ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

48.§. A sugárzás szögeloszlása és polarizációja

A 46. § és 47. §-okban levezetett összefüggések arra az esetre vonatkoztak, amikor a kisugárzott foton impulzusmomentuma és annak vetülete meghatározott értéket vesznek fel. Ennek megfelelően feltevés volt az is, hogy a sugárzó rendszernek (például atommagnak) nemcsak impulzusmomentuma, hanem polarizációja, azaz értéke is meghatározott a sugárzás előtt és után.

Vizsgáljuk most az általánosabb esetet, a részlegesen polarizált mag sugárzását (a mag méreteit a hullámhosszhoz képest kicsinek tételezzük fel ugyanúgy, mint korábban). A kisugárzott foton impulzusmomentuma legyen most is adott, polarizációja azonban csak részleges. Azt keressük, hogyan függ az emisszió valószínűsége a foton irányától. Ezt a mag és a foton polarizációs állapotait leíró sűrűségmátrixokkal lehet kifejezni.

Előkészítésképpen felírjuk az emisszió valószínűségét, mint a foton irányának és helicitásának ( λ=±1 ) függvényét arra az esetre, amikor a mag kezdeti és végállapotában JiMi és JfMf meghatározott értékek.

Adott és értékekkel rendelkező foton emisszióját leíró mátrixelem a mag (elektromos vagy mágneses) multipólus-momentumának mátrixelemével arányos:

5.65. egyenlet - (48,1)

⟨ J_{f} M_{f}; j m ∣ V ∣ J_{i} M_{i} ⟩ \propto {(- 1)}^{m} ⟨ J_{f} M_{f} ∣ Q_{j, - m} ∣ J_{i} M_{i} ⟩ .

A kibocsátott foton hullámfüggvénye (impulzusreprezentációban) Yjm(e)(n) -nel vagy Yjm(m)(n) -nel arányos. Az impulzusirányúés helicitású foton hullámfüggvénye csak arányossági tényezőként tartalmazza az e(λ) polarizációs vektort. Az -val adott foton emissziójának mátrixelemét (48,1)-bőlúgy kapjuk, hogy azt megszorozzuk a |jm⟩ állapot hullámfüggvényének az |nλ⟩ állapot hullámfüggvényére való vetületével:

⟨JfMf;nλ∣V∣JiMi⟩∝(–1)m⟨JfMf∣Qj,–m∣JiMi⟩(e(λ)∗Yjm).

(16,23) szerint mindkét típusú fotonra

5.66. egyenlet - (48,2)

e^{(λ) *} Y_{j m} (n) \propto D_{λ m}^{(j)} (n) .

A multipólus-momentum mátrixelemét a szokásos módon a redukált mátrixelemmel fejezzük ki. Így az átmenet valószínűségi amplitúdójára a

5.67. egyenlet - (48,3)

⟨ J_{f} M_{f}; n λ ∣ V ∣ J_{i} M_{i} ⟩ \propto {(- 1)}^{J_{f} - M_{f} + m} (\begin{matrix} J_{f} & j & J_{i} \\ - M_{f} & - m & M_{i} \end{matrix}) Q D_{λ m}^{(j)} (n)

alakot kapjuk, ahol a ⟨Jf∥Q∥Ji⟩ redukált mátrixelemet jelöli.

Most áttérhetünk az általános esetre, amikor a polarizációs állapot kevert. A kvantummechanika általános szabályai szerint az átmeneti valószínűség a következő kifejezéssel arányos:^[148]

∑(m)⟨JfMf;nλ∣V∣JiMi⟩⟨JfMf′;nλ′∣V∣JiMi′⟩∗×

5.68. egyenlet - (48,4)

\times ⟨ M_{i} ∣ ϱ^{(i)} ∣ M_{i}^{'} ⟩ ⟨ M_{f}^{'} ∣ ϱ^{(f)} ∣ M_{f} ⟩ ⟨ λ^{'} ∣ ϱ^{(γ)} ∣ λ ⟩,

itt ϱ(i) , ϱ(f) , ϱ(γ) a mag kezdeti állapotának, végállapotának és a kisugárzott fotonnak a sűrűségmátrixa; az () szimbólum azt jelenti, hogy összegezni kell minden kétszer előforduló indexre ( MiMi′MfMf′λλ′ ). A (48,4)-be (48,3)-at kell behelyettesíteni.

