ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

41.§. Spin mozgása külső térben

A Dirac-egyenlet esetében a kváziklasszikus közelítésre való áttérést ugyanúgy végezzük el, mint a nemrelativisztikus elméletben. A (32,7a) másodrendű egyenletben -t a

alakban helyettesítjük be^[125] (ahol skalár, lassan változó bispinor). Eközben feltételezzük, hogy a kváziklasszikusság feltétele teljesül: a részecske impulzusa a ℏ∕|p| hullámhossz-nagyságrendű távolságon csak lassan változhat.

A szerinti sorfejtésben nulladik közelítésben a szokásos klasszikus, relativisztikus Hamilton–Jacobi-egyenletet kapjuk az hatásra. Ekkor az összes spint tartalmazó (és -sal arányos) tag kiesik a mozgásegyenletből. Más szavakkal, az elektron mágneses momentumának az elektron mozgására gyakorolt hatása mindig a kvantumos korrekciók nagyságrendjébe esik. Ez teljesen természetes a spin tisztán kvantumos természete miatt, melynek nagysága -sal arányos.

Ezzel a helyzettel kapcsolatban nyer értelmet az a kérdés, amely a külső térben meghatározott kváziklasszikus mozgást végző elektron spinjének viselkedésére vonatkozik. Ennek a feladatnak a megoldását a Dirac-egyenlet megoldása következő, szerinti közelítésének megadása jelenti. Ehelyett azonban egy szemléletesebb és a Dirac-egyenlethez közvetlenül nem kapcsolódó megoldást mutatunk be. Ennek előnye, hogy tetszőleges részecske mozgására alkalmazható, többek között az anomális giromágneses hányadossal rendelkezőkére is, melyeket a Dirac-egyenlet nem ír le.

Célunk a részecske spinje mozgásegyenletének felírása a részecske tetszőleges, előre megadott mozgása esetén. Kezdjük a nemrelativisztikus esettel.

A külső térben elhelyezett részecske Hamilton-operátora

4.101. egyenlet - (41,1)

H = H^{'} - μ σ H,

ahol -ben a spint nem tartalmazóösszes tagot összefoglaltuk (l. III. 111. §), a részecske mágneses momentuma. Ez az alak független a részecske fajtájától. Elektronokra μ=eℏ∕2mc (az elektron töltése e=–|e| !), nukleonokra -be még egy anomális részt is befoglaltunk,^[126]

4.102. egyenlet - (41,2)

μ^{'} = μ - \frac{e ℏ}{2 m c} .

A kvantummechanika általános szabályainak megfelelően a spinre vonatkozó operátor-mozgásegyenletet az

4.103. egyenlet - (41,3)

\dot{s} = \frac{i}{ℏ} (H s - s H) = \frac{i}{2 ℏ} (H σ - σ H)

alakban írhatjuk. Ebbe (41,1)-et behelyettesítve,

ṡi=–(iμ/2ℏ)Hk(σkσi–σiσk)=–(μ/ℏ)eiklHkσl,

4.104. egyenlet - (41,4)

\dot{s} = \frac{2 μ}{ℏ} s \times H .

Átlagoljuk ezt az operátorkifejezést egy adott pálya mentén haladó hullámcsomagra. Ez a művelet a spinnek az átlagértékkel, a vektornak a H(t) függvénnyel (amely a mágneses tér változását írja le pontról pontra a részecske pályamenti mozgása során) való helyettesítését jelenti. Nemrelativisztikus közelítésben (azaz a Pauli-egyenlet keretei között) a részecske nyulgami rendszerében s=σ∕2 a spin operátora, melynek középértékét a 29. §-ban ζ∕2 -vel jelöltük. Így a

4.105. egyenlet - (41,5)

\frac{d ζ}{d t} = \frac{2 μ}{ℏ} ζ \times H (t)

egyenletre jutunk. Ebben a formájában az egyenlet tisztán klasszikus jellegű. A mágneses momentum vektorának a mágneses tér iránya körüli, –2μH∕ℏ szögsebességgel történő precesszióját írja le, miközben a momentum nagysága változatlan marad.^[127]

Ugyanebben a nemrelativisztikus esetben a részecske sebessége a

egyenlet szerint változik, azaz a vektor iránya körül –eH∕mc sebességgel forog. Ha μ′=0 , akkor μ=(eℏ/2mc) , és a szögsebesség egybeesik a vektor forgásának –2μH∕ℏ szögsebességével; más szavakkal, a polarizáció vektora állandó szöget zár be a mozgás irányával (alább meglátjuk, hogy ez az eredmény relativisztikus esetben is érvényben marad).

Végezzük most el (41,5) relativisztikus általánosítását. A polarizáció kovariáns leírására a 29. §-ban bevezetett négyesvektort használjuk, a spin mozgásegyenletének a spinnek a részecske sajátideje szerinti deriváltját, da∕dτ kell meghatároznia.^[128]

A keresett egyenlet alakját már a relativisztikus invariancia követelménye meghatározza, ha figyelembe vesszük, hogy a jobb oldalnak lineárisan és homogén módon kell tartalmaznia az elektromágneses térerősség négyestenzorát Fμν -t, az vektort, és mellettük még tartalmazhatja az uμ=pμ∕m négyes sebességvektort. Ezekkel a feltételekkel az egyenlet alakja csak a következő lehet:

4.106. egyenlet - (41,6)

\frac{d a^{μ}}{d τ} = α F^{μ ν} a_{ν} + β u^{μ} F^{ν λ} u_{ν} a_{λ},

ahol α,β állandó együtthatók. Könnyű belátni, hogy az aμuμ feltétel és az Fμν tenzor antiszimmetrikussága (azaz Fμνuμuν=0 ) nem teszi lehetővé a fenti követelményeknek megfelelő egyéb alak felírását.

A v→0 határátmenetben ennek az egyenletnek (41,5)-tel kell megegyeznie. Ez esetben aμ=(0,ζ),uμ=(1,0),τ=t behelyettesítésével

adódik. Ezt (41,5)-tel összehasonlítva: α=2μ .

meghatározásához vegyük figyelembe, hogy aiui=0 . Ezt az egyenlőséget szerint deriválva és a töltés külső térbeli klasszikus mozgásegyenletét,

(l. II. 23. §) felhasználva, kapjuk az

uμ(daμ/dτ)=–aμ(duμ/dτ)=–aμ(e/m)Fμνuν=(e/m)Fμνuμaν

egyenlőséget. Ezért (41,6)-ot mindkét oldalról -vel szorozva és az uμuμ=1 egyenlőséget figyelembe véve, majd az Fμνuμaν közös szorzótényezővel egyszerűsítve,

adódik.

Ezzel a spin mozgásának relativisztikus egyenletére adódó végső alak:

4.107. egyenlet - (41,7)

\frac{d a^{μ}}{d τ} = 2 μ F^{μ ν} a_{ν} - 2 μ^{'} u^{μ} F^{ν λ} u_{ν} a_{λ}

V. Bargmann , L. Michel , V. Telegdi , 1959).^[129]

Térjünk át az négyesvektorról -ra, amely a részecske polarizációját közvetlenül jellemzi annak „pillanatnyi” nyugalmi rendszerében; és között (29,7)…(29,9) ad kapcsolatot. Azonnal megjegyezzük: (41,7)-ből automatikusan következik, hogy aμdaμ∕dτ=0 , tehát aμaμ=const . Minthogy aμaμ=–ζ2 , így ennek természetes jelentése: a részecske mozgása során a polarizáció abszolút nagysága változatlan marad.

A polarizáció változását meghatározó egyenletet (41,7)-ből háromdimenziós jelölésekre áttérve kapjuk meg. Ennek térszerű komponenseit írjuk ki:

(da/dt)=(2μm/ε)a×H+(2μm/ε)(av)E–(2μ′ε/m)v(aE)+

Ebbe behelyettesítjük (29,9)-et, figyelembe véve a differenciálásnál a p=εv,ε2=p2+m2 egyenlőségeket és a

4.108. egyenlet - (41,8)

\frac{d p}{d t} = e E + e E + e v \times H, \frac{d 𝜀}{d t} = e (v E)

mozgásegyenleteket. Elemi, bár elég hosszú számítás a következő egyenletre vezet:^[130]

4.109. egyenlet - (41,9)

\frac{d ζ}{d t} = \frac{2 μ m + 2 μ^{'} (𝜀 - m)}{𝜀} ζ \times H + \frac{2 μ^{'} 𝜀}{𝜀 m} (v H) v \times ζ + \frac{2 μ m + 2 μ^{'} 𝜀}{𝜀 + m} ζ \times (E \times v) .

A polarizáció térbeli irányának abszolút változása kevésbé érdekes, mint a mozgás irányához viszonyított változás. Ezért -t a

4.110. egyenlet - (41,10)

ζ = n ζ_{∥} + ζ_{⊥}

alakban írjuk (ahol n=v∕v , és a vetületre írjuk fel a mozgásegyenletet. A számítást (41,8)—(41,9) segítségével elvégezve, a következő eredményre jutunk:^[131]

4.111. egyenlet - (41,11)

\frac{d ζ_{∥}}{d t} = 2 μ^{'} ζ_{⊥} H \times n + \frac{2}{v} (\frac{μ m^{2}}{𝜀^{2}} - μ^{'}) (ζ_{⊥} E) .

Példák sorát mutatjuk be a szakasz feladatai között a kapott egyenletek alkalmazására. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy a tisztán mágneses térben lejátszódó mozgás során az anomális mágneses momentum nélküli részecske polarizációja állandó szöget zár be a sebességgel ( ζ∥=const ). Így ez az eredmény, melyet fentebb a nemrelativisztikus esetre vezettünk le, teljesen általános jellegű.

Határoljuk jobban körül a kapott egyenletek érvényességi tartományát. A szakasz elején említett feltétel, amely a részecske impulzusának elegendően lassú változását követeli, az és térerősségek nagyságára vonatkozó meghatározott feltétellé alakítható; például a Larmor-sugárnak mágneses térben ( ∼p∕eH ) elég nagynak kell lennie a részecske hullámhosszához viszonyítva. Emellett, szigorúan véve, a térerősségek nem túl gyors térbeli változásának követelményét is teljesíteni kell: a térnek a kváziklasszikus hullámcsomag méretein belül lassan kell változnia. Így a térerősség lassan változik a részecske hullámhossza ( 1∕p ), sőt a Compton-hullámhossz^[132] nagyságrendjébe eső távolságokon.

Egyébként a makroszkopikus terekben való mozgás esetében a terek lassú változásának feltétele nyilvánvalóan teljesül, így csak elegendő kicsiny voltukat kell megkövetelnünk.

A 33. §-ban megadtuk a külső térben mozgó elektron Hamilton-operátorának első relativisztikus korrekcióit. Elektronra, amely elektromos térben mozog, a közelítő Hamilton-operátor a következő alakú (l. (33,12)]:

4.112. egyenlet - (41,12)

H = H^{'} - \frac{e}{4 m} σ (E \times \frac{p}{m}) (p = - i \nabla),

ahol -ben gyűjtöttük össze a spint nem tartalmazó tagokat. Esetünkben a tér lassú változása miatt -ben az deriváltjaitól függő tagokat (így pl. divE -t) el lehet hagyni, hasonlóan a -nel arányos tagot is, amelynek nincs köze a bennünket itt érdeklő effektusokhoz, így (mágneses tér távollétében) a következő nemrelativisztikus Hamilton-operátorrá redukálódik: H′=(p2/2m)+eΦ .

A (41,12) képletet (41,9)-ből kiindulva is megkaphatjuk, nem utalva közvetlenül a Dirac-egyenletre. Általánosítása ugyanígy végezhető el a kváziklasszikus esetben anomális mágneses momentummal rendelkező részecskékre is.

A sebességben elsőrendű tagokat megtartva (41,9)-ből az elektromos térben mozgó részecske mozgásegyenlete a következőnek adódik:

(dζ/dt)=(μ+μ′)ζ×(E×v)=((e/2m)+2μ′)ζ×(E×v).

Ha megköveteljük, hogy ez az egyenlet kvantummechanikailag a spinoperátornak a Hamilton-operátorral való [((41,3) szerinti] felcseréléséből következzék, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy

4.113. egyenlet - (41,13)

H = H^{'} - (μ^{'} + \frac{e}{4 m}) σ (E \times \frac{p}{m})

írandó Hamilton-operátorként. Ez éppen a keresett összefüggés. μ′=0 esetén visz-szakapjuk (41,12)-t. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az e∕2m „normális” mágneses momentum az anomálishoz képest egy felesleges 1∕2 szorzóval jelenik meg (41,13)-ban.^[133]

Feladatok

1. Határozzuk meg a részecske polarizációjának változását egy olyan síkban való haladásakor, amely merőleges a homogén mágneses térre ( v⊥H ).

Megoldás. (41,9) jobb oldalán csak az első tag marad, azaz a vektor iránya (a tengely) körül

szögsebességgel precesszál. Ugyanezzel a szögsebességgel forog az síkban a vektor vetülete (jelöljük -gyel). A vektor ugyanebben a síkban eH∕ε szögsebességgel forog (amint ez a ṗ=εv̇=ev×H mozgásegyenletből látható). Ebből világos, hogy a iránya körül –2μ′H szögsebességgel forog.

2. A fenti feladat, a mágneses térrel párhuzamos haladás esetén.

Megoldás. Párhuzamos és esetén a (41,9) egyenlet a következő alakú:

azaz a közös és irány körül –2μmH∕ε szögsebességgel forog.

3. A fenti feladat, homogén elektromos térbeli mozgás esetére.

Megoldás. Legyen párhuzamos az tengellyel, a részecske mozogjon az síkban ( py=const ). A (41,9)-ből látható, hogy a tengely körül forog

szögsebességgel. Bontsuk fel -t és (az síkba eső) összetevőkre. Ekkor

(41,11)-ből adódik, hogy a iránya körül

φ̇=(2vy/v2)((μm2/ε2)–μ′)=(py/ε)((em/p2)–2μ′)

pillanatnyi szögsebességgel forog.

^[125] Egyelőre a szokásos egységrendszert használjuk.

^[126] Figyelembe véve a sugárzási korrekciókat, az elektron mágneses momentuma is tartalmaz egy igen kicsiny anomális részt.

^[127] Klasszikusan a (41,5) egyenletet közvetlenül a (dM/dt)=μ×H egyenletből kaphatjuk, ahol a rendszer impulzusmomentuma, a mágneses momentuma; μ×H a rendszerre ható forgatónyomaték. M=(1/2)ℏζ, μ=(μ/2s)ζ=μζ behelyettesítésével (41,5)-öt kapjuk.

^[128] Az alábbiakban újra a c=1,ℏ=1 egységrendszert használjuk.

^[129] Hasonló egyenletet, más alakban elsőként Ja. I. Frenkel vezetett be (1926).

^[130] Ha bevezetjük, mint gyakran teszik, a töltött részek giromágneses együtthatóját (Landé-faktor) a μ=g(e/2m)(1/2)(=g(e/2mc)(ℏ/2)) definíció szerint, akkor az egyenlet a következő alakot ölti: (sζ/dt)=(e/2m)(g–2+2(m/ε))ζ×H+(e/2m)(g–2)(ε/ε+m)(vH)v×ζ+(e/2m)(g–(2ε/ε+m))ζ×(E×v). (41,9a)

^[131] Valamivel rövidebben megkapható ez az egyenlet, ha (41,7) időkomponensét írjuk ki.

^[132] Ez utóbbi követelmény annak következménye, hogy a sebességdiszperziónak a hullámcsomagon belül, annak nyugalmi rendszerében -hez képest kicsinynek kell lennie; ellenkező esetben ebben a rendszerben nem lehetne a nemrelativisztikus képleteket használni. Ha a tér túl gyorsan változik, az egyenletekben lényeges kiegészítő tagok léphetnek fel, melyek a tereknek térkoordináták szerinti deriváltjait tartalmazzák.