Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A 46. § és 47. §-okban levezetett összefüggések arra az esetre vonatkoztak, amikor a
kisugárzott foton impulzusmomentuma és annak
vetülete meghatározott értéket vesznek fel. Ennek megfelelően feltevés
volt az is, hogy a sugárzó rendszernek (például atommagnak) nemcsak
impulzusmomentuma, hanem polarizációja, azaz
értéke is meghatározott a sugárzás előtt és után.
Vizsgáljuk most az általánosabb esetet, a részlegesen polarizált mag
sugárzását (a mag méreteit a hullámhosszhoz
képest kicsinek tételezzük fel ugyanúgy, mint korábban). A kisugárzott foton
impulzusmomentuma legyen most is adott, polarizációja azonban csak
részleges. Azt keressük, hogyan függ az emisszió valószínűsége a foton
irányától. Ezt a mag és a foton polarizációs állapotait leíró
sűrűségmátrixokkal lehet kifejezni.
Előkészítésképpen felírjuk az emisszió valószínűségét, mint a foton irányának és
helicitásának (
) függvényét arra az esetre, amikor a mag kezdeti és végállapotában
és
meghatározott értékek.
Adott és
értékekkel rendelkező foton emisszióját leíró mátrixelem a mag
(elektromos vagy mágneses) multipólus-momentumának mátrixelemével
arányos:
A kibocsátott foton hullámfüggvénye
(impulzusreprezentációban) -nel vagy
-nel arányos. Az
impulzusirányúés
helicitású foton hullámfüggvénye csak arányossági tényezőként
tartalmazza az
polarizációs vektort. Az
-val adott foton emissziójának mátrixelemét (48,1)-bőlúgy kapjuk, hogy azt megszorozzuk a
állapot hullámfüggvényének az
állapot hullámfüggvényére való vetületével:
(16,23) szerint mindkét típusú fotonra
A multipólus-momentum mátrixelemét a szokásos módon a redukált mátrixelemmel
fejezzük ki. Így az átmenet valószínűségi amplitúdójára a
alakot kapjuk, ahol a
redukált mátrixelemet jelöli.
Most áttérhetünk az általános esetre, amikor a polarizációs állapot kevert. A kvantummechanika általános szabályai szerint az átmeneti valószínűség a következő kifejezéssel arányos:[148]
itt ,
,
a mag kezdeti állapotának, végállapotának és a kisugárzott fotonnak a
sűrűségmátrixa; az (
) szimbólum azt jelenti, hogy összegezni kell minden kétszer
előforduló
indexre (
). A (48,4)-be (48,3)-at kell behelyettesíteni.
Jelöljük a foton térszögbe való kisugárzásának valószínűségét
-val. A teljes valószínűség, irány szerint, ill. a foton és a
végállapotbeli mag polarizációjára összegezve, nyilvánvalóan nem függ a mag kezdeti
polarizációs állapotától. Ez a már ismert képletekkel kifejezhető; számunkra ez most nem
érdekes. Tegyük fel ezért, hogy a
valószínűség
-re normált. így adódik, hogy[149]
(a normálás helyességéről alább meggyőződünk). A két -függvény szorzatának sorba fejtett alakja [III. (110,2)] szerint a
következő:
(,
,
egész szám,
). A végső eredmény:
ismét összegezést jelent minden (kétszer előforduló)
indexre. Nem szabad elfelejteni, hogy a
,
indexek különböznek a többi
indextől: nem
lehetséges értékre összegezünk (adott
mellett), hanem csupán kétértékre:
,
, a foton két polarizációs állapotának megfelelően.
(48,5) tartalmaz minden szükséges információt a kisugárzott fotonok szögeloszlásáról , a foton és a másodlagos mag polarizációjáról. Természetesen feltételeztük, hogy a kezdeti sűrűségmátrixok ismertek.
A fotonok szögeloszlását úgy kaphatjuk meg, hogy összegezünk a foton és a végállapotbeli mag polarizációjára. A polarizációra úgy átlagolunk, hogy a polarizálatlan állapot sűrűségmátrixát helyettesítjük be:
az összegezés -vel való szorzást jelent a foton,
-gyel való szorzást a mag esetében. Más szóval az összegezésnek
a
helyettesítés felel meg. Így a szögeloszlás
Az indexekre való összegezés lényegesen egyszerűsíti a fenti alakot.
Felhasználjuk, hogy
és így
Az szerinti összegben így csak a páros tagok maradnak meg, csak a
páros rendű
gömbfüggvények jönnek be. Ez az eredmény előre látható: a paritás
megmaradása miatt az átmeneti valószínűségnek tükrözéssel, azaz az
helyettesítésel szemben invariánsnak kell lennie.
Ily módon
Megjegyezzük, hogy a normáltságot most könnyű igazolni: az
összefüggés értelmében, az integrálás után csak az
tag marad meg; a
összefüggések segítségével meggyőződhetünk arról, hogy ez a tag
.
Az szerinti összegezést
belső összegében a III. (108,4) képlet segítségével végezhetjük el.
