Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
Fotonnak szabad elektronon történő szóródása (Compton-effektus ) során a négyesimpulzus megmaradását a
egyenlőség fejezi ki, ahol és
az elektron és foton ütközés előtti,
és
az ütközés utáni négyesimpulzusai. A 67. §-ban bevezetett kinematikai invariánsok a következők:
A folyamatot a (75,14) Feynman-diagramok írják le, az amplitúdó
Itt ,
a kezdeti és a végső foton polarizációs négyesvektorai ;
,
a kezdetiés a végső elektron bispinor amplitúdói.
A 66. §-ban tárgyalt szabályok szerint a részecskék tetszőleges polarizációs állapotára:
Itt ,
a kezdeti és végső elektron sűrűségmátrixa,
,
ugyanaz a fotonokra; a fotonra vonatkozó (tenzor-) indexeket explicit
módon kiírtuk, az elektronra vonatkozó (bispinor) indexeket nem; á nyom képzése éppen az
utóbbiak szerinti. Ezekre vonatkozik a
jel is a
definícióban.
Polarizálatlan foton polarizálatlan elektronon való szóródását vizsgáljuk, az ütközés utáni polarizációra sem vagyunk kíváncsiak. A polarizációra a
sűrűségmátrixok segítségével
átlagolhatunk, a végállapotbeli részecskék polarizációjára való összegezés egy további
szorzótényezőt jelent.
A (65,23) képlet szerint [amelyben most
– l. (65,15a)] a hatáskeresztmetszet :
A (66,2a) összefüggéseket felhasználva megállapíthatjuk, hogy
. Szétválasztva azokat a tagokat, amelyek a
(ennek megfelelően
) helyettesítéskor egymásba mennek át, a hatáskeresztmetszetet a
alakban írhatjuk, ahol
(e jelölésekkel kapcsolatban már előrevetítjük, hogy az eredmény csak az invariáns mennyiségektől függ).
A ,
indexekre a (22,6) képletek
segítségével összegezhetünk, a páratlan számú
mátrixot tartalmazó tagokat elhagyva, a következő eredményt kapjuk:
A nyomképzést a (22,13) képletek
segítségével végezzük és minden mennyiséget az ,
invariánsokkal kifejezve, egyszerű átalakítások után adódik, hogy
Hasonló módon számíthatjuk -t:
Végeredményben a hatáskeresztmetszet ,
ahol . A hatáskeresztmetszetet most az invariáns mennyiségekkel fejezzük ki.
Ebből könnyen megadható tetszőleges konkrét koordináta-rendszerbeli ütközési
paraméterekkel kifejezett alakja.
A laboratóriumi rendszerben , amelyben az
elektron az ütközés előtt nyugalomban van: . Itt
A négyesimpulzus-megmaradást alakban írjuk, és az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emeljük. Azt
kapjuk, hogy
amiből (laboratóriumi rendszerben)
ahol a foton szóródási szöge. Ez az egyenlőség szabja meg a foton
energiaváltozása és a szóródási szög közötti kapcsolatot:
A invariáns mennyiség kifejezése e rendszerben:
Adott energia mellett [(86,8)-at
felhasználva]:
A felírt kifejezéseket (86,6)-ba helyettesítve, a szórási hatáskeresztmetszetre laboratóriumi rendszerben a következő kifejezést kapjuk:
(O. Klein , Y. Nishina , 1929; I. E. Tamm , 1930).
Mivel a szög (86,8) szerint egyértelműen
kifejezhető
-vel, a hatáskeresztmetszetet kifejezhetjük a szórt foton
energiájával:
Ha , akkor (86,9)-ben
írható, és amint az várható, a klasszikus, nemrelativisztikus
Thomson-képletet kapjuk:
[l. II. (78,7)].
A teljes hatáskeresztmetszetet(86,6)-ból számítjuk ki. A benne szereplő
,
,
invariánsok értelmezési tartományát az
egyenlőtlenségek szabják meg. Ezt már a 68. §-ban láttuk (az ehhez tartozó fizikai tartomány a 9. ábrán-gyel jelölt rész). Közvetlenül is meggyőződhetünk róla, ha az
invariánsokat a tömegközépponti rendszerben írjuk fel. Itt
, az elektron
és a foton
energiája között az
összefüggés áll fenn. Az invariánsok:
ahol a szórásszög (
és
vagy
és
által bezárt szög). A (86,13)
egyenlőtlenségek az
,
feltételekből nyerhetők.
Adott (azaz adott részecskeenergia) mellett
helyett
szerint integrálhatunk az
intervallumban.
változókat bevezetve kapjuk, hogy
Ha (nemrelativisztikus eset), a sorfejtés első tagjai azt adják,
hogy
Az első tag a klasszikus Thomson-hatáskeresztmetszet. Az ellenkező,
ultrarelativisztikus esetben , és (86,16) sorfejtése a
eredményt adja.
így a (86,16)–(86,18) képletek közvetlenül megadják, hogyan függ a
nyugvó elektronon való szóródás hatáskeresztmetszete a foton energiájától. A 15. ábrán-tábrázoltuk
függvényében.
Ultrarelativisztikus esetben a
hatáskeresztmetszet az energia növekedtével mind laboratóriumi (), mind tömegközépponti (
,
) rendszerben csökken. A
szögeloszlás ultrarelativisztikus esetben a két vonatkoztatási rendszerben egészen
különböző.
Laboratóriumi rendszerben a differenciális hatáskeresztmetszetnek előreszórásnál éles maximuma van. A
szűk térszögben
, és
(az
értéket
esetén éri el). E kúpon kívül a hatáskeresztmetszet csökken, és a
tartományban [ahol
]:
azaz -szer kisebbé válik.
Tömegközépponti rendszerben a differenciális hatáskeresztmetszetnek
hátraszórásnál van maximuma. esetén (86,14)-ből
(86,6) legnagyobb tagja
amiből
A szűk nyílásszögű kúpon belül
, ezen kívül
-szer kisebb ennél.