Jelöljük a foton térszögbe való kisugárzásának valószínűségét w(n) dΩ -val. A teljes valószínűség, irány szerint, ill. a foton és a végállapotbeli mag polarizációjára összegezve, nyilvánvalóan nem függ a mag kezdeti polarizációs állapotától. Ez a már ismert képletekkel kifejezhető; számunkra ez most nem érdekes. Tegyük fel ezért, hogy a w(n) valószínűség -re normált. így adódik, hogy^[149]

w(n)=((2j+1)(2Ji+1)/8π)∑(m)(–1)2Ji–M–i–Mi′Dλm(j)Dλ′m′(j)∗×

×(JfjJi / –Mf –mMi)(JfjJi / –Mf′ –m′Mi′)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩×

(a normálás helyességéről alább meggyőződünk). A két -függvény szorzatának sorba fejtett alakja [III. (110,2)] szerint a következő:

Dλm(j)Dλ′m′(j)∗=(–1)λ′+m′Dλm(j)D–λ′–m′(j)=

(–1)λ+m∑L(2L+1)(jjL / λ –λ′ –Λ)(jjL / m –m′ –μ)DΛμ(L)

( Λ=λ–λ′ , μ=m–m′ , egész szám, L≧2j ). A végső eredmény:

w(n)=((2j+1)(2Ji+1)/8π)∑L∑(m)(–1)2Ji–Mi–Mi′+m+1(2L+1)×

×(jjL / λ –λ′ –Λ)(jjL / m –m′ –μ)(JfjJi / –Mf –mMi)(JfjJi / –Mf′ –m′ –Mi′)×

5.69. egyenlet - (48,5)

\times D_{Λ μ}^{(L)} (n) ⟨ M_{i} ∣ ϱ^{(i)} ∣ M_{i}^{'} ⟩ ⟨ M_{f}^{'} ∣ ϱ^{(f)} ∣ M_{f} ⟩ ⟨ λ^{'} ∣ ϱ^{(γ)} ∣ λ ⟩ .

∑(m) ismét összegezést jelent minden (kétszer előforduló) indexre. Nem szabad elfelejteni, hogy a , indexek különböznek a többi indextől: nem 2j+1 lehetséges értékre összegezünk (adott mellett), hanem csupán kétértékre: , λ′=±1 , a foton két polarizációs állapotának megfelelően.

(48,5) tartalmaz minden szükséges információt a kisugárzott fotonok szögeloszlásáról , a foton és a másodlagos mag polarizációjáról. Természetesen feltételeztük, hogy a kezdeti sűrűségmátrixok ismertek.

Szögeloszlás

A fotonok szögeloszlását úgy kaphatjuk meg, hogy összegezünk a foton és a végállapotbeli mag polarizációjára. A polarizációra úgy átlagolunk, hogy a polarizálatlan állapot sűrűségmátrixát helyettesítjük be:

5.70. egyenlet - (48,6)

⟨ λ ∣ ϱ^{(γ)} ∣ λ^{'} ⟩ = \frac{1}{2} δ_{λ λ^{'}}, ⟨ M_{f} ∣ ϱ^{(f)} ∣ M_{f}^{'} ⟩ = \frac{1}{2 J_{f} + 1} δ_{M_{f} M_{f}^{'}},

az összegezés -vel való szorzást jelent a foton, (2Jf+1) -gyel való szorzást a mag esetében. Más szóval az összegezésnek a

5.71. egyenlet - (48,7)

⟨ λ ∣ ϱ^{(γ)} ∣ λ^{'} ⟩ \to δ_{λ λ^{'}}, ⟨ M_{f} ∣ ϱ^{(f)} ∣ M_{f}^{'} ⟩ \to δ_{M_{f} M_{f}^{'}}

helyettesítés felel meg. Így a szögeloszlás

w̄(n)=((2j+1)(2Ji+1)/8π)∑L∑(m)(–1)m′+1(2L+1)D0μ(L)(n)×

×(jjL / λ –λ 0)(jjL / m –m′ –μ)(JfjJi / –Mf –mMi)×

Az indexekre való összegezés lényegesen egyszerűsíti a fenti alakot. Felhasználjuk, hogy

5.72. egyenlet - (48,8)

(\begin{matrix} j & j & L \\ λ & - λ & 0 \end{matrix}) = {(- 1)}^{L} (\begin{matrix} j & j & L \\ - λ & λ & 0 \end{matrix}),

és így

∑λ=±1(jjL / λ –λ 0)={2(jjL / 1 –1 0), haLpáros, / 0, haLpáratlan.

Az szerinti összegben így csak a páros tagok maradnak meg, csak a páros rendű (D0μ(L)) gömbfüggvények jönnek be. Ez az eredmény előre látható: a paritás megmaradása miatt az átmeneti valószínűségnek tükrözéssel, azaz az n→–n helyettesítésel szemben invariánsnak kell lennie.

Ily módon

w̄(n)=((2j+1)(2Ji+1)/4π)∑L(2L+1)(jjL / 1 –1 0)D0μ(L)(n)∑(m)(–1)m′+1×

×(jjL / m –m′ –μ)(JfjJi / –Mf –mMi)(JfjJi / –Mf –m′Mi′)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩.

Megjegyezzük, hogy a normáltságot most könnyű igazolni: az

összefüggés értelmében, az integrálás után csak az L=μ=0 tag marad meg; a

∑Mfm(JfjJi / –Mf –mMi)2=(1/2Ji+1), Spϱ(i)=1

összefüggések segítségével meggyőződhetünk arról, hogy ez a tag .

Az mm′Mf szerinti összegezést w̄(n) belső összegében a III. (108,4) képlet segítségével végezhetjük el. A következő eredményt kapjuk:

5.73. egyenlet - (48,9)

\times \sum_{L p á r o s} {(- i)}^{L} \sqrt{2 L + 1} (\begin{matrix} j & j & L \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) \{\begin{matrix} J_{i} & J_{i} & L \\ j & j & J_{f} \end{matrix}\} \sum_{μ} 𝒫_{L μ}^{(i) *} D_{0 μ}^{(L)} (n),

ahol

Lμ(i)=iL√((2L+1)(2Ji+1))∑MiMi′(–1)ji–Mi′(JiLJi / –Mi′μMi)⟨Mi∣ϱ(i)∣Mi′⟩,

5.74. egyenlet - (48,10)

𝒫_{L μ}^{(i) *} = {(- 1)}^{L - μ} 𝒫_{L, - μ}^{(i)} .

(48,9)-ben a második összegezés a |μ|≦L értékekre megy, az első minden páros-re, melyre igaz, hogy

5.75. egyenlet - (48,11)

L ≦ 2 j, L ≦ 2 J_{i}

(ezek éppen azok a háromszög-egyenlőtlenségek, melyeket a (48,9), (48,10) alakúösszefüggések -szimbólumaiban előforduló indexeknek teljesíteniük kell.) Ezért az összegekben a tagok száma általában nem nagy. Ha például Ji=0 vagy 1∕2 , akkor csupán az L=0 tag marad meg, ami azt jelenti, hogy a sugárzás izotrop (könnyen kiszámítható, hogy az L=0 tag 1∕4 , ami a normáltságból is következik). Ha Ji=1 , 3∕2 vagy j=1 , az szerintiösszegben az L=0 és L=2 tagok maradnak meg. Megjegyezzük még, hogy ha a ϱ(i) sűrűségmátrix diagonális ( Mi=Mi′ ), akkor μ=0 , és a (48,9) eloszlásfüggvény Legendre-polinomok szerint fejthető ki [(16,5)és III. (58,23) szerint a D00(L) függvények a PL(cos) függvényekre vezetnek]. Végül, ha

azaz a kezdeti mag polarizálatlan, akkor 00(i)=1 , minden más Lμ(i)=0 .^[150]

A mennyiségeket, amelyek a mag polarizációs állapotára jellemzőek, polarizációs momentumoknak hívjuk. A (48,10) összefüggés megadja, hogyan fejezhetők ki a ϱMM′ sűrűségmátrixszal. A fordított irányú összefüggések könnyen meghatározhatók:

5.76. egyenlet - (48,12)

ϱ_{M M^{'}} = \sum_{L μ} \sqrt{\frac{2 L + 1}{2 J + 1}} i^{- L} {(- 1)}^{J - M^{'}} (\begin{matrix} J & L & J \\ - M^{'} & μ & M \end{matrix}) 𝒫_{L μ} .

Legyen fLμ valamilyen szférikus tenzor, amely a mag polarizációs állapotától függ . Középértékét az általános szabályok szerint [l. III. (14,8)] fejezhetjük ki a ϱMM′ sűrűségmátrixszal:

5.77. egyenlet - (48,13)

{\bar{f}}_{L μ} = \sum_{M M^{'}} ϱ_{M M^{'}} ⟨ J M^{'} ∣ f_{L μ} ∣ J M ⟩ .

f L μ mátrixelemét a ⟨J∥fL∥J⟩ redukált mátrixelemmel fejezhetjük ki:

⟨J?′∣fLμ∣JM⟩=iL(–1)J–M′(JLJ / –M′μM)⟨J∥fL∥J⟩,

és a polarizációs momentumok (48,10) definícióját használva kapjuk, hogy

5.78. egyenlet - (48,14)

{\bar{f}}_{L μ} = \frac{⟨ J ∥ f_{L} ∥ J ⟩}{\sqrt{(2 L + 1) (2 J + 1)}} 𝒫_{L μ} .

A foton polarizációja

Ha a ϱ(γ) és ϱ(f) mátrixok ( ϱ(i) -vel együtt) adottak, akkor (48,5) megadja azt az átmeneti valószínűséget, amikor meghatározott polarizációjú foton kibocsátása után a mag meghatározott polarizációs állapotban marad. Ezek az állapotok valójában nem magára a sugárzási folyamatra jellemzőek, hanem a foton és a visszalökött magot regisztráló detektorokra, ezek választják ki a meghatározott polarizációkat. Természetesebb a kérdés másfajta feltevése: a mag + foton rendszer végállapotát nem rögzítjük, és pusztán a kisugárzott foton irányát rögzítve határozzuk meg az állapot polarizációs sűrűségmátrixát .

A választ ismét a (48,5) képlet adja meg. Ezt

5.79. egyenlet - (48,15)

w = \bar{w} (n) \sum_{(m)} ⟨ M_{f}; n λ ∣ ϱ ∣ M_{f}^{'}; n λ^{'} ⟩ ⟨ λ^{'} ∣ ϱ^{(γ)} ∣ λ ⟩ ⟨ M_{f}^{'} ∣ ϱ^{(f)} ∣ M_{f} ⟩

alakban felírva, az ⟨Mf;nλ∣ϱ∣Mf′;nλ′⟩ kifejezés éppen a keresett sűrűségmátrix, minthogy a kvantummechanika általános szabályai szerint az adottállapotba valóátmeneti valószínűséget ennek az ismert ϱ(γ)ϱ(f) -re való„vetülete” adja meg. A w̄(n) tényezőt azért választottuk le (48,15)-ben, hogy a normálás a szokásos legyen:

Ha csak a foton polarizációjára vagyunk kíváncsiak, akkor Mf=Mf′ -re összegezni kell:

(48,9)-hez hasonlóan

⟨nλ∣ϱ∣nλ′⟩=(–1)1+Ji+Jf((2j+1)√(2Ji+1)/2πw̄(n))×

5.80. egyenlet - (48,16)

\times \sum_{L} {(- i)}^{L} \sqrt{2 L + 1} (\begin{matrix} j & j & L \\ λ & - λ^{'} & - Λ \end{matrix}) \{\begin{matrix} J_{i} & J_{i} & L \\ j & j & J_{f} \end{matrix}\} \sum_{μ} 𝒫_{L μ}^{(i) *} D_{Λ μ}^{(L)} (n)

( Λ=λ′–λ ), összegezni kell -nek azokra az egész értékeire, amelyek (48,11)-et kielégítik.

Speciálisan a cirkuláris polarizációt a

Stokes-paraméter határozza meg (lásd a 8. § feladatát). (48,8) értelmében ebből a különbségből a páros -et tartalmazó tagok kiesnek, a (48,9) kifejezéstől csak annyiban különbözik, hogy az összegezést páratlan értékeire kell végezni.

A visszalökött mag polarizációja

Ha csak a végállapotbeli mag polarizációja iránt érdeklődünk, akkor a ϱ(γ)→δ helyettesítést kell végeznünk. Ha emellett még a foton irányára is integrálunk, megkapjuk a mag polarizációs mátrixát:

=(2Ji+1)∑mMiMi′(–1)2Ji–Mi–Mi′(JfjJi / –Mf –mMi)×

Ennek segítségével a mag polarizációs momentumai a következők:

5.81. egyenlet - (48,17)

𝒫_{L μ}^{(f)} = {(- 1)}^{J_{i} + J_{f} + L + j} \sqrt{(2 J_{i} + 1) (2 J_{f} + 1)} \{\begin{matrix} J_{i} & J_{i} & L \\ J_{f} & J_{f} & j \end{matrix}\} 𝒫_{L μ}^{(i)} .

