ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Elektronnak állandó külső téren történő rugalmas szóródása a legegyszerűbb folyamat, mely a perturbációszámítás első közelítésében (első Born-közelítés ) végbemehet. Ennek a

9.1. egyenlet - (81,1)

egycsúcspontú diagram felel meg, ahol és az elektron négyesimpulzusa a kezdeti és végállapotban, q=p′–p . Mivel állandó térben való szóródásnál az elektron energiája nem változik (ε=ε′) , ezért q=(0,q) .^[275]

A megfelelő szórásamplitúdó

9.2. egyenlet - (81,2)

M_{f i} = - e ū (p^{'}) {\hat{A}}^{(e)} (q) u (p),

ahol A(e)(q) a külső tér háromdimenziós Fourier-transzformáltja. A szórási hatás-keresztmetszet [(65,26) szerint]

9.3. egyenlet - (81,3)

d σ = \frac{1}{16 π^{2}} | M_{f i} |^{2} d Ω^{'} .

Elektrosztatikus térnél A(e)=(Ao(e),0) , tehát

9.4. egyenlet - (81,4)

M_{f i} = - e ū (p^{'}) γ^{0} u (p) A_{o}^{(e)} (q) = - e u^{*} (p^{'}) u (p) A_{o}^{(e)} (q) .

Nemrelativisztikus esetben az u(p) bispinor amplitúdók a nemrelativisztikus (kétkomponensű) amplitúdókba mennek át. Olyan szórásnál, amelyben a polarizáció nem változik, ez -től független mennyiség, az általunk használt normálás u∗u=2m . Ezt figyelembe véve,

ahol U(q)=aA0(e)(q) a külső térben mozgó elektron potenciális energiájának Fourier-transzformáltja; e kifejezés megegyezik az ismert Born-képlettel [III. (126,4)].

Az általános, relativisztikus esetben a polarizálatlan elektronok szórási hatáskeresztmetszetét úgy kapjuk, hogy |Mfi|2 -et átlagoljuk a kezdeti, és összegezzük a végső polarizációs állapotokra. Képezni kell tehát az

kifejezést, ahol összegezni kell a kezdeti és végállapotbeli elektronok spinjeinek lehetséges irányaira; az 1/2 tényező az egyik összegezésből átlagolást csinál. A 66. §-ban leírt szabályok szerint

(1/2)∑polar|Mfi|2=2SpϱÂ(e)∗ϱ′Â(e)=(1/2)|A0(e)(q)|2Sp(m+p̂)γ0(m+p̂′)γ0.

A nyom kiszámításakor felhasználjuk, hogy γ0p̂′γ0=p̄̂′ , ahol p̄′=(ε′,–p′) , és ezzel

(1/4)Sp(m+p̂)γ0(m+p̂′)γ0=(1/4)Sp(m+p̂)(m+p̄̂′)=m2+pp̄′=ε2+m2+pp′=2ε2–(q2/2).

Innen a hatáskeresztmetszet

9.5. egyenlet - (81,5)

d σ = \frac{e^{2} | A_{0}^{(e)} (q) |^{2}}{4 π^{2}} 𝜀^{2} (1 - \frac{q^{2}}{4 𝜀^{2}}) d Ω^{'} .

A ϱ(r) töltéssűrűséggel adott sztatikus töltéseloszlás tere

9.6. egyenlet - (81,6)

A_{0}^{(e)} (q) = \frac{4 π ϱ (q)}{q^{2}},

ahol ϱ(q) a ϱ(r) eloszlás Fourier-transzformáltja (alakfaktor). nagyságú ponttöltésre: ϱ(q)=Ze . A szórási hatáskeresztmetszet

9.7. egyenlet - (81,7)

d σ = d Ω^{'} \frac{4 {(Z e^{2})}^{2} 𝜀^{2}}{q^{4}} (1 - \frac{q^{2}}{4 𝜀^{2}})

(N. F. Mott, 1929). q2=4p2sin2(∕2) , ahol a szórásszög . Ezért a zárójel előtt álló kifejezés éppen a Rutherford-hatáskeresztmetszet

9.8. egyenlet - (81,8)

d σ_{R} = d Ω \frac{4 {(Z e^{2})}^{2} 𝜀^{2}}{q^{4}} = d Ω \frac{{(Z e^{2})}^{2} 𝜀^{2}}{4 p^{4}} {sin}^{- 4} \frac{𝜃}{2}

(nemrelativisztikus határesetben ε2∕p4→1∕m2v4 ).így^[276]

9.9. egyenlet - (81,9)

d σ = d σ_{R} (1 - v^{2} sin \frac{𝜃}{2}) .

Ultrarelativisztikus esetben a nemrelativisztikustól eltérően a hátraszórás erősen elnyomott ( →π: dσ∕ dσR→m2∕ε2 ).

Ultrarelativisztikus esetben a kis szögekben történő szóródásra (81,7)-ből

9.10. egyenlet - (81,10)

d σ = \frac{4 {(Z e^{2})}^{2}}{𝜀^{2} 𝜃^{4}} d Ω^{'} .

Bár erre a képletre Born-közelítésben (azaz Ze2≪1 feltevéssel) jutottunk, Ze2∼1 mellett is érvényes marad ( ≾m∕ε szögekre). Erről meggyőződhetünkúgy, hogy a (39,10) pontos ( Ze2 -ben) ultrarelativisztikus ψεp+ hullámfüggvényt használjuk. Ez a (39,2) tartományban érvényes megoldás természetesen tetszőlegesen nagy mellett érvényes marad. Itt

úgyhogy a korrekciós tag, amint annak lennie kell, kicsi. Az eiprF alakú hullámfüggvény ugyanolyan, mint a nemrelativisztikus (a paraméterek megfelelő megváltoztatása mellett), aszimptotikus alakjuk is megegyezik, így a hatáskeresztmetszetre a Rutherford-féle kifejezést kapjuk.

A tetszőlegesen polarizált elektronokra érvényes hatáskeresztmetszet kiszámításához a (29,13) sűrűségmátrixra vonatkozó általános szabályokat kellene felhasználni. Az adott esetben azonban rövidebb úton is célhoz érhetünk, ha az u(p′) , u(p) bispinor amplitúdók (23,9) alakját használjuk; szorzatukra a következő kifejezést kapjuk:

vagy a (33,5) összefüggést felhasználva,

9.11. egyenlet - (81,11)

u^{*} (p^{'}) u (p) = w^{' *} f w,

ahol^[277]

9.12. egyenlet - (81,12)

A = (𝜀 + m) + (𝜀 - m) cos 𝜃, B = - i (𝜀 - m) sin 𝜃,

A kétkomponensű mennyiség (háromdimenziós spinor) az elektron nemrelativisztikus spinhullámfüggvénye. Részlegesen polarizált állapotokra úgy térhetünk át, hogy a wαwβ∗ szorzatot ( α,β spinorindexek) a nemrelativisztikus 2×2 -es ϱαβ sűrűségmátrixszal helyettesítjük. El kell végezni tehát az

helyettesítést, ahol

és pedig a polarizációs vektor a kezdeti és végállapotban, ezeket a detektorok regisztrálják. A nyom kiszámítása a következő eredményre vezet:

9.13. egyenlet - (81,13)

d σ = d σ_{0} \{1 + \frac{(A^{2} - | B |^{2}) {ζ ζ}^{'} + 2 | B |^{2} (ν ζ) ({ν ζ}^{'}) + 2 A | B | ν (ζ \times ζ^{'})}{A^{2} + | B |^{2}}\},

ahol dσ0 a polarizálatlan elektronokra vonatkozó szórási hatáskeresztmetszet.

A (81,13)-ban levő zárójeles kifejezést {1+ζ(f)ζ′} alakban írjuk fel, és leolvassuk a végállapotbeli elektron ζ(f) polarizációját (ez eltér a detektált polarizációtól – I. 66. §.):^[278]

9.14. egyenlet - (81,14)

ζ^{(f)} = \frac{(A^{2} - | B |^{2}) ζ + 2 | B |^{2} (ν ζ) ν + 2 A | B | ν \times ζ}{A^{2} + | B |^{2}} .

Látható, hogy a szórt elektronok csak akkor polarizáltak, ha a beeső elektronok is azok. Ez a tény az első Born-közelítésáltalános jellemzője (vö. III. 140. §).

Nemrelativisztikus esetben ( ε→m ) (81,14)-ből ζ(f)=ζ adódik, azaz az elektron polarizációját a szóródás során megtartja (ez a spin–pálya kölcsönhatás elhagyásának természetes következménye).

Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben

a (38,2) általános képlettel összhangban.

Ha emellett a beeső elektron helicitása meghatározott ( ζ=2λn,λ=±1∕2 ), akkor (81,14)-ből egyszerű átalakítással kapjuk, hogy

Más szóval, az elektron helicitása a szóródás során nem változik.

Ez a körülmény, mint azt a 38. §-ban már kifejtettük, azzal van kapcsolatban, hogy a tömeget elhanyagolva, a Dirac-egyenlet spinorreprezentációbeli alakja két független, -re és -ra vonatkozó egyenletre esik szét. Ennek általánosabb jelentése is van, mivel a

áram és ezzel együtt az elektromágneses kölcsönhatás V=ejA operátora -ben és -ben vegyes tagot nem tartalmaz, és így a és állapotok között nincs nem eltűnő mátrixeleme. Ebből következik az, hogy ha az ultrarelativisztikus elektron helicitása meghatározott (vagy vagy különbözik zérustól), akkor a folyamat során ez megmarad, ha az elektron tömegét elhanyagoljuk.

^[275] Külső térben való szóródásnál ezt a diagramot a négyesimpulzus-megmaradás tetmészetesen nem tiltja [a valódi fotonra vonatkozó (74,19) diagrammal ellentétben]: -nek, a valódi foton impulzusnégyzetétől eltérően, nem kell zérusnak lennie, a külső térre vonatkozó Fourier-integrálból automatikusan kiválasztódik a megkövetelt -val rendelkező komponens.

^[276] A és dσR , közötti eltérés a feles spinű részecskékre jellemző. 0 spinű részecskék szórására (ha elektromágneses térben való mozgásukat hullámegyenlettel írnánk le) azt kapnánk, hogy = dσR . Első pillantásra érthetetlennek tűnik, hogy ez a tisztán kvantumos effektust leíró kifejezés nem tartalmazza a tényezőt. Arra kell azonban gondolnunk, hogy a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele ((e2/hv)≪1) ellentétben van a Coulomb-térben való kváziklasszikus mozgás feltételével, és ezért a (81,9) képletben nem térhetünk át klasszikus esetre.