Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az elektron–elektron szórást vizsgáljuk. és
impulzusú elektronok ütköznek egymással, négyesimpulzusuk ütközés után
és
. Az impulzusmegmaradást a
egyenlőség fejezi ki. A továbbiakban használni fogjuk a 67. §-ban bevezetett kinematikai invariánsokat, melyek
definíciója:
A folyamatot a (74,13) és (74,14) Feynman-diagramok írják le, az amplitúdó:[279]
A 66. §-ban megtanult szabályok szerint – a kezdeti és végállapotbeli részecskéket a polarizációs sűrűségmátrixokkal írjuk le – a következő helyettesítést végezzük:
Ha polarizálatlan elektronok szóródását vizsgáljuk (és a szóródás utáni
polarizációra sem vagyunk kíváncsiak), akkor minden sűrűségmátrix helyébe
-et kell írnunk, és az eredményt
-gyel szoroznunk kell (a két kezdeti elektron polarizációjára
átlagolunk, a két végsőére összegezünk). A szórási hatáskeresztmetszetet a (65,23)
képlet határozza meg, ebbe (65,15a) szerint az
kifejezést kell beírni. A hatáskeresztmetszetet a következő alakra
hozhatjuk:
-ban először a nyomokat kell kiszámítani [felhasználva(22,9)-et és (22,10)-et], majd a
és
szerinti összegezést kell elvégezni;[280]
-ban először kell a
és
szerint összegezni [a (22,6) képlet
segítségével]. Az eredmény:
vagy a (82,2) invariánsokkal kifejezve,
(ahol ).
A (82,7)-et felírjuk tömegközépponti rendszerben. Itt
(,
az elektron impulzusaés energiája,
ezek a szórás során nem változnak;
a szórási szög). Nemrelativisztikus esetben (
):[281]
(ahol az elektronok relatív sebessége) a nemrelativisztikus elmélettel
egyezésben (l. III. 137. §). Általános esetben, tetszőleges sebességekre (82,7) a (82,8)
helyettesítés és egyszerűátalakítások után a
alakban írható (Ch. Möller, 1932). Ultrarelativisztikus esetben ():
Laboratóriumi rendszerben , ahol az egyik (pl. a második) elektron az ütközés előtt nyugalomban van, a hatáskeresztmetszetet a
mennyiség, a nyugvó elektronnak a beesőáltal átadott energia
( egységekben mérve) segítségével fejezhetjük ki.[282] Az invariánsok:
Ezeket (82,7)-be helyettesítve, a gyors
primer elektronok szórása soránkeletkező másodlagos elektronok (az ún. -elektronok ) energia szerinti eloszlására a következő kifejezést
kapjuk:
ahol .
és
a két elektron kinetikus energiájaütközés után; a két részecske
azonosságát tükrözi az a tény, hogy a képlet e két mennyiségben szimmetrikus. Ha a
kisebb energiájú elektront nevezzük visszalökődött elektronnak, akkor
a 0 és
közötti értékeket veszi fel. Kis
mellett (82,14) a következő
alakú:
Megjegyezzük, hogy a befutó elektron sebességével () kifejezett képlet nemrelativisztikus esetben is érvényes marad.
Természetes tehát, hogy formailag megegyezik a nemrelativisztikus elmélet eredményével
[vö. III. (148,17)].
Vizsgáljuk most pozitron szóródását elektronon (H. Bhabha, 1936). Ez ugyanannak az általános folyamatnak egy másik keresztezett
csatornája, amelyhez az elektron-elektron szórás is tartozik. Ha a kezdeti elektron és
pozitron impulzusai és
, a végsőké
és
, akkor az egyik csatornából a másikba a
helyettesítéssel térhetünk át. A (82,2) kinematikai invariánsok most
Ha az -szórást
-csatornának tekintjük, akkor az
-szórás a reakció
-csatornája. A szórásamplitúdó négyzetének az
,
,
változókkal felírt kifejezése ugyanaz, mint előbb, (82,5) nevezőjében az
helyettesítést kell elvégezni. Így kapjuk a pozitron–elektron szórás
hatáskeresztmetszetére a (82,7)-nek megfelelő
kifejezést.
