ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

69.§. A parciális amplitúdók szerinti sorfejtés

7.65. egyenlet - (69,1)

a + b \to c + d

típusú reakciók analízisének lényeges lépcsője a szórásamplitúdó parciális amplitúdók szerinti sorfejtése. Ezek mindegyike (adott teljes energia esetére) a tömegközépponti rendszerben határozott teljes impulzusmomentum értéknek felel meg.^[240]

Ezek a parciális amplitúdók, más szavakkal az -mátrixelemek impulzusmomentum-reprezentációbeli alakját adják:

Minthogy a teljes impulzusmomentum és egy adott tengelyre vett vetülete megmaradó mennyiségek, az -mátrix ezekben a kvantumszámokban diagonális (csakúgy mint az energiában). Ugyanakkor a tér izotropiája folytán a diagonális mátrixelemek -től függetlenek. Adott , , esetén a szórásmátrix még mátrixjellegű a spin-kvantumszámokban. E mátrixelemeket rövidebben a következő alakban írjuk:

7.66. egyenlet - (69,2)

⟨ 𝜀 J M λ^{'} ∣ S ∣ 𝜀 J M λ ⟩ \equiv ⟨ λ^{'} ∣ S^{J} (𝜀) ∣ λ ⟩,

ahol és a spinkvantumszámok összessége. Ez utóbbiak jellemzésére legcélszerűbb a részecskék helicitását használni. Emlékeztetünk arra, hogy a helicitás (a tetszőleges tengelyre vett spinvetülettel ellentétben) szabad részecskénél megmarad, és felcserélhető az impulzusával és impulzusmomentumával (l. 16. §). Így a helicitást a szórásmátrixnak mind az impulzus-, mind az impulzusmomentum-reprezentációjában használhatjuk.

Az -mátrix helicitásindexek szerint vett elemeit a szórás helicitásamplitúdóinak nevezzük, így a és jeleken a kezdeti (végső) részek helicitásainak összességét kell értenünk: λ=(λa,λb) , λ′=(λc,λd) .

Impulzusreprezentációban a szórásmátrix elemeit az |εnλ⟩ állapotok között adjuk meg (ahol n=p∕|p| a tömegközépponti rendszerbeli relatív mozgás impulzusának iránya), impulzusmomentum-reprezentációban viszont az |εJMλ⟩ állapotok között. Ezeket egymással a következő sorfejtés köti össze:

7.67. egyenlet - (69,3)

|J M λ⟩ = \int |n λ⟩ ⟨ n λ ∣ J M λ ⟩ d Ω_{n},

ahol az integrálást lehetséges irányai szerint kell elvégezni (az energia jelölését a rövidség kedvéért itt és a továbbiakban elhagyjuk). E transzformáció unitaritása következtében (l. III. 12. §) az inverz transzformáció együtthatói:

7.68. egyenlet - (69,4)

⟨ J M λ ∣ n λ ⟩ = {⟨ n λ ∣ J M λ ⟩}^{*} .

A mátrixtranszformációáltalános szabályai szerint a két reprezentációbeli-mátrixelemek közötti kapcsolatot ugyanezek az együtthatók határozzák meg:

7.69. egyenlet - (69,5)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ S ∣ n λ ⟩ = \sum_{J M} ⟨ n^{'} λ^{'} ∣ J M λ^{'} ⟩ ⟨ J M λ^{'} ∣ S ∣ J M λ ⟩ ⟨ J M λ ∣ n λ ⟩ .

A (69,3) kifejtés együtthatóit a 16. § eredményeit felhasználva könnyen megkapjuk.

Fejezzük ki az összes állapot hullámfüggvényét impulzusreprezentációban, azaz tekintsük ezeket mint (adott energia esetén) az impulzus irányának függvényeit. Ezt a független változót -től való megkülönböztetésül -vel jelöljük. Ebben a reprezentációban a hullámfüggvény (16,2) alakú:

7.70. egyenlet - (69,6)

ψ_{n λ} (ν) = u^{(λ)} δ^{(2)} (ν - n) .

(69,6)-ot a (69,3) kifejtésbe helyettesítve, ez utóbbi egy tagra redukálódik:

7.71. egyenlet - (69,7)

ψ_{J M λ} = ⟨ ν λ ∣ J M λ ⟩ u^{(λ)} .

jmA (v21 J/1/2)u(2). (69,7)’ A , helicitások a megfelelő részecskék impulzusára vett spinvetületek. Ha a részecskék impulzusai pa≡p , pb≡–p akkor ez az irány az első részecskére , a másodikra . Ha a rendszert most mint egyetlen részecskét vizsgáljuk, amelynek az iránya és a helicitása, akkor Λ=λa–λb . Hullámfüggvénye (impulzusreprezentációban) (16,4) szerint a következő alakú:

7.72. egyenlet - (69,8)

ψ_{J M λ} (ν) = u^{(λ)} D_{Λ M}^{(J)} (ν) \sqrt{\frac{2 J + 1}{4 π}} .

A (69,7)és (69,8) kifejezéseket összehasonlítva (és a változó jelölését -re változtatva), a keresett együtthatókra

7.73. egyenlet - (69,9)

⟨ n λ ∣ J M λ ⟩ = \sqrt{\frac{2 J + 1}{4 π}} D_{Λ M}^{(J)} (n)

adódik. Ezeket az együtthatókat (69,5)-be helyettesítve,

7.74. egyenlet - (69,10)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ S ∣ n λ ⟩ = \sum_{J M} \frac{2 J + 1}{4 π} D_{Λ^{'} M}^{(J)} (n^{'}) D_{Λ M}^{(J) *} (n) ⟨ λ^{'} ∣ S^{J} ∣ λ ⟩,

ahol

és felhasználtuk a (69,2) rövidítéseket. Válasszuk -et a -tengely mentén, ekkor

és (69,10) a következő alakot ölti:

7.75. egyenlet - (69,11)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ S ∣ n λ ⟩ = \sum_{J} \frac{2 J + 1}{4 π} D_{Λ^{'} Λ}^{(J)} (n^{'}) ⟨ λ^{'} ∣ S^{J} ∣ λ ⟩ .

Látjuk, hogy a parciális amplitúdók szerinti sorfejtést a DΛ′Λ(J) függvények segítségével írhatjuk fel. A (69,1) típusú reakcióra egyszerűbb az szórásamplitúdó olyan definíciója, hogy a (tömegközépponti rendszerbeli) hatáskeresztmetszet

7.76. egyenlet - (69,12)

d σ = | ⟨ n^{'} λ^{'} ∣ f ∣ n λ ⟩ |^{2} d Ω^{'}

legyen [a (65,19)-cel valóösszehasonlítás révén ez az amplitúdó az Mfi mátrixelemmel hozható kapcsolatba]. A parciális amplitúdók szerinti sorfejtés

7.77. egyenlet - (69,13)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ f ∣ n λ ⟩ = \sum_{J M} (2 J + 1) D_{Λ^{'} M}^{(J)} (n^{'}) D_{Λ M}^{(J) *} (n) ⟨ λ^{'} ∣ f^{J} ∣ λ ⟩,

vagy az vektort a -tengely irányában választva:

7.78. egyenlet - (69,14)

⟨ n^{'} λ^{'} ∣ f ∣ n λ ⟩ = \sum_{J} (2 J + 1) D_{Λ^{'} Λ}^{(J)} (n^{'}) ⟨ λ^{'} ∣ f^{J} ∣ λ ⟩ .

Ez a képlet a szokásos, spin nélküli részek ütközésére vonatkozó parciális sorfejtés általánosítása [l. III. (123,14)]. Minthogy D00(L)=PL(cos) , így zérus spin esetén (69,14) a Legendre-polinomok szerinti kifejtésre redukálódik:

A (69,12) hatáskeresztmetszet csak határozott helicitású részecskéket tartalmazó reakciókra vonatkozik. Ha a részecskék kevert polarizációs állapotban vannak, ,akkor a hatáskeresztmetszetet a

szorzat átlagolásával kapjuk a spin-sűrűségmátrixokat használva (l. az V. fejezet 14. lábjegyzetét):

⟨λa∣ϱ(a)∣λa′⟩⟨λb∣ϱ(b)∣λb′⟩⟨λc′∣ϱ(c)∣λc⟩⟨λd′∣ϱ(d)∣λd⟩.

Így a polarizálatlan , részecskék és polarizálatlan részecskék keletkezésére vezető reakciójának hatáskeresztmetszete:

dσ=(dΩ/(2sa+1)(2sb+1))∑(λ)∑JJ′(2J+1)(2J′+1)⟨λcλd∣fJ∣λaλb⟩×

7.79. egyenlet - (69,15)

\times {⟨ λ_{c} λ_{d} ∣ f^{J^{'}} ∣ λ_{a} λ_{b} ⟩}^{*} D_{Λ^{'} Λ}^{(J)} (n^{'}) D_{Λ^{'} Λ}^{(J^{'}) *} (n^{'})

(a tengely irányú, a ∑(λ) jel a λaλbλcλd szerinti összegezést jelent). A DΛ′Λ(J′)∗ függvényt III. (58,19) alapján helyettesítve, majd felhasználva a III. (110,2) kifejtést, végül

dσ=(dΩ/(2sa+1)(2sb+1))∑(λ)JJ′(–1)Λ–Λ′(2J+1)(2J′+1)×

7.80. egyenlet - (69,16)

\times \sum_{L} (2 L + 1) (\begin{matrix} J & J^{'} & L \\ Λ & - Λ & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} J & J^{'} & L \\ Λ^{'} & - Λ^{'} & 0 \end{matrix}) P_{L} (cos 𝜃)

adódik ( az vektor -tengellyel bezárt szöge); az szerint a és vektoriösszeadásakor fellépő eredők minden egész értékére összegezünk.

A szórásamplitúdó parciális amplitúdók szerinti kifejtése teljességgel figyelembe veszi a szórás szögeloszlásának a térbeli forgatásokkal szembeni szimmetriából fakadó tulajdonságait. A tértükrözési szimmetria azonban nem látható világos módon. A -invariancia (ha a kölcsönhatás tulajdonsága) határozott összefüggésekre vezet a helicitásarnplitúdók között (l. alább, a 70. §-ban).