ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

57.§. Fotoeffektus. A relativisztikus eset

A következőkben az

5.164. egyenlet - (57,1)

ω ≫ I

esetet vizsgáljuk. Most is igaz, hogy ε=ω–I≫I , és ezért a mag Coulomb-terének a fotoelektron hullámfüggvényére () gyakorolt hatását a perturbációszámítás segítségével vehetjük figyelembe. -t a

5.165. egyenlet - (57,2)

ψ^{'} = \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} (u^{'} e^{i p r} + ψ^{(1)})

alakban írjuk. A fotoelektron relativisztikus lehet, ezért a pertubálatlan részt a (23,1) relativisztikus síkhullám formájában írtuk.

Bár a kezdeti állapotban az elektron nemrelativisztikus, hullámfüggvényében nem hagyhatjuk el (később tisztázandó okokból) a relativisztikus korrekciót ( ∼Ze2 ). A

5.166. egyenlet - (57,3)

ψ = (1 - \frac{i}{2 m} γ^{0} γ \nabla) \frac{u}{\sqrt{2 m}} ψ_{n e m r e l}

függvény ezt teljesíti (l. a 39. § feladatát), ahol ψnemrel a kötött állapot (56,6) nemrelativisztikus hullámfüggvénye, a nyugvó elektron ūu=2m szerint normált bispinor amplitúdója.

Helyettesítsük az (57,2), (57,3) függvényeket az (56,2) mátrixelembe:^[186]

Mfi=(1/2√(mε))∫{ū′(γe)[(1–(i/2m)γ0γ∇)uψnemrel]e–i(p–k)r+

5.167. egyenlet - (57,4)

+ {\bar{ψ}}^{(1)} (γ e) e^{i k r} u ψ_{n e m r e l}\} d^{3} x .

Mivel a mátrixelemnek Ze2 -ben elsőrendű tagjára vagyunk kíváncsiak, a kapcsos zárójel második tagjában ψnemrel helyébe a (Ze2m)3∕2∕√π állandót írhátjuk. Az első tag ilyen közelítésben (ha p–k≠0 ) eltűnne (éppen ezért kell -ben az első relativisztikus korrekciót is figyelembe venni, ami Ze2 -tel arányos; v∼1 esetén ez ugyanolyan rendű járulékot ad a hatáskeresztmetszethez, mint ψnemrel Ze2 szerinti sorának második tagja).

(57,4) első tagjában parciálisan integrálunk, a operátort ψnemrel az exponenciálisra hárítva. Eredményként azt kapjuk, hogy

5.168. egyenlet - (57,5)

M_{f i} = \frac{{(Z e^{2} m)}^{3 ∕ 2}}{2 {(ψ m 𝜀)}^{1 ∕ 2}} \{ū^{'} (γ e) [1 + \frac{1}{2 m} γ^{0} γ (p - k)] u {(e^{- Z e^{2} m r})}_{p - k} + {\bar{ψ}}_{k}^{(1)} (γ e) u⟩,

a vektorindex a térbeli Fourier-komponenst jelöli. Ze2 szerint első rendben:^[187]

5.169. egyenlet - (57,6)

{(e^{- Z e^{2} m r})}_{p - k} = \frac{8 π Z e^{2} m}{{(p - k)}^{4}} .

A ψk(1) Fourier-komponens kiszámítása céljából írjuk fel a ψ(1) -re érvényes egyenletet:

(γ0ε+iγ∇–m)ψ(1)=e(γμAμ)u′eipr=–(Ze2/r)γ0u′eipr

[ezt (57,2)-nek (32,1)-be való helyettesítésével kapjuk]. Mindkét oldalra alkalmazva a (γ0ε+iγ∇+m) operátort, kapjuk, hogy

(Δ+p2)ψ(1)=–Ze2(γ0ε+iγ∇+m)(γ0u′)(1/r)eipr.

Az egyenletet e–ikr -rel szorozzuk és d3x szerint integráljuk; a és operátorokat tartalmazó tagokban a szokásos módon parciálisan integrálunk:

(p2–k2)ψk(1)=–Ze2(γ0ε–γk+m)(γ0u′)((1/r))k–p=

A második átalakításnál kihasználtuk, hogy kielégíti az

egyenletet. Ebből

5.170. egyenlet - (57,7)

{\bar{ψ}}_{k}^{(1)} = ψ_{k}^{(1) *} γ^{0} = 4 π Z e^{2} ū^{'} \frac{2 𝜀 γ^{0} + γ (k - p)}{(k^{2} - p^{2}) {(k - p)}^{2}} γ^{0} .

(57,6)és (57,7) segítségével az (57,5) mátrixelemre a következő alakot kapjuk:

ahol

a=(1/(k–p)2)+(ε/m)(1/k2–p2), b=–(k–p/2m(k–p)2), c=(k–p/2m(k2–p2)).

A hatáskeresztmetszet

dσ=(8e2(Ze2m)5|p|/ω(k–p)4m)(ū′Au)(ūĀu′) dΩ,

ahol Ā=γ0A+γ0 (l. 66. §). Ezt a kifejezést még az elektron spinjének végállapotbeli irányaira összegezni, kezdeti állapotbeli irányaira átlagolni kell. Ez a később, a 66. §-ban leírt szabályok szerint végezhető el, felhasználva a kezdeti és a végállapot polarizációs sűrűségmátrixát:

(a kezdeti állapotban p=0,ε=m ). Az eredmény

dσ=(16e2(Ze2m)5|p|/mω(k–p)4)Sp(ϱ′AϱĀ) dΩ.

A nyom kiszámítása tisztán algebrai feladat, a következő eredményt adja:^[188]

Sp(ϱ′AϱĀ)=(m/ε+m)[ap–(b–c)(ε+m)]2+4m(be)[(ε+m)(ce)+a(pe)]

(feltételezzük, hogy az vektor valós – a foton lineárisan polarizált).

A hatáskeresztmetszet végső alakját a irányát meghatározó polár- és azimutszöggel adjuk meg; a koordináta-rendszert úgy választjuk, hogy a tengely irányába mutasson, a és vektorok síkja legyen az sík (úgyhogy pe=|p|cosφsin ). ω≫I esetén az energiamegmaradás ε–m=ω alakban írható ( ε–m=ω–I helyett). Könnyű igazolni, hogy ekkor

ahol v=p∕ε a fotoelektron sebessége. Egyszerű átalakítások után kapjuk, hogy

dσ=Z5α4re2(v3(1–v2)3sin2/(1–√(–v2))5(1–vcos)4){((1–√(1–v2))2/2(1–v2)3∕2)(1–vcos)+

5.171. egyenlet - (57,8)

[2 - \frac{(1 - \sqrt{1 - v^{2}}) (1 - v cos 𝜃)}{1 - v^{2}}] {cos}^{2} φ\} d Ω,

ahol re=e2∕m .

Ultrarelativisztikus esetben ( ε≫m ) a hatáskeresztmetszetnek kis szögeknél ( ∼√(1–v2) ) éles maximuma van, azaz az elektronok túlnyomóan a beeső foton irányában lépnek ki. A maximum körül

és (57,8) vezető tagjait megtartva, azt kapjuk, hogy

5.172. egyenlet - (57,9)

d σ \approx 4 Z^{5} α^{4} r_{e}^{2} \frac{{(1 - v^{2})}^{3 ∕ 2} 𝜃^{3}}{{(1 - v^{2} + 𝜃^{2})}^{3}} d 𝜃 d φ .

Elemi, de eléggé hosszadalmas, szög szerinti integrálással adódik a teljes hatáskeressztmetszet (F. Sauter , 1931):

5.173. egyenlet - (57,10)

σ = 2 π Z^{5} α^{4} r_{e}^{2} \frac{{(γ^{2} - 1)}^{3 ∕ 2}}{{(γ - 1)}^{5}} \{\frac{4}{3} + \frac{γ (γ - 2)}{γ + 1} (1 - \frac{1}{2 γ \sqrt{γ^{2} - 1}} ln \frac{γ + \sqrt{γ^{2} - 1}}{γ - \sqrt{γ^{2} - 1}})\},

ahol a rövidség kedvéért bevezettük a

5.174. egyenlet - (57,11)

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}} = \frac{𝜀}{m} \approx \frac{m + ω}{m}

„Lorentz-tényezőt” . Ultrarelativisztikus esetben az egyszerű

5.175. egyenlet - (57,12)

\sim = 2 π Z^{5} α^{4} r_{e}^{2} \frac{1}{γ}

eredményt kapjuk. I≪ω≪m esetén az ismert (56,14) képlet adódik, ha (57,10)-ben a γ–1→0 határátmenetet elvégezzük.

^[186] Az (57,3) függvény az r∼1∕(mZe2) távolságokra jó, a korrekciós tagok relatív nagyságrendje ilyen mellett Ze2 . Alapállapotra (és általában minden állapotra) (57,3) tetszőleges mellett érvényes, minthogy az (56,6) tiszta exponenciális függvény differenciálhányadosa [és így az (57,3)-hoz adódó korrekciós tag is] mindig Ze2 -tel arányos. Ezért használható (57,3) most, amikor (mint látni fogjuk) a kis értékek lényegesek.

^[187] A (Δ–λ2)(e–λr/r)=–4πδ(r) egyenlőség mindkét oldalának Fourier-transzformáltját véve, azt kapjuk, hogy ((e–λr/r))q=(4π/q2+λ2) . Ezt szerint differenciálva, (e–λr)q=(8πλ/(q2+λ2)2) .

^[188] A nyomok számítására alkalmas háromdimenziós képletek a 22. §-ban levezetett négydimenziósakkal azonosak. Csak páros számú -t és mátrixot tartalmazó szorzat nyoma különbözik nullától; minden -gyel helyettesíthető, két és négy -t tartalmazó kifejezések nyomait pedig a következő egyenlőségek adják meg: (1/4)Sp(aγ)(bγ)=–ab , (1/4)Sp(aγ)(bγ)(cγ)(dγ)=(ab)(cd)+(ad)(bc) .