Ha a kezdeti mag polarizálatlan, akkor a visszalökött mag is az marad. Fellép azonban egy ún. korrelációs polarizáció, ha a sugárzás adott irányú. A ϱ(i)→δ∕(2Ji+1) (ennek megfelelően w̄(n)=1∕4π ) helyettesítést elvégezve, (48,9)-hez hasonló módon kapjuk az ezt a polarizációt leíró sűrűségmátrixot:

=(2j+1)(–1)Ji+Mf′+1∑Lpáros(2L+1)(jjL / 1 –1 0)(JfLJf / –Mf′μMf)×

5.82. egyenlet - (48,18)

\times \{\begin{matrix} J_{f} & J_{f} & L \\ j & j & J_{i} \end{matrix}\} D_{0 μ}^{(L)} (n) .

Az ennek megfelelő polarizációs momentumok

Lμ(f)=iL(–1)1+Ji+Jf(2j+1)√((2L+1)(2Jf+1))×

5.83. egyenlet - (48,19)

\times (\begin{matrix} j & j & L \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) \{\begin{matrix} J_{f} & J_{f} & L \\ j & j & J_{i} \end{matrix}\} D_{0 μ}^{(L)} (n) .

Csak a páros rendű momentumok jönnek be (ez is a paritásmegmaradás következménye).

Ha a visszalökött mag tovább sugároz, akkor polarizált lévén, a kisugárzott fotonok eloszlása anizotrop. Mivel a (48,19) polarizációs momentumok az először kibocsátott foton irányának függvényei, így az egymás után kisugárzott fotonok iránya között meghatározott korreláció lesz (ha a kezdeti mag polarizálatlan). Hasonló módon más korrelációs jelenségek is vizsgálhatók ilyen kaszkád folyamatokban (pl. a polarizációk közötti korreláció).^[151]

Feladat

Fejezzük ki a , polarizációs momentumokat a impulzusmomentum-vektor és a Qik kvadrupólusmomentum-tenzor várható értékének segítségével.

Megoldás. A vektor és Qik tenzor redukált mátrixelemeit a

J̄2=(⟨J∥J∥J⟩2/2J+1), Q̄ik2=(⟨J∥Q∥J⟩2/2J+1)

egyenlőségek határozzák meg [l. III. (107,10), (107,11)]. A Qik operátor az impulzusmomentum operátorával III. (75,2) szerint fejezhető ki:

Qik=(3Q/2J(2J–1))(JiJk+JkJi–(2/3)J2δik).

Ebből az átlagérték:

Q̄ik2=(3Q2/2J2(2J–1)2)J̄2(4J̄2–3)=Q2(3(2J+1)(J+1)(2J+3)/2J(2J–1)).

A redukált mátrixelemek:

⟨J∥Q∥J⟩=Q√((3(2J+1)(J+1)(2J+3)/2J(2J–1))).

A (48,14) kifejezésből látható, hogy a polarizációs momentum a

vektor, pedig a

tenzor szférikus komponenseivel egyezik meg.

^[148] Ha a rendszer és végállapota szuperponált, ψ(i)=∑nanψn(i), ψ(f)=∑mbmψm(f) , akkor a mátrixelem ⟨f∣V∣i⟩=∑mnbm∗anVmn , és négyzete |⟨f∣V∣i⟩|2=∑nn′mm′VmnVm′n′∗anan′∗bm′bm∗ . Az anan′∗→ϱnn′(i), bm′bm∗→ϱm′m(f) helyettesítéssel térünk át kevert állapotokra, ekkor |⟨f∣V∣i⟩|2→∑nn′mm′VmnVm′n′∗ϱnn′(i)ϱm′m(f) .

^[149] Az előjelszorzó átalakításakor felhasználtuk, hogy 2Ji , 2Jf , 2Mi , 2Mf azonos párosságúak, és egész számok, λ=±1 .

^[150] Valóban, felhasználva, hogy (J 0 J / –M′ 0 M)=(–1)J–M(1/√(2J+1))δMM′ , kapjuk, hogy ∑MM′(–1)J–M′(JLJ / –M′μM)δMM′=√(2J+1)∑MM′(JLJ / –M′μM)(J 0 J / –M′ 0 M)=√(2J+1)δL0δμ0 , amiből a (48,10) definíció alapján kapható a végeredmény.