ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

89.§. A pozitrónium szétsugárzása

A pozitróniumban levő elektron és pozitron szétsugárzásakor legalább két fotonnak kell keletkeznie az impulzusmegmaradás törvénye miatt. Ez a folyamat (alapállapotból) csak parapozitróniumnál mehet végbe. A 9. §-ban megmutattuk, hogy két fotonból álló rendszer teljes impulzusmomentuma nem lehet 1. Ezért a 3S1 állapotú ortopozitrónium nem bomolhat el két fotonra. A pozitrónium töltésparitása 3S1 állapotban negatív (l. a 27. § feladatát), ezért a Furry-tétel ( 80. §) értelmében páros számú fotonra egyáltalán nem bomolhat. Ezzel szemben az 1S0 állapotban a töltésparitás pozitív, ezért a parapozitrónium páratlan számú fotonra nem bomolhat.

A pozitrónium élettartamát meghatározó alapvető folyamat tehát parapozitróniumnál a kétfotonos, ortopozitróniumnál a háromfotonos szétsugárzás (I. Ja. Pomerancsuk , 1948). A bomlás valószínűsége kapcsolatba hozható a szabad elektron–pozitron pár szétsugárzási hatáskeresztmetszetével.

Az elektron és pozitron impulzusa a pozitróniumban me2∕ℏ nagyságrendű, azaz -hez képest kicsi. Ezért a szétsugárzás valószínűségét olyan határesetben számíthatjuk, amikor a két részecske a koordináta-rendszer kezdőpontjában nyugalomban van. Legyen σ̄2γ a szabad pár kétfotonos szétsugárzásának hatáskeresztmetszete, átlagolva a két részecske spinjeinek irányaira. Nemrelativisztikus határesetben (88,11) szerint^[317]

10.63. egyenlet - (89,1)

{\bar{σ}}_{2 γ} = π {(\frac{e^{2}}{m c^{2}})}^{2} \frac{c}{v},

ahol a részecskék relatív sebessége. A szétsugárzás w̄2γ , valószínűségét úgy kapjuk, hogy σ̄2γ -t a v|ψ(0)|2 áramsűrűséggel szorozzuk. Itt ψ(r) a pozitrónium alapállapotának 1-re normált hullámfüggvénye,

10.64. egyenlet - (89,2)

ψ (r) = \frac{1}{\sqrt{π a^{3}}} e^{- \frac{r}{a}}, a = \frac{2 ℏ^{2}}{m e^{2}}

(a pozitrónium Bohr-sugara a hidrogénatoménak kétszerese, mert a redukált tömeg kétszer kisebb). Így a kezdeti állapot spinjei szerint átlagolt valószínűséget kapjuk. A pozitróniumban azonban a kétrészecske-rendszer négy lehetséges spinállapota közül csak egyikből mehet végbe a kétfotonos szétsugárzás (amikor a teljes spin 0). Ezért a bomlás w̄2γ átlagolt valószínűsége és a parapozitrónium bomlási valószínűsége között a w̄2γ=w0∕4 összefüggés áll fenn. Így

10.65. egyenlet - (89,3)

w_{0} = 4 | ψ (0) |^{2} {(v {\bar{σ}}_{2 γ})}_{v \to 0} .

Behelyettesítve a (89,1), (89,2) kifejezéseket, a parapozitróniumélettartamára a

10.66. egyenlet - (89,4)

τ_{0} = \frac{2 ℏ}{m c^{2} α^{5}} = 1, 23 \cdot 1 0^{- 10} s

értéket kapjuk.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a Γ0=ℏ∕τ0 nívószélesség az

energiához képest kicsi. Éppen ez az, amiért a pozitróniumot kvázistacionárius rendszerként vizsgálhatjuk.

Hasonló módon számíthatjuk ki az ortopozitrónium bomlási valószínűségét , ez a szabad elektron–pozitron pár háromfotonos szétsugárzásának spinre átlagolt hatáskeresztmetszetével a következő összefüggésben áll:

10.67. egyenlet - (89,5)

w_{1} = \frac{4}{3} {\bar{w}}_{3 γ} = \frac{4}{3} | ψ (0) |^{2} {(v {\bar{σ}}_{3 γ})}_{v \to 0}

( 3∕4 az 1 spinűállapot statisztikus súlya). A háromfotonos szétsugárzás hatáskeresztmetszete , mint később látni fogjuk,

10.68. egyenlet - (89,6)

{\bar{σ}}_{3 γ} = \frac{4 (π^{2} - 9) c}{3 v} α {(\frac{e^{2}}{m c^{2}})}^{2} .

