ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

39.§. A folytonos spektrumbeli hullámfüggvények rendszere Coulomb-térbeli szórás során

A későbbiekben (93. §) különböző rugalmatlan folyamatokat fogunk vizsgálni nehéz magok ( Zα∼1 ) erőterében szóródó ultrarelativisztikus elektronok esetében. A megfelelő mátrixelemek kiszámításához szükségünk van azokra a hullámfüggvényekre, amelyeknek aszimptotikus ( r→∞ ) alakja egy sík- és egy gömbhullámból tehető össze.

Látni fogjuk, hogy ultrarelativisztikus esetben (mikor az elektron energiájára ε≫m érvényes) a szórásban a fő szerepet a q=|p′–p|∼m impulzusátadások játsszák. Ennek az impulzusátadás-értéknek a ϱ∼(1/q)∼(1/m) „szórásparaméter” érték felel meg, az elektron pedig

4.73. egyenlet - (39,1)

𝜃 \sim \frac{q}{p} \sim \frac{m}{𝜀}

szöggel hajlik el.^[121] A centrumtól mért távolság és a z=rcos koordináták segítségével kifejezve ez a

4.74. egyenlet - (39,2)

ϱ \equiv r sin 𝜃 \sim \frac{1}{m}, p (r - z) = p r (1 - cos 𝜃) \sim 1

tartományt jelenti. Mivel r∼ε∕m2 , a nagy távolságok tartományát kell leírnunk.

Írjuk a Dirac-egyenletet a következő alakban:

4.75. egyenlet - (39,3)

(𝜀 - U - m β + i α \nabla) ψ = 0, U = - \frac{Z α}{r} .

Alakítsuk másodrendű egyenletté, azaz alkalmazzuk (39,3)-ra az (ε–U+mβ–iα∇) operátort:

4.76. egyenlet - (39,4)

(Δ + p^{2} - 2 𝜀 U) ψ = (- i α \nabla U - U^{2}) ψ .

Mivel a vizsgált tartományban r≫Zα∕ε , azért Z≪ε . Első közelítésbenígy (39,4) jobb oldala elhanyagolható. A visszamaradó egyenlet

4.77. egyenlet - (39,5)

(Δ + p^{2} + \frac{2 𝜀 Z α}{r}) ψ = 0,

amely formailag egyezik a Coulomb-térbeli nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettel ,

attól csak annyiban tér el, hogy a paraméterek értéke más (a „potenciális energiában” van egy felesleges ε∕m szorzó). Így a kívánt aszimptotikus alakú megoldást azonnal felírhatjuk (l. III. 136. §). A megoldás, amely aszimptotikusan egy sík- ( ∝eipr ) és egy kifutó gömbhullámot tartalmaz, a következő:

4.78. egyenlet - (39,6)

\begin{gathered} ψ_{𝜀 p}^{(+)} = C \frac{u_{𝜀 p}}{\sqrt{2 𝜀}} e^{i p r} F (\frac{i Z α 𝜀}{p}, 1, i (p r - p r)), \\ C = e^{π Z α 𝜀 ∕ 2 p} Γ (1 - i \frac{Z α 𝜀}{p}), \end{gathered}

ahol az elfajult hipergeometrikus függvény, uεp pedig a síkhullám állandó bispinor amplitúdója, melyet a (23,4)-beli feltétellel normálunk:

4.79. egyenlet - (39,7)

ū_{𝜀 p} u_{𝜀 p} = 2 m .

A (39,6) hullámfüggvény normálása olyan, hogy aszimptotikus alakjából a síkhullámot a szokásos

alakban választhassuk le, ami az „egy részecske az egységnyi térfogatban” esetnek felel meg. Minthogy ultrarelativisztikus esetben p≈ε , így (39,6)-ban Zαε∕p≈Zα -val helyettesíthetünk, és így

4.80. egyenlet - (39,8)

\begin{gathered} ψ_{𝜀 p}^{(+)} = C \frac{u_{𝜀 p}}{\sqrt{2 𝜀}} e^{i p r} F (i Z α, 1, i (p r - p r)), \\ C = e^{Z α π ∕ 2} Γ (1 - i Z α) . \end{gathered}

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy bár a pr≫1 egyenlőtlenségnek eleget tevő távolságokat vizsgáljuk, ám ennek ellenére nem helyettesíthetjük a hipergeometrikus függvényt aszimptotikus alakjával, mivel argumentumában nem , hanem pr(1–cos) szerepel, melynek nagy értékét nem feltételeztük.^[122]

Az alkalmazások szempontjából a következő közelítés is érdekes, melynek spinorstruktúrája a (39,8)-beli uεp -től eltérő. Kiszámításához -t a következő alakban írjuk:

A (39,4) egyenlet jobb oldalán ekkor az -ban elsőrendű tagot megőrizzük, és -re a következő egyenlet adódik:

4.81. egyenlet - (39,9)

(Δ + 2 i p \nabla - 2 𝜀 U) φ = - i u_{𝜀 p} α \nabla U .

