ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

82.§. Elektronok és pozitronok szóródása elektronon

Az elektron–elektron szórást vizsgáljuk. és impulzusú elektronok ütköznek egymással, négyesimpulzusuk ütközés után p1′ és p2′ . Az impulzusmegmaradást a

9.15. egyenlet - (82,1)

p_{1} + p_{2} = p_{1}^{'} + p_{2}^{'}

egyenlőség fejezi ki. A továbbiakban használni fogjuk a 67. §-ban bevezetett kinematikai invariánsokat, melyek definíciója:

9.16. egyenlet - (82,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} s = {(p_{1} + p_{2})}^{2} & = 2 (m^{2} + p_{1} p_{2}), \\ t = {(p_{1} - p_{1}^{'})}^{2} & = 2 (m^{2} - p_{1} p_{1}^{'}), \\ u = {(p_{1} - p_{2}^{'})}^{2} & = 2 (m^{2} - p_{1} p_{2}^{'}), \\ s + t + u & = 4 m^{2} . \end{aligned} & (82,2) \end{matrix}

A folyamatot a (74,13) és (74,14) Feynman-diagramok írják le, az amplitúdó:^[279]

9.17. egyenlet - (82,3)

M_{f i} = 4 π 𝜀^{2} \{\frac{1}{t} (ū_{2}^{'} γ^{μ} u_{2}) (ū_{1}^{'} γ_{μ} u_{1}) - \frac{1}{u} (ū_{1}^{'} γ^{ν} u_{2}) (ū_{2}^{'} γ_{ν} u_{1})\} .

A 66. §-ban megtanult szabályok szerint – a kezdeti és végállapotbeli részecskéket a polarizációs sűrűségmátrixokkal írjuk le – a következő helyettesítést végezzük:

9.18. egyenlet - (82,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} | M_{f i} |^{2} \to 16 π^{2} e^{2} \{\frac{1}{t^{2}} Sp (ϱ_{2}^{'} γ^{μ} ϱ_{2} γ^{ν}) Sp (ϱ_{1}^{'} γ_{μ} ϱ_{1} γ_{ν}) + \\ + \frac{1}{u^{2}} Sp (ϱ_{1}^{'} γ^{μ} ϱ_{2} γ^{ν}) Sp (ϱ_{2}^{'} γ_{μ} ϱ_{1} γ_{ν}) - \\ - \frac{1}{t u} Sp (ϱ_{2}^{'} γ^{μ} ϱ_{2} γ^{ν} ϱ_{1}^{'} γ_{μ} ϱ_{1} γ_{ν}) - \\ - \frac{1}{t u} Sp (ϱ_{1}^{'} γ^{μ} ϱ_{2} γ^{ν} ϱ_{2}^{'} γ_{μ} ϱ_{1} γ_{ν}) \} . \end{aligned} & (82,4) \end{matrix}

Ha polarizálatlan elektronok szóródását vizsgáljuk (és a szóródás utáni polarizációra sem vagyunk kíváncsiak), akkor minden sűrűségmátrix helyébe ϱ=(1/2)(p̂+m) -et kell írnunk, és az eredményt 2⋅2=4 -gyel szoroznunk kell (a két kezdeti elektron polarizációjára átlagolunk, a két végsőére összegezünk). A szórási hatáskeresztmetszetet a (65,23) képlet határozza meg, ebbe (65,15a) szerint az I2=(1/4)s(s–4m2) kifejezést kell beírni. A hatáskeresztmetszetet a következő alakra hozhatjuk:

9.19. egyenlet - (82,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = d t \frac{4 π e^{4}}{s (s - 4 m^{2})} {f (t, u) + g (t, u) + f (u, t) + g (u, t)}, \\ f (t, u) & = \frac{1}{16 t^{2}} Sp [({\hat{p}}_{2}^{'} + m) γ^{μ} ({\hat{p}}_{2} + m) γ^{ν}] Sp [({\hat{p}}_{1}^{'} + m) γ_{μ} ({\hat{p}}_{1} + m) γ_{ν}], \\ g (t, u) & = - \frac{1}{16 t u} Sp [({\hat{p}}_{2}^{'} + m) γ^{μ} ({\hat{p}}_{2} + m) γ^{ν} ({\hat{p}}_{1}^{'} + m) γ_{μ} ({\hat{p}}_{1} + m) γ_{ν}] . \end{aligned} & (82,5) \end{matrix}

f(t,u) -ban először a nyomokat kell kiszámítani [felhasználva(22,9)-et és (22,10)-et], majd a és szerinti összegezést kell elvégezni;^[280] g(t,u) -ban először kell a és szerint összegezni [a (22,6) képlet segítségével]. Az eredmény:

f(t,u) =(2/t2)[(p1p2)2+(p1p2′)2+2m2(m2–p1p1′)], g(t,u) =(2/tu)(p1p2–2m2)(p1p2),

vagy a (82,2) invariánsokkal kifejezve,

9.20. egyenlet - (82,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} f (t, u) & = \frac{1}{t^{2}} [\frac{s^{2} + u^{2}}{2} + 4 m^{2} (t - m^{2})], \\ g (t, u) = g (u, t) & = \frac{2}{t u} (\frac{s}{2} - m^{2}) (\frac{s}{2} - 3 m^{2}) . \end{aligned} & (82,6) \end{matrix}

Így a hatáskeresztmetszet

9.21. egyenlet - (82,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ = r_{e}^{2} \frac{4 π m^{2} d t}{s {(s - 4 m)}^{2}} \{\frac{1}{t^{2}} [\frac{s^{2} + u^{2}}{2} + 4 m^{2} (t - m^{2})] + \\ + \frac{1}{u^{2}} [\frac{s^{2} + t^{2}}{2} + 4 m^{2} (u - m^{2})] + \\ + \frac{4}{t u} (\frac{s}{2} - m^{2}) (\frac{s}{2} - 3 m^{2}) \} \end{aligned} & (82,7) \end{matrix}

(ahol re=e2∕m ).

A (82,7)-et felírjuk tömegközépponti rendszerben. Itt

9.22. egyenlet - (82,8)

\begin{matrix} \begin{aligned} s = 4 𝜀^{2}, t = & - 4 p^{2} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}, u = - 4 p^{2} {cos}^{2} \frac{𝜃}{2}, \\ - d t = - 2 p^{2} d cos 𝜃 & = \frac{p^{2}}{π} d Ω \end{aligned} & (82,8) \end{matrix}

( |p| , az elektron impulzusaés energiája, ezek a szórás során nem változnak; a szórási szög). Nemrelativisztikus esetben ( e≈m ):^[281]

9.23. egyenlet - (82,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = r_{e}^{2} \frac{π m^{4} d t}{p^{2}} (\frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{u^{2}} - \frac{1}{t u}) = \\ = {(\frac{e^{2}}{m v^{2}})}^{2} (\frac{1}{{sin}^{4} \frac{𝜃}{2}} + \frac{1}{{cos}^{4} \frac{𝜃}{2}} - \frac{1}{{sin}^{4} \frac{𝜃}{2} {cos}^{4} \frac{𝜃}{2}}) d Ω = \\ = {(\frac{e^{2}}{m v^{2}})}^{2} \frac{4 (1 + 3 {cos}^{2} 𝜃)}{s i n^{4} 𝜃} d Ω (nemrelativisztikus) \end{aligned} & (82,9) \end{matrix}

(ahol v=2p∕m az elektronok relatív sebessége) a nemrelativisztikus elmélettel egyezésben (l. III. 137. §). Általános esetben, tetszőleges sebességekre (82,7) a (82,8) helyettesítés és egyszerűátalakítások után a

