ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

44.§. Emisszió és abszorpció

A perturbáló potenciál hatására végbemenő átmenet valószínűségét első közelítésben a perturbációszámítás ismert képletei adják (III. 42. §). Tartozzék a sugárzó rendszer kezdeti és végállapota a diszkrét spektrumhoz.^[137] Ekkor a fotonemisszióval járó i→f átmenet (egy másodpercre eső) valószínűsége

5.14. egyenlet - (44,1)

d w = 2 π | V_{f i} |^{2} δ (E_{i} - E_{f} - ω) d ν,

ahol -vel jelöltük a foton állapotára jellemző mennyiségek összességét, ezek értékkészlete folytonos (feltevésszerűen a foton hullámfüggvénye a „ skálában”-függvényre normált).

Ha a kisugárzott foton impulzusmomentuma meghatározott értéket vesz fel, akkor az egyetlen folytonosan változó mennyiség az frekvencia. (44,1)-et dν≡dω szerint integrálva, a -függvény eltűnik ( helyébe Ei–Ef értéket kell írni), és az átmeneti valószínűség

5.15. egyenlet - (44,2)

w = 2 π | V_{f i} |^{2} .

Ha a kisugárzott foton impulzusa adott érték, akkor dν≡d3k=ω2dωdΩ . Emellett az előzőek szerint feltételeztük, hogy a foton hullámfüggvénye δ(k) -ra normált. E könyvben azonban minden síkhullámot „egységnyi térfogatban egy részecske” szerint normáltunk. A kétfajta normálás egymástól (2π)–3∕2 szorzótényezőben különbözik. Ezért a mi normálásunk szerint adott impulzusú foton emissziójának valószínűsége^[138]

5.16. egyenlet - (44,3)

d w = 2 π | V_{f i} |^{2} δ (E_{i} - E_{f} - ω) \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}},

vagy szerinti integrálás után:

5.17. egyenlet - (44,4)

d w = \frac{1}{4 π^{2}} | V_{f i} |^{2} ω^{2} d Ω .

A Vfi mátrixelemet (43,10) adja meg.

E képletek segítségével a következő szakaszban kiszámítjuk az emisszió valószínűségét különböző konkrét esetekben. Most a különböző sugárzási folyamatok néhány általános összefüggését vizsgáljuk meg.

Ha a tér kezdeti állapotában már zérustól különböző, adott számú foton volt, akkor az átmeneti mátrixelemet még meg kell szorozni az

5.18. egyenlet - (44,5)

⟨ N_{n} + 1 ∣ c_{n}^{+} ∣ N_{n} ⟩ = \sqrt{N_{n} + 1}

tényezővel, az átmeneti valószínűséget tehát (Nn+1) -gyel. A második tag, az , a spontán emissziónak felel meg, amely Nn=0 esetén is végbemegy. Az első tag, a kényszerített (vagy indukált) emisszióval kapcsolatos: látjuk, hogy fotonok jelenléte a kezdeti állapotban ugyanilyen fotonok további emisszióját segíti elő.

A rendszer fordított irányú átmenetének (f→i) mátrixeleme, Vif a Vfi mátrixelemtől abban különbözik, hogy benne (44,5) helyett az

szorzótényező szerepel (és a többi mennyiség helyett azok komplex konjugáltját kell venni). Ez a fordított átmenet abban áll, hogy a rendszer elnyel egy fotont, miközben az energiájú szintről az energiájú szintre megy át. Így a fotonemisszió és a fotonabszorpció valószínűségei között (adott , kezdeti és végállapot mellett) a

5.19. egyenlet - (44,6)

\frac{w_{e m}}{w_{a b s z o r p}} = \frac{N_{n} + 1}{N_{n}}

összefüggés áll fenn^[139] (ezt először A. Einstein mutatta meg 1916-ban).

A fotonok számát a rendszerre kívülről eső sugárzási intenzitással kapcsoljuk össze. Legyen

5.20. egyenlet - (44,7)

I_{k e} d w d Ω

annak az 1 cm2 felületre alatt beeső sugárnyalábnak az energiája, amelynek polarizációs vektora , frekvenciája a intervallumba, hullámszámvektorának iránya a térszögbe esik. A megadott intervallumnak a tér k2dkdΩ∕(2π)3 számú oszcillátora felel meg, mindegyikre Nke adott polarizációjú foton jut. Így a (44,7) energiát a következő szorzat adja meg:

c(k2dkdΩ/(2π)3)Nke⋅ℏω=(ℏω3/8π3c2)NkedωdΩ.

Innen a keresett összefüggés:

5.21. egyenlet - (44,8)

N_{k e} = \frac{8 π^{3} c^{2}}{ℏ ω^{3}} I_{k e} .

Legyen dwke(spont) az polarizációjú foton térszögbe való spontán emissziójának valószínűsége; ugyanezt jelölje dwke(ind) , ill. dwke(abszorp) indukált emisszióra, ill. abszorpcióra. (44,6) és (44,8) szerint fennáll a következő összefüggés:

5.22. egyenlet - (44,9)

d w_{k e}^{(a b s z o r p)} = d w_{k e}^{(i n d)} = d w_{k e}^{(s p o n t)} \frac{8 π^{3} c^{2}}{ℏ ω^{3}} I_{k e} .

Ha a beeső sugárzás izotrop és polarizálatlan ( Ike nem függ és irányától), akkor a (44,9) összefüggést szerint integrálva és -re összegezve, a (rendszer adott és állapotai közötti) sugárzási átmenetek teljes valószínűségei között hasonló összefüggéseket kapunk:

5.23. egyenlet - (44,10)

w^{(a b s z o r p)} = w^{(i n d)} = w^{(s p o n t)} \frac{π^{2} c^{2}}{ℏ ω^{3}} I,

ahol I=2⋅4πIke a beeső sugárzás teljes spektrális intenzitása .

Ha a sugárzó (vagy elnyelő) rendszer és állapotai elfajultak, akkor adott fotonok kisugárzásának (vagy elnyelésének) teljes valószínűségét úgy kapjuk, hogy az elfajult végállapotokra összegzünk, a lehetséges kezdeti állapotokra átlagolunk. Az és állapotok elfajultságának fokát (statisztikus súlyát) jelölje és . A spontán és indukált emisszió kezdeti állapotai az , az abszorpcióé az állapotok. Feltéve, hogy a vagy kezdeti állapotok mind egyformán valószínűek, (44,10) helyett a következő összefüggést kapjuk:^[140]

5.24. egyenlet - (44,11)

g_{f} w^{(a b s z o r p)} = g_{i} w^{(i n d)} = g_{i} w^{(s p o n t)} \frac{π^{2} c^{2}}{ℏ ω^{3}} I .

^[137] Ezzel feltételeztük, hogy a rendszer mozdulatlan és a visszalökődést elhanyagoljuk.

^[138] Ez annak felel meg, hogy a „ V=1 térfogatban egy foton” normáláskor (44,1)-ben dν=d3k helyett a Vd3k fázistérfogatban levő állapotok számát, d3k=(2π)3 -t kell használni.

^[139] Ebben a szakaszban a továbbiakban a szokásos egységeket használjuk.

^[140] Az irodalomban gyakran használják az úgynevezett Einstein-együtthatókat , ezek Aif , Bif=w(ind)c∕I , Bfi=w(abszorp)c∕I ( I∕c a sugárzás térbeli spektrális energiasűrűsége). Ezek között a gfBfi=giBif=giAif(π2c3/ℏω3) (44,11a) összefüggés áll fenn.