Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Konkrét példákon keresztül mutatjuk be, hogyan kell a szórásmátrix elemeit kiszámítani. A példák hozzásegítenek a kovariáns perturbációszámítás általános szabályainak megfogalmazásához.
A áramoperátor két
elektronoperátor szorzatát tartalmazza. Ezért a perturbációelmélet
első közelítése olyan folyamatokat ír le, amelyekben (a kezdeti és végállapotban)
összesen három részecske vesz részt – két elektron (
operátor) és egy foton (
operátor). Könnyen látható azonban, hogy szabad részecskék között
ilyen folyamat nem mehet végbe, tiltja az energia- és impulzusmegmaradás. Legyen az
elektronok négyesimpulzusa
és
, a fotoné
, a négyesimpulzus megmaradását a
vagy
egyenletek fejezik ki. Ezek azonban nem teljesülhetnek, mert a fotonra
, a
kifejezés pedig közismerten különbözik nullától. Valóban az invariáns
mennyiség értékét az egyik elektron nyugalmi rendszerében számítva,
azt kapjuk, hogy
Ily módon az első nem eltűnő (nemdiagonális) -mátrixelem csak a perturbációszámítás második rendjéből adódhat.
Minden ilyen folyamatot (73,12) sorba fejtett
alakjának másodrendű tagja, az
operátor képvisel. Mivel az elektron- és fotonoperátorok egymással
felcserélhetők, az integrandus két -szorzatra esik szét:
Első példaként két elektron rugalmas szóródását vizsgáljuk: a kezdeti és végállapotban két-két
elektron van és
, ill.
és
négyesimpulzusokkal. Feltételezzük még, hogy mindegyik elektron
spinállapota meghatározott, a spinváltozókat a rövidség kedvéért mindenhol elhagyjuk.
Mivel foton egyik állapotban sincs, ezért a fotonoperátorok -szorzatának
diagonális mátrixelemére van szükségünk, ahol
a foton-vákuum állapotot jelöli. A
-szorzatnak a vákuumbeli várható értékkel adott kifejezése az
és
koordináták meghatározott függvénye (minden
indexpárra). A négyestér homogenitása miatt a koordináták csak az
különbség formájában léphetnek fel. A
tenzort a fotonok terjedési függvényének (vagy fotonpropagátornak ) nevezzük. Ezt a 77. §-ban fogjuk explicit módon kiszámítani.
Az elektronoperátorok -szorzatának a
mátrixelemét kell kiszámítanunk, ahol az ,
szimbólumok a megfelelő impulzusú két elektront tartalmazóállapotokat
jelölik. A nyilvánvalóan igaz
egyenlőség segítségével, ahol tetszőleges operátor,
és
pedig rendre az első elektron keltő és a második elektron eltüntető
operátora, (74,4) helyett a
mennyiséget vizsgálhatjuk (az indexek a
jelöléseket egyszerűsítik).
Az áram operátora, minden
-operátor a
összegként írható (az összeg második tagja tartalmazza a
pozitronoperátorokat , ezekre az adott esetben nincs
szükség). Ezért a szorzat olyan tagokösszege, amelyeknek mindegyike két
, és két
operátort tartalmaz. Ezeknek kell eltüntetniük az
,
, és kelteniük a
,
elektronokat. Más szavakkal, ezek az
operátorok kell, hogy legyenek, amelyek a (74,5)-ben levő
„külső” operátorokkal a
egyenlőség szerint „kontrahálódnak” .
Attól függően, hogy melyik
-operátorból ered, (74,5)-ben négy
tag szerepel:
ahol ,
. Az ívek az összepárosított operátorokat jelölik, tehát azokat,
amelyekből adódó
és
operátorok (74,7) szerint
redukálódnak. Az
operátorok ismételt felcserélésével minden tagban egymás mellé hozzuk
az adjungált operátorpárokat (
,
stb.), ezek szorzatainak várható értéke a (74,7) várható értékek szorzata. Figyelembe véve, hogy az összes operátor
egymással antikommutál (
,
,
,
különböző állapotok!)[255], a (74,4) mátrixelemre a
kifejezést kapjuk. Megjegyezzük, hogy az összeg egy általános előjel erejéig
egyértelmű, ez utóbbi attól függ, milyen sorrendben írtuk le (74,5)-ben a „külső” elektronoperátorokat. E tény annak felel meg, hogy
azonos fermionok szóródását leíró mátrixelem előjele teljesen önkényesen választható.
(74,9) tagjainak relatív előjele természetesen
független a külső operátorok sorrendjétől.
(74,9) első és második sorban álló két tagja
egymásba megy át, ha a ,
indexeket és az
,
argumentumokat egyidejűleg felcseréljük. Ez a csere nyilvánvalóan nem
változtatja meg a (74,3) mátrixelemet sem (a tényezők
sorrendjét a
-operátor szabja meg). Ezért (74,9)
első és negyedik, ill. második és harmadik tagja (74,3)-mal szorozva és
szerint integrálva, páronként azonos eredményt ad, így a mátrixelem:
(Vegyük észre, hogy az tényező eltűnt!).
Az elektron-hullámfüggvények a (65,8) síkhullámok. Ezért a kapcsos zárójelben álló mennyiség :
ahol ,
. A
szerinti integrálást a
szerintivel helyettesítjük. A
szerinti integrálás erediriénye
-függvény (melynek értelmében
). Az
-mátrixról az
-mátrixra (65. §) áttérve, a
szórásamplitúdóra az
kifejezést kapjuk. Itt bevezettük a foton impulzustérbeli terjedési
függvényét,
A (74,11) amplitúdó mindkét tagja
megadható szimbolikus alakban az ún.Feynman-diagramok vagy Feynman-gráfok formájában.
Az első tagnak megfelelő diagram:
![]() |
Minden metszésponthoz (csúcshoz vagy vertexhez ) egy szorzótényező rendelhető. A metszéspont felé irányított,
„befutó” folytonos vonalak a kezdeti elektronoknak felelnek meg; ezekhez az
szorzók – a megfelelő elektronállapotok bispinor amplitúdói tartoznak.
A csúcstól kifelé irányított „kifutó” folytonos vonalak a végállapotbeli elektronok, ezeknek az
tényezők felelnek meg. Egy diagramot balról jobbra kell „olvasni”,
ilyen sorrendben kell leírni a tényezőket a folytonos vonalakon levő nyilakkal
ellentétes irányban. A két metszéspontot összekötő szaggatott vonal
virtuális (közbenső) fotonnak felel meg, ez az egyik csúcsban „keletkezik”; a másikban
„elnyelődik”; a szaggatott vonalhoz a
tényező tartozik. A virtuális foton
négyesimpulzusát „a metszéspontban érvényes négyesimpulzus-megmaradás”
határozza meg: a befutó vonalakhoz tartozó összimpulzus megegyezik a kifutó vonalakhoz
tartozó összimpuliussal; az adott esetben
.[256] A felsoroltakon kívül a diagramhoz még egy
szorzótényező tartozik (a kitevő a gráf csúcsainak számával egyenlő),
és az egész így
egy tagját adja. Hasonló módon kapjuk a (74,11) második tagjának megfelelő diagramot (itt
).[257]
![]() |
A kezdeti és végállapotbeli részecskékhez tartozó vonalakat a diagram külső
vonalainak vagy szabad végeinek hívják. A (74,13) és (74,14) gráfokban a különbség
annyi, hogy két szabad elektronvég ( és
) fel van cserélve egymással. Két fermion ilyen felcserélése a gráf
előjelét megváltoztatja; e szabály annak felel meg, hogy a (74,11) amplitúdóban a két tag előjele ellentétes.
A következőkben az elektron–pozitron szórást
vizsgáljuk; a kezdeti impulzusok legyenek és
, a végállapotban
és
.
A pozitronok és elektronok keltő és eltüntető operátorai a (74,6)-beli operátorban együtt lépnek fel. Az előző feladatban mindkét kezdeti
állapotbeli részecske eltüntetését a
operátor, a végállapotbeli részecskék keltését viszont a
operátor biztosította, az elektronokat és pozitronokat tekintve e két
operátor szerepe ellentétes. A kezdeti pozitront a
konjugált függvény, a végsőt
írja le (a négyesimpulzus előjele mindkettőben negatív). E különbség
figyelembevételével a szórásamplitúdóra a következő kifejezést kapjuk:[258]
E kifejezés első és második tagjához rendre a következő két diagram tartozik:
A diagramok képzési szabályai (a gráfszabályok) csak ott
változnak, ahol pozitronok fordulnak elő. Az előzőek szerint befutó folytonos vonalnak
, a kifutónak
tényező felel meg. Az egyik befutó vonal azonban most a végső, az
egyik kifutó pedig a kezdeti pozitronhoz tartozik; amellett a pozitronok impulzusait
ellentétes előjellel kell venni.
