ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

63.§. A színképvonalak természetes kiszélesedése

Eddig a fényemisszió és -abszorpció tanulmányozása során a rendszer (mondjuk atom) összes szintjeit mint szigorúan diszkrét vonalakat tekintettük. Ugyanakkor a gerjesztett nívóknak, amelyek bizonyos valószínűséggel fényt bocsáthatnak ki, véges élettartamuk van. Ez a kvantummechanika általános szabályai szerint az energia-szintek kvázidiszkrétté válásához vezet, azaz a nívók véges (kicsiny) szélességre tesznek szert (l. III. 134. §); így azokat E–(1/2)iΓ alakban kell írni, ahol Γ(=Γ∕ℏ) az adott állapot ( másodpercre jutó) teljes „bomlási” valószínűsége .

Vizsgáljuk meg, hogyan tükröződik ez a körülmény a sugárzási folyamatban (V. Weisskopf , E. Wigner , 1930). Eleve világos, hogy a véges nívószélesség miatt a kibocsátott fény nem szigorúan monokromatikus: a frekvenciák egy Δω∼Γ(=Γ∕ℏ) szélességű intervallumban fognak szórni. Ahhoz azonban, hogy a fotonok frekvencia-eloszlását ilyen pontossággal mérhessük meg, T≫1∕Δω∼ℏ∕Γ időre van szükségünk. Ezalatt a nívó igen nagy valószínűséggel lebomlik. Ezért az adott frekvenciájú foton emissziójának teljes, és nem másodpercre jutó valószínűségét kell vizsgálnunk. Számítsuk ki mindenekelőtt ezt az átmeneti valószínűséget valamely

gerjesztett nívóról az alapszintre történő átmenetre; ez utóbbi végtelen élettartalmú, azaz szigorúan diszkrét nívó.

Legyen az atom és a fotontér együttes hullámfüggvénye, H=H(0)+V e rendszer Hamilton-operátora , amelyben az atom és a fotontér kölcsönhatását leíró operátor. A következő Schrödinger-egyenlet megoldását keressük:

6.36. egyenlet - (63,1)

i \frac{\partial Ψ}{\partial t} = (H^{(0)} + V) Ψ,

a megoldást a rendszer perturbálatlan hullámfüggvényei szerinti sorfejtés alakjában vesszük fel:

6.37. egyenlet - (63,2)

Ψ = \sum_{ν} a_{ν} (t) Ψ_{ν}^{(0)} = \sum_{ν} a_{ν} (t) e^{- i ℰ_{ν} t} ψ_{ν}^{(0)} .

Az aν(t) együtthatókra a következő egyenletrendszert kapjuk:

6.38. egyenlet - (63,3)

i \frac{\partial a_{ν}}{\partial t} = \sum_{ν^{'}} ⟨ ν ∣ V ∣ ν^{'} ⟩ a_{ν^{'}} exp {i (ℰ_{ν} - ℰ_{ν^{'}}) t} .

Legyen |ν⟩ az ℰν=E2+ω energiájú állapot, amelyben az atom az alapnívón tartózkodik, és egy meghatározott frekvenciájú kvantum van jelen; jelöljük ezt az állapotot |ω2⟩ -vel. A rendszer kezdetben az |1⟩ állapotban van, amelyben az atom az szintre van gerjesztve, foton pedig nincs jelen. Más szavakkal, t=0 esetén

6.39. egyenlet - (63,4)

a_{1} = 1, a_{ν^{'}} = 0, h a |ν^{'}⟩ \neq |1⟩ .

A (63,3) egyenletnek e kezdőfeltétel mellett adódó megoldása (a hullámfüggvények megfelelő normálása esetén) megadja az atom egy frekvenciaintervallumba eső fotonja kibocsátásával kísért 1→2 állapotátmenetének valószínűségét a pillanatig:

Bennünket a t→∞ esetén adódó végső valószínűség érdekel:

6.40. egyenlet - (63,5)

d w = | a_{ω 2} (\infty) |^{2} d ω .

A kérdésfeltevés jobb megvilágítása érdekében megemlítjük, hogy az 1→2 átmenet szokásos ( másodpercre jutó) sugárzási valószínűségének számításakor (a vonalszélesség figyelembevétele nélkül) a (63,3) egyenletet kell megoldani, jobb oldalán első közelítésben minden aν′ -t a (63,4)értékekkel helyettesítve. Azután a kapott megoldást nagy értékeire vizsgáljuk (l. III. 42. §). Ennek az eljárásnak az értelme pontosabban a következő: olyan időtartamokra vonatkozik, amelyek a gerjesztett szint élettartamához képest kicsik; azaz nagy alatt az 1∕(E1–E2) periódushoz képest nagy, de 1∕Γ1 -hez viszonyítva kicsiny időket értünk.

Esetünkben azokat az időtartamokat vizsgáljuk, amelyeknek hossza 1=Γ1 -gyel összemérhető; ekkor az a1(t) függvény az idővel az

6.41. egyenlet - (63,6)

a_{1} (t) = e^{- \frac{Γ_{1}}{2} t}

törvény szerint változik. Az aν′(t) függvények, amelyek a |ν′⟩ állapotok megjelenését jellemzik az atom sugárzása során, időben növekszenek. Ha az nívóról (-n kívül) különféle atomi szintekre lehetséges sugárzásiátmenet, akkor sok növekvő függvény jelenik meg; mindegyik olyanállapotnak felel meg, amelyben az atom valamelyik energia sajátállapotában van, és egy megfelelő energiájú foton is megjelenik. Azonban (63,3) jobb oldalán továbbra is csak egyetlen tag, a |ν′⟩=|1⟩ marad. Ugyanis csak a bizonyos energiájú fotonok számát -gyel változtatóátmenetek mátrixelemei különböznek nullától, ezért eleve nulla azoknak az átmeneteknek a mátrixeleme, amelyek egy-egy különböző energiájú fotont tartalmazóállapot közötti átmenetet írnak le.

Így aω2(t) -re a következő egyenlet adódik:

6.42. egyenlet - (63,7)

i \frac{d a_{ω 2}}{d t} = ⟨ ω 2 ∣ V ∣ 1 ⟩ e^{i (E_{2} + ω - E_{1}) t} a_{1} = ⟨ ω 2 ∣ V ∣ 1 ⟩ exp \{i (ω - ω_{12}) t - \frac{Γ_{1}}{2} t\}

(ahol ω12=E1–E2 ). Az aω2(0)=0 kezdeti feltétellel elvégezve az integrálást,

6.43. egyenlet - (63,8)

a_{ω 2} = ⟨ ω 2 ∣ V ∣ 1 ⟩ \frac{1 - exp \{i (ω - ω_{12}) t - \frac{Γ_{1}}{2} t\}}{ω - ω_{12} + \frac{i}{2} Γ_{1}}

az eredmény. Ebből a (63,5)-beli valószínűség:

Minthogy Γ1≪ω12 , így az |⟨ω2∣V∣1⟩|2 szorzótényezőben ω=ω12 írható. Ekkor a 2π|⟨ω2∣V∣1⟩|2 mennyiség az ω12 frekvenciájú foton szokásos ( másodpercre jutó) kisugárzási valószínűsége; a foton egyéb jellemzőitől (irány, polarizáció) eddig a jelölés rövidsége kedvéért eltekintettünk. Megjegyezzük, hogy az ezektől a kvantumszámoktól való függést az |⟨ω2∣V∣1⟩|2 mátrixelemnégyzet teljesen meghatározza. Más szavakkal, a nívószélesség figyelembevétele nem változtatja meg a sugárzás polarizációs és szögelosztási tulajdonságait. A

6.44. egyenlet - (63,9)

Γ : 1 \to 2 = 2 π \sum | ⟨ ω 2 ∣ V ∣ 1 ⟩ |^{2}

összeg, melyet a kibocsátott foton polarizációjára és mozgása irányára vettünk, az emisszió szokásos teljes valószínűsége. Ez egyúttal az nívó szélességének az a járuléka, amely az 1→2 átmenetből származik (parciális szélesség), megkülönböztetésként azösszes lehetséges „bomlási” mód járulékából összeadódó teljes szélességtől.^[220]

A fenti összegezést a valószínűségre elvégezve, a következő végleges formulát kapjuk a kibocsátott fény frekvenciaeloszlására

6.45. egyenlet - (63,10)

d w = w_{t o t} \frac{Γ_{1}}{2 π} \frac{d ω}{{(ω_{12} - ω)}^{2} + \frac{Γ_{1}^{2}}{4}},

ahol wtot=Γ1→2∕Γ1 az adott 1→2 átmenet teljes relatív valószínűsége. Ez diszperzív jellegű eloszlás. A spektrálvonalak (63,10) szerinti alakja az izolált rögzített atomra jellemző; neve természetes^[221] vonal alak .

Legyen most az szint szintén gerjesztett, véges szélességű. Ezt a körülményt azzal vesszük figyelembe, hogy a (63,1) egyenlet „perturbálatlan” Hamilton-operátorába bevesszük az összes tagot (azaz mátrixelemet), melyek a 2 állapot bomlását előidézik. Ekkor a (63,7) egyenlet jobb oldalán az energiát E2–(1/2)iΓ2 -vel helyettesíthetjük. Az ⟨ω2∣V∣1⟩ mátrixelemen a megkövetelt közelítésben H(0) változása ( kicsinysége miatt) nem tükröződik. így (63,8) helyett

6.46. egyenlet - (63,11)

a_{ω 2} (t) = ⟨ ω 2 ∣ V ∣ 1 ⟩ \frac{1 - exp \{i (ω - ω_{12}) t - \frac{1}{2} (Γ_{1} - Γ_{2}) t\}}{ω - ω_{12} + \frac{i}{2} (Γ_{1} - Γ_{2})}

adódik. A 2állapot, amely véges élettartamú, maga is elbomlik valamely frekvenciájú foton kibocsátásával, és az atom végül az alapállapotba megy át [ennek megfelelően az atom 2állapotbeli |aω2(t)exp(–Γ2t∕2)|2 találati valószínűsége t→∞ esetén nullához tart).^[222] A rendszernek e végállapotában így az atom az alapszinten helyezkedik el, és egy-egy foton , ill. frekvenciával van még jelen. Ebben az állapotban az aωω′0(t) együttható olyan egyenletet elégít ki, amely (63,7)-től csak jelölésekben tér el:

i(daωω′0/dt)=aω2⟨ωω′0∣C∣ω2⟩exp{i(E0+ω+ω′)t–i(E2+ω)t–(Γ2/2)t}=

Ennek az egyenletnek a jobb oldalába aω2(t) -t (63,11)-ből beírva, integrálva [az aω2(0)=0 kezdőfeltételnek eleget téve], végül a t→∞ határátmenetet végrehajtva, a következőket kapjuk:

aωω′0(∞)=(⟨ω2∣V∣1⟩⟨ωω′0∣V∣ω2⟩/ω–ω12+(i/2)(Γ1–Γ2))

{(1/ω′–ω20+(i/2)Γ2)–(1/ω+ω′–ω10+(i/2)Γ1)}=

=(⟨ωω′0∣V∣ω2⟩⟨ω2∣V∣1⟩/(ω′–ω20+(i/2)Γ2)(ω+ω′–ω10+(i/2)Γ1)).

Az és fotonok kibocsátási valószínűsége:

6.47. egyenlet - (63,12)

\frac{Γ_{1 \to 2}}{2 π} \frac{Γ_{2 \to 0}}{2 π} \frac{d ω d ω^{'}}{[{(ω^{'} - ω_{20})}^{2} + \frac{1}{4} Γ_{2}^{2}] [{(ω + ω^{'} - ω_{10})}^{2} + \frac{1}{4} Γ_{1}^{2}]} .

Amint azt elvártuk, e kifejezésnek éles maximumai vannak az ω′≈ω20 és ω≈ω12 helyeken.

A színképvonalnak az 1→2 átmenethez tartozó keresett alakját (63,12) dω′ szerinti integrálásával kapjuk meg [az integrál kiterjeszthető a teljes (–∞,+∞) tartományra]. Az integrált legegyszerűbb a reziduumtétel segítségével kiszámítani; az eredmény a következő:^[223]

6.48. egyenlet - (63,13)

d w = w_{t o t} \frac{Γ_{1} + Γ_{2}}{2 π} \frac{d ω}{{(ω - ω_{12})}^{2} + \frac{1}{4} {(Γ_{1} + Γ_{2})}^{2}},

ahol wtot=(Γ1→2Γ2→0/Γ1Γ2) a tetszőleges 1→2→0 kettős átmenet teljes valószínűsége.^[224]

A (63,13) alakja Γ1→Γ1+Γ2 cseréjével adódik (63,10)-ből – azaz a vonalszélesség a kezdeti és a végállapot szélességének összege.

Megjegyezzük, hogy a vonalszélesség általában nem egyenlő az 1→2 átmenet Γ1→2 valószínűségével, azaz nem arányos a vonal intenzitásával (amint az a klasszikus elméletben lenne). Minthogy Γ1+Γ2>Γ1→2 , így a vonalnak nagy szélessége lehet viszonylag kis intenzitás mellett.

^[220] Megjegyezzük, hogy a folytonos spektrumba történő átmenetek, melyek a vonalszélességet végessé teszik, nem feltétlenül járnak a foton kisugárzásával. Az erősen gerjesztett (Röntgen-) nívók elektronemissziójával is elbomolhatnak, alapállapotú pozitív iont keltve (Auger-effektus).

^[221] Megkülönböztetésül az atomnak más atomokkal való kölcsönhatása (ütközési kiszélesedés) vagy a sugárforrásban különböző sebességgel mozgó atomok jelenléte következtében létrejövő kiszélesedéstől (Doppler-kiszélesedés ).

^[222] Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy a 2→0 átmenet közvetlenül, és nem közbenső szinteken át valósul meg. Ez a feltevés nem elvi jellegű, így a (63,13) végeredményt nem befolyásolja.

^[223] Az integrálást a valós tengelyből és a felső félsík végtelen távoli félköréből álló vonal mentén végezzük el. Az integrandusnak a felső félsíkban két pólusa van: ω′=ω20+(i/2)Γ2, ω′=ω10–ω+(i/2)Γ1 , melyek reziduumai rendre: (1/iΓ2)[(ω–ω12+(i/2)Γ2)2+(Γ12/4)]–1és (1/iΓ1)[(ω–ω12–(i/2)Γ1)2+(Γ22/4)]–1 .

^[224] Bonyolultabb esetekben (l. a VI. fejezet 21. lábjegyzetét) wtot az összes 1→2 átmenettel kezdődő és a 0 szinten végződő bomlás teljes valószínűsége.