ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

egyenlőség fejezi ki, ahol és az elektron és foton ütközés előtti, és az ütközés utáni négyesimpulzusai. A 67. §-ban bevezetett kinematikai invariánsok a következők:

10.2. egyenlet - (86,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} s = {(p + k)}^{2} = {(p^{'} + k^{'})}^{2} & = m^{2} + 2 p k = m^{2} + 2 p^{'} k^{'}, \\ t = {(p - p^{'})}^{2} = {(k^{'} - k)}^{2} & = 2 (m^{2} - p p^{'}) = - 2 k k^{'}, \\ u = {(p - k^{'})}^{2} = {(p^{'} - k)}^{2} & = m^{2} - 2 p k^{'} = m^{2} - 2 p^{'} k, \\ s + t + u & = 2 m^{2} . \end{aligned} & (86,2) \end{matrix}

A folyamatot a (75,14) Feynman-diagramok írják le, az amplitúdó

10.3. egyenlet - (86,3)

M_{f i} = - 4 π e^{2} e_{μ}^{' *} e_{ν} (ū^{'} Q^{μ ν} u),

ahol

10.4. egyenlet - (86,4)

Q^{μ ν} = \frac{1}{s - m^{2}} γ^{μ} (\hat{p} + \hat{k} + m) γ^{ν} + \frac{1}{u - m^{2}} γ^{ν} (\hat{p} - {\hat{k}}^{'} + m) γ^{μ}

Itt , a kezdeti és a végső foton polarizációs négyesvektorai ; , a kezdetiés a végső elektron bispinor amplitúdói.

A 66. §-ban tárgyalt szabályok szerint a részecskék tetszőleges polarizációs állapotára:

10.5. egyenlet - (86,5)

| M_{f i} |^{2} \to 16 π^{2} e^{4} Sp {ϱ^{{(e)}^{'}} ϱ_{λ μ}^{{(γ)}^{'}} Q^{μ ν} ϱ^{(e)} ϱ_{ν σ}^{(γ)} {\bar{Q}}^{λ σ}} .

Itt ϱ(e) , ϱ(e)′ a kezdeti és végső elektron sűrűségmátrixa, ϱ(γ) , ϱ(γ)′ ugyanaz a fotonokra; a fotonra vonatkozó (tenzor-) indexeket explicit módon kiírtuk, az elektronra vonatkozó (bispinor) indexeket nem; á nyom képzése éppen az utóbbiak szerinti. Ezekre vonatkozik a jel is a Qμν=γ0Qμν+γ0 definícióban.

Polarizálatlan foton polarizálatlan elektronon való szóródását vizsgáljuk, az ütközés utáni polarizációra sem vagyunk kíváncsiak. A polarizációra a

ϱλμ(γ)=ϱλμ(γ)′=–(1/2)gλμ, ϱ(e)=(1/2)(p̂+m), ϱ(e)′=(1/2)(p̂′+m)

sűrűségmátrixok segítségével átlagolhatunk, a végállapotbeli részecskék polarizációjára való összegezés egy további 2⋅2=4 szorzótényezőt jelent.

A (65,23) képlet szerint [amelyben most I2=(1/4)(s–m2)2 – l. (65,15a)] a hatáskeresztmetszet :

dσ=(πe4/4)(dt/(s–m2)2)Sp{(p̂′+m)Qλμ(p̂+m)Q̄λμ}.

A (66,2a) összefüggéseket felhasználva megállapíthatjuk, hogy Q̄μλ=Qλμ . Szétválasztva azokat a tagokat, amelyek a k↔–k′ (ennek megfelelően s↔u ) helyettesítéskor egymásba mennek át, a hatáskeresztmetszetet a

dσ=dt(πe4/(s–m2)2)[f(s,u)+g(s,u)+f(u,s)+g(u,s)].

alakban írhatjuk, ahol

f(s,u)=(1/4(s–m2)2)Sp{(p̂′+m)γμ(p̂+k̂+m)γν(p̂+m)γν(p̂+k̂+m)γμ},

g(s,u) =(1/4(s–m2)(u–m2))× ×Sp{(p̂′+m)γμ(p̂+k̂+m)γν(p̂+m)γμ(p̂–k̂′+m)γν},

(e jelölésekkel kapcsolatban már előrevetítjük, hogy az eredmény csak az invariáns mennyiségektől függ).

