Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
típusú reakciók analízisének lényeges lépcsője a szórásamplitúdó parciális
amplitúdók szerinti sorfejtése. Ezek mindegyike (adott teljes energia esetére) a tömegközépponti rendszerben határozott
teljes impulzusmomentum értéknek felel meg.[240]
Ezek a parciális amplitúdók, más szavakkal az -mátrixelemek impulzusmomentum-reprezentációbeli alakját adják:
Minthogy a teljes impulzusmomentum és egy adott
tengelyre vett vetülete megmaradó mennyiségek, az
-mátrix ezekben a kvantumszámokban diagonális (csakúgy mint az
energiában). Ugyanakkor a tér izotropiája folytán a diagonális mátrixelemek
-től függetlenek. Adott
,
,
esetén a szórásmátrix még mátrixjellegű a spin-kvantumszámokban. E
mátrixelemeket rövidebben a következő alakban írjuk:
ahol és
a spinkvantumszámok összessége. Ez utóbbiak jellemzésére legcélszerűbb
a részecskék helicitását használni. Emlékeztetünk arra, hogy a helicitás (a tetszőleges
tengelyre vett spinvetülettel ellentétben) szabad részecskénél megmarad, és
felcserélhető az impulzusával és
impulzusmomentumával (l. 16. §). Így
a helicitást a szórásmátrixnak mind az impulzus-, mind az
impulzusmomentum-reprezentációjában használhatjuk.
Az -mátrix helicitásindexek szerint vett elemeit a szórás
helicitásamplitúdóinak nevezzük, így a
és
jeleken a kezdeti (végső) részek helicitásainak összességét kell
értenünk:
,
.
Impulzusreprezentációban a szórásmátrix elemeit az állapotok között adjuk meg (ahol
a tömegközépponti rendszerbeli relatív mozgás impulzusának iránya),
impulzusmomentum-reprezentációban viszont az
állapotok között. Ezeket egymással a következő sorfejtés köti össze:
ahol az integrálást lehetséges irányai szerint kell elvégezni (az
energia jelölését a rövidség kedvéért itt és a továbbiakban
elhagyjuk). E transzformáció unitaritása következtében (l. III. 12. §) az inverz
transzformáció együtthatói:
A mátrixtranszformációáltalános szabályai szerint a két
reprezentációbeli-mátrixelemek közötti kapcsolatot ugyanezek az együtthatók határozzák
meg:
A (69,3) kifejtés együtthatóit a 16. § eredményeit felhasználva könnyen megkapjuk.
Fejezzük ki az összes állapot hullámfüggvényét impulzusreprezentációban, azaz
tekintsük ezeket mint (adott energia esetén) az impulzus irányának függvényeit. Ezt a
független változót -től való megkülönböztetésül
-vel jelöljük. Ebben a reprezentációban a hullámfüggvény (16,2) alakú:
(69,6)-ot a (69,3)
kifejtésbe helyettesítve, ez utóbbi egy tagra redukálódik:
jmA (v21 J/1/2)u(2). (69,7)’ A ,
helicitások a megfelelő részecskék impulzusára vett spinvetületek. Ha
a részecskék impulzusai
,
akkor ez az irány az első részecskére
, a másodikra
. Ha a rendszert most mint egyetlen részecskét vizsgáljuk, amelynek
az iránya és
a helicitása, akkor
. Hullámfüggvénye (impulzusreprezentációban) (16,4) szerint a következő alakú:
A (69,7)és (69,8) kifejezéseket összehasonlítva (és a változó jelölését
-re változtatva), a keresett együtthatókra
adódik. Ezeket az együtthatókat (69,5)-be
helyettesítve,
ahol
és felhasználtuk a (69,2)
rövidítéseket. Válasszuk -et a
-tengely mentén, ekkor
és (69,10) a következő alakot ölti:
Látjuk, hogy a parciális amplitúdók szerinti sorfejtést a függvények segítségével írhatjuk fel. A (69,1) típusú reakcióra egyszerűbb az
szórásamplitúdó olyan definíciója, hogy a (tömegközépponti
rendszerbeli) hatáskeresztmetszet
legyen [a (65,19)-cel
valóösszehasonlítás révén ez az amplitúdó az mátrixelemmel hozható kapcsolatba]. A parciális amplitúdók szerinti
sorfejtés
vagy az vektort a
-tengely irányában választva:
Ez a képlet a szokásos, spin nélküli részek ütközésére vonatkozó parciális
sorfejtés általánosítása [l. III. (123,14)]. Minthogy , így zérus spin esetén (69,14) a
Legendre-polinomok szerinti kifejtésre redukálódik:
A (69,12) hatáskeresztmetszet csak határozott helicitású részecskéket tartalmazó reakciókra vonatkozik. Ha a részecskék kevert polarizációs állapotban vannak, ,akkor a hatáskeresztmetszetet a
szorzat átlagolásával kapjuk a spin-sűrűségmátrixokat használva (l. az V. fejezet14. lábjegyzetét):
Így a polarizálatlan ,
részecskék
és
polarizálatlan részecskék keletkezésére vezető reakciójának
hatáskeresztmetszete:
(a tengely
irányú, a
jel a
szerinti összegezést jelent). A
függvényt III. (58,19) alapján helyettesítve, majd felhasználva a
III. (110,2) kifejtést, végül
adódik ( az
vektor
-tengellyel bezárt szöge); az
szerint a
és
vektoriösszeadásakor fellépő eredők minden egész értékére összegezünk.
A szórásamplitúdó parciális amplitúdók szerinti kifejtése teljességgel figyelembe
veszi a szórás szögeloszlásának a térbeli forgatásokkal szembeni szimmetriából fakadó
tulajdonságait. A tértükrözési szimmetria azonban nem látható világos módon. A
-invariancia (ha a kölcsönhatás tulajdonsága) határozott
összefüggésekre vezet a helicitásarnplitúdók között (l. alább, a 70. §-ban).