γμγν+γνγμ=2gμν , ezért az ilyen kifejezés skalárrá egyszerűsödne.

Másodkvantált bilineáris kifejezéseket úgy kaphatunk, ha (28,1)-ben a -függvényeket -operátorokkal helyettesítjük. A nagyobb általánosság kedvéért a két -operátort különböző részecskékhez tartozónak tekintjük majd, ezért és indexekkel látjuk el őket. Vizsgáljuk meg, hogyan transzformálódnak az ilyen, operátort tartalmazó kifejezések töltéskonjugáció esetén. Észrevéve, hogy^[88]

3.178. egyenlet - (28,3)

Ψ^{C} = U_{C} \bar{Ψ}, {\bar{Ψ}}^{C} = U_{C}^{+} Ψ,

(26,3)és (26,21) felhasználásával azt kapjuk, hogy

Ψ̄aCΨbC =(UC+Ψa)(UCΨ̄b)=ΨaUC∗UCΨ̄b=–ΨaUC+UCΨ̄b=–ΨbΨ̄b, Ψ̄aCγμΨbC =ΨaUC∗γμUCΨ̄b=–ΨaUC+γμUCΨ̄b=Ψaγ̃μΨ̄b.

Mikor az operátorokat felcserélve visszatérünk az eredeti sorrendhez (a -operátor -től balra áll), a Fermi-féle (25,4) felcserélési szabály szerint a szorzat előjelet vált (és ezenkívül megjelennek a tér állapotától független tagok, amiket elhagyunk, akárcsak a 13. § hasonló levezetéseinél). Így végül

Hasonlóan átalakítva a többi bilineáris kifejezést is, azt kapjuk, hogy^[89]

3.179. egyenlet - (28,4)

\begin{gathered} C : S_{a b} \to S_{b a}, P_{a b} \to P_{b a}, V_{a b}^{μ} \to - V_{b a}^{μ}, A_{a b}^{μ} \to A_{b a}^{μ}, \\ T_{a b}^{μ ν} \to - T_{b a}^{μ ν} . \end{gathered}

Hasonló módon állapíthatjuk meg e bilineáris kifejezések viselkedését az időtükrözés esetén. Itt emlékeznünk kell arra, hogy ez az operáció (l. 13. §) felcseréli az operátorok sorrendjét, így például

Behelyettesítve ide a

3.180. egyenlet - (28,5)

Ψ^{T} = U_{T} \bar{Ψ}, {\bar{Ψ}}^{T} = - U_{T}^{+} Ψ

összefüggéSt, azt kapjuk, hogy

(Ψ̄aΨb)T=–(UTΨ̄b)(UT+Ψa)=–Ψ̄bŨTUT+Ψa=Ψ̄bUTUT+Ψa=Ψ̄bΨa.

A többi bilineáris kifejezést is ugyanúgy vizsgálva, a következőket kapjuk:

3.181. egyenlet - (28,6)

T : \begin{matrix} S_{a b} \to S_{b a}, P_{a b} \to - P_{b a}, & {(V^{0}, V)}_{a b} \to {(V^{0}, - V)}_{b a}, \\ {(A^{0}, A)}_{a b} \to {(A^{0}, - A)}_{b a}, & T_{a b}^{μ ν} = {(p, a)}_{a b} \to {(p, - a)}_{b a} \end{matrix}

[és háromdimenziós vektorok, amelyek (19,15) szerint Tμν komponenseivel ekvivalensek].

Térbeli tükrözés esetén a mennyiségek tenzorjellegének megfelelően

3.182. egyenlet - (28,7)

T : \begin{matrix} S_{a b} \to S_{b a}, P_{a b} \to - P_{b a}, & {(V^{0}, V)}_{a b} \to {(V^{0}, - V)}_{b a}, \\ {(A^{0}, A)}_{a b} \to {(- A^{0}, A)}_{b a}, & T_{a b}^{μ ν} = {(p, a)}_{a b} \to {(- p, a)}_{b a} \end{matrix}

Végül a három művelet együttes alkalmazása esetén^[90]

3.183. egyenlet - (28,8)

\begin{aligned} C P T : & S_{a b} & \to & S_{a b}, & P_{a b} & \to & P_{a b}, & V_{a b}^{μ} & \to - V_{a b}^{μ}, \\ A_{a b}^{μ} & \to & - A_{a b}^{μ}, & T_{a b}^{μ ν} & \to & T_{a b}^{μ ν}, \end{aligned}

ami éppen megfelel annak, hogy ez a transzformáció négyestükrözést jelent. Mivel a négyestükrözés ekvivalens a négydimenziós tér elforgatásával, ezért erre nézve a (tetszőleges rendű) valódi és pszeudotenzorok nem különböznek.

Tekintsük most a négy különböző , , , függvényből páronként képzett bilineáris kifejezések szorzatát. Attól függően, hogy e függvények közül melyeket szorzunk meg egymással, különböző eredményeket kapunk. Minden ilyen szorzatot vissza lehet azonban vezetni rögzített párokból képzett bilineáris kifejezések szorzataira (W. Pauli , M. Fierz , 1936). A következőkben levezetjük azt az összefüggést, amin ez alapul.

Tekintsük az alábbi 4×4 -es mátrixokat:

3.184. egyenlet - (28,9)

1, γ^{5}, γ^{μ}, i γ^{μ} γ^{5}, i σ^{μ ν}

( az egységmátrix). Ezt a ( =1+1+4+4+6 ) mátrixot valamilyen sorrendben megszámozva, -val jelöljük ( A=1,…,16 ); ugyanezeket a mátrixokat lehúzott (μ,ν) tenzorindexekkel pedig -val. Ezeknek a következő tulajdonságaik vannak:

3.185. egyenlet - (28,10)

\begin{gathered} Sp γ^{A} = 0 (γ^{A} \neq 1), \\ γ^{A} γ_{A} = 1, \frac{1}{4} Sp γ^{A} γ_{B} = δ_{B}^{A} . \end{gathered}

Az utóbbi tulajdonság következtében a mátrixok lineárisan függetlenek. Mivel számuk megegyezik a 4×4 -es mátrix elemeinek számával, a mátrixok teljes rendszert alkotnak, amely szerint tetszőleges 4×4 -es mátrix kifejthető:

3.186. egyenlet - (28,11)

Γ = \sum_{A} c_{A} γ^{A}, c_{A} = \frac{1}{4} Sp γ_{A} Γ,

vagy a mátrixindexeket kiírva ( i,k=1,2,3,4 ):

Feltéve, hogy a mátrixnak egyetlen eleme különbözik nullától ( Γlm ), a keresett összefüggést (a „teljesség feltételét” ) kapjuk:

3.187. egyenlet - (28,12)

δ_{i l} δ_{k m} = \frac{1}{4} \sum_{A} γ_{A_{i k}} γ_{m l}^{A} .

A fenti egyenlőség mindkét oldalát ψ̄iaψkbψ̄mcψld -vel megszorozva,

3.188. egyenlet - (28,13)

({\bar{ψ}}^{a} ψ^{d}) ({\bar{ψ}}^{c} ψ^{b}) = \frac{1}{4} \sum_{A} ({\bar{ψ}}^{a} γ_{A} ψ^{b}) ({\bar{ψ}}^{c} γ^{A} ψ^{d}) .

Ez a fentebb említett egyenlőségek közé tartozik: két skalár, bilineáris kifejezés szorzatát visszavezeti más párokból álló, bilineáris kifejezések szorzatára.^[91]

Más hasonló egyenlőségeket úgy kaphatunk (28,13)-ból, hogy a

helyettesítéseket hajtjuk végre, és felhasználjuk a

kifejtést (l. a feladatokat).

A további hivatkozások kedvéért felsoroljuk a 2×2 -es mátrixokra vonatkozó, (28,12)-vel analóg összefüggéseket. Itt a σA (A=1,…,4)

3.189. egyenlet - (28,14)

1, σ_{x}, σ_{y}, σ_{z}

2×2 -es mátrixok lineárisan függetlenek, és teljes rendszert alkotnak. Ezekre fennáll, hogy

3.190. egyenlet - (28,15)

\begin{gathered} Sp σ^{A} = 0 (σ^{A} \neq 1), \\ \frac{1}{2} Sp σ^{A} σ^{B} = δ_{A B} . \end{gathered}

A teljesség feltétele:

3.191. egyenlet - (28,16)

δ_{α γ} δ_{β δ} = \frac{1}{2} \sum_{A} σ_{α β}^{A} σ_{δ γ}^{A} = \frac{1}{2} σ_{α β} σ_{δ γ} + \frac{1}{2} δ_{α β} δ_{δ γ}

( α,β,⋯=1,2 ), vagy másképpen:

3.192. egyenlet - (28,17)

σ_{α β} σ_{δ γ} = - \frac{1}{2} σ_{α γ} σ_{δ β} + \frac{3}{2} δ_{α γ} δ_{δ β} .