A , indexekre a (22,6) képletek segítségével összegezhetünk, a páratlan számú mátrixot tartalmazó tagokat elhagyva, a következő eredményt kapjuk:

f(s,u)=(1/(s–m2)2)Sp{p̂′(p̂+k̂)p̂(p̂+k̂)+4m2(p̂+k̂)(k̂–p̂′)+m2p̂p̂′+4m4}.

A nyomképzést a (22,13) képletek segítségével végezzük és minden mennyiséget az , invariánsokkal kifejezve, egyszerű átalakítások után adódik, hogy

f(s,u)=(2/(s–m2)2){4m4–(s–m2)(u–m2)+2m2(s–m2)}.

Hasonló módon számíthatjuk -t:

g(s,u)=(2m2/(s–m2)(u–m2)){4m2+(s–m2)+(u–m2)}.

Végeredményben a hatáskeresztmetszet ,

10.6. egyenlet - (86,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = 8 π r_{e}^{2} \frac{m^{2} d t}{{(s - m^{2})}^{2}} \{{(\frac{m^{2}}{s - m^{2}} + \frac{m^{2}}{u - m^{2}})}^{2} + \\ + (\frac{m^{2}}{s - m^{2}} + \frac{m^{2}}{u - m^{2}}) - \frac{1}{4} (\frac{s - m^{2}}{u - m^{2}} + \frac{u - m^{2}}{s - m^{2}}) \}, \end{aligned} & (86,6) \end{matrix}

ahol re=e2∕m . A hatáskeresztmetszetet most az invariáns mennyiségekkel fejezzük ki. Ebből könnyen megadható tetszőleges konkrét koordináta-rendszerbeli ütközési paraméterekkel kifejezett alakja.

A laboratóriumi rendszerben , amelyben az elektron az ütközés előtt nyugalomban van: p=(m,0) . Itt

10.7. egyenlet - (86,7)

s - m^{2} = 2 m ω, u - m^{2} = - 2 m ω^{'} .

A négyesimpulzus-megmaradást p+k–k′=p′ alakban írjuk, és az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük. Azt kapjuk, hogy

amiből (laboratóriumi rendszerben)

ahol a foton szóródási szöge. Ez az egyenlőség szabja meg a foton energiaváltozása és a szóródási szög közötti kapcsolatot:

10.8. egyenlet - (86,8)

\frac{1}{ω^{'}} - \frac{1}{ω} = \frac{1}{m} (1 - cos 𝜗) .

A invariáns mennyiség kifejezése e rendszerben:

Adott energia mellett [(86,8)-at felhasználva]:

dt=2ω′2dcosϑ=(1/π)ω′2dΩ′ ( dΩ′=2πsinϑdϑ).

A felírt kifejezéseket (86,6)-ba helyettesítve, a szórási hatáskeresztmetszetre laboratóriumi rendszerben a következő kifejezést kapjuk:

10.9. egyenlet - (86,9)

d σ = \frac{r_{e}^{2}}{2} {(\frac{ω^{'}}{ω})}^{2} (\frac{ω}{ω^{'}} + \frac{ω^{'}}{ω} - {sin}^{2} 𝜗) d Ω^{'}

(O. Klein , Y. Nishina , 1929; I. E. Tamm , 1930).

Mivel a szög (86,8) szerint egyértelműen kifejezhető -vel, a hatáskeresztmetszetet kifejezhetjük a szórt foton energiájával:

10.10. egyenlet - (86,10)

d σ = π r_{e}^{2} \frac{m d ω^{'}}{ω^{2}} [\frac{ω}{ω^{'}} + \frac{ω^{'}}{ω} + {(\frac{m}{ω^{'}} - \frac{m}{ω})}^{2} - 2 m (\frac{1}{ω^{'}} - \frac{1}{ω})]

lehetséges értékei:

10.11. egyenlet - (86,11)

\frac{ω}{1 + 2 \frac{ω}{m}} \leq ω^{'} \leq ω .