Vegyük észre, hogy (74,16) két diagramja különböző jellegű. Az elsőben az egyik csúcsban a kezdeti és végső elektron, a másikban a pozitronok találkoznak. A másodiknál mindkét vertexben elektron- és pozitronvonalak futnak össze, a felsőben az elektron–pozitron pár szétsugárzódik, és virtuális fotont kelt, az alsóban a foton elektron–pozitron párt kelt.
E különbséget a két gráf virtuális fotonjainak tulajdonságai is tükrözik. Az elsőben
(„szórás” típusú gráf) a virtuális foton négyesimpulzusa a két elektron (vagy pozitron)
riégyesimpulzusának különbsége, ezért [vö. (74,1)]. A másodikban
(szétsugárzási gráf)
, így
. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy virtuális fotonra
, a valódi fotonnal ellentétben, amelyre
.
Ha a szóródó részecskék nem azonosak és nem egymás antirészecskéi (pl. elektron és
-mezon), akkor a szórásamplitúdót egyetlen gráf adja meg:
Ez esetben szétsugárzási vagy kicserélődési típusú diagram nincs. Ezt az
eredményt analitikusan kapjuk, ha az áramoperátort az
elektron - és müonáram összegeként
írjuk,
és a szorzat olyan tagjainak mátrixelemét képezzük, amelyek biztosítják a
kívánt részecskék keltését és eltüntetését.
Visszatérünk az elsőrendű folyamathoz, melyet, mint azt a szakasz elején láthattuk, a négyesimpulzus megmaradási törvénye tilt. Az
operátor mátrixelemei ilyen átmeneteknél három valódi részecske, két
elektronés egy foton, „ugyanazon pontban” történő keltésének vagy eltüntetésének felelnek meg. Ez abból
adódik, hogy a
és
operátorok argumentuma azonos; pl. egy foton emissziójának
mátrixeleme,
eltűnik az integrandusban levő szorzótényező miatt, mivel ennek kitevője nem nulla. „Gráfnyelven” ez
azt jelenti, hogy a három szabad véget tartalmazó
gráfnak megfelelő mátrixelem értéke zérus.
Ugyanilyen okból nem lehetséges olyan másodrendű folyamat, amelyben (a kezdeti és
végállapotban összesen) hat részecske vesz részt. A megfelelő átmenetek mátrixelemében a
integrál két eltűnő integrál szorzatára esik szét, mindkettő három
hullámfüggvény azonos pontban vett szorzatát tartalmazza. Más szóval, a megfelelő
diagramok két független (74,19) típusú diagramra
esnek szét.
[255] Az antikommutativitás következtében a és
operátorok az adott esetben (a mátrixelem számításakor)
egymással felcserélhetőnek tekinthetők, és ezért az időrendezés elhagyható.
[256] Teljesen mindegy, hogy a diagram olvasását vagy
végénél kezdjük: az így adódó két kifejezés azonos egymással,
mivel a
tenzor szimmetrikus. Lényegtelen a virtuális fotonvonal
irányítása is: ez csak
előjelét változtatja, ami a
függvény páros volta (l. 77. §) miatt közömbös.
[257] A Feynman-diagramok a szórásamplitúdó tagjainak nemcsak impulzus-, hanem
koordinátareprezentációban [(74,10)
integrálok] is megfeleltethetőek. Az elektronamplitúdó szerepét a helyfüggő
hullámfüggvény veszi át, a propagátor koordinátatérbeli alakjával szerepel. Minden
csúcshoz egy integrációs változó tartozik [ vagy
(74,10)-ben]; az egy
csúcsban összefutó vonalakhoz tartozó függvények ennek a változónak függvényei.
[258] Nem azonos részecskék szóródásánál az amplitúdó előjele egyértelmű. Ennek az a
magyarázata, hogy (74,5)-ben úgy kell rendezni
a „külső” operátorokat, hogy mindkét elektronoperátor a szélen álljon:
(vagy mindkettő középen); ez a feltétel biztosítja a kezdeti és végső
vákuumállapot „azonos előjel”-ét. A szórásamplitúdó előjele a nemrelativisztikus
határátmenettel is ellenőrizhető: a későbbiekben (82. §) látni fogjuk, hogy ebben a határátmenetben (74,15) második tagja nullához tart, az első
pedig a Rutherford-szórás Born-amplitúdójához.