ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

64.§. Rezonancia-fluoreszcencia

Fényszórásnál a színképvonalak véges szélességének figyelembevétele azokban az esetekben lényeges, amikor a beeső fénykvantum frekvenciája közel kerül az ωn1,ωn2 közbenső frekvenciák valamelyikéhez (ún. rezonancia-fiuoreszcencia).^[225]

Tekintsük a rendszer eltolásmentes kölcsönhatását a fénnyel, alapállapotban; ekkor a kezdeti és végszintek azonosak, és szigorúan diszkrétek. Legyen a fény frekvenciája valamilyen ωn1 -hez közel, ahol gerjesztett szint és így kvázidiszkrét.

Ezt a jelenséget az előző 63§-ban bemutatott módszerrel is leírhatjuk. Ez azonban nem szükséges, mivel a feladat teljesen hasonló a III. 134. §-beli, a kvázidiszkrét szinten történő nemrelativisztikus rezonanciaszórás feladatához. Az ott nyert eredményeknek megfelelően a szórásamplitúdó tartalmazni fogja az

pólusszorzót. Másrészt |ω–ωn1|≫Γn esetén a képletnek át kell mennie a nemrezonáns (60,5) alakba. Ebből világos, hogy a keresett szórási hatáskeresztmetszet egyszerűen -nek az (En–(i/2)Γn) -nel való helyettesítésével adódik, míg az -re való összegezéskor a rezonanciatagokra szorítkozhatunk:

6.49. egyenlet - (64,1)

d σ = \frac{{|\sum_{M_{n}} (d_{2 n} e^{' *}) (d_{n 1} e)|}^{2}}{{(ω_{n 1} - ω)}^{2} + \frac{1}{4} Γ_{n}^{2}} ω^{4} d Ω^{'} .

Az összegezést minden (különböző impulzusmomentum-vetületű) rezonanciaszinthez tartozóállapotra ki kell terjeszteni. Az 1és 2állapotok ugyanahhoz az (alap-) állapothoz tartoznak, de és értékében különbözhetnek.

A (64,1) hatáskeresztmetszet ω=ωn1 -nél maximális. Nagyságrendjét tekintve a maximumhoz közeli érték σmax∼ω4d4∕Γn2 . Minthogy a spontán n→1 átmenet valószínűsége és vele a szélesség Γn∼ω3d2 , ezért a hatáskeresztmetszet értéke a maximumnál nagyságrendileg

6.50. egyenlet - (64,2)

σ_{m a x} \sim \frac{1}{ω^{2}} \sim λ^{2},

azaz a fény hullámhosszának négyzetével azonos nagyságrendű, és független a finomszerkezeti állandótól.

Hangsúlyozzuk, hogy mivel az atom mind az ütközés előtt, mind utána szigorúan diszkrét (alap-) állapotban van, az elsődleges és másodlagos foton frekvenciái szigorúan megegyeznek. Tehát monokromatikus fénnyel való megvilágítás esetén a szórt fény is monokromatikus. Ha a beeső fény spektrális intenzitáseloszlása I(ω) , és a szélesség tartományában I(ω) kevéssé változik, akkor a szórt fény intenzitása az

6.51. egyenlet - (64,3)

\frac{I (ω_{n 1}) d ω}{{(ω - ω_{n 1})}^{2} + \frac{1}{4} Γ_{n}^{2}}

kifejezéssel arányos. Más szavakkal, a szórt vonal alakja az szint spontán emissziójának során keletkező sugárzás természetes alakjával egyezik meg. A (64,1) hatáskeresztmetszetnek a

6.52. egyenlet - (64,4)

{(c_{i k})}_{21} = \frac{\sum_{M_{n}} {(d_{i})}_{2 n} {(d_{k})}_{n 1}}{ω_{n 1} - ω - \frac{i}{2} Γ_{n}}

szórástenzor felel meg. Speciálisan, a polarizációs tenzor

6.53. egyenlet - (64,5)

α_{i k} = {(c_{i k})}_{11} = \frac{\sum_{M_{n}} {(d_{i})}_{1 n} {(d_{k})}_{n 1}}{ω_{n 1} - ω - \frac{i}{2} Γ_{n}} .

