Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A perturbáló potenciál hatására végbemenő átmenet valószínűségét első
közelítésben a perturbációszámítás ismert képletei adják (III. 42. §). Tartozzék a
sugárzó rendszer kezdeti és végállapota a diszkrét spektrumhoz.[137] Ekkor a fotonemisszióval járó
átmenet (egy másodpercre eső) valószínűsége
ahol -vel jelöltük a foton állapotára jellemző mennyiségek összességét, ezek
értékkészlete folytonos (feltevésszerűen a foton hullámfüggvénye a „
skálában”
-függvényre normált).
Ha a kisugárzott foton impulzusmomentuma meghatározott értéket vesz fel, akkor az
egyetlen folytonosan változó mennyiség az frekvencia. (44,1)-et
szerint integrálva, a
-függvény eltűnik (
helyébe
értéket kell írni), és az átmeneti valószínűség
Ha a kisugárzott foton impulzusa adott érték, akkor
. Emellett az előzőek szerint feltételeztük, hogy a foton
hullámfüggvénye
-ra normált. E könyvben azonban minden síkhullámot „egységnyi
térfogatban egy részecske” szerint normáltunk. A kétfajta normálás egymástól
szorzótényezőben különbözik. Ezért a mi normálásunk szerint adott
impulzusú foton emissziójának
valószínűsége[138]
vagy szerinti integrálás után:
A mátrixelemet (43,10) adja
meg.
E képletek segítségével a következő szakaszban kiszámítjuk az emisszió valószínűségét különböző konkrét esetekben. Most a különböző sugárzási folyamatok néhány általános összefüggését vizsgáljuk meg.
Ha a tér kezdeti állapotában már zérustól különböző, adott számú foton volt, akkor az átmeneti mátrixelemet még meg kell szorozni
az
tényezővel, az átmeneti valószínűséget tehát -gyel. A második tag, az
, a spontán emissziónak felel meg, amely
esetén is végbemegy. Az első tag,
a kényszerített (vagy
indukált) emisszióval kapcsolatos: látjuk, hogy fotonok jelenléte a
kezdeti állapotban ugyanilyen fotonok további emisszióját segíti elő.
A rendszer fordított irányú átmenetének mátrixeleme,
a
mátrixelemtől abban különbözik, hogy benne (44,5) helyett az
szorzótényező szerepel (és a többi mennyiség helyett azok komplex
konjugáltját kell venni). Ez a fordított átmenet abban áll, hogy a rendszer elnyel egy
fotont, miközben az energiájú szintről az
energiájú szintre megy át. Így a fotonemisszió és a fotonabszorpció
valószínűségei között (adott
,
kezdeti és végállapot mellett) a
összefüggés áll fenn[139] (ezt először A. Einstein mutatta meg 1916-ban).
A fotonok számát a rendszerre kívülről eső sugárzási intenzitással kapcsoljuk össze. Legyen
annak az felületre
alatt beeső sugárnyalábnak az energiája, amelynek polarizációs vektora
, frekvenciája a
intervallumba, hullámszámvektorának iránya a
térszögbe esik. A megadott intervallumnak a tér
számú oszcillátora felel meg, mindegyikre
adott polarizációjú foton jut. Így a (44,7) energiát a következő szorzat adja meg:
Legyen az
polarizációjú foton
térszögbe való spontán emissziójának valószínűsége; ugyanezt jelölje
, ill.
indukált emisszióra, ill. abszorpcióra. (44,6) és (44,8) szerint fennáll a
következő összefüggés:
Ha a beeső sugárzás izotrop és polarizálatlan ( nem függ
és
irányától), akkor a (44,9)
összefüggést
szerint integrálva és
-re összegezve, a (rendszer adott
és
állapotai közötti) sugárzási átmenetek teljes valószínűségei között
hasonló összefüggéseket kapunk:
ahol a beeső sugárzás teljes spektrális intenzitása .
Ha a sugárzó (vagy elnyelő) rendszer és
állapotai elfajultak, akkor adott fotonok kisugárzásának (vagy
elnyelésének) teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy az elfajult
végállapotokra összegzünk, a lehetséges kezdeti állapotokra átlagolunk. Az
és
állapotok elfajultságának fokát (statisztikus súlyát) jelölje
és
. A spontán és indukált emisszió kezdeti állapotai az
, az abszorpcióé az
állapotok. Feltéve, hogy a
vagy
kezdeti állapotok mind egyformán valószínűek, (44,10) helyett a következő összefüggést
kapjuk:[140]
[137] Ezzel feltételeztük, hogy a rendszer mozdulatlan és a visszalökődést elhanyagoljuk.
[138] Ez annak felel meg, hogy a „ térfogatban egy foton” normáláskor (44,1)-ben
helyett a
fázistérfogatban levő állapotok számát,
-t kell használni.
[139] Ebben a szakaszban a továbbiakban a szokásos egységeket használjuk.
[140] Az irodalomban gyakran használják az úgynevezett
Einstein-együtthatókat , ezek ,
,
(
a sugárzás térbeli spektrális energiasűrűsége). Ezek között a
összefüggés áll fenn.