Ezért az ortopozitróniumélettartama

10.69. egyenlet - (89,7)

τ_{1} = \frac{9 π}{2 (π^{2} - 9)} \frac{ℏ}{m c^{2} α^{6}} = 1, 4 \cdot 1 0^{- 7} s .

A Γ1≪|Ealap| egyenlőtlenség most természetesen még inkább teljesül, mint a parapozitrónium esetében.

A következőkben a szabad pár háromfotonos szétsugárzásának hatáskeresztmetszetét számítjuk ki (A. Ore, J. L. Powell, 1949).^[318]

Tömegközépponti rendszerben (65,18) szerint

10.70. egyenlet - (89,8)

d σ_{3 γ} = \frac{{(2 π)}^{4} | M_{f i} |^{2}}{4 I} δ (k_{1} + k_{2} + k_{3}) δ (ω_{1} + ω_{2} + ω_{3} - 2 m) \frac{d^{3} k_{1} d^{3} k_{2} d^{3} k_{3}}{{(2 π)}^{9} 2 ω_{1} \cdot 2 ω_{2} \cdot 2 ω_{3}},

emellett (65,16) szerint I=2m⋅(m/2)v=m2v , ahol a pozitron és elektron relatív sebessége (ez feltevés szerint kicsi); , , és , , a keletkező fotonok hullámszámvektorai és energiái; a -függvények az energia és impulzus megmaradását fejezik ki. Ezek szerint az , , frekvenciák egy kerületű háromszög oldalai hosszainak tekinthetők. Más szavakkal kifejezve, két frekvencia a , , impulzusok nagyságát és a közöttük levő szögeket teljesen meghatározza. A háromfotonos szétsugárzáshoz a

diagram tartozik, és még további öt, melyeket a fentiből a , , fotonok felcserélésével kaphatunk. Az amplitúdót ezért az

10.71. egyenlet - (89,9)

M_{f i} = {(4 π)}^{3 ∕ 2} e_{λ}^{{(3)}^{*}} e_{μ}^{{(2)}^{*}} e_{ν}^{{(1)}^{*}} ū (- p_{+}) Q^{λ μ ν} u (p_{-})

alakban írhatjuk fel, ahol

10.72. egyenlet - (89,10)

Q^{λ μ ν} = \sum_{p e r m u t} γ^{λ} G (k_{3} - p_{+}) γ^{μ} G (p_{-} - k_{1}) γ^{ν},

az 1, 2, 3 fotonok összes permutációjára kell összegezni; egyidejűleg a megfelelő λμν tenzorindexeket is permutálni kell. Az amplitúdó abszolút értékének négyzete az elektron és pozitron polarizációja szerint átlagolva, a fotonokéraösszegezve:

10.73. egyenlet - (89,11)

\frac{1}{4} \sum_{p o l a r} | M_{f i} |^{2} = {(4 π)}^{3} Sp {ϱ_{+} Q^{λ μ ν} ϱ_{-} {\bar{Q}}_{λ μ ν}},

ahol

A Q̄λμν mátrix Qλμν -től annyiban különbözik, hogy az összeg minden egyes tagjában fordított a tényezők sorrendje. A bennünket érdeklő határesetben, amikor az elektron és a pozitron sebessége kicsi, a , hármasimpulzusokat nullának vehetjük, azaz írhatjuk, hogy p–=p+=(m,0) . Ekkor az elektron Green-függvényei:

G(p––k1)=(p̂–k̂1+m/(p–k1)2–m2)≈(–k1+m(γ0+1)/–2mω1)

stb., a sűrűségmátrixok pedig

A szorzásokat elvégezve, (89,11)-ben igen sok tag lesz. A ténylegesen kiszámítandó tagok számát nagymértékben csökkenteni lehet, ha a fotonok felcserélésével szembeni invarianciát teljes mértékben kihasználjuk. Ekkor Qλμν (89,10) kifejezésének hat tagját elegendő Q̄λμν egy tetszőleges tagjával beszorozni. Az így maradó hat nyom között is találhatók olyanok, amelyek egymástól csak a fotonok felcserélésében különböznek. A nyom számítása során bejövő , , , négyesvektorok szorzatai mind kifejezhetők az , , frekvenciákkal. Mivel p=(m,0) , így pk1=mω1,… . A k1k2,… szorzatok is meghatározhatók a négyesimpulzus megmaradást kifejező 2p=k1+k2+k3 egyenletből; az utóbbit a 2p–k3=k1+k2 alakban írva és négyzetre emelve, azt kapjuk, hogy

