Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A Dirac-egyenlet esetében a kváziklasszikus
közelítésre való áttérést ugyanúgy végezzük
el, mint a nemrelativisztikus elméletben. A (32,7a)
másodrendű egyenletben -t a
alakban helyettesítjük be[125] (ahol skalár,
lassan változó bispinor). Eközben feltételezzük, hogy a
kváziklasszikusság feltétele teljesül: a részecske impulzusa a
hullámhossz-nagyságrendű távolságon csak lassan változhat.
A szerinti sorfejtésben nulladik közelítésben a szokásos klasszikus,
relativisztikus Hamilton–Jacobi-egyenletet kapjuk az
hatásra. Ekkor az összes spint tartalmazó (és
-sal arányos) tag kiesik a mozgásegyenletből. Más szavakkal, az
elektron mágneses momentumának az elektron mozgására gyakorolt hatása mindig a kvantumos
korrekciók nagyságrendjébe esik. Ez teljesen természetes a spin tisztán kvantumos
természete miatt, melynek nagysága
-sal arányos.
Ezzel a helyzettel kapcsolatban nyer értelmet az a kérdés, amely a külső térben
meghatározott kváziklasszikus mozgást végző elektron spinjének viselkedésére vonatkozik. Ennek a feladatnak a megoldását a
Dirac-egyenlet megoldása következő, szerinti közelítésének megadása jelenti. Ehelyett azonban egy
szemléletesebb és a Dirac-egyenlethez közvetlenül nem kapcsolódó megoldást mutatunk be.
Ennek előnye, hogy tetszőleges részecske mozgására alkalmazható, többek között az
anomális giromágneses hányadossal rendelkezőkére is, melyeket a Dirac-egyenlet nem ír
le.
Célunk a részecske spinje mozgásegyenletének felírása a részecske tetszőleges, előre megadott mozgása esetén. Kezdjük a nemrelativisztikus esettel.
A külső térben elhelyezett részecske Hamilton-operátora
ahol -ben a spint nem tartalmazóösszes tagot összefoglaltuk
(l. III. 111. §),
a részecske mágneses momentuma. Ez az alak független a részecske
fajtájától. Elektronokra
(az elektron töltése
!), nukleonokra
-be még egy anomális részt is befoglaltunk,[126]
A kvantummechanika általános szabályainak megfelelően a spinre vonatkozó operátor-mozgásegyenletet az
alakban írhatjuk. Ebbe (41,1)-et
behelyettesítve,
Átlagoljuk ezt az operátorkifejezést egy adott pálya mentén haladó hullámcsomagra. Ez
a művelet a spinnek az átlagértékkel, a
vektornak a
függvénnyel (amely a mágneses tér változását írja le pontról pontra a
részecske pályamenti mozgása során) való helyettesítését jelenti. Nemrelativisztikus
közelítésben (azaz a Pauli-egyenlet keretei között) a
részecske nyulgami rendszerében
a spin operátora, melynek középértékét a 29. §-ban
-vel jelöltük. Így a
egyenletre jutunk. Ebben a formájában az egyenlet tisztán klasszikus
jellegű. A mágneses momentum vektorának a
mágneses tér iránya körüli, szögsebességgel történő precesszióját írja le, miközben a momentum
nagysága változatlan marad.[127]
Ugyanebben a nemrelativisztikus esetben a részecske sebessége a
egyenlet szerint változik, azaz a vektor
iránya körül
sebességgel forog. Ha
, akkor
, és a szögsebesség egybeesik a
vektor forgásának
szögsebességével; más szavakkal, a polarizáció vektora állandó szöget
zár be a mozgás irányával (alább meglátjuk, hogy ez az eredmény relativisztikus esetben
is érvényben marad).
