Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Vizsgáljuk meg a és
függvények komponenseiből összeállítható bilineáris kifejezések
transzformációs tulajdonságait. Az ilyen kifejezéseknek nagy szerepe van a
kvantummechanikában, ezek közé tartozik például az áramsűrűség (21,11)-ben felírt négyesvektora.
Mivel és
négy-négy komponenssel rendelkezik, összesen
független bilineáris kombinációt képezhetünk belőlük. E mennyiségek
transzformációs tulajdonságai nyilvánvalóak a 19. §-ban tárgyaltak alapján, ahol felsoroltuk két tetszőleges bispinor (ami
most
és
) összeszorzásának lehetséges módjait. Eszerint képezhetünk egy skalárt
(jelöljük ezt
-sel), egy pszeudoskalárt (
), egy kevert másodrendű spinort, amely ekvivalens egy valódi
négyesvektorral (
független mennyiség), egy kevert másodrendű spinort, amely ekvivalens
egy
négyes pszeudovektorral
(
mennyiség) és egy másodrendű bispinort, amely ekvivalens egy
antiszimmetrikus négyestenzorral (
mennyiség).
Szimmetrikus alakban ( tetszőleges reprezentációja esetén) ezek a kombinációk a
következőképpen írhatók fel:
[(28,2)-ben a komponensek
felsorolása (19,5) szerintértendő].[86] A fenti mennyiségek mind valósak.
Az, hogy skalár,
pedig pszeudoskalár, nyilvánvaló a spinorreprezentációban:
ami éppen megfelel a (19,7)
és (19,8) kifejezéseknek. Ezután a mennyiségek vektorjellege is nyilvánvaló a Dirac-egyenlet alapján: a
egyenlőséget balról
-sal beszorozva azt kapjuk, hogy
mivel a jobb oldalon skalár áll, így a bal oldalnak is skalárnak kell lennie.
A (28,1) mennyiségek képzési szabálya nyilvánvaló:
úgy képezzük őket, mintha a mátrixok négyesvektort alkotnának,
pszeudoskalár lenne, a két oldalon álló
és
pedig együtt skalárt alkotna.[87] A szimmetrikus négyestenzor jellegű mennyiségek hiánya, ami nyilvánvaló a
spinorreprezentációban, ebből a szabályból is rögtön következik; mivel a
mátrixok szimmetrikus kombinációja
, ezért az ilyen kifejezés skalárrá egyszerűsödne.
Másodkvantált bilineáris kifejezéseket úgy kaphatunk, ha (28,1)-ben a -függvényeket
-operátorokkal helyettesítjük. A nagyobb általánosság kedvéért a két
-operátort különböző részecskékhez tartozónak tekintjük majd, ezért
és
indexekkel látjuk el őket. Vizsgáljuk meg, hogyan transzformálódnak az
ilyen, operátort tartalmazó kifejezések töltéskonjugáció esetén. Észrevéve,
hogy[88]
(26,3)és (26,21)
felhasználásával azt kapjuk, hogy
Mikor az operátorokat felcserélve visszatérünk az eredeti sorrendhez
(a -operátor
-től balra áll), a Fermi-féle (25,4)
felcserélési szabály szerint a szorzat előjelet vált (és ezenkívül megjelennek a tér
állapotától független tagok, amiket elhagyunk, akárcsak a 13. § hasonló levezetéseinél). Így végül
Hasonlóan átalakítva a többi bilineáris kifejezést is, azt kapjuk, hogy[89]
Hasonló módon állapíthatjuk meg e bilineáris kifejezések viselkedését az
időtükrözés esetén. Itt emlékeznünk kell arra, hogy ez az operáció (l. 13. §) felcseréli az operátorok sorrendjét, így például
összefüggéSt, azt kapjuk, hogy
A többi bilineáris kifejezést is ugyanúgy vizsgálva, a következőket kapjuk:
[és
háromdimenziós vektorok, amelyek (19,15) szerint
komponenseivel ekvivalensek].
Térbeli tükrözés esetén a mennyiségek tenzorjellegének megfelelően
Végül a három művelet együttes alkalmazása esetén[90]
ami éppen megfelel annak, hogy ez a transzformáció négyestükrözést jelent.
Mivel a négyestükrözés ekvivalens a négydimenziós tér elforgatásával, ezért erre nézve a
(tetszőleges rendű) valódi és pszeudotenzorok nem különböznek.
Tekintsük most a négy különböző ,
,
,
függvényből páronként képzett bilineáris kifejezések szorzatát. Attól
függően, hogy e függvények közül melyeket szorzunk meg egymással, különböző eredményeket
kapunk. Minden ilyen szorzatot vissza lehet azonban vezetni rögzített párokból képzett
bilineáris kifejezések szorzataira (W. Pauli , M. Fierz , 1936). A következőkben levezetjük azt az összefüggést,
amin ez alapul.
Tekintsük az alábbi -es mátrixokat:
( az egységmátrix). Ezt a
(
) mátrixot valamilyen sorrendben megszámozva,
-val jelöljük (
); ugyanezeket a mátrixokat lehúzott
tenzorindexekkel pedig
-val. Ezeknek a következő tulajdonságaik vannak:
Az utóbbi tulajdonság következtében a mátrixok lineárisan függetlenek. Mivel számuk megegyezik a
-es mátrix elemeinek számával, a
mátrixok teljes rendszert alkotnak, amely szerint tetszőleges
-es
mátrix kifejthető:
vagy a mátrixindexeket kiírva ():
Feltéve, hogy a mátrixnak egyetlen eleme különbözik nullától (
), a keresett összefüggést (a „teljesség feltételét” ) kapjuk:
A fenti egyenlőség mindkét oldalát -vel megszorozva,
Ez a fentebb említett egyenlőségek közé tartozik: két skalár, bilineáris
kifejezés szorzatát visszavezeti más párokból álló, bilineáris kifejezések
szorzatára.[91]
Más hasonló egyenlőségeket úgy kaphatunk (28,13)-ból, hogy a
helyettesítéseket hajtjuk végre, és felhasználjuk a
kifejtést (l. a feladatokat).
A további hivatkozások kedvéért felsoroljuk a -es mátrixokra vonatkozó, (28,12)-vel analóg összefüggéseket. Itt a
-es mátrixok lineárisan függetlenek, és teljes rendszert alkotnak.
Ezekre fennáll, hogy
1. Vezessünk le a (28,13)-nak megfelelő képleteket két (,
,
,
típusú) bilineáris kifejezés skaláris szorzatára.
Megoldás. Vezessük be a következő jelöléseket:
és ugyanezek a betűk vesszővel ellátva jelentsék a
és
felcserélésével kapott kifejezéseket. A szövegben leírt módszerrel
azt kapjuk, hogy
[az első sor a (28,13) képlet szerint].
2. Mutassuk meg, hogy
ahol
Megoldás. A vizsgált mennyiségek skalárok a négyesforgatásokra nézve, de a térbeli
tükrözésre nézve nincs meghatározott paritásuk. A fenti egyenlőség legegyszerűbben
spinorreprezentációban kapható meg. Észrevéve, hogy
és
látjuk, hogy a „skalár” kifejezhető a
másodrendű spinorok segítségével, és ezért
alakúnak kell lennie.
A és
indexeket felcserélve, és figyelembe véve, hogy
a kívánt eredményt kapjuk.
[86] unitér transzformációja esetén (a reprezentáció
megváltoztatásakor) a különböző mennyiségek
szerint transzformálódnak, és a bilineáris kifejezések erre
nézve nyilvánvalóan invariánsak.
[87] „pszeudoskalár” jellege maga is ezt a szabályt követi, mivel
[88] A második kifejezést megkaphatjuk az elsőből a következő módon:
[felhasználtuk a (26,3), (26,21) összefüggéseket és azt, hogy
hermitikus].
[89] Felhívjuk a figyelmet arra, hogy -függvényekből (és nem a
-operátorokból) képezett bilineáris kifejezések esetében a (28,4) transzformációk előjele ellenkező lenne,
mivel a
és
eredeti sorrendjéhez való visszatérés nem járna az előjel
megváltoztatásával.
[90] A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy a - és
-transzformációk a függvények argumentumát is megváltoztatják;
a (22,6)–(22,8) kifejezések jobb oldalai (a transzformált kifejezések) ennek
megfelelően az
változók függvényei, a bal oldalak viszont az
változótól függnek.
[91] A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy itt -függvényekből álló bilineáris kifejezésekről van szó.
Antikommutáló
-operátorokból képezett kifejezések esetén az átalakítás
fordított előjelű lenne.