10.74. egyenlet - (89,12)

k_{1} k_{2} = 2 m (m - ω_{3}), \dots

Elég hosszú számítás a következő végeredményt adja:

(1/4)∑polar|Mfi|2=(4π)3e6⋅16[((m–ω1/ω2ω3))2+((m–ω2/ω1ω3))2+((m–ω3/ω1ω2))2].

Ezt (89,8)-ba helyettesítve, kapjuk a háromfotonos szétsugárzás differenciális hatáskeresztmetszetét :

10.75. egyenlet - (89,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} d {\bar{σ}}_{3 γ} & = \frac{e^{6}}{π^{2} m^{2} v} [{(\frac{m - ω_{1}}{ω_{2} ω_{3}})}^{2} + {(\frac{m - ω_{2}}{ω_{1} ω_{3}})}^{2} + {(\frac{m - ω_{3}}{ω_{1} ω_{2}})}^{2}] \times \\ \times δ (k_{1} + k_{2} + k_{3}) δ (ω_{1} + ω_{2} + ω_{3} - 2 m) \frac{d^{3} k_{1} d^{3} k_{2} d^{3} k_{3}}{ω_{1} ω_{2} ω_{3}} . \end{aligned} & (89,13) \end{matrix}

Még a -függvényekkel kell egy kicsit foglalkoznunk. Az első a d3k3 szerinti integráláskor eltűnik, utána a

helyettesítést végezzük, ahol a és vektorok által bezárt szög; iránya és -nek -hez viszonyított azimutszöge szerint már integráltunk. Az

egyenlőséget differenciálva kapjuk, hogy

A dω3 szerinti integrálás eltünteti a második -függvényt. Így adódik az adott energiájú fotonokra való szétsugárzás differenciális hatáskeresztmetszetére a következő képlet:

10.76. egyenlet - (89,14)

d {\bar{σ}}_{3 γ} = \frac{1}{6} \frac{8 e^{6}}{v m^{2}} \{{(\frac{m - ω_{3}}{ω_{1} ω_{2}})}^{2} + {(\frac{m - ω_{2}}{ω_{1} ω_{3}})}^{2} + {(\frac{m - ω_{1}}{ω_{2} ω_{3}})}^{2}\} d ω_{1} d ω_{2}

(mivel a továbbiakban a frekvenciák szerint kell integrálni, ezért beírtuk a fotonok azonosságát figyelembe vevő 1∕6 tényezőt – vö. a VII. fejezet 5. lábjegyzetével).

Az , , frekvenciák a 0 és közötti értékeket vehetik fel (közülük kettő , ha a harmadik 0). Ha adott, akkor az m–ω1 és között változhat. (89,14)-et dω2 szerint e határok között integrálva, a fotonok spektrális eloszlását kapjuk:

dσ̄3γ =(8e6/3vm2)F(ω1) dω1F(ω1) =(ω1(m–ω1)/(2m–ω1)2)+(2m–ω1/ω1)+[(2m(m–ω1)/ω12)–(2m(m–ω1)2/(2m–ω1)3)]ln(m–ω1/m).

16. ábra.

Az ( Fω1 ) függvény ω1=0 -nál 0, ω1=m -nél 1, közben monoton növekszik; a függvénygörbe a 16. ábrán látható.

A szétsugárzás teljes hatáskeresztmetszetét úgy kapjuk, hogy (89,14)-et mindkét frekvencia szerint integráljuk:

σ̄3γ=(4e6/3vm2)3∫0m∫m–ω1m((ω1+ω2–m)2/ω12ω22) dω1dω2.

Az itt szereplő integrál értéke (π2–9)∕3 , így kapjuk a korábbi (89,6) képletet.

^[317] A (89,1)(89,7) képleteket a szokásos egységekben írtuk fel.

^[318] A reakció egy másik csatornájának az e+γ→e+γ+γ kettős Compton-szórás felel meg [e folyamat hatáskeresztmetszetét illetően l. F. Mandl, T. H. R. Squirme, Proc. Roy. Soc. A215 , 497 (1952)].