ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

67.§. Kinematikai invariánsok

Vizsgáljunk néhány kinematikai összefüggést azokra a reakciókra vonatkozóan, amelyek mind a kezdeti, mind a végállapotban csak két-két részecskét tartalmaznak. Olyan összefüggésekre gondolunk, melyek csak az impulzusmegmaradás általános törvényéből következnek, és így a részecskék és kölcsönhatásaik természetétől függetlenül érvényesek.

A négyesimpulzus megmaradása általános alakban, amely nem jelzi, mely impulzusok tartoznak a kezdeti és melyek a végső állapotbeli részekhez, a következő:

7.41. egyenlet - (67,1)

q_{1} + q_{2} + q_{3} + q_{4} = 0 .

Itt ±qa az impulzusok négyesvektorai, közülük kettő a beeső, kettő pedig a kifutó részeknek felel meg. Az utóbbi két impulzushoz –qa tartozik. Más szavakkal, e két időkomponensére qa0 , a másik kettőére pedig qa0<0 .

A négyesimpulzus megmaradása mellett a töltésmegmaradást is figyelembe kell venni. Itt töltésként nemcsak az elektromos töltést, hanem olyan más megmaradó mennyiséget is érthetünk, amelynek előjele a részecskékre és antirészecskékre különböző.

A folyamatban részt vevő részecskék tömegeit megadva ( qa2=ma2 ) a négyesimpulzusok négyzeteit is rögzítjük. A qa0 időkomponensek által felvett értékektől függően három különböző reakcióra jutunk. Írjuk ezeket a következő formában:

7.42. egyenlet - (67,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} I) & 1 + 2 \to 3 + 4, \\ II) & 1 + \bar{3} \to \bar{2} + 4, \\ III) & 1 + \bar{4} \to \bar{2} + 3 . \end{aligned} & (67,2) \end{matrix}

Itt a számok a részecskék sorszámát jelölik, a szám fölötti esetleges vonás pedig az antirészecskére utal. Az áttérés az egyik reakcióról a másikra, azaz a részecskének átvitele az egyik oldalról a másikra a megfelelő qa0 időkomponens és a töltés előjelének megváltoztatásával, akkor valósul meg, ha a részecskét antirészecskéjével helyettesítjük. [Természetesen (67,2)-vel együtt a fordított reakciók is lehetségesek.]

A (67,2)-beli három folyamatról mint egy (általánosított) reakció három keresztezett csatornájáról beszélhetünk.

Vegyünk néhány példát. Ha az és részecskék elektronok, a és fotonok, akkor az I. csatorna az elektron–foton szórást írja le; a foton valódi semlegessége miatt a III. csatorna ezzel azonos. A II. csatorna viszont elektron–pozitron pár kétfotonos szétsugárzását írja le. Ha mind a négy részecske elektron, akkor az I. csatorna elektron–elektron szórást ír le, a II. és III. csatorna viszont elektron–pozitron szórást. Ha az és részecske elektron, a és müon, akkor az I. csatorna az e–μ szórást, a III. csatorna az e–μ̄ szórást, a II. pedig az pár μμ̄ párba való átalakulását írja le.

A szórásfolyamatok leírásában különleges szerepet játszanak a négyesimpulzusok-ból összeállítható invariáns mennyiségek. Ezek függvényei lesznek a szórás invariáns amplitúdói (71. §).

A négy négyesimpulzusból két független invariáns alkotható. Ugyanis (67,1) következtében három független négyesvektorunk van; legyenek ezek pl. q1,q2,q3 . Belőlük hat invariáns mennyiség készíthető: a három impulzusnégyzet (q12,q22,q32) és a három vegyes szorzat (q1q2,q2q3,q3q1) . Az első hármat azonban a részecskék tömegei rögzítik, a másik három között viszont fennáll egy, a

összefüggésből következő kapcsolat.^[238]

A szimmetrikusabb írásmód kedvéért hasznosabb három invariánst tekintetbe venni; a következőket választjuk:

7.43. egyenlet - (67,3)

\begin{matrix} \begin{aligned} s & = {(q_{1} + q_{2})}^{2} = {(q_{3} + q_{4})}^{2}, \\ t & = {(q_{1} + q_{3})}^{2} = {(q_{2} + q_{4})}^{2}, \\ u & = {(q_{1} + q_{4})}^{2} = {(q_{2} + q_{3})}^{2} . \end{aligned} & (67,3) \end{matrix}

Mint az rögtön látható, a következőösszefüggés áll fenn köztük:

7.44. egyenlet - (67,4)

s + t + u = h,

ahol

7.45. egyenlet - (67,5)

h = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2} .

A direkt (I.) csatornában az változónak egyszerű fizikai jelentése van: az ütköző ( és ) részecskék teljes tömegközépponti energiájának négyzete [ p1+p2=0 esetén s=(ε1+ε2)2 ]. A II. csatornában hasonló szerepe van -nek, III.-ban -nak. Ennek megfelelően az I., II., III. csatornákat rendre -, -, - csatornáknak hívják.

Nem nehéz az , , invariánsokat valamelyik csatornában ütköző részecskék impulzusaival, energiáival kifejezni. Vegyük az -csatornát. Az és részecske tömegközépponti rendszerében a négyesvektorok komponensei a következő módon adhatók meg:

7.46. egyenlet - (67,6)

\begin{aligned} q_{1} & = p_{1} = (𝜀_{1}, p_{s}), & q_{2} & = p_{2} = (𝜀_{2}, - p_{s}), \\ q_{3} & = - p 3 = (- 𝜀_{3}, - p_{s}^{'}), & q_{4} & = - p_{4} = (- 𝜀_{4}, p_{s}^{'}) \end{aligned}

(a és ps′ indexe arra utal, hogy az -csatornabeli folyamat tömegközépponti rendszerében vagyunk). Ekkor

7.47. egyenlet - (67,7)

s = 𝜀_{s}^{2}, 𝜀 𝜀_{s} = 𝜀_{1} + 𝜀_{2} = 𝜀_{3} + 𝜀_{4};

7.48. egyenlet - (67,8)

\begin{matrix} \begin{aligned} 4 s p_{s}^{2} & = [s - {(m_{1} + m_{2})}^{2}] [s - {(m_{1} - m_{2})}^{2}], \\ 4 s p_{s}^{' 2} & = [s - {(m_{3} + m_{4})}^{2}] [s - {(m_{3} - m_{4})}^{2}]; \end{aligned} & (67,8) \end{matrix}

7.49. egyenlet - (67,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} 2 t & = h - s + 4 p_{s} p_{s}^{'} - \frac{1}{s} (m_{1}^{2} - m_{2}^{2}) (m_{3}^{2} - m_{4}^{2}), \\ 2 u & = h - s - 4 p_{s} p_{s}^{'} + \frac{1}{s} (m_{1}^{2} - m_{2}^{2}) (m_{3}^{2} - m_{4}^{2}) . \end{aligned} & (67,9) \end{matrix}

Rugalmas szórás esetén ( m1=m3,m2=m4 ) |ps|=|ps′| ; így ε1=ε3 és ε2=ε4 (67,9) helyett pedig egyszerűbb képletekre jutunk:

7.50. egyenlet - (67,10)

\begin{matrix} \begin{aligned} t & = - {(p_{s} - p_{s} - p_{s}^{'})}^{2} = - 2 p_{s}^{2} (1 - cos 𝜃_{s}), \\ u & = - 2 p_{s}^{2} (1 + cos 𝜃_{s}) + {(𝜀_{1} - 𝜀_{2})}^{2}, \end{aligned} & (67,10) \end{matrix}

ahol a és ps′ által bezárt szög. Megjegyezzük, hogy a invariáns ekkor az ütközés során átadott hármasimpulzus négyzetét adja.

A többi csatornára vonatkozó megfelelő képleteket egyszerű átjelöléssel kapjuk. A -csatornára való áttéréshez (67,6)…(67,10)-ben az s↔t , 2↔3 cserét, az -csatornához az s↔u , 2↔4 cserét kell elvégezni.

^[238] Általában, mikor a reakcióban n≧4 részecske vesz részt, a független invariáns változók száma 3n–10 . Valóban, összesen mennyiség van – az négyesimpulzus komponensei. Ezek között a qa2=ma2 összefüggés függvénykapcsolatot ad, a ∑n=1nqa=0 megmaradási törvény további négyet. Tetszőleges értéket vehet fel mennyiség, az általános Lorentz-transzformációt (általános, négydimenziós forgatást) meghatározó paramétérek száma . Ezért a független invariáns változók száma 4n–n–4–6=3n–10 .