Ennek megoldását, figyelembe véve, hogy kielégíti a

egyenletet [amelyről (39,6)-ot (39,5)-be helyettesítve győződhetünk meg], a következő módon kaphatjuk. Alkalmazzuk a operációt az előző egyenletre; az adódik, hogy

Hasonlítsuk ezt össze (39,9)-cel; azonnal látjuk, hogy

Ezután megadhatjuk ψ(+) és az aszimptotikus alakjában bejövő gömbhullámot tartalmazó ψ(–) végső alakját:

4.82. egyenlet - (39,10)

\begin{gathered} ψ_{𝜀 p}^{(+)} = \frac{C}{\sqrt{2 𝜀}} e^{i p r} (1 - \frac{i α}{2 𝜀} \nabla) F (i Z α, 1, i (p r - p r)) u_{𝜀 p}, \\ ψ_{𝜀 p}^{(-)} = \frac{C^{*}}{\sqrt{2 𝜀}} e^{i p r} (1 - \frac{i α}{2 𝜀} \nabla) F (- i Z α, 1, - i (p r + p r)) u_{𝜀 p}, \\ C = e^{π Z α ∕ 2} Γ (1 - i Z α) \end{gathered}

(W. H. Furry, 1934). Felírjuk a megfelelő ( ψ–ε–p ) függvényeket is, amelyeket„negatív frekvencia” jellemez, és amelyek a pozitronokat tartalmazó folyamatok leírásához szükségesek. Ezeket a ψεp függvényekből p→–p és ε→–ε cserével kaphatjuk, miközben p=|p| változatlan marad [ez utóbbi miatt a hipergeometrikus függvény iZα paramétere jelet vált, amint ez a kiindulási (39,6) kifejezésből látható, ebben a paraméter iZαε alakban szerepel]. Így az adódik, hogy

4.83. egyenlet - (39,11)

\begin{gathered} ψ_{- 𝜀 - p}^{(+)} = \frac{C}{\sqrt{2 𝜀}} e^{- i p r} (1 + \frac{i α}{2 𝜀} \nabla) F (- i Z α, 1, i (p r + p r)) u_{- 𝜀 - p}, \\ ψ_{- 𝜀 - p}^{(-)} = \frac{C^{*}}{\sqrt{2 𝜀}} e^{- i p r} (1 + \frac{i α}{2 𝜀} \nabla) F (i Z α, 1, - i (p r - p r)) u_{- 𝜀 - p}, \\ C = e^{- π Z α ∕ 2} Γ (1 + i Z α) . \end{gathered}

Még egy megjegyzés helyénvaló a fenti számításokkal kapcsolatban. Az általunk kiszabott aszimptotikus feltétel egymagában ugyanis (mint ez már abból is látszik, hogy -hez mindig hozzá lehet adni az aszimptotika sértése nélkül egy Coulomb-módon csökkenő, kifelé haladó gömbhullámot) nem határozza meg egyértelműen az egyenlet megoldását. A (39,5) egyenlet megoldását (39,6) alakban írva, hallgatólagosan kiválasztottuk az r=0 pontban véges megoldást. Ez a feltevés III. 135. § és 136. §-okban szükséges volt, minthogy a Schrödinger-egyenlet pontos, a teljes térben érvényes megoldását kerestük.^[123] A most vizsgált esetben azonban a (39,5) egyenlet csak nagy távolságokra érvényes, így a választást ebből a szempontból is meg kell indokolni.

Az indokolás azon a tényen alapszik, hogy a ϱ=rsin nagy „szórásparaméter” értékekhez nagy pályamomentum értékek és kis szórásszögek tartoznak, ui. ϱ∼1∕m esetén

a szöget kváziklasszikus módszerrel becsülhetjük meg:

Ez azt jelenti, hogy gömbhullámok szerinti kifejtésében ( és vizsgált tartományában) a fenti nagy -lel rendelkező hullámok vesznek részt. Ám a nagy -ű gömbhullám (hála a centrifugális gátnak) kis amplitúdójúra csökken le, mire a koordináta-rendszer kezdőpontját a „klasszikusan elérhetetlen” tartomány átmérője nagyságrendjébe eső távolságra megközelíti: r≪l∕ε . Ezért ha a (39,5) egyenlet és a pontos (39,4) egyenlet megoldásainak „összeillesztését” kis távolságokon, r∼r1 körül végezzük el, ahol l∕ε≫r1≫Zα∕ε , akkor a (39,5) egyenlet megoldására adódó határfeltétel annak kicsinységét követeli, ami az általunk választott megoldást részesíti előnyben.

Feladat

Határozzuk meg vonzó Coulomb-tér esetén ( Zα≪1 ) a diszkrét spektrum hullámfüggvényének ( ∼Zα relatív nagyságrendű) korrekcióját .

Megoldás. Az elektron kötött állapotbeli sebessége, v∼Zα , tehát Zα≪1 esetén nulladik közelítésben a hullámfüggvény nemrelativisztikus, azaz

ahol ψnemrel a Schrödinger-hullámfüggvény , az bispinor u=(w / 0) alakú, ahol az elektron polarizációs állapotát leíró spinor. A következő közelítésben ψ=uψnemrel , és ezt (39,4)-be helyettesítve, ψ(1) -re az

((1/2m)Δ–|εn|+(Zα/r))ψ(1)=i(Zα/2m)(∇(1/r))(αu)ψnemrel

egyenlet adódik, ahol a nemrelativisztikus diszkrét energianívó. Itt a (Zα)2 nagyságrendű tagokat elhagytuk (figyelembe kell venni, hogy a nemrelativisztikus esetben a karakterisztikus távolság – a Bohr-sugár: r∼1∕mZα ). Az egyenlet megoldása ψ(1)=–(i/2m)αu∇ψnemrel , azaz

^[121] Ebben a szakaszban jelöli |p| -t.

^[122] A III. 135. §-ban tetszőlegesen nagy -ekkel foglalkoztunk, így a fenti cserét tetszőleges -ra el lehetett végezni.

^[123] A megoldás III. 135. §-ban bemutatott menetében a (135,1) partikuláris integrált választva az általános integrálok β1,β2 együtthatókkal vett összege helyett, biztosítottuk ezt a feltételt.