Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Ebben a szakaszban egyszerű példákon mutatjuk be, hogyan vesszük számításba a hatáskeresztmetszetek kiszámításakor a reakcióban részt vevő részecskék polarizációs állapotát.
Legyen jelen a kezdeti és a végső állapotban egy-egy elektron. Ekkor a szórásamplitúdó
alakú, ahol és
a kezdeti és a végső elektron bispinor amplitúdói,
pedig (a reakcióban részt vevő egyéb részecskék impulzusától,
polarizációsállapotától függő) valamely mátrix.
A szórás hatáskeresztmetszete-tel arányos, így
figyelembevételével, ahol[236]
Ha a kezdeti elektron kevert (részlegesen polarizált) állapotban van, melyet
a sűrűségmátrixír le, és ha bennünket a
határozott, előre megadott
, polarizációjú elektron keltésével járó folyamat hatáskeresztmetszete
érdekel, akkor a bispinor amplidútók komponenseinek szorzatán az
helyettesítést kell elvégezni. Ekkor
A és
sűrűségmátrixokat a (29,13) képlet
adja meg:
(és hasonló kifejezése is).
Ha a kezdeti elektron polarizálatlan, akkor
Ennek behelyettesítése (66,3)-ba
egyenértékű az elektron polarizációjára valóátlagolással. Ha a tetszőleges polarizációjú
végső elektronra vonatkozó hatáskeresztmetszetet kell megadnunk, akkor ugyancsak
helyettesítendő be, majd az eredmény dupláját kell venni; ez az
eljárás ekvivalens az elektronpolarizációkra valóösszegezéssel. Így adódik, hogy
ahol a kezdeti és végső polarizációkra valóösszegezés, az
szorzó pedig az egyik összegezésből az átlagolás eredménye.
A (66,4)-beli sűrűségmátrix közbenső fogalom, amely valójában a (végelektron egyik vagy
másik polarizációját kiválasztó) detektor tulajdonságait jellemzi, nem pedig magát a
szórási folyamatot. Felmerül az a kérdés, milyen polarizációs állapotba kerül a
részecske magának a szórásfolyamatnak hatására. Ha ennek az állapotnak a sűrűségmátrixa, akkor az elektron
állapotban történő detektálásának valószínűségét
-nek
-re való vetítésével, azaz
képzésével kapjuk.Ezzel a mennyiséggel arányos a megfelelő
hatáskeresztmetszet, azaz
is. (66,4)-gyel összehasonlítva,
arra következtethetünk, hogy
Mivel előzetesen tudjuk, hogy (66,5) alakú, valamilyen
négyesvektorral, így ez utóbbi határozandó meg. Ezt a (29,14) képlettel tehetjük meg, de még egyszerűbb az
alábbiakban bemutatandó eljárás.
Mint a 29. §-ban láttuk, az a négyesvektor
komponenseit a hármasvektor (az elektron nyugalmi rendszerbeli spin átlagértékének
kétszerese) segítségével fejezhetjük ki. Ezek a vektorok teljességgel jellemzik az
elektronok polarizációs állapotait, így célszerű a hatáskeresztmetszetet is velük
kifejezni. Világos, hogy
lineáris mind
-ban, mind
-ben, melyek rendre az elektron kezdeti és szórt állapotát jellemzik.
Így mint
függvénye,
alakú, ahol és
maguk is lineáris függvénye
-nak.
A (66,9)-beli vektor a végállapotbeli elektronnak a detektor által kiválasztott,
adott polarizációjára. A
vektor, amely megfelel a
sűrűségmátrixnak, a következő módszerrel adható meg. A mondottakkal
összhangban
A relativisztikus invariancia értelmében ez a mennyiség tetszőleges vonatkoztatási rendszerben kiszámítható. A nyugvó végső elektron rendszerében (29,20) szerint
Ezért
melyet (66,9)-cel összehasonlítva,
adódik. Így a hatáskeresztmetszetet mint függvényét kiszámítva, egyidejűleg
-et is meghatározzuk.
Bonyolultabb esetekben, mikor egynél több kezdeti és végső elektronunk van, az ismertetetthez hasonlóak a számítások.
Így, ha kezdetben és végül egyaránt két-két elektron van jelen, a szórásamplitúdó
alakú, ahol és
a kezdő,
,
a végső elektronok bispinor amplitúdói.
képzésekor
és
alakú tagok jelennek meg. Az előbbiek két, (66,4) alakú nyom szorzatára, az utóbbiak pedig
alakúakra vezetnek.
A pozitronokat a „negatív frekvenciás” amplitúdók írják le. A
pozitronokat tartalmazó reakciók esetében a fent elmondottaktól annyi az eltérés, hogy a
pozitronok sűrűségmátrixai a (66,5)
és (66,6) szerintiekből
előjelének megváltoztatásával adódnak [l. (29,16), (29,17)].
Vizsgáljuk most a résztvevő fotonok polarizációs állapotait .
Minden kezdeti foton polarizációját a szórásamplitúdó lineárisan, az négyesvektor alakjában tartalmazza, a végső fotonokra a megfelelő
négyesvektor
. A hatáskeresztmetszet (azaz
) mindkét esetben az
négyestenzort tartalmazza. Tetszőleges, részlegesen polarizált
fotonállapotra a tenzort a
négydimenziós sűrűségmátrixszal, a
, négyestenzorral helyettesítve térhetünk át:
Speciálisan, polarizálatlan fotonra (8,15) alapján:
Tehát a foton polarizációja szerinti átlagolás-ben tenzorkontrakcióra vezet – a megfelelő
tenzorindexek szerint.[237]
Ha nem átlagolni, hanem összegezni kell a fotonpolarizációkra, akkor -ot az előző kifejezés kétszeresével kell helyettesíteni:
A polarizált foton sűrűségmátrixát a (8,17) kifejezés adja. Az ,
négyesvektorok kiválasztását ott a feladat konkrét viszonyai
diktálják. Bizonyos feladatokban ezek a vektorok egy adott vonatkoztatási rendszer
meghatározott térszerű irányaival kapcsolatosak. Másutt megfelelőbb a feladatban
szereplő karakterisztikus négyesvektorokkal – a részecskék négyesimpulzusaival kifejezni
azokat.
(8,17)-ben a foton polarizacióját a
Stokes-paraméterekkel jellemezzük, melyek a
„vektort” alkotják. Csakúgy mint az elektronra, különbséget kell
tennünk a végső foton
polarizációja és a detektor által jelzett
polarizáció között. Ha a szórásamplitúdó négyzete mint
függvénye ismert:
akkor a polarizáció (66,10)-hez teljesen
hasonló módon adódik.