A következő eredményt kapjuk:
ahol
(48,9)-ben a második összegezés a értékekre megy, az első minden páros
-re, melyre igaz, hogy
(ezek éppen azok a háromszög-egyenlőtlenségek, melyeket a (48,9), (48,10)
alakúösszefüggések -szimbólumaiban előforduló
indexeknek teljesíteniük kell.) Ezért az összegekben a tagok száma
általában nem nagy. Ha például
vagy
, akkor csupán az
tag marad meg, ami azt jelenti, hogy a sugárzás izotrop (könnyen
kiszámítható, hogy az
tag
, ami a normáltságból is következik). Ha
,
vagy
, az
szerintiösszegben az
és
tagok maradnak meg. Megjegyezzük még, hogy ha a
sűrűségmátrix diagonális (
), akkor
, és a (48,9) eloszlásfüggvény
Legendre-polinomok szerint fejthető ki [(16,5)és III. (58,23) szerint a
függvények a
függvényekre vezetnek]. Végül, ha
azaz a kezdeti mag polarizálatlan, akkor , minden más
.[150]
A mennyiségeket, amelyek a mag polarizációs állapotára jellemzőek,
polarizációs momentumoknak hívjuk. A (48,10) összefüggés megadja, hogyan fejezhetők ki a
sűrűségmátrixszal. A fordított irányú összefüggések könnyen
meghatározhatók:
Legyen valamilyen szférikus tenzor, amely a mag polarizációs állapotától
függ . Középértékét az általános szabályok
szerint [l. III. (14,8)] fejezhetjük ki a
sűrűségmátrixszal:
mátrixelemét a
redukált mátrixelemmel fejezhetjük ki:
és a polarizációs momentumok (48,10) definícióját használva kapjuk, hogy
Ha a és
mátrixok (
-vel együtt) adottak, akkor (48,5)
megadja azt az átmeneti valószínűséget, amikor meghatározott polarizációjú foton
kibocsátása után a mag meghatározott polarizációs állapotban marad. Ezek az állapotok
valójában nem magára a sugárzási folyamatra jellemzőek, hanem a foton és a
visszalökött magot regisztráló detektorokra, ezek választják ki a meghatározott
polarizációkat. Természetesebb a kérdés másfajta feltevése: a mag + foton rendszer
végállapotát nem rögzítjük, és pusztán a kisugárzott foton irányát rögzítve
határozzuk meg az állapot polarizációs sűrűségmátrixát .
A választ ismét a (48,5) képlet adja meg. Ezt
alakban felírva, az kifejezés éppen a keresett sűrűségmátrix, minthogy a
kvantummechanika általános szabályai szerint az adottállapotba való
átmeneti valószínűséget ennek az ismert
-re való„vetülete” adja meg. A
tényezőt azért választottuk le (48,15)-ben, hogy a normálás a szokásos legyen:
Ha csak a foton polarizációjára vagyunk kíváncsiak, akkor -re összegezni kell:
(48,9)-hez hasonlóan
(), összegezni kell
-nek azokra az egész értékeire, amelyek (48,11)-et kielégítik.
Speciálisan a cirkuláris polarizációt a
Stokes-paraméter határozza meg (lásd a 8. § feladatát). (48,8) értelmében ebből
a különbségből a páros -et tartalmazó tagok kiesnek, a (48,9) kifejezéstől csak annyiban különbözik, hogy az összegezést
páratlan értékeire kell végezni.
Ha csak a végállapotbeli mag polarizációja iránt érdeklődünk, akkor a
helyettesítést kell végeznünk. Ha emellett még a foton irányára is
integrálunk, megkapjuk a mag polarizációs mátrixát:
Ennek segítségével a mag polarizációs momentumai a következők:
Ha a kezdeti mag polarizálatlan, akkor a visszalökött mag is az marad. Fellép
azonban egy ún. korrelációs polarizáció, ha a sugárzás adott irányú. A
(ennek megfelelően
) helyettesítést elvégezve, (48,9)-hez hasonló módon kapjuk az ezt a polarizációt leíró sűrűségmátrixot:
Az ennek megfelelő polarizációs momentumok
Csak a páros rendű momentumok jönnek be (ez is a paritásmegmaradás
következménye).
Ha a visszalökött mag tovább sugároz, akkor polarizált lévén, a kisugárzott
fotonok eloszlása anizotrop. Mivel a (48,19)
polarizációs momentumok az először kibocsátott foton irányának függvényei, így az egymás után kisugárzott fotonok iránya
között meghatározott korreláció lesz (ha a kezdeti mag polarizálatlan). Hasonló módon
más korrelációs jelenségek is vizsgálhatók ilyen kaszkád folyamatokban (pl. a
polarizációk közötti korreláció).[151]
Fejezzük ki a ,
polarizációs momentumokat a
impulzusmomentum-vektor és a
kvadrupólusmomentum-tenzor várható értékének segítségével.
Megoldás. A vektor és
tenzor redukált mátrixelemeit a
egyenlőségek határozzák meg [l. III. (107,10), (107,11)]. A
operátor az impulzusmomentum operátorával III. (75,2) szerint
fejezhető ki:
Ebből az átlagérték:
A redukált mátrixelemek:
A (48,14) kifejezésből
látható, hogy a polarizációs momentum a
vektor, pedig a
tenzor szférikus komponenseivel egyezik meg.
[148] Ha a rendszer és végállapota szuperponált, , akkor a mátrixelem
, és négyzete
. Az
helyettesítéssel térünk át kevert állapotokra, ekkor
.
[149] Az előjelszorzó átalakításakor felhasználtuk, hogy ,
,
,
azonos párosságúak,
és
egész számok,
.
[150] Valóban, felhasználva, hogy , kapjuk, hogy
, amiből a (48,10) definíció alapján kapható a végeredmény.
[151] E kérdéseket részletesen vizsgálja A. Z. Dolginova tanulmánya a Gamma-sugárzások c. könyvben (AN SZSZSZR, 1961).