Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Vizsgáljunk néhány kinematikai összefüggést azokra a reakciókra vonatkozóan, amelyek mind a kezdeti, mind a végállapotban csak két-két részecskét tartalmaznak. Olyan összefüggésekre gondolunk, melyek csak az impulzusmegmaradás általános törvényéből következnek, és így a részecskék és kölcsönhatásaik természetétől függetlenül érvényesek.
A négyesimpulzus megmaradása általános alakban, amely nem jelzi, mely impulzusok tartoznak a kezdeti és melyek a végső állapotbeli részekhez, a következő:
Itt az impulzusok négyesvektorai, közülük kettő a beeső, kettő pedig a
kifutó részeknek felel meg. Az utóbbi két impulzushoz
tartozik. Más szavakkal, e két
időkomponensére
, a másik kettőére pedig
.
A négyesimpulzus megmaradása mellett a töltésmegmaradást is figyelembe kell venni. Itt töltésként nemcsak az elektromos töltést, hanem olyan más megmaradó mennyiséget is érthetünk, amelynek előjele a részecskékre és antirészecskékre különböző.
A folyamatban részt vevő részecskék tömegeit megadva () a
négyesimpulzusok négyzeteit is rögzítjük. A
időkomponensek által felvett értékektől függően három különböző
reakcióra jutunk. Írjuk ezeket a következő formában:
Itt a számok a részecskék sorszámát jelölik, a szám fölötti esetleges vonás pedig az
antirészecskére utal. Az áttérés az egyik reakcióról a másikra, azaz a részecskének
átvitele az egyik oldalról a másikra a megfelelő időkomponens és a töltés előjelének megváltoztatásával, akkor valósul
meg, ha a részecskét antirészecskéjével helyettesítjük. [Természetesen (67,2)-vel együtt a fordított reakciók is
lehetségesek.]
A (67,2)-beli három folyamatról mint egy (általánosított) reakció három keresztezett csatornájáról beszélhetünk.
Vegyünk néhány példát. Ha az és
részecskék elektronok, a
és
fotonok, akkor az I. csatorna az elektron–foton szórást írja le; a
foton valódi semlegessége miatt a III. csatorna ezzel azonos. A II. csatorna viszont
elektron–pozitron pár kétfotonos szétsugárzását írja le. Ha mind a négy részecske
elektron, akkor az I. csatorna elektron–elektron szórást ír le, a II. és III. csatorna
viszont elektron–pozitron szórást. Ha az
és
részecske elektron, a
és
müon, akkor az I. csatorna az
szórást, a III. csatorna az
szórást, a II. pedig az
pár
párba való átalakulását írja le.
A szórásfolyamatok leírásában különleges szerepet játszanak a négyesimpulzusok-ból összeállítható invariáns mennyiségek. Ezek függvényei lesznek a szórás invariáns amplitúdói (71. §).
A négy négyesimpulzusból két független invariáns alkotható. Ugyanis (67,1) következtében három független négyesvektorunk van; legyenek ezek pl.
. Belőlük hat invariáns mennyiség készíthető: a három impulzusnégyzet
és a három vegyes szorzat
. Az első hármat azonban a részecskék tömegei rögzítik, a másik három
között viszont fennáll egy, a
összefüggésből következő kapcsolat.[238]
A szimmetrikusabb írásmód kedvéért hasznosabb három invariánst tekintetbe venni; a következőket választjuk:
Mint az rögtön látható, a következőösszefüggés áll fenn köztük:
A direkt (I.) csatornában az változónak egyszerű fizikai jelentése van: az ütköző (
és
) részecskék teljes tömegközépponti energiájának négyzete
[
esetén
]. A II. csatornában hasonló szerepe van
-nek, III.-ban
-nak. Ennek megfelelően az I., II., III. csatornákat rendre
-,
-,
- csatornáknak hívják.
Nem nehéz az ,
,
invariánsokat valamelyik csatornában ütköző részecskék impulzusaival,
energiáival kifejezni. Vegyük az
-csatornát. Az
és
részecske tömegközépponti rendszerében a
négyesvektorok komponensei a következő módon adhatók meg:
(a és
indexe arra utal, hogy az
-csatornabeli folyamat tömegközépponti rendszerében vagyunk).
Ekkor
Rugalmas szórás esetén ()
; így
és
(67,9) helyett pedig egyszerűbb
képletekre jutunk:
ahol a
és
által bezárt szög. Megjegyezzük, hogy a
invariáns ekkor az ütközés során átadott hármasimpulzus négyzetét
adja.
A többi csatornára vonatkozó megfelelő képleteket egyszerű átjelöléssel kapjuk. A
-csatornára való áttéréshez (67,6)…(67,10)-ben az
,
cserét, az
-csatornához az
,
cserét kell elvégezni.
[238] Általában, mikor a reakcióban részecske vesz részt, a független invariáns változók száma
. Valóban, összesen
mennyiség van – az
négyesimpulzus
komponensei. Ezek között a
összefüggés
függvénykapcsolatot ad, a
megmaradási törvény további négyet. Tetszőleges értéket vehet
fel
mennyiség, az általános Lorentz-transzformációt (általános, négydimenziós forgatást)
meghatározó paramétérek száma
. Ezért a független invariáns változók száma
.