ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

66.§. Polarizált részecskék reakciói

Ebben a szakaszban egyszerű példákon mutatjuk be, hogyan vesszük számításba a hatáskeresztmetszetek kiszámításakor a reakcióban részt vevő részecskék polarizációs állapotát.

Legyen jelen a kezdeti és a végső állapotban egy-egy elektron. Ekkor a szórásamplitúdó

7.28. egyenlet - (66,1)

M_{f i} = ū^{'} A u (\equiv ū_{i}^{'} A_{i k} u_{k})

alakú, ahol és a kezdeti és a végső elektron bispinor amplitúdói, pedig (a reakcióban részt vevő egyéb részecskék impulzusától, polarizációsállapotától függő) valamely mátrix.

A szórás hatáskeresztmetszete |Mfi|2 -tel arányos, így

vagy

7.29. egyenlet - (66,2)

{(ū^{'} A u)}^{*} = ū Ā u^{'}

figyelembevételével, ahol^[236]

azt kapjuk, hogy

7.30. egyenlet - (66,3)

| M_{f i} |^{2} = (ū^{'} A u) (ū Ā u^{'}) \equiv u_{i}^{'} ū_{k}^{'} A_{k l} u_{l} ū_{m} Ā_{m i} .

Ha a kezdeti elektron kevert (részlegesen polarizált) állapotban van, melyet a sűrűségmátrixír le, és ha bennünket a határozott, előre megadott , polarizációjú elektron keltésével járó folyamat hatáskeresztmetszete érdekel, akkor a bispinor amplidútók komponenseinek szorzatán az

helyettesítést kell elvégezni. Ekkor

7.31. egyenlet - (66,4)

| M_{f i} |^{2} = Sp (ϱ^{'} A ϱ Ā) .

A és sűrűségmátrixokat a (29,13) képlet adja meg:

7.32. egyenlet - (66,5)

ϱ = \frac{1}{2} (\hat{p} + m) (1 - γ^{5} â)

(és hasonló kifejezése is).

Ha a kezdeti elektron polarizálatlan, akkor

7.33. egyenlet - (66,6)

ϱ = \frac{1}{2} (\hat{p} + m) .

Ennek behelyettesítése (66,3)-ba egyenértékű az elektron polarizációjára valóátlagolással. Ha a tetszőleges polarizációjú végső elektronra vonatkozó hatáskeresztmetszetet kell megadnunk, akkor ugyancsak ϱ′=(p̂′+m)∕2 helyettesítendő be, majd az eredmény dupláját kell venni; ez az eljárás ekvivalens az elektronpolarizációkra valóösszegezéssel. Így adódik, hogy

7.34. egyenlet - (66,7)

\frac{1}{2} \sum_{p o l a r} | M_{f i} |^{2} = \frac{1}{2} Sp {({\hat{p}}^{'} + m) A (\hat{p} + m) Â}

ahol ∑polar a kezdeti és végső polarizációkra valóösszegezés, az 1∕2 szorzó pedig az egyik összegezésből az átlagolás eredménye.

A (66,4)-beli sűrűségmátrix közbenső fogalom, amely valójában a (végelektron egyik vagy másik polarizációját kiválasztó) detektor tulajdonságait jellemzi, nem pedig magát a szórási folyamatot. Felmerül az a kérdés, milyen polarizációs állapotba kerül a részecske magának a szórásfolyamatnak hatására. Ha ϱ(f) ennek az állapotnak a sűrűségmátrixa, akkor az elektron állapotban történő detektálásának valószínűségét ϱ(f) -nek -re való vetítésével, azaz Sp(ϱ(f)ϱ′) képzésével kapjuk.Ezzel a mennyiséggel arányos a megfelelő hatáskeresztmetszet, azaz |Mfi|2 is. (66,4)-gyel összehasonlítva, arra következtethetünk, hogy

7.35. egyenlet - (66,8)

ϱ^{(f)} \sim A ϱ Ā .

Mivel előzetesen tudjuk, hogy ϱ(f) (66,5) alakú, valamilyen a(f) négyesvektorral, így ez utóbbi határozandó meg. Ezt a (29,14) képlettel tehetjük meg, de még egyszerűbb az alábbiakban bemutatandó eljárás.

Mint a 29. §-ban láttuk, az a négyesvektor komponenseit a hármasvektor (az elektron nyugalmi rendszerbeli spin átlagértékének kétszerese) segítségével fejezhetjük ki. Ezek a vektorok teljességgel jellemzik az elektronok polarizációs állapotait, így célszerű a hatáskeresztmetszetet is velük kifejezni. Világos, hogy |Mfi|2 lineáris mind -ban, mind -ben, melyek rendre az elektron kezdeti és szórt állapotát jellemzik. Így mint függvénye,

7.36. egyenlet - (66,9)

| M_{f i} |^{2} = α + {β ζ}^{'}

alakú, ahol és maguk is lineáris függvénye -nak.

A (66,9)-beli vektor a végállapotbeli elektronnak a detektor által kiválasztott, adott polarizációjára. A ζ(f) vektor, amely megfelel a ϱ(f) sűrűségmátrixnak, a következő módszerrel adható meg. A mondottakkal összhangban

A relativisztikus invariancia értelmében ez a mennyiség tetszőleges vonatkoztatási rendszerben kiszámítható. A nyugvó végső elektron rendszerében (29,20) szerint

Ezért

melyet (66,9)-cel összehasonlítva,

7.37. egyenlet - (66,10)

ζ^{(f)} = \frac{β}{α}

adódik. Így a hatáskeresztmetszetet mint függvényét kiszámítva, egyidejűleg ζ(f) -et is meghatározzuk.

Bonyolultabb esetekben, mikor egynél több kezdeti és végső elektronunk van, az ismertetetthez hasonlóak a számítások.

Így, ha kezdetben és végül egyaránt két-két elektron van jelen, a szórásamplitúdó

alakú, ahol és a kezdő, u1′ , u2′ a végső elektronok bispinor amplitúdói. |Mfi| képzésekor

és

alakú tagok jelennek meg. Az előbbiek két, (66,4) alakú nyom szorzatára, az utóbbiak pedig

alakúakra vezetnek.

A pozitronokat a „negatív frekvenciás” u(–p) amplitúdók írják le. A pozitronokat tartalmazó reakciók esetében a fent elmondottaktól annyi az eltérés, hogy a pozitronok sűrűségmátrixai a (66,5) és (66,6) szerintiekből előjelének megváltoztatásával adódnak [l. (29,16), (29,17)].

Vizsgáljuk most a résztvevő fotonok polarizációs állapotait .

Minden kezdeti foton polarizációját a szórásamplitúdó lineárisan, az négyesvektor alakjában tartalmazza, a végső fotonokra a megfelelő négyesvektor . A hatáskeresztmetszet (azaz |Mfi|2 ) mindkét esetben az eμeν∗ négyestenzort tartalmazza. Tetszőleges, részlegesen polarizált fotonállapotra a tenzort a négydimenziós sűrűségmátrixszal, a ϱμν , négyestenzorral helyettesítve térhetünk át:

7.38. egyenlet - (66,11)

e_{μ} e_{ν}^{*} \to ϱ_{μ ν} .

Speciálisan, polarizálatlan fotonra (8,15) alapján:

7.39. egyenlet - (66,12)

ϱ_{μ ν} = - \frac{1}{2} g_{μ ν} .

Tehát a foton polarizációja szerinti átlagolás |Mfi|2 -ben tenzorkontrakcióra vezet – a megfelelő tenzorindexek szerint.^[237]

Ha nem átlagolni, hanem összegezni kell a fotonpolarizációkra, akkor eμeν∗ -ot az előző kifejezés kétszeresével kell helyettesíteni:

7.40. egyenlet - (66,13)

e_{μ} e_{ν}^{*} \to - g_{μ ν} .

A polarizált foton sűrűségmátrixát a (8,17) kifejezés adja. Az e(1) , e(2) négyesvektorok kiválasztását ott a feladat konkrét viszonyai diktálják. Bizonyos feladatokban ezek a vektorok egy adott vonatkoztatási rendszer meghatározott térszerű irányaival kapcsolatosak. Másutt megfelelőbb a feladatban szereplő karakterisztikus négyesvektorokkal – a részecskék négyesimpulzusaival kifejezni azokat.

(8,17)-ben a foton polarizacióját a Stokes-paraméterekkel jellemezzük, melyek a ξ=(ξ1,ξ2,ξ3) „vektort” alkotják. Csakúgy mint az elektronra, különbséget kell tennünk a végső foton ξ(f) polarizációja és a detektor által jelzett polarizáció között. Ha a szórásamplitúdó négyzete mint függvénye ismert:

akkor a ξ(f)=β∕α polarizáció (66,10)-hez teljesen hasonló módon adódik.

^[236] Az mátrix képzésével kapcsolatban megjegyezzük a következő, könnyen ellenőrizhető összefüggéseket: γμ¯=γμ, γμγν…γϱ¯=γϱ…γνγμ, γ5¯=–γ5, γtγμ¯=γ5γμ .

^[237] A (66,12) kifejezés a foton két valóban lehetséges polarizációs állapota szerinti átlagolást az négyesvektor négy független komponensére történő átlagolásra vezeti vissza.