9.24. egyenlet - (82,10)

d σ = r_{e}^{2} \frac{m^{2} {(𝜀^{2} + p^{2})}^{2}}{4 p^{4} 𝜀^{2}} [\frac{4}{{sin}^{4} 𝜃} - \frac{3}{{sin}^{2} 𝜃} + {(\frac{p^{2}}{𝜀^{2} + p^{2}})}^{2} (1 + \frac{4}{{sin}^{2} 𝜃})] d Ω

alakban írható (Ch. Möller, 1932). Ultrarelativisztikus esetben ( p2≈ε2 ):

9.25. egyenlet - (82,11)

d σ = r_{e}^{2} \frac{m^{2}}{𝜀^{2}} \frac{{(3 + {cos}^{2} 𝜃)}^{2}}{4 {sin}^{4} 𝜃} d Ω (ultrarelativisztikus) .

Laboratóriumi rendszerben , ahol az egyik (pl. a második) elektron az ütközés előtt nyugalomban van, a hatáskeresztmetszetet a

9.26. egyenlet - (82,12)

Δ = \frac{𝜀_{1} - 𝜀_{1}^{'}}{m} = \frac{𝜀_{2}^{'} - m}{m}

mennyiség, a nyugvó elektronnak a beesőáltal átadott energia ( egységekben mérve) segítségével fejezhetjük ki.^[282] Az invariánsok:

9.27. egyenlet - (82,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} s & = 2 m (m + 𝜀_{1}), t = - 2 m^{2} Δ, \\ u & = - 2 m (𝜀_{1} - m - m Δ) . \end{aligned} & (82,13) \end{matrix}

Ezeket (82,7)-be helyettesítve, a gyors primer elektronok szórása soránkeletkező másodlagos elektronok (az ún. -elektronok ) energia szerinti eloszlására a következő kifejezést kapjuk:

9.28. egyenlet - (82,14)

d σ = 2 π r_{e}^{2} \frac{d Δ}{γ^{2} - 1} \{\frac{{(γ - 1)}^{2} γ^{2}}{Δ^{2} {(γ - 1 - Δ)}^{2}} - \frac{2 γ^{2} + 2 γ - 1}{Δ (γ - 1 - Δ)} + 1\},

ahol γ=ε1∕m . és m(γ–1–Δ) a két elektron kinetikus energiájaütközés után; a két részecske azonosságát tükrözi az a tény, hogy a képlet e két mennyiségben szimmetrikus. Ha a kisebb energiájú elektront nevezzük visszalökődött elektronnak, akkor a 0 és (γ–1)∕2 közötti értékeket veszi fel. Kis mellett (82,14) a következő alakú:

9.29. egyenlet - (82,15)

d σ = 2 π r_{e}^{2} \frac{γ^{2}}{γ^{2} - 1} \frac{d Δ}{Δ^{2}} = \frac{2 π r_{e}^{2}}{v_{1}^{2}} \frac{d Δ}{Δ^{2}}, Δ ≪ γ - 1 .

Megjegyezzük, hogy a befutó elektron sebességével ( v1=|p1|∕ε1 ) kifejezett képlet nemrelativisztikus esetben is érvényes marad. Természetes tehát, hogy formailag megegyezik a nemrelativisztikus elmélet eredményével [vö. III. (148,17)].

Vizsgáljuk most pozitron szóródását elektronon (H. Bhabha, 1936). Ez ugyanannak az általános folyamatnak egy másik keresztezett csatornája, amelyhez az elektron-elektron szórás is tartozik. Ha a kezdeti elektron és pozitron impulzusai és , a végsőké p–′ és p+′ , akkor az egyik csatornából a másikba a

helyettesítéssel térhetünk át. A (82,2) kinematikai invariánsok most

9.30. egyenlet - (82,16)

s = {(p_{-} - p_{+}^{'})}^{2}, t = {(p_{+} - p_{+}^{'})}^{2}, u = {(p_{-} + p_{+})}^{2} .

Ha az -szórást -csatornának tekintjük, akkor az -szórás a reakció-csatornája. A szórásamplitúdó négyzetének az , , változókkal felírt kifejezése ugyanaz, mint előbb, (82,5) nevezőjében az s→u helyettesítést kell elvégezni. Így kapjuk a pozitron–elektron szórás hatáskeresztmetszetére a (82,7)-nek megfelelő

9.31. egyenlet - (82,17)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ = r_{e}^{2} \frac{4 π m^{2} d t}{u (u - 4 m^{2})} \{\frac{1}{t^{2}} [\frac{s^{2} + u^{2}}{2} + 4 m^{2} (t - m^{2})] + \\ + \frac{1}{u^{2}} [\frac{s^{2} + t^{2}}{2} + 4 m^{2} (u - m^{2})] + \\ + \frac{4}{t u} (\frac{s}{2} - m^{2}) (\frac{s}{2} - 3 m^{2}) \} \end{aligned} & (82,17) \end{matrix}

kifejezést.

Az , , invariánsokat ismét kifejezzük a tömegközépponti rendszerben, (82,8)-tól annyi az eltérés, hogy és felcserélődik:

9.32. egyenlet - (82,18)

s = - 4 p^{2} {cos}^{2} \frac{𝜃}{2}, t = - 4 p^{2} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}, u = 4 𝜀^{2} .

Nemrelativisztikus határesetben (82,17) a Rutherford-képletbe megy át:

9.33. egyenlet - (82,19)

d σ = {(\frac{e^{2}}{m v^{2}})}^{2} \frac{d Ω}{{sin}^{4} \frac{𝜃}{2}} (nemrelativisztikus)

(ahol v=2p∕m ). Ez a (82,17)-ben levő kapcsos zárójel első tagjából adódik, ami egy „szórás” típusú diagramnak felel meg (vö. 74. §). A szétsugárzási diagram járuléka [(82,17) második tagja]és a kettő intérferenciájából adódó járulék (harmadik tag) nemrelativisztikus határesetben eltűnik.^[283]

Általános esetben, tetszőleges sebességeknél (82,17) mindhárom tagja azonos 0 nagyságrendű (csak kis szögeknél dominál az első tag a t–2∝sin–4(/2) tényező miatt. A hasonló tagok összevonása után a pozitron–elektron szórás hatáskeresztmetszete (tömegközépponti rendszerben) a következő alakban írható:

9.34. egyenlet - (82,20)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ = d Ω \frac{r_{e}^{2}}{16} \frac{m^{2}}{𝜀^{2}} \{\frac{{(𝜀^{2} + p^{2})}^{2}}{p^{4}} \frac{1}{s i n^{4} \frac{𝜃}{2}} - \frac{8 𝜀^{4} - m^{4}}{p^{2} 𝜀^{2}} \frac{1}{s i n^{2} \frac{𝜃}{2}} + \\ + \frac{12 𝜀^{4} + m^{4}}{𝜀^{4}} - \frac{4 p^{2} (𝜀^{2} + p^{2})}{𝜀^{4}} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2} + \frac{4 p^{4}}{𝜀^{4}} {sin}^{4} \frac{𝜃}{2} \} . \end{aligned} & (82,20) \end{matrix}

Az azonos részecskék szóródására jellemző, a →π– helyettesítéssel szemben mutatott invariancia pozitron–elektron szórásnál természetesen hiányzik. Ultrarelativisztikus határesetben a (82,20) kifejezés az elektron–elektron szórás hatáskeresztmetszetétől csak egy cos4(/2) tényezőben különbözik:

9.35. egyenlet - (82,21)

d σ_{e ē} = {cos}^{4} \frac{𝜃}{2} d σ_{e e} (ultrarelativisztikus)

Laboratóriumi rendszerben, ahol az egyik részecske (mondjuk az elektron) az ütközés előtt nyugalomban van, ismét bevezetjük a

9.36. egyenlet - (82,22)

Δ = \frac{𝜀_{+} - 𝜀_{+}^{'}}{m} = \frac{𝜀_{-}^{'} - m}{m}

mennyiséget, az elektronnak átadott energiát. (82,13)-hoz hasonlóan

E kifejezéseket (82,17)-be helyettesítve, egyszerű átalakítások után a következő, a másodlagos elektronok energia szerinti eloszlását leíró képlethez jutunk:

9.37. egyenlet - (82,23)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ = 2 π r_{e}^{2} \frac{d Δ}{γ^{2} - 1} \{\frac{γ^{2}}{Δ^{2}} - \frac{2 γ^{2} + 4 γ + 1}{γ + 1} \frac{1}{Δ} + \\ + \frac{3 γ^{2} + 6 γ + 4}{{(γ + 1)}^{2}} - \frac{2 γ}{{(γ + 1)}^{2}} Δ + \frac{1}{{(γ + 1)}^{2}} Δ^{2} \}, \end{aligned} & (82,23) \end{matrix}

ahol γ=ε+∕m ; értéke 0 és γ–1 között változik. Ha Δ≪γ–1 , akkor (82,23)-ból szintén az elektronszórást is megadó(82,15) képlethez jutunk.

Az elektron vagy pozitron szóródásban fellépő polarizációs effektusokat a 66. §-ban kifejtett általános szabályok alapján kell számítani. Általánosabb esetekben a számítások terjedelmes képletekhez vezetnek, ezekre nézve az eredeti cikkekre vagy speciális összefoglalókra utalunk.^[284] Most csak néhány megjegyzést teszünk.

A perturbációszámítás vizsgált (első nem eltűnő) közelítésében a hatáskeresztmetszetben nem szerepelnek a kezdeti vagy végállapotbeli részecskék polarizációs vektorában lineáris tagok. A nemrelativisztikus elmélethez hasonlóan (III. 140. §) az ilyen tagok megjelenését a szórásmátrix hermiticitásából adódó követelmények tiltják. Ezért a hatáskeresztmetszet nem változik, ha az ütköző részecskék közül csak egy polarizált, polarizálatlan részecskék szóródásánál pedig nem lép fel polarizáció.

Ugyanezek a követelmények tiltják, hogy a hatáskeresztmetszetben olyan korrelációs tagok lépjenek fel, amelyek három, a folyamatban részt vevő (kezdeti és végső) részecske polarizációjának szorzatát tartalmaznák. Fellépnek azonban kettes és négyes korrelációs tagok. Nem azonos részecskék szóródásánál (elektron és pozitron; elektron és müon) ezek a tagok nemrelativisztikus határesetben eltűnnek, mivel nincs spin-pálya kölcsönhatás. Azonos részecskék ütközésekor a korrelációs tagok már nemrelativisztikus esetben is megjelennek kicserélődési effektusok következtében.

Feladatok

1. Határozzuk meg polarizált elektronok szóródási hatáskeresztmetszetét nemrelativisztikus közelítésben.

Megoldás. Nemrelativisztikus esetben a bispinor amplitúdók a szokásos előállításban kétkomponensűek, a sűrűségmátrixok a (29,20) 2×2 -es mátrixok. A (82,3) szórásamplitúdóban csak a μ=ν=0 indexű tagok különböznek nullától, ezek a (szokásos előállításban) diagonális mátrixot tartalmazzák. (82,4) helyett most

∑polar|Mfi|2=16π2e4⋅4m4{((1/t2)+(1/u2))Sp(1+σζ1)Sp(1+σζ2)– –(2/tu)Sp(1+σζ1)(1+σζ2)}=16π2e4⋅4m4⋅4[(1/t2)+(1/u2)–(1/tu)(1+ζ1ζ2)]

(az összegezést a végállapotbeli elektronok polarizációjára végezzük). A szórási hatáskeresztmetszet

ahol a tömegközépponti rendszerbeli szórási szög, dσ0 a polarizálatlan részecskékre vonatkozó (82,9) hatáskeresztmetszet.^[285]

Pozitron-elektron szóródásban azonos közelítésben a polarizációtól való függés nem jelenik meg ( dσ=dσ0 ); erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy az , és u–p , elektron- és pozitronamplitúdók más két-két komponense különbözik nullától.

2. Határozzuk meg nemrelativisztikus közelítésben a szórt elektronok polarizációját polarizálatlan nyaláb polarizált céltárgyon való szóródásánál.

Megoldás. Kiszámítjuk a hatáskeresztmetszetet adott kezdeti állapotbeli és végállapotbeli detektált ζ1′ (csak az egyik végállapotbeli elektron polarizációját detektálják) polarizáció mellett. Ugyanúgy kapjuk, mint az 1. feladatban, hogy

dσ=(1/2) dσ0[1–ζ1′ζ2(2cos(1–cos)/1+3cos2)].

Innen a szórt elektron polarizációs vektora

3. Határozzuk meg nemrelativisztikus esetben annak valószínűségét, hogy teljesen polarizált elektron spinje polarizálatlan elektronon való szóródásnál átfordul.

Megoldás. A 2. feladat megoldásához hasonlóan kaphatjuk a hatáskeresztmetszetet adott , ζ2′ polarizációk mellett:

dσ=(1/2) dσ0[1+ζ1ζ1′(2cos(1+cos)/1+3cos2)].

ζ1ζ1′=–1 helyettesítéssel kaphatjuk a spin átfordulásának valószínűségét:

4. Határozzuk meg adott helicitású paralel és antiparalel spinű elektronok szórási hatáskeresztmetszetének arányát, ultrarelativisztikus közelítésben.

(82,4)-ben (29,22) szerint a

ϱ1=(1/2)p̂1(1–2λ1γ5), ϱ2=(1/2)p̂2(1–2λ2γ5), ϱ1′=(1/2)p̂1′, ϱ2′=(1/2)p̂2′

helyettesítést kell elvégezni, ahol λ1,λ2=±1∕2 . A nyomokat a 22. §-ban tárgyalt összefüggések szerint számíthatjuk; nevezetesen

Sp(γ5âγμb̂γν)Sp(γ5ĉγμd̂γν)=i2(eϱμλνaϱbλ)(eσμτνcσdτ)= =2(δσϱδτλ–δτϱδσλ)aϱbλcσdτ= =2(ac)(bd)–2(ad)(bc).

A következő eredményt kapjuk:

(dσ/dt)∝((s2+u2/t2)+(s2+t2/u2)+(2s2/tu))+4λ1λ2((s2–u2/t2)+(s2–t2/u2)+(2s2/tu)).

Mivel az ütköző elektronok impulzusa (tömegközépponti rendszerben) antiparalel, ezért azonos helicitáshoz ( λ1=λ2 ) antiparalel, különböző helicitáshoz ( λ1=–λ2 ) paralel spinállás tartozik. , , kifejezését (82,8)-ból ( p2≈ε2 -tel) helyettesítve, a keresett arányra a

9.38. egyenlet - (1)

\frac{d σ_{↑ ↑}}{d σ_{↑ ↓}} = \frac{1}{8} (1 + 6 {cos}^{2} 𝜃 + c o s^{4} 𝜃)

eredményt kapjuk. Ez =π∕2 -nél minimális ( 1∕8 ).

5. Az előző feladat, elektron–pozitron szórásra.

(82,4) helyett az

|Mfi|2→16π2e2{(1/t2)Sp(ϱ–′γμϱ–γν)Sp(ϱ+γμϱ+′γν)–(1/tu)Sp(ϱ–′γμϱ–γνϱ+γμϱ+′γν)+…}

kifejezést kell kiszámítani (a két további tag és ϱ–′ felcserélésével adódik). A sűrűségmátrixok

ϱ–=(1/2)p̂–(1–2λ–γ5), ϱ+=(1/2)p̂+(1+2λ+γ5), ϱ–′=(1/2)p̂–′, ϱ+′=(1/2)p̂+′,

ahol λ+,λ–=±1∕2 ( λ+=1∕2 pozitronra, elektronhoz hasonlóan, az impulzus irányába mutató spint jelent). A számítás eredménye:

(dσ/dt)∝((s2+u2/t2)+(s2+t2/u2)+(2s2/tu))–4λ+λ–((s2–u2/t2)+(s2–t2/u2)+(2s2/tu)).

Az ebből számított arány megegyezik a 4. feladat (82.4.1) képletében megadottal.

6. Határozzuk meg a müon–elektron szórás hatáskeresztmetszetét .

Megoldás. A folyamatot egyetlen diagram írja le, a (74,17). (82,5) helyett most

9.39. egyenlet - (1)

\begin{matrix} \begin{matrix} d σ = \frac{π e^{4} d t}{{(p_{e} p_{μ})}^{2} - m^{2} μ^{2}} f (t, u) = \frac{4 π e^{4} d t}{[s - {(m + μ)}^{2}] [s - {(m - μ)}^{2}]} f (t, u), \\ f (t, u) = \frac{1}{16 t^{2}} Sp [({\hat{p}}_{μ}^{'} + μ) γ^{λ} ({\hat{p}}_{μ} + μ) γ^{ν}] Sp [({\hat{p}}_{e}^{'} + m) γ_{λ} ({\hat{p}}_{e} + m) γ_{ν}] \end{matrix} & (1) \end{matrix}

(, , pe′ , pμ′ , az elektron és müon kezdeti és végső impulzusai; , a tömegeik). Az invariánsok:

s =(pe+pμ)2=m2+μ2+2pepμ, t =(pe–pe′)=2(m2–pepe′)=2(μ2–pμpμ′), u =(pe–pμ′)2=m2+μ2–2pepμ′, s +t+u=2(m2+μ2).

A számítás végeredménye:

9.40. egyenlet - (2)

f = \frac{2}{t^{2}} \{{(p_{e} p_{μ})}^{2} + {(p_{e} p_{μ}^{'})}^{2} + \frac{1}{2} (m^{2} + μ^{2}) t\} = \frac{1}{t^{2}} \{\frac{s^{2} + u^{2}}{2} + (m^{2} + μ^{2}) (2 t - m^{2} - μ^{2})\} .

Az (82.6.1)és (82.6.2) képletek adják a feladat megoldását. Tömegközépponti rendszerben

dσ=(e4dΩ/8(εe+εμ)2p4sin4(/2))[(εeεμ+p2)2+(εeεμ+p2cos)2–2(m2+μ2)p2sin2(/2)],

ahol dΩ=2πsind , , az elektron és müon energiája; p2=εe2–m2=εμ2–μ2 . p2≪μ2 esetén a Coulomb-potenciálon való szóródás (81,9) képletéhez jutunk vissza. Ultrarelativisztikus esetben ( p2≫μ2 ):

Laboratóriumi rendszerben (melyben az elektron ütközés előtt nyugalomban van):

dσ=2π((e2/m))2(dΔ/σμ2Δ2)(1–σμ2(Δ/Δmax)+(m2/2εμ2)Δ2).

Itt a bejövő müon energiája, σμ=pμ∕εμ a sebessége; mΔ=εe′–m=εμ–εμ′ a visszalökött elektron energiája,

maximális értéke.

7. Határozzuk meg adott helicitású elektronok és müonok egymáson való szóródási hatáskeresztmetszeteinek arányát paralel és antiparalel spinállás mellett ultrarelativisztikus esetben ( εμ≫μ , εe≫m ).

Megoldás. A 4. feladathoz hasonlóan

( a tömegközépponti rendszerben mért szórási szög).

8. Határozzuk meg az elektronpár müonpár (, e+→μ– , ) átalakulás hatáskeresztmetszetét (V. B. Bereszteckij , I. Ja. Pomerancsuk , 1955).

Megoldás. Ez a folyamat és a -szórás ugyanazon reakció két csatornája. Most

ahol , p̄e az elektron és pozitron, és p̄μ a müon és antimüon négyesimpulzusa.

A reakcióküszöbnél az elektronpár energiája (tömegközépponti rendszerben) , ezért t>4μ2 -nek kell teljesülnie. Laboratóriumi rendszerben, melyben az elektron az ütközés előtt nyugalomban van, a pozitron energiája pedig ,

ezért ε+>εk kell, hogy legyen, ahol a küszöbenergia εk=2μ2∕m (most és a továbbiakban mindig kihasználjuk, hogy μ≫m ).

A differenciális hatáskeresztmetszet [a 6. feladat (82.6.1) és (82.6.2) képletei helyett]

dσ=(4πe4ds/(t–4m2)t)f(t,u)≈4πe4(ds/t4)[(s2+u2/2)+2μ2t–μ4].

Adott mellett az su≈μ4 , s+t+u≈2μ2 egyenletek által meghatározott korlátok között mozog, azaz

μ2–(t/2)–(1/2)√(t(t–4μ2))≤s≤μ2–(t/2)+(1/2)√(t(t–4μ2)).

Elemi integrálás adja a végeredményt:

σ=(4π/3)re2(m2/t)√(1–(4μ2/t))(1+(2μ2/t)), re=(e2/m)

(laboratóriumi rendszerben t=2mε+ ).^[286] A képlet közvetlenül a küszöb közelében nem alkalmazható: ε+–εk∼μe4 esetén a keletkezett müonok nem tekinthetők szabad részecskeként (a müonok közötti Coulomb-kölcsönhatást figyelembe véve, a hatáskeresztmetszet ε+→εk esetén nem tűnik el, hanem konstanshoz tart – l. III. 147. §).

^[279] Mfi -nek ez az alakja megfelel a (71,5) általános kifejezésnek. A perturbációszámítás első nem eltűnő közelítésében az öt invariáns amplitúdó közül csak egy különbözik nullától: f3(t,u)=4πe2∕t

^[280] Megjegyezzük, hogy (1/4)Sp(p̂1+m)γμ(p̂2+m)γν=gμν(m2–p1p2)+p1μp2ν+p1νp2μ . Erre később hivatkozni fogunk.

^[281] A sebesség feltevésszerűen kicsi ( v≪1 ), de a perturbációszámítás alkalmazhatóságának feltétele teljesül: (e2/v)(=(e2/ℏv))≪1 .

^[282] A rugalmas ütközésre vonatkozó különböző vonatkoztatási rendszerekben felírt kinematikai összefüggésekre nézve lásd a II. 13. §-t.

^[283] Nemrelativisztikus határesetben az amplitúdó kétkomponensű – vö. (23,12); továbbá ū–′γμu–=(2mw–′∗w–,0) elektronra és pozitronra egyaránt. A (74,15) amplitúdó szórástagja –(2m)2(w–′∗w–)(w+′∗w+)Uq′ ahol Uq=(4πe2/q2)=–(4πe2/q2) (a szórás típusú diagram virtuális fotonjára a tömegközépponti rendszerben q0=0 ), az ellentétes töltések kölcsönhatásából száramzó Coulomb-energia ( –e2∕r ) Fourier-transzformáltja . Szétsugárzási diagramban a virtuális fotonra q0=2m(=2mc) , ezért ez a tag határesetben eltűnik.

^[284]A. M. Bincer, Phys. Rev. 107, 1434 (1957); G. W. Ford, C. J. Mullin, Phys. Rev. 108, 477 (1957) [javítás: Phys. Rev. 110, 1485 (1958)]; A. Raczka, R. Raczka, Phys. Rev. 110, 1469 (1958); W. H. MeMaster, Rev. Mod. Phys. 33, 8 (1961).

^[285] Teljesen polarizált elektronok esetén e képlet megegyezik a III. 137. § feladatának eredményével (ekkor |ζ1|=|ζ2|=1 , ζ1ζ2=cosα , ahol az elektronok polarizációs irányai által bezárt szög).

^[286] A hatáskeresztmetszet az ε+=1,7εk értéknél maximális; nagysága a maximum helyén kb. 20-szor kisebb, mint a kétfotonos szétsugárzás hatáskeresztmetszete azonos energiánál.