Az ,
,
invariánsokat ismét kifejezzük a tömegközépponti rendszerben, (82,8)-tól annyi az eltérés, hogy
és
felcserélődik:
Nemrelativisztikus határesetben (82,17)
a Rutherford-képletbe megy át:
(ahol ). Ez a (82,17)-ben levő kapcsos
zárójel első tagjából adódik, ami egy „szórás” típusú diagramnak felel meg (vö. 74. §). A szétsugárzási diagram járuléka [(82,17)
második tagja]és a kettő intérferenciájából adódó járulék (harmadik tag)
nemrelativisztikus határesetben eltűnik.[283]
Általános esetben, tetszőleges sebességeknél (82,17) mindhárom tagja azonos 0 nagyságrendű (csak kis szögeknél dominál az
első tag a tényező miatt. A hasonló tagok összevonása után a pozitron–elektron
szórás hatáskeresztmetszete (tömegközépponti
rendszerben) a következő alakban írható:
Az azonos részecskék szóródására jellemző, a helyettesítéssel szemben mutatott invariancia pozitron–elektron
szórásnál természetesen hiányzik. Ultrarelativisztikus határesetben a (82,20) kifejezés az elektron–elektron szórás
hatáskeresztmetszetétől
csak egy
tényezőben különbözik:
Laboratóriumi rendszerben, ahol az egyik részecske (mondjuk az elektron) az ütközés előtt nyugalomban van, ismét bevezetjük a
mennyiséget, az elektronnak átadott energiát. (82,13)-hoz hasonlóan
E kifejezéseket (82,17)-be helyettesítve, egyszerű átalakítások után a következő, a másodlagos elektronok energia szerinti eloszlását leíró képlethez jutunk:
ahol ;
értéke 0 és
között változik. Ha
, akkor (82,23)-ból szintén az
elektronszórást is megadó(82,15) képlethez jutunk.
Az elektron vagy pozitron szóródásban fellépő polarizációs effektusokat a 66. §-ban kifejtett általános szabályok alapján kell számítani. Általánosabb esetekben a számítások terjedelmes képletekhez vezetnek, ezekre nézve az eredeti cikkekre vagy speciális összefoglalókra utalunk.[284] Most csak néhány megjegyzést teszünk.
A perturbációszámítás vizsgált (első nem eltűnő) közelítésében a hatáskeresztmetszetben nem szerepelnek a kezdeti vagy végállapotbeli részecskék polarizációs vektorában lineáris tagok. A nemrelativisztikus elmélethez hasonlóan (III. 140. §) az ilyen tagok megjelenését a szórásmátrix hermiticitásából adódó követelmények tiltják. Ezért a hatáskeresztmetszet nem változik, ha az ütköző részecskék közül csak egy polarizált, polarizálatlan részecskék szóródásánál pedig nem lép fel polarizáció.
Ugyanezek a követelmények tiltják, hogy a hatáskeresztmetszetben olyan korrelációs tagok lépjenek fel, amelyek három, a folyamatban részt vevő (kezdeti és végső) részecske polarizációjának szorzatát tartalmaznák. Fellépnek azonban kettes és négyes korrelációs tagok. Nem azonos részecskék szóródásánál (elektron és pozitron; elektron és müon) ezek a tagok nemrelativisztikus határesetben eltűnnek, mivel nincs spin-pálya kölcsönhatás. Azonos részecskék ütközésekor a korrelációs tagok már nemrelativisztikus esetben is megjelennek kicserélődési effektusok következtében.
1. Határozzuk meg polarizált elektronok szóródási hatáskeresztmetszetét nemrelativisztikus közelítésben.
Megoldás. Nemrelativisztikus esetben a bispinor amplitúdók a
szokásos előállításban kétkomponensűek, a sűrűségmátrixok a (29,20)-es mátrixok. A (82,3)
szórásamplitúdóban csak a
indexű tagok különböznek nullától, ezek a (szokásos előállításban)
diagonális
mátrixot tartalmazzák. (82,4)
helyett most
(az összegezést a végállapotbeli elektronok polarizációjára végezzük). A szórási hatáskeresztmetszet
ahol a tömegközépponti rendszerbeli szórási szög,
a polarizálatlan részecskékre vonatkozó (82,9) hatáskeresztmetszet.[285]
Pozitron-elektron szóródásban azonos közelítésben a polarizációtól való függés nem
jelenik meg (); erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy az
, és
, elektron- és pozitronamplitúdók más két-két komponense különbözik
nullától.
2. Határozzuk meg nemrelativisztikus közelítésben a szórt elektronok polarizációját polarizálatlan nyaláb polarizált céltárgyon való szóródásánál.
Megoldás. Kiszámítjuk a hatáskeresztmetszetet adott kezdeti
állapotbeli és végállapotbeli detektált
(csak az egyik végállapotbeli elektron polarizációját detektálják)
polarizáció mellett. Ugyanúgy kapjuk, mint az 1.
feladatban, hogy
Innen a szórt elektron polarizációs vektora
3. Határozzuk meg nemrelativisztikus esetben annak valószínűségét, hogy teljesen polarizált elektron spinje polarizálatlan elektronon való szóródásnál átfordul.
Megoldás. A 2. feladat
megoldásához hasonlóan kaphatjuk a hatáskeresztmetszetet adott ,
polarizációk mellett:
helyettesítéssel kaphatjuk a spin átfordulásának valószínűségét:
4. Határozzuk meg adott helicitású paralel és antiparalel spinű elektronok szórási hatáskeresztmetszetének arányát, ultrarelativisztikus közelítésben.
helyettesítést kell elvégezni, ahol . A nyomokat a 22. §-ban
tárgyalt összefüggések szerint számíthatjuk; nevezetesen
A következő eredményt kapjuk:
Mivel az ütköző elektronok impulzusa (tömegközépponti rendszerben) antiparalel,
ezért azonos helicitáshoz () antiparalel, különböző helicitáshoz (
) paralel spinállás tartozik.