Feladatok

1. Vezessünk le a (28,13)-nak megfelelő képleteket két (, , , típusú) bilineáris kifejezés skaláris szorzatára.

Megoldás. Vezessük be a következő jelöléseket:

JS =(ψ̄aψb)(ψ̄cψd), JP=(ψ̄aγ5ψb)(ψ̄cγ5ψd), JV =(ψ̄aγμψb)(ψ̄cγμψd), JA =(ψ̄aiγμγ5ψb)(ψ̄ciγμγ5ψd), JT =(ψ̄aiσμνψb)(ψ̄ciσμνψd),

és ugyanezek a betűk vesszővel ellátva jelentsék a és felcserélésével kapott kifejezéseket. A szövegben leírt módszerrel azt kapjuk, hogy

4JS′ =JS + JV + JT + JA + JP, 4JV′ =4JS – 2JV + 2JA – 4JP, 4JT′ =6JS – 2JT + 6JP, 4JA′ =4JS + 2JV – 2JA – 4JP, 4JP′ =JS – JV + JT – JA + JP

[az első sor a (28,13) képlet szerint].

2. Mutassuk meg, hogy

ahol

Megoldás. A vizsgált mennyiségek skalárok a négyesforgatásokra nézve, de a térbeli tükrözésre nézve nincs meghatározott paritásuk. A fenti egyenlőség legegyszerűbben spinorreprezentációban kapható meg. Észrevéve, hogy

és

(1/2)(1+γ5)ψ=(1 / ηα̇), (1/2)ψ(1–γ5)=(ηα̇∗ / 0),

látjuk, hogy a Jab, cd „skalár” kifejezhető a

másodrendű spinorok segítségével, és ezért

Jab, cd∝ζαβ̇(ab)ζ(cd)αβ̇=ηα̇a∗ηcα̇∗ηβ̇bηdβ̇

alakúnak kell lennie.

A és indexeket felcserélve, és figyelembe véve, hogy

a kívánt eredményt kapjuk.

^[86] unitér transzformációja esetén (a reprezentáció megváltoztatásakor) a különböző mennyiségek ψ→Uψ, γ→UγU–1, ψ̄→ψ̄U–1 szerint transzformálódnak, és a bilineáris kifejezések erre nézve nyilvánvalóan invariánsak.

^[87] „pszeudoskalár” jellege maga is ezt a szabályt követi, mivel γ5=(i/24)eλμνϱγλγμγνγϱ.

^[88] A második kifejezést megkaphatjuk az elsőből a következő módon: Ψ̄C=[UC∗(Ψγ0∗)]γ0=γ̃0UC∗γ0Ψ=–γ̃0UC+γ0Ψ=γ̃0γ0∗UC+Ψ=UC+Ψ [felhasználtuk a (26,3), (26,21) összefüggéseket és azt, hogy hermitikus].

^[89] Felhívjuk a figyelmet arra, hogy -függvényekből (és nem a -operátorokból) képezett bilineáris kifejezések esetében a (28,4) transzformációk előjele ellenkező lenne, mivel a és eredeti sorrendjéhez való visszatérés nem járna az előjel megváltoztatásával.

^[90] A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy a - és -transzformációk a függvények argumentumát is megváltoztatják; a (22,6)–(22,8) kifejezések jobb oldalai (a transzformált kifejezések) ennek megfelelően az xT=(–t,r), xP=(t,–r), xCPT=(–t,–r) változók függvényei, a bal oldalak viszont az x=(t,–r) változótól függnek.

^[91] A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy itt -függvényekből álló bilineáris kifejezésekről van szó. Antikommutáló -operátorokból képezett kifejezések esetén az átalakítás fordított előjelű lenne.