ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

58.§. A deuteron fotodezintegrációja

A deuteron jellegzetes tulajdonsága, hogy kötési energiája (a potenciálgödör mélységéhez képest) kicsi. Ez teszi lehetővé, hogy deuteronreakciókat le lehet írni a magerők részletes ismerete nélkül, pusztán a kötési energia segítségével (l. III. 133. §). Fel szokták tételezni, hogy az ütköző részecskék hullámhossza nagy a magerők hatótávolságához képest.

Ez arra az esetre is vonatkozik, amikor -kvantumok hasítják szét a deuteront, amelyekre igaz a ka≪1 feltétel. Feltesszük azt is, hogy pa≪1 , ahol a neutron és proton relatív impulzusa a végállapotban (ez a feltevés erősebb, mint az előző^[189]).

A fotoeffektus hatáskeresztmetszetének (56,5) nemrelativisztikus alakjából indulunk ki, elvégezve az irány szerinti integrálást:

Itt a proton és neutron relatív impulzusa,^[190] az (56,5)-beli -et az M∕2 redukált tömeggel helyettesítettük ( a nukleontömeg). A proton sebességének kell a mátrixelemét képezni, mivel csak a proton hat kölcsön a fotonnal. -t a impulzussal kifejezve ( vp=v∕2=p∕M ),

5.176. egyenlet - (58,1)

σ^{(e)} = \frac{e^{2} p}{3 M ω} | p_{f i} |^{2}

adódik. Az () index arra utal, hogy a képlet elektromos dipólusátmenetnek felel meg: ep∕M=evp=d , úgyhogy epfi∕M=iωdfi .

A deuteron kezdeti (alap-) állapotának normáit hullámfüggvénye:

5.177. egyenlet - (58,2)

ψ = \sqrt{\frac{ϰ}{2 π}} \frac{e^{- ϰ r}}{r}, ϰ = \sqrt{M I},

ahol I=2,23 MeV a kötési energia (vö. III. 133. §).^[191] A végállapot hullámfüggvénye a szabad mozgás hullámfüggvénye, azaz síkhullám,

5.178. egyenlet - (58,3)

ψ^{'} = e^{i p r} .

Ennek oka az, hogy a vizsgált elméletben a „deuteron kiterjedése”, 1∕ϰ nagy az effektív kölcsönhatási sugárhoz képest. A proton és neutron közötti kölcsönhatás számításánál ezért elegendő az állapotokat figyelembe venni; az l≠0 állapotok, melyeknek hullámfüggvénye kis távolságoknál kicsi, elhanyagolhatók. A kiválasztási szabályok szerint az elektromos dipólusátmenet két állapot (az alapállapot és a folytonos spektrum egy állapota) között tiltott. Ezért a végállapotban a nukleonok közötti kölcsönhatás elhanyagolható.

Parciális integrálással kapjuk, hogy a mátrixelem

pfi=i√((ϰ/2π))∫e–ipr∇(e–ϰr/r) d3x=√((ϰ/2π))p((e–ϰr/r))p=√((ϰ/2π))(2πp/p2+ϰ2)

(vö. az V. fejezet 52. lábjegyzetével).

Felhasználva az energiamegmaradást kifejező

egyenlőséget, a dezintegráció hatáskeresztmetszetére (szokásos egységekben) a

5.179. egyenlet - (58,4)

σ^{(e)} = \frac{8 π}{3} α \frac{ℏ^{2}}{M} \frac{\sqrt{I} {(ℏ ω - I)}^{3 ∕ 2}}{{(ℏ ω)}^{3}}

végső alakot kapjuk (H. A. Bethe , R. Peierls , 1935). Maximuma van hslashω=2I .nél, a ℏω→I és ℏω→∞ határátmenetekben eltűnik.

(58,4) leírja a fotonabszorpciót elektromos dipólus-kölcsönhatás esetén , azonban a fotoeffektus küszöbének közelében (ℏω→I) nem ez adja a fő járulékot a hatáskeresztmetszethez. Ennek oka az, hogy ebben a tartományban az állapotba való átmenetek adják a lényeges járulékot, elektromos dipólus-abszorpcióban pedig ilyenek nincsenek. Ugyancsak hiányoznak az elektromos kvadrupólus-abszorpcióból: a paritásra vonatkozó kiválasztási szabályt teljesítik ugyan, de a pálya-impulzusmomentumra vonatkozót nem (emlékeztetünk, hogy a tenzorerőt elhanyagoltuk, és így és külön-külön megmarad). Ezért, hogy a fotodezintegráció hatáskeresztmetszetét a küszöb közelében is kiszámíthassuk, a mágneses dipólus-abszorpciót kell vizsgálnunk, melynél a kiválasztási szabályok nem tiltják az állapotok közötti átmeneteket (E. Fermi , 1935).

(58,1)-be az elektromos helyett a mágneses momentumot helyettesítve, azt kapjuk, hogy

5.180. egyenlet - (58,5)

σ^{(m)} = \frac{1}{3} ω M p | μ_{f i} |^{2} .

A pályamozgáshoz tartozó mágneses momentum nem ad járulékot μfi -be, mivel az pálya-impulzusmomentumnak állapotok közötti átmenetekre nincs mátrixeleme. A spinhez tartozó mágneses momentum:

ahol S=sp+sn , és pedig a proton és neutron mágneses momentuma . Ha a tenzorerőket elhanyagoljuk, a teljes spin megmarad, így operátorának nincs nullától különböző átmeneti mátrixeleme. Ezért

Ugyanebben a közelítésben a spin- és pályaváltozók szeparálhatók. A hullámfüggvényhez hasonlóan a mátrixelem is egy spintől és egy koordinátáktól függő rész szorzataként állítható elő:

μfi=2(μp–μn)⟨spS′M′∣sp∣spSM⟩∫ψ′∗(r)ψ(r) d3x.

A spin–spin típusú magkölcsönhatás jelenléte miatt a ψ(r) hullámfüggvényre vonatkozó egyenlet a spin értékét paraméterként tartalmazza. Ha S′=S , akkor ψ′(r) és ψ(r) ugyanazon operátor sajátfüggvényei, és ezért ortogonálisak. Ennek következtében a kezdeti állapotból csak a folytonos spektrum állapotába történhet átmenet.

Az (58,5)-ben szereplő |μfi|2 -et a kezdeti állapot spinjének vetületei szerint átlagolni kell. Ezért ki kell számítanunk az

mennyiséget, az sp=sn=1∕2 , S=1 , S′=0 értékekkel. Az impulzusmomentumok összeadására vonatkozó általános szabályok szerint ez

={spS′sn / Ssp 1}2|⟨n′sp∥sp∥nsp⟩|2=(1/6)|⟨sp∥sp∥sp⟩|2

[felhasználtuk a III. (107,11), (109,3) képleteket]. A redukált mátrixelem

(58,5) alakja így:

5.181. egyenlet - (58,6)

σ^{m} = \frac{1}{3} ω M p {(μ_{p} - μ_{n})}^{2} {|\int ψ^{' *} ψ d^{3} x|}^{2} .

A kezdeti hullámfüggvényt (58,2) adja meg. A végállapot hullámfüggvénye

Ez, lényegtelen fázisszorzótól eltekintve, az (56,7) függvény sorának első tagja ( l=0 ), a függvény aszimptotikus alakja egy síkhullámot és egy befutó gömbhullámot tartalmaz. Mivel a magerők hatósugarán kívül a teljes térre kell integrálni, így a radiális függvény

A fázis a „proton + neutron” rendszer S=0 virtuális szintjével ( I1=0,067 MeV ) van kapcsolatban:

(l. III. 133. §). Ezzel

∫ψ′∗ψd3x=(2π)3∕2(√ϰ/pπ)ℑ∫e–ϰr+ipreiδdr=(2π)3∕2(√ϰ/pπ)ℑ(eiδ/ϰ–ip).

Egyszerű algebrai átalakítások után a hatáskeresztmetszetre a következő kifejezést kapjuk (a szokásos egységekben) :

5.182. egyenlet - (58,7)

σ^{(m)} = \frac{8 π}{3 ℏ c} {(μ_{p} - μ_{n})}^{2} \frac{\sqrt{I (ℏ ω - I)} {(\sqrt{I} + \sqrt{I_{1}})}^{2}}{ℏ ω (ℏ ω - I + I_{1})}

ℏω→I esetén a hatáskeresztmetszet √(ℏωI) szerint tűnik el–a reakció-hatáskeresztmetszetek általános küszöbviselkedésének megfelelően (l. III. 147. §).

A fotodezintegráció inverz folyamata az, hogy a neutron befog egy protont , közben egy foton emittálódik. A befogás hatáskeresztmetszetét ( σbef ) a fotoeffektus hatáskeresztmetszetével () a részletes egyensúly elvének alapján fejezhetjük ki [v8. (56,15) levezetésével]. A neutron és proton spin szerinti statisztikus súlya 2⋅2=4 . A deutroné ( S=1 állapotban) és a fotoné 3⋅2=6 . Ezért

5.183. egyenlet - (58,8)

σ_{b e f} = \frac{3}{2} \frac{{(ℏ ω)}^{2}}{c^{2} p^{2}} σ_{f} = \frac{3 {(ℏ ω)}^{2}}{2 M c^{2} (ℏ ω - I)} σ_{f} .

^[189] A fotoenergia, melynél pa≈1 ( a=1,5⋅10–13cm ), 15 MeV .

^[190] Ebben a szakaszban jelöli |p| -t.

^[191] E függvény pontosabbá tehető. A korrekció végességével függ össze, és abban áll, hogy (58,2)-ben a normálási tényezőt a √((ϰ/2π(1–aϰ))) kifejezéssel helyettesítjük (l. a III. 133. § 1. feladatot). Ennek megfelelően a hatáskeresztmetszetekre vonatkozó képletekben is megjelenik az 1∕(1–aϰ) tényező. Meg kell mondanunk, hogy a korrekció nem kicsi: a deuteron alapállapotában az aϰ≈0,4 . A deuteron alapállapota 3S1 és egy kevés 3D1 állapot „keveréke”, ami a nukleáris tenzorerővel áll összefüggésben (l. III. 117. §). Ezt a kevertséget és így magát a tenzorerőt is elhanyagoljuk.