Rögtön észrevehetjük, hogy a közbenső gerjesztett állapotok energiájához képzetes részt adva, a polarizációs tenzor hermitikussága megsérül. Megjelenik egy antihermitikus rész, amely, mint azt azonnal megmutatjuk, a fény abszorpciójával kapcsolatos.

Elnyelvén egy kvantumot, az atom előbb-utóbb újra alapállapotba kerül egy vagy több foton kisugárzásával. Ezért ebből a szempontból az abszorpciós hatáskeresztmetszet egyszerűen az összes lehetséges szórási folyamat σtot teljes hatáskeresztmetszete.^[226] Másrészt az optikai tétel szerint (72. §) a hatáskeresztmetszetet a rugalmas, nulla szögű szórás f(0) amplitúdójának képzetes részével fejezhetjük ki

szerint. A rugalmas fotonszórás amplitúdója (60,7) szerint

A nulla szögű szórás ez esetben a foton impulzusának és polarizációjának változása nélkül végbemenő reakciót jelenti, azaz e′=e . Tehát a fotonabszorpciós hatáskeresztmetszet a következő:

6.54. egyenlet - (64,6)

σ_{a b s z o r p} = 4 π ω ℑ (α_{i k} e_{i}^{*} e_{k}) = 4 π ω e_{i}^{*} e_{k} \frac{α_{i k} - α_{k i}^{*}}{2 i},

amely összefüggés meg is adja az abszorpcióés a polarizációs tenzor antihermitikus részének kapcsolatát.

A (64,6) összefüggésnek egyszerű klasszikus jelentése van. Az elektromos tér ( 1 s alatt) a töltések rendszerén ∑evE=Eḋ munkát végez. A teret (60,19) alakban írva, a dipólusmomentumot pedig (60,20), (60,21) szerint kifejezve, a munkát idő szerint átlagolva, az adódik, hogy

( E=eE ). Másrészt, ha boldsymbolE a beeső fény tere, akkor benne az átlagos energiaáram;sűrűség (1/8π)|E|2 , az atom által az időegység alatt elnyelt energia :

A kapott két mennyiség egyenlőségét megkövetelve, (64,6)-ot kapjuk.

(64,6)-ba a (64,5)-beli polarizációs tenzort helyettesítve, az frekvenciájú foton abszorpciós hatáskeresztmetszetére, amennyiben ω≈ωn1 , a következő összefüggést kapjuk:

6.55. egyenlet - (64,7)

σ_{a b s z o r p} = 4 π^{2} \sum_{M_{n}} | d_{n 1} e |^{2} ω \frac{Γ_{n} ∕ 2}{π [{(ω - ω_{n 1})}^{2} E + \frac{1}{4} Γ_{n}^{2}]}

A Γn→0 határátmenetben a képlet utolsó tényezője a δ(ω–ωn1) függvényhez tart annak megfelelően, hogy ebben az esetben csak a határozott frekvenciájú foton nyelődhet el. Essen az atomra Ike frekvencia- és szögeloszlású áramsűrűséggel jellemezhető fény [l. (44,7)]. Ekkor a fotonszám-áramsűrűség (Ike/ω)dωdΩ , és az abszorpció valószínűsége:

6.56. egyenlet - (64,8)

d w_{a b s z o p r p} = σ_{a b s z o r p} \frac{I_{k e}}{ω} d ω d Ω .

Ha az Ike(ω) függvény a széles intervallumban kevéssé változik, akkor frekvencia szerinti integrálás után

valószínűséget kapunk.