Ha ω≪m , akkor (86,9)-ben ω′≈ω írható, és amint az várható, a klasszikus, nemrelativisztikus Thomson-képletet kapjuk:

10.12. egyenlet - (86,12)

d σ = \frac{1}{2} r_{e}^{2} (1 + {cos}^{2} 𝜗) d Ω^{'}

[l. II. (78,7)].

A teljes hatáskeresztmetszetet (86,6)-ból számítjuk ki. A benne szereplő , , invariánsok értelmezési tartományát az

10.13. egyenlet - (86,13)

s \geq m^{2}, t \leq 0, u s \leq m^{4}

egyenlőtlenségek szabják meg. Ezt már a 68. §-ban láttuk (az ehhez tartozó fizikai tartomány a 9. ábrán-gyel jelölt rész). Közvetlenül is meggyőződhetünk róla, ha az invariánsokat a tömegközépponti rendszerben írjuk fel. Itt p+k=0 , az elektron és a foton energiája között az ε=√(ω2+m2) összefüggés áll fenn. Az invariánsok:

10.14. egyenlet - (86,14)

\begin{matrix} \begin{aligned} s & = {(𝜀 + ω)}^{2} = m^{2} + 2 ω (ω + 𝜀), \\ u & = m^{2} - 2 ω (𝜀 + ω cos 𝜃), \\ t & = - 2 ω^{2} (1 - c o s 𝜃), \end{aligned} & (86,14) \end{matrix}

ahol a szórásszög (és vagy és által bezárt szög). A (86,13) egyenlőtlenségek az ω≥0 , –1≤cos≤1 feltételekből nyerhetők.

Adott (azaz adott részecskeenergia) mellett helyett u=2m2–s–t szerint integrálhatunk az

intervallumban.

és helyett az

10.15. egyenlet - (86,15)

x = \frac{s - m^{2}}{m^{2}}, y = \frac{m^{2} - u}{m^{2}}

változókat bevezetve kapjuk, hogy

σ=(8πre2/x2)∫x∕(x+1)x[((1/x)–(1/y))2+(1/x)–(1/y)+(1/4)((x/y)+(y/x))] dy,

majd elemi integrálás után:

10.16. egyenlet - (86,16)

σ = 2 π r_{e}^{2} \frac{1}{x} \{(1 - \frac{4}{x} - \frac{8}{x^{2}}) ln (1 + x) + \frac{1}{2} + \frac{8}{x} - \frac{1}{2 {(1 + x)}^{2}}\} .

Ha x≪1 (nemrelativisztikus eset), a sorfejtés első tagjai azt adják, hogy

10.17. egyenlet - (86,17)

σ = \frac{8 π r_{e}^{2}}{3} (1 - x) .

Az első tag a klasszikus Thomson-hatáskeresztmetszet. Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben x≫1 , és (86,16) sorfejtése a

10.18. egyenlet - (86,18)

σ = 2 π r_{e}^{2} \frac{1}{x} (ln x + \frac{1}{2})

eredményt adja.

Laboratóriumi rendszerben

10.19. egyenlet - (86,19)

x = \frac{2 ω}{m},

így a (86,16)–(86,18) képletek közvetlenül megadják, hogyan függ a nyugvó elektronon való szóródás hatáskeresztmetszete a foton energiájától. A 15. ábrán-tábrázoltuk ω∕m függvényében.

15. ábra.

Ultrarelativisztikus esetben a hatáskeresztmetszet az energia növekedtével mind laboratóriumi ( σ∝ω–1lnω ), mind tömegközépponti ( x≈4ω2∕m2 , σ∝ω–2lnω ) rendszerben csökken. A szögeloszlás ultrarelativisztikus esetben a két vonatkoztatási rendszerben egészen különböző.

Laboratóriumi rendszerben a differenciális hatáskeresztmetszetnek előreszórásnál éles maximuma van. A szűk ϑ≾√(m∕ω) térszögben ω′∼ω , és dσ∕ dΩ′∼re2 (az re2 értéket ϑ→0 esetén éri el). E kúpon kívül a hatáskeresztmetszet csökken, és a ϑ2≫m∕ω tartományban [ahol ω′≈m∕(1–cosϑ) ]: