ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

40.§. Az elektron állapotai elektromágneses síkhullám terében

A Dirac-egyenletet zárt alakban meg lehet oldani elektromágneses síkhullám terében mozgó elektron esetére (D. M. Volkov, 1937).

A k=(k2=0) hullámvektorú síkhullám csak a φ=kx kombináción keresztül függhet a négyes helyvektortól, azaz a vektorpotenciál

4.84. egyenlet - (40,1)

A^{μ} = A^{μ} (φ)

alakú, és eleget tesz a

Lorentz-feltételnek (a vessző szerinti deriválást jelent). Mivel -ban a konstans tagok lényegtelenek, a vessző elhagyható, és a feltétel

4.85. egyenlet - (40,2)

k A = 0

alakban írható.

Induljunk ki a (32,6) másodrendű egyenletből, amelyben a térerőtenzor helyébe az

4.86. egyenlet - (40,3)

F_{μ ν} = k_{μ} A_{n}^{'} u - k_{ν} A_{μ}^{'}

kifejezést kell írni.

A négyzetre emelés elvégzésekor (i∂–eA)2 esetében figyelembe kell venni a ∂μ(Aμψ)=Aμ∂μψ összefüggést. Ezután a

4.87. egyenlet - (40,4)

[- \partial^{2} - 2 i e (A \partial) + e^{2} A^{2} - m^{2} - i e \hat{k} Â^{'}] ψ = 0

egyenletre jutunk ( ∂2=∂μ∂μ ).

A megoldást keressük

4.88. egyenlet - (40,5)

ψ = e^{- i p x} F (φ)

alakban, ahol állandó négyesvektor. Ha -hez egy tetszőleges, const⋅k alakú vektort hozzáadunk, akkor változatlan marad [csak F(φ) -t kell megfelelően újra definiálni]. Így -re az általánosság megsértése nélkül kiróható egy mellékfeltétel:

4.89. egyenlet - (40,6)

p^{2} = m^{2} .

Tehát az elektromágneses tér kikapcsolásakor a kvantumszámok átmennek a szabad részecske négyesimpulzusának komponenseibe. A négyesvektor komponenseinek jelentése elektromágneses tér jelenléte esetén szemléletesebb, ha olyan speciális vonatkoztatási rendszert választunk, ahol A0=0 . Legyen ebben a rendszerben irányú, pedig mutasson az irányba (azaz a tér elektromos komponense , mágneses komponense pedig irányú, maga a hullám haladási irányú). Ekkor (40,5) a

p1=i(∂/∂x1), p2=i(∂/∂x2), p0–p3=i((∂/∂x0)–(∂/∂x3))

operátorok sajátfüggvénye, a hozzájuk tartozó sajátértékek rendre p1,p2,p0–p3 (maguk az operátorok, mint ez könnyen látható, felcserélhetők a Dirac-egyenlet Hamilton-operátorával ). Így az adott koordináta-rendszerben p1,p2 az általánosított impulzuskomponensek az és tengelyek mentén, p0–p3 pedig a teljes energia és; az menti általánosított impulzus különbsége.

Ha (40,5)-öt (40,4)-be helyettesítjük, észrevehetjük, hogy

így az F(φ) -re vonatkozó egyenlet:

Ennek az egyenletnek az integrálját az

F=exp{–i∫0kx[(e/(kp))(pA)–(e2/2(kp))A2]dφ+(ek̂Â/2(kp))}(u/√(2p0))

összefüggés adja, ahol u∕√(2p0) tetszőleges állandó bispinor (amelynek formájáról alább még szó lesz).

k ̂ Â -nak összes, az elsőnél magasabb fokú hatványa nullát ad, mivel

Ezért a következő helyettesítés végezhető el:

Így a következő alakú:

4.90. egyenlet - (40,7)

ψ_{p} = [1 + \frac{e}{2 (p k)} \hat{k} Â] \frac{u}{\sqrt{2 p_{0}}} e^{i S},

ahol^[124]

4.91. egyenlet - (40,8)

S = - p x - \int_{0}^{k x} [\frac{e}{(k p)} (p A) - \frac{e^{2}}{2 (k p)} A^{2}] d φ .

A konstans bispinorra kiszabott feltételek megvilágítására tételezzük fel, hogy a hullámnak egy tetszőlegesen kicsiny csillapodása van. Ekkor A→0 , ha x→∞ , és -nek át kell mennie a szabad Dirac-egyenlet megoldásába , azaz u=u(p) -nek ki kell elégítenie a

4.92. egyenlet - (40,9)

(\hat{p} - m) u = 0

egyenletet. Ezzel a megkötéssel a másodrendű egyenlet „felesleges” megoldásait elvetjük. Minthogy független a koordinátáktól, ez a feltétel véges -re isérvényes marad, ahol a hullám kicsiny csillapítása nincs hatással alakjára.Így u(p) megegyezik a szabad síkhullám bispinor amplitúdójával; feltesszük, hogy azonos módon a (23,4) feltétellel normált: ūu=2m .

A fenti megfontolások rögtön lehetővé teszik a (40,7) hullámfüggvény normálását. A folytonos spektrum hullámfüggvényeinek normaintegrálját a tér távoli tartományai szabályozzák. A tér enyhe csillapodását bevezetve, ezekben a tartományokban a hullámfüggvény a szabad mozgást leíró függvényekkel esik egybe. Ebből következik, hogy a (40,7) függvények ugyanazt a normafeltételt elégítik ki, mint a szabad hullámok:

4.93. egyenlet - (40,10)