Észrevéve másrészt, hogy (45,5) szerint

dwspont=(ω3/2π)∑Mn|d1ne∗|2dΩ=(ω3/2π)∑Mn|dn1e|2dΩ

az ωn1 frekvenciájú foton spontán emissziójának valószínűsége, újra csak a (44,9) összefüggést kapjuk.

Feladat

Adjuk meg a foton végső polarizációja és iránya szerint, valamint az atom végső momentumvetülete szerint összegezett (és a kezdeti foton polarizációra és vetületre átlagolt) rezonanciaszórás teljes hatáskeresztmetszetét.

(61,8), (61,2) és (64,4) alapján a keresett hatáskeresztmetszet:

6.57. egyenlet - (1)

σ = \frac{8 π ω^{4}}{9} \frac{1}{{(ω - ω_{n 1})}^{2} + \frac{1}{4} Γ_{n}^{2}} \{(2 J_{1} + 1) {\bar{| \sum_{M_{n}} {(d_{i})}_{2 n} {(d_{k})}_{n 1} |^{2}}}^{1}\}

(minthogy az 1és 2állapotok csak és értékében térnek el, J2=J1 ). A kapcsos zárójelbeli kifejezést

{… }=(1/2J1+1)∑M1M2∑MnMn′(d2ndn′2)(d1n′dn1)

alakban írjuk (az szerinti összeg négyzetét és Mn′ szerinti kettős összegként írjuk fel). A

összegek csak Mn=Mn′ esetén különböznek nullától, és 3Γn→1∕4ω3 -nel egyenlőek, ahol Γn→1 az n→1 átmenet valószínűsége (egyúttal az szint parciális szélessége). Ezért

és a teljes hatáskeresztmetszet:^[227]

6.58. egyenlet - (2)

σ = g \frac{π}{ω^{2}} \frac{Γ_{n 1}^{2}}{{(ω - ω_{n 1})}^{2} + \frac{1}{4} Γ_{n}^{2}},

ahol

Ha csak a szórás koherens része iránt érdeklődünk (1 és 2 egyezik, azaz M1=M2 ), akkor (64,1f)-ben a kapcsos zárójelben levő kifejezést

{|∑Mn(di)1n(dk)n1|2¯1}=(1/2J1+1)∑M1∑MnMn′(d1ndn′1)(d1n′dn1)

alakúra kell változtatni [l. (61,3)]. A d1ndn′1 skalárszorzatot gömbi vektorkomponensekkel kifejezve,

amely csak Mn=Mn′ esetén nem nulla. A mátrixelemeket a redukált mátrixelemekkel kifejezve, és újra bevezetve a

parciális szélességet, σkoh -re a (64,2f) képlet adódik, a

g=((2Jn+1)2/2(2J1+1))∑M1M2(Jn 1 J1 / –MnλM1)4

jelölést használva.

A lehetséges három esetre,

közvetlen számítással a fenti összeg értékére a következő eredményt kapjuk:

g={(7J1(J1+1)+1/30J1(J1+1)), haJn=J1≠0; / ((2J1+3)[16(J1+1)2–1]/30(2J1+1)2(J1+1)), haJn=J1+1; / ((2J1–1)(16J12–1)/30J1(2J1+1)2), haJn=J1–1, J1≧1.

^[225] Ezt a kérdést elsőként V. Weisskopf vizsgálta (1931).

^[226] Hangsúlyoznunk kell, hogy stabil, alapállapotú rendszerrel történő abszorpcióról van szó. A véges kísérleti idő következtében gerjesztett nívóra másképpen kell a kérdést felvetni.

^[227] Mint az várható volt (a feladatok formai hasonlósága miatt) ez a képlet a lassú neutronok atommagokon történő rugalmas rezonanciaszórására vonatkozó Breit–Wigner-képlettel egyezik meg. [l. III. (145,16), (145,18).] A szorzótényező annak valószínűsége, hogy a kezdeti atom és a foton impulzusmomentumainak tetszőleges módon való összegezése során éppen az adott értéket kapjuk.