Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A pozitróniumban levő elektron és pozitron szétsugárzásakor legalább két fotonnak
kell keletkeznie az impulzusmegmaradás törvénye miatt. Ez a folyamat (alapállapotból)
csak parapozitróniumnál mehet végbe. A 9. §-ban
megmutattuk, hogy két fotonból álló rendszer teljes impulzusmomentuma nem lehet 1. Ezért
a állapotú ortopozitrónium nem bomolhat el két fotonra. A pozitrónium
töltésparitása
állapotban negatív (l. a 27. §
feladatát), ezért a Furry-tétel ( 80. §) értelmében páros számú fotonra egyáltalán nem
bomolhat. Ezzel szemben az
állapotban a töltésparitás pozitív, ezért a parapozitrónium páratlan
számú fotonra nem bomolhat.
A pozitrónium élettartamát meghatározó alapvető folyamat tehát parapozitróniumnál a kétfotonos, ortopozitróniumnál a háromfotonos szétsugárzás (I. Ja. Pomerancsuk , 1948). A bomlás valószínűsége kapcsolatba hozható a szabad elektron–pozitron pár szétsugárzási hatáskeresztmetszetével.
Az elektron és pozitron impulzusa a pozitróniumban nagyságrendű, azaz
-hez képest kicsi. Ezért a szétsugárzás valószínűségét olyan
határesetben számíthatjuk, amikor a két részecske a koordináta-rendszer kezdőpontjában
nyugalomban van. Legyen
a szabad pár kétfotonos szétsugárzásának hatáskeresztmetszete,
átlagolva a két részecske spinjeinek irányaira. Nemrelativisztikus határesetben (88,11) szerint[317]
ahol a részecskék relatív sebessége. A szétsugárzás
, valószínűségétúgy kapjuk, hogy
-t a
áramsűrűséggel szorozzuk. Itt
a pozitrónium alapállapotának 1-re normált hullámfüggvénye,
(a pozitrónium Bohr-sugara a hidrogénatoménak kétszerese, mert a redukált
tömeg kétszer kisebb). Így a kezdeti állapot spinjei szerint átlagolt valószínűséget
kapjuk. A pozitróniumban azonban a kétrészecske-rendszer négy lehetséges spinállapota
közül csak egyikből mehet végbe a kétfotonos szétsugárzás (amikor a teljes spin 0).
Ezért a bomlás
átlagolt valószínűsége és a parapozitrónium
bomlási valószínűsége között a
összefüggés áll fenn. Így
Behelyettesítve a (89,1), (89,2) kifejezéseket, a parapozitróniumélettartamára a
értéket kapjuk.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a nívószélesség az
energiához képest kicsi. Éppen ez az, amiért a pozitróniumot kvázistacionárius rendszerként vizsgálhatjuk.
Hasonló módon számíthatjuk ki az ortopozitrónium bomlási valószínűségét , ez a szabad elektron–pozitron pár háromfotonos szétsugárzásának spinre átlagolt hatáskeresztmetszetével a következő összefüggésben áll:
( az 1 spinűállapot statisztikus súlya). A háromfotonos szétsugárzás
hatáskeresztmetszete , mint később látni
fogjuk,
Ezért az ortopozitróniumélettartama
A egyenlőtlenség most természetesen még inkább teljesül, mint a
parapozitrónium esetében.
A következőkben a szabad pár háromfotonos szétsugárzásának hatáskeresztmetszetét számítjuk ki (A. Ore, J. L. Powell, 1949).[318]
Tömegközépponti rendszerben (65,18) szerint
emellett (65,16) szerint , ahol
a pozitron és elektron relatív sebessége (ez feltevés szerint kicsi);
,
,
és
,
,
a keletkező fotonok hullámszámvektorai és energiái; a
-függvények az energia és impulzus megmaradását fejezik ki. Ezek
szerint az
,
,
frekvenciák egy
kerületű háromszög oldalai hosszainak tekinthetők. Más szavakkal
kifejezve, két frekvencia a
,
,
impulzusok nagyságát és a közöttük levő szögeket teljesen
meghatározza. A háromfotonos szétsugárzáshoz a
![]() |
diagram tartozik, és még további öt, melyeket a fentiből a ,
,
fotonok felcserélésével kaphatunk. Az amplitúdót ezért az
az 1, 2, 3 fotonok összes permutációjára kell összegezni; egyidejűleg a
megfelelő tenzorindexeket is permutálni kell. Az amplitúdó abszolút értékének
négyzete az elektron és pozitron polarizációja szerint átlagolva, a
fotonokéraösszegezve:
ahol
A mátrix
-től annyiban különbözik, hogy az összeg minden egyes tagjában
fordított a tényezők sorrendje. A bennünket érdeklő határesetben, amikor az elektron és
a pozitron sebessége kicsi, a
,
hármasimpulzusokat nullának vehetjük, azaz írhatjuk, hogy
. Ekkor az elektron Green-függvényei:
stb., a sűrűségmátrixok pedig
A szorzásokat elvégezve, (89,11)-ben igen sok tag
lesz. A ténylegesen kiszámítandó tagok számát nagymértékben csökkenteni lehet, ha a
fotonok felcserélésével szembeni invarianciát teljes mértékben kihasználjuk. Ekkor
(89,10) kifejezésének hat tagját elegendő
egy