,
,
kifejezését (82,8)-ból
(
-tel) helyettesítve, a keresett arányra a
eredményt kapjuk. Ez -nél minimális (
).
5. Az előző feladat, elektron–pozitron szórásra.
(82,4) helyett az
kifejezést kell kiszámítani (a két további tag és
felcserélésével adódik). A sűrűségmátrixok
ahol (
pozitronra, elektronhoz hasonlóan, az impulzus irányába mutató
spint jelent). A számítás eredménye:
Az ebből számított arány megegyezik a 4. feladat (82.4.1) képletében megadottal.
6. Határozzuk meg a müon–elektron szórás hatáskeresztmetszetét .
Megoldás. A folyamatot egyetlen diagram írja le, a (74,17). (82,5) helyett most
(,
,
,
, az elektron és müon kezdeti és végső impulzusai;
,
a tömegeik). Az invariánsok:
Az (82.6.1)és (82.6.2) képletek adják a
feladat megoldását. Tömegközépponti rendszerben
ahol ,
,
az elektron és müon energiája;
.
esetén a Coulomb-potenciálon való szóródás (81,9) képletéhez jutunk vissza. Ultrarelativisztikus
esetben (
):
Laboratóriumi rendszerben (melyben az elektron ütközés előtt nyugalomban van):
Itt a bejövő müon energiája,
a sebessége;
a visszalökött elektron energiája,
maximális értéke.
7. Határozzuk meg adott helicitású elektronok és
müonok egymáson való szóródási
hatáskeresztmetszeteinek arányát paralel és antiparalel spinállás mellett
ultrarelativisztikus esetben (,
).
Megoldás. A 4. feladathoz hasonlóan
( a tömegközépponti rendszerben mért szórási szög).
8. Határozzuk meg az elektronpár müonpár (
,
,
) átalakulás hatáskeresztmetszetét (V. B.
Bereszteckij , I. Ja. Pomerancsuk , 1955).
Megoldás. Ez a folyamat és a -szórás ugyanazon reakció két csatornája. Most
ahol ,
az elektron és pozitron,
és
a müon és antimüon négyesimpulzusa.
A reakcióküszöbnél az elektronpár energiája (tömegközépponti rendszerben)
, ezért
-nek kell teljesülnie. Laboratóriumi rendszerben, melyben az
elektron az ütközés előtt nyugalomban van, a pozitron energiája pedig
,
ezért kell, hogy legyen, ahol a küszöbenergia
(most és a továbbiakban mindig kihasználjuk, hogy
).
A differenciális hatáskeresztmetszet [a 6. feladat (82.6.1) és (82.6.2) képletei helyett]
Adott mellett
az
,
egyenletek által meghatározott korlátok között mozog, azaz
Elemi integrálás adja a végeredményt:
(laboratóriumi rendszerben ).[286] A képlet közvetlenül a küszöb közelében nem alkalmazható:
esetén a keletkezett müonok nem tekinthetők szabad részecskeként (a
müonok közötti Coulomb-kölcsönhatást figyelembe véve, a hatáskeresztmetszet
esetén nem tűnik el, hanem konstanshoz tart – l.
III. 147. §).
[279] -nek ez az alakja megfelel a (71,5) általános kifejezésnek. A perturbációszámítás első nem eltűnő
közelítésében az öt invariáns amplitúdó közül csak egy különbözik
nullától:
[280] Megjegyezzük, hogy . Erre később hivatkozni fogunk.
[281] A sebesség feltevésszerűen kicsi (), de a perturbációszámítás alkalmazhatóságának feltétele
teljesül:
.
[282] A rugalmas ütközésre vonatkozó különböző vonatkoztatási rendszerekben felírt kinematikai összefüggésekre nézve lásd a II. 13. §-t.
[283] Nemrelativisztikus határesetben az amplitúdó kétkomponensű – vö. (23,12); továbbá
elektronra és pozitronra egyaránt. A (74,15) amplitúdó szórástagja
ahol
(a szórás típusú diagram virtuális fotonjára a tömegközépponti
rendszerben
),
az ellentétes töltések kölcsönhatásából száramzó
Coulomb-energia (
) Fourier-transzformáltja . Szétsugárzási diagramban a
virtuális fotonra
, ezért ez a tag határesetben eltűnik.
[284] A. M. Bincer, Phys. Rev. 107, 1434 (1957); G. W. Ford, C. J. Mullin, Phys. Rev. 108, 477 (1957) [javítás: Phys. Rev. 110, 1485 (1958)]; A. Raczka, R. Raczka, Phys. Rev. 110, 1469 (1958); W. H. MeMaster, Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).
[285] Teljesen polarizált elektronok esetén e képlet megegyezik a III. 137. §
feladatának eredményével (ekkor ,
, ahol
az elektronok polarizációs irányai által bezárt szög).
[286] A hatáskeresztmetszet az értéknél maximális; nagysága a maximum helyén kb. 20-szor
kisebb, mint a kétfotonos szétsugárzás hatáskeresztmetszete azonos energiánál.