Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A későbbiekben (93. §) különböző rugalmatlan
folyamatokat fogunk vizsgálni nehéz magok () erőterében szóródó ultrarelativisztikus elektronok esetében. A
megfelelő mátrixelemek kiszámításához szükségünk van azokra a hullámfüggvényekre,
amelyeknek aszimptotikus (
) alakja egy sík- és egy gömbhullámból tehető össze.
Látni fogjuk, hogy ultrarelativisztikus esetben (mikor az elektron energiájára
érvényes) a szórásban a fő szerepet a
impulzusátadások játsszák. Ennek az impulzusátadás-értéknek a
„szórásparaméter” érték felel meg, az elektron pedig
szöggel hajlik el.[121] A centrumtól mért távolság és a
koordináták segítségével kifejezve ez a
tartományt jelenti. Mivel , a nagy távolságok tartományát kell leírnunk.
Írjuk a Dirac-egyenletet a következő alakban:
Alakítsuk másodrendű egyenletté, azaz alkalmazzuk (39,3)-ra az operátort:
Mivel a vizsgált tartományban , azért
. Első közelítésbenígy (39,4) jobb
oldala elhanyagolható. A visszamaradó egyenlet
amely formailag egyezik a Coulomb-térbeli nemrelativisztikus
Schrödinger-egyenlettel ,
attól csak annyiban tér el, hogy a paraméterek értéke más (a
„potenciális energiában” van egy felesleges szorzó). Így a kívánt aszimptotikus alakú megoldást azonnal felírhatjuk
(l. III. 136. §). A megoldás, amely aszimptotikusan egy sík- (
) és egy kifutó gömbhullámot tartalmaz, a következő:
ahol az elfajult hipergeometrikus függvény,
pedig a síkhullám állandó bispinor amplitúdója, melyet a (23,4)-beli feltétellel normálunk:
A (39,6) hullámfüggvény normálása olyan,
hogy aszimptotikus alakjából a síkhullámot a szokásos
alakban választhassuk le, ami az „egy részecske az egységnyi
térfogatban” esetnek felel meg. Minthogy ultrarelativisztikus esetben , így (39,6)-ban
-val helyettesíthetünk, és így
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy bár a egyenlőtlenségnek eleget tevő távolságokat vizsgáljuk, ám ennek
ellenére nem helyettesíthetjük a hipergeometrikus függvényt aszimptotikus alakjával,
mivel
argumentumában nem
, hanem
szerepel, melynek nagy értékét nem feltételeztük.[122]
Az alkalmazások szempontjából a következő közelítés is érdekes, melynek
spinorstruktúrája a (39,8)-beli -től eltérő. Kiszámításához
-t a következő alakban írjuk:
A (39,4) egyenlet jobb oldalán
ekkor az -ban elsőrendű tagot megőrizzük, és
-re a következő egyenlet adódik:
Ennek megoldását, figyelembe véve, hogy kielégíti a
egyenletet [amelyről (39,6)-ot (39,5)-be helyettesítve
győződhetünk meg], a következő módon kaphatjuk. Alkalmazzuk a operációt az előző egyenletre; az adódik, hogy
Hasonlítsuk ezt össze (39,9)-cel; azonnal látjuk, hogy
Ezután megadhatjuk és az aszimptotikus alakjában bejövő gömbhullámot tartalmazó
végső alakját:
(W. H. Furry, 1934). Felírjuk a megfelelő () függvényeket is, amelyeket„negatív frekvencia” jellemez, és amelyek a
pozitronokat tartalmazó folyamatok leírásához szükségesek. Ezeket a
függvényekből
és
cserével kaphatjuk, miközben
változatlan marad [ez utóbbi miatt a hipergeometrikus függvény
paramétere jelet vált, amint ez a kiindulási (39,6) kifejezésből látható, ebben a paraméter
alakban szerepel]. Így az adódik, hogy
Még egy megjegyzés helyénvaló a fenti számításokkal kapcsolatban. Az általunk
kiszabott aszimptotikus feltétel egymagában ugyanis (mint ez már abból is látszik, hogy
-hez mindig hozzá lehet adni az aszimptotika sértése nélkül egy
Coulomb-módon csökkenő, kifelé haladó gömbhullámot) nem határozza meg egyértelműen az
egyenlet megoldását. A (39,5) egyenlet
megoldását (39,6) alakban írva, hallgatólagosan
kiválasztottuk az
pontban véges megoldást. Ez a feltevés III. 135. § és 136. §-okban
szükséges volt, minthogy a Schrödinger-egyenlet
pontos, a teljes térben érvényes megoldását kerestük.[123] A most vizsgált esetben azonban a (39,5)
egyenlet csak nagy távolságokra érvényes, így a választást ebből a szempontból is meg
kell indokolni.
Az indokolás azon a tényen alapszik, hogy a nagy „szórásparaméter” értékekhez nagy
pályamomentum értékek és kis
szórásszögek tartoznak, ui.
esetén
a szöget kváziklasszikus módszerrel becsülhetjük meg:
Ez azt jelenti, hogy gömbhullámok szerinti kifejtésében (
és
vizsgált tartományában) a fenti nagy
-lel rendelkező hullámok vesznek részt. Ám a nagy
-ű gömbhullám (hála a centrifugális gátnak) kis amplitúdójúra csökken
le, mire a koordináta-rendszer kezdőpontját a „klasszikusan elérhetetlen” tartomány
átmérője nagyságrendjébe eső távolságra megközelíti:
. Ezért ha a (39,5) egyenlet és a
pontos (39,4) egyenlet megoldásainak
„összeillesztését” kis távolságokon,
körül végezzük el, ahol
, akkor a (39,5) egyenlet megoldására
adódó határfeltétel annak kicsinységét követeli, ami az általunk választott megoldást
részesíti előnyben.
Határozzuk meg vonzó Coulomb-tér esetén () a diszkrét spektrum hullámfüggvényének (
relatív nagyságrendű) korrekcióját .
Megoldás. Az elektron kötött állapotbeli sebessége,
, tehát
esetén nulladik közelítésben a hullámfüggvény nemrelativisztikus,
azaz
ahol a Schrödinger-hullámfüggvény , az
bispinor
alakú, ahol
az elektron polarizációs állapotát leíró spinor. A következő
közelítésben
, és ezt (39,4)-be helyettesítve,
-re az
egyenlet adódik, ahol a nemrelativisztikus diszkrét energianívó. Itt a
nagyságrendű tagokat elhagytuk (figyelembe kell venni, hogy a
nemrelativisztikus esetben a karakterisztikus távolság – a Bohr-sugár:
). Az egyenlet megoldása
, azaz
[121] Ebben a szakaszban jelöli
-t.
[122] A III. 135. §-ban tetszőlegesen nagy -ekkel foglalkoztunk, így a fenti cserét tetszőleges
-ra el lehetett végezni.
[123] A megoldás III. 135. §-ban bemutatott menetében a (135,1) partikuláris
integrált választva az általános integrálok együtthatókkal vett összege helyett, biztosítottuk ezt a
feltételt.