Végezzük most el (41,5) relativisztikus
általánosítását. A polarizáció kovariáns leírására a 29. §-ban bevezetett négyesvektort használjuk, a spin mozgásegyenletének a spinnek a
részecske
sajátideje szerinti deriváltját,
kell meghatároznia.[128]
A keresett egyenlet alakját már a relativisztikus invariancia követelménye meghatározza, ha figyelembe vesszük,
hogy a jobb oldalnak lineárisan és homogén módon kell tartalmaznia az elektromágneses
térerősség négyestenzorát-t, az
vektort, és mellettük még tartalmazhatja az
négyes sebességvektort. Ezekkel a feltételekkel az egyenlet alakja
csak a következő lehet:
ahol állandó együtthatók. Könnyű belátni, hogy az
feltétel és az
tenzor antiszimmetrikussága (azaz
) nem teszi lehetővé a fenti követelményeknek megfelelő egyéb alak
felírását.
A határátmenetben ennek az egyenletnek (41,5)-tel kell megegyeznie. Ez esetben
behelyettesítésével
adódik. Ezt (41,5)-tel
összehasonlítva: .
meghatározásához vegyük figyelembe, hogy
. Ezt az egyenlőséget
szerint deriválva és a töltés külső térbeli klasszikus
mozgásegyenletét,
(l. II. 23. §) felhasználva, kapjuk az
egyenlőséget. Ezért (41,6)-ot
mindkét oldalról -vel szorozva és az
egyenlőséget figyelembe véve, majd az
közös szorzótényezővel egyszerűsítve,
adódik.
Ezzel a spin mozgásának relativisztikus egyenletére adódó végső alak:
V. Bargmann , L. Michel , V. Telegdi , 1959).[129]
Térjünk át az négyesvektorról
-ra, amely a részecske polarizációját közvetlenül jellemzi annak
„pillanatnyi” nyugalmi rendszerében;
és
között (29,7)…(29,9) ad kapcsolatot. Azonnal megjegyezzük: (41,7)-ből automatikusan következik, hogy
, tehát
. Minthogy
, így ennek természetes jelentése: a részecske mozgása során a
polarizáció abszolút nagysága változatlan marad.
A polarizáció változását meghatározó egyenletet (41,7)-ből háromdimenziós jelölésekre áttérve kapjuk meg. Ennek térszerű komponenseit írjuk ki:
Ebbe behelyettesítjük (29,9)-et,
figyelembe véve a differenciálásnál a egyenlőségeket és a
mozgásegyenleteket. Elemi, bár elég hosszú számítás a következő egyenletre
vezet:[130]
A polarizáció térbeli irányának abszolút változása kevésbé érdekes, mint a mozgás
irányához viszonyított változás. Ezért -t a
alakban írjuk (ahol , és a
vetületre írjuk fel a mozgásegyenletet. A számítást (41,8)—(41,9)
segítségével elvégezve, a következő eredményre jutunk:[131]
Példák sorát mutatjuk be a szakasz feladatai között a kapott egyenletek
alkalmazására. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy a tisztán mágneses térben lejátszódó
mozgás során az anomális mágneses momentum nélküli részecske polarizációja állandó
szöget zár be a sebességgel (). Így ez az eredmény, melyet fentebb a nemrelativisztikus esetre
vezettünk le, teljesen általános jellegű.
Határoljuk jobban körül a kapott egyenletek érvényességi tartományát. A szakasz
elején említett feltétel, amely a részecske impulzusának elegendően lassú változását
követeli, az és
térerősségek nagyságára vonatkozó meghatározott feltétellé alakítható;
például a Larmor-sugárnak mágneses térben (
) elég nagynak kell lennie a részecske hullámhosszához viszonyítva.
Emellett, szigorúan véve, a térerősségek nem túl gyors térbeli változásának
követelményét is teljesíteni kell: a térnek a kváziklasszikus hullámcsomag méretein
belül lassan kell változnia. Így a térerősség lassan változik a részecske hullámhossza
(
), sőt a Compton-hullámhossz[132] nagyságrendjébe eső távolságokon.
Egyébként a makroszkopikus terekben való mozgás esetében a terek lassú változásának feltétele nyilvánvalóan teljesül, így csak elegendő kicsiny voltukat kell megkövetelnünk.
A 33. §-ban megadtuk a külső térben mozgó elektron Hamilton-operátorának első relativisztikus korrekcióit. Elektronra, amely elektromos térben mozog, a közelítő Hamilton-operátor a következő alakú (l. (33,12)]:
ahol -ben gyűjtöttük össze a spint nem tartalmazó tagokat. Esetünkben a tér
lassú változása miatt
-ben az
deriváltjaitól függő tagokat (így pl.
-t) el lehet hagyni, hasonlóan a
-nel arányos tagot is, amelynek nincs köze a bennünket itt érdeklő
effektusokhoz, így
(mágneses tér távollétében) a következő nemrelativisztikus
Hamilton-operátorrá redukálódik:
.
A (41,12) képletet (41,9)-ből kiindulva is megkaphatjuk, nem utalva közvetlenül a Dirac-egyenletre. Általánosítása ugyanígy végezhető el a kváziklasszikus esetben anomális mágneses momentummal rendelkező részecskékre is.
A sebességben elsőrendű tagokat megtartva (41,9)-ből az elektromos térben mozgó részecske mozgásegyenlete a következőnek adódik:
Ha megköveteljük, hogy ez az egyenlet kvantummechanikailag a spinoperátornak a Hamilton-operátorral való [((41,3) szerinti] felcseréléséből következzék, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy
írandó Hamilton-operátorként. Ez éppen a keresett összefüggés.
esetén visz-szakapjuk (41,12)-t.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az
„normális” mágneses momentum az anomálishoz képest egy felesleges
szorzóval jelenik meg (41,13)-ban.[133]
1. Határozzuk meg a részecske polarizációjának
változását egy olyan síkban való haladásakor, amely merőleges a homogén mágneses
térre ().
Megoldás.
(41,9) jobb oldalán csak az első tag marad, azaz a
vektor
iránya (a
tengely) körül
szögsebességgel precesszál. Ugyanezzel a szögsebességgel forog az
síkban a
vektor vetülete (jelöljük
-gyel). A
vektor ugyanebben a síkban
szögsebességgel forog (amint ez a
mozgásegyenletből látható). Ebből világos, hogy
a
iránya körül
szögsebességgel forog.
2. A fenti feladat, a mágneses térrel párhuzamos haladás esetén.
Megoldás. Párhuzamos és
esetén a (41,9) egyenlet a
következő alakú:
azaz a közös
és
irány körül
szögsebességgel forog.
3. A fenti feladat, homogén elektromos térbeli mozgás esetére.
Megoldás. Legyen párhuzamos az
tengellyel, a részecske mozogjon az
síkban (
). A (41,9)-ből látható, hogy
a
tengely körül forog
szögsebességgel. Bontsuk fel -t
és (az
síkba eső)
összetevőkre. Ekkor
(41,11)-ből adódik, hogy a
iránya körül
pillanatnyi szögsebességgel forog.
[125] Egyelőre a szokásos egységrendszert használjuk.
[126] Figyelembe véve a sugárzási korrekciókat, az elektron mágneses momentuma is tartalmaz egy igen kicsiny anomális részt.
[127] Klasszikusan a (41,5) egyenletet közvetlenül
a egyenletből kaphatjuk, ahol
a rendszer impulzusmomentuma,
a mágneses momentuma;
a rendszerre ható forgatónyomaték.
behelyettesítésével (41,5)-öt
kapjuk.
[128] Az alábbiakban újra a egységrendszert használjuk.
[129] Hasonló egyenletet, más alakban elsőként Ja. I. Frenkel vezetett be (1926).
[130] Ha bevezetjük, mint gyakran teszik, a töltött részek giromágneses együtthatóját
(Landé-faktor) a
definíció szerint, akkor az egyenlet a következő alakot ölti:
[132] Ez utóbbi követelmény annak következménye, hogy a sebességdiszperziónak a
hullámcsomagon belül, annak nyugalmi rendszerében -hez képest kicsinynek kell lennie; ellenkező esetben ebben a
rendszerben nem lehetne a nemrelativisztikus képleteket használni. Ha
a tér túl gyorsan változik, az egyenletekben lényeges kiegészítő tagok léphetnek
fel, melyek a tereknek térkoordináták szerinti deriváltjait tartalmazzák.
[133] Ez az a „Thomas-féle ” amelyről a IV. fejezet 7. lábjegyzetében szó esett. Az itt bemutatott levezetés tisztán
rámutat eredetére.