Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Fényszórásnál a színképvonalak véges szélességének figyelembevétele azokban az
esetekben lényeges, amikor a beeső fénykvantum frekvenciája közel kerül az
közbenső frekvenciák valamelyikéhez (ún.
rezonancia-fiuoreszcencia).[225]
Tekintsük a rendszer eltolásmentes kölcsönhatását a fénnyel, alapállapotban; ekkor a
kezdeti és végszintek azonosak, és szigorúan diszkrétek. Legyen a fény frekvenciája
valamilyen -hez közel, ahol
gerjesztett szint és így kvázidiszkrét.
Ezt a jelenséget az előző 63§-ban bemutatott módszerrel is leírhatjuk. Ez azonban nem szükséges, mivel a feladat teljesen hasonló a III. 134. §-beli, a kvázidiszkrét szinten történő nemrelativisztikus rezonanciaszórás feladatához. Az ott nyert eredményeknek megfelelően a szórásamplitúdó tartalmazni fogja az
pólusszorzót. Másrészt esetén a képletnek át kell mennie a nemrezonáns (60,5) alakba. Ebből világos, hogy a keresett szórási
hatáskeresztmetszet egyszerűen
-nek az
-nel való helyettesítésével adódik, míg az
-re való összegezéskor a rezonanciatagokra szorítkozhatunk:
Az összegezést minden (különböző impulzusmomentum-vetületű)
rezonanciaszinthez tartozóállapotra ki kell terjeszteni. Az
1és 2állapotok ugyanahhoz az (alap-)
állapothoz tartoznak, de
és
értékében különbözhetnek.
A (64,1) hatáskeresztmetszet -nél maximális. Nagyságrendjét tekintve a maximumhoz közeli érték
. Minthogy a spontán
átmenet valószínűsége és vele a szélesség
, ezért a hatáskeresztmetszet értéke a maximumnál nagyságrendileg
azaz a fény hullámhosszának négyzetével azonos nagyságrendű, és független a
finomszerkezeti állandótól.
Hangsúlyozzuk, hogy mivel az atom mind az ütközés előtt, mind utána szigorúan
diszkrét (alap-) állapotban van, az elsődleges és másodlagos foton frekvenciái szigorúan
megegyeznek. Tehát monokromatikus fénnyel való megvilágítás esetén a szórt fény is
monokromatikus. Ha a beeső fény spektrális intenzitáseloszlása , és a
szélesség tartományában
kevéssé változik, akkor a szórt fény intenzitása az
kifejezéssel arányos. Más szavakkal, a szórt vonal alakja az szint spontán emissziójának során keletkező sugárzás természetes
alakjával egyezik meg. A (64,1)
hatáskeresztmetszetnek a
szórástenzor felel meg. Speciálisan, a polarizációs tenzor
Rögtön észrevehetjük, hogy a közbenső gerjesztett állapotok energiájához képzetes részt adva, a polarizációs tenzor hermitikussága megsérül. Megjelenik egy antihermitikus rész, amely, mint azt azonnal megmutatjuk, a fény abszorpciójával kapcsolatos.
Elnyelvén egy kvantumot, az atom előbb-utóbb újra alapállapotba kerül egy vagy több
foton kisugárzásával. Ezért ebből a szempontból az abszorpciós hatáskeresztmetszet
egyszerűen az összes lehetséges szórási folyamat teljes hatáskeresztmetszete.[226] Másrészt az optikai tétel szerint (72. §) a hatáskeresztmetszetet a rugalmas, nulla szögű
szórás
amplitúdójának képzetes részével fejezhetjük ki
szerint. A rugalmas fotonszórás amplitúdója (60,7) szerint
A nulla szögű szórás ez esetben a foton impulzusának és polarizációjának változása
nélkül végbemenő reakciót jelenti, azaz . Tehát a fotonabszorpciós hatáskeresztmetszet a következő:
amely összefüggés meg is adja az abszorpcióés a polarizációs tenzor
antihermitikus részének kapcsolatát.
A (64,6) összefüggésnek egyszerű klasszikus
jelentése van. Az elektromos tér (
alatt) a töltések rendszerén
munkát végez. A teret (60,19)
alakban írva, a dipólusmomentumot pedig (60,20), (60,21) szerint kifejezve, a
munkát idő szerint átlagolva, az adódik, hogy
(). Másrészt, ha
a beeső fény tere, akkor benne az átlagos energiaáram;sűrűség
, az atom által az időegység alatt elnyelt energia :
A kapott két mennyiség egyenlőségét megkövetelve, (64,6)-ot kapjuk.
(64,6)-ba a (64,5)-beli polarizációs tenzort helyettesítve, az frekvenciájú foton abszorpciós hatáskeresztmetszetére, amennyiben
, a következő összefüggést kapjuk:
A határátmenetben a képlet utolsó tényezője a
függvényhez tart annak megfelelően, hogy ebben az esetben csak a
határozott frekvenciájú foton nyelődhet el. Essen az atomra
frekvencia- és szögeloszlású áramsűrűséggel jellemezhető fény
[l. (44,7)]. Ekkor a fotonszám-áramsűrűség
, és az abszorpció valószínűsége:
Ha az függvény a
széles intervallumban kevéssé változik, akkor frekvencia szerinti
integrálás után
valószínűséget kapunk.
Észrevéve másrészt, hogy (45,5) szerint
az frekvenciájú foton spontán emissziójának valószínűsége, újra csak
a (44,9) összefüggést kapjuk.
Adjuk meg a foton végső polarizációja és iránya szerint, valamint az atom végső
momentumvetülete szerint összegezett (és a kezdeti foton
polarizációra és
vetületre átlagolt) rezonanciaszórás teljes
hatáskeresztmetszetét.
(61,8), (61,2) és (64,4) alapján a keresett hatáskeresztmetszet:
(minthogy az 1és
2állapotok csak és
értékében térnek el,
). A kapcsos zárójelbeli kifejezést
alakban írjuk (az szerinti összeg négyzetét
és
szerinti kettős összegként írjuk fel). A
összegek csak esetén különböznek nullától, és
-nel egyenlőek, ahol
az
átmenet valószínűsége (egyúttal az
szint parciális szélessége). Ezért
és a teljes hatáskeresztmetszet:[227]
Ha csak a szórás koherens része iránt érdeklődünk
(1 és 2 egyezik, azaz ), akkor (64,1f)-ben a kapcsos
zárójelben levő kifejezést
alakúra kell változtatni [l. (61,3)]. A skalárszorzatot gömbi vektorkomponensekkel kifejezve,
amely csak esetén nem nulla. A mátrixelemeket a redukált mátrixelemekkel
kifejezve, és újra bevezetve a
parciális szélességet, -re a (64,2f) képlet adódik, a
jelölést használva.
A lehetséges három esetre,
közvetlen számítással a fenti összeg értékére a következő eredményt kapjuk:
[225] Ezt a kérdést elsőként V. Weisskopf vizsgálta (1931).
[226] Hangsúlyoznunk kell, hogy stabil, alapállapotú rendszerrel történő abszorpcióról van szó. A véges kísérleti idő következtében gerjesztett nívóra másképpen kell a kérdést felvetni.
[227] Mint az várható volt (a feladatok formai hasonlósága miatt) ez a képlet a
lassú neutronok atommagokon történő rugalmas rezonanciaszórására vonatkozó
Breit–Wigner-képlettel egyezik meg.
[l. III. (145,16), (145,18).] A szorzótényező annak valószínűsége, hogy a kezdeti atom és a
foton impulzusmomentumainak tetszőleges módon való összegezése során éppen az
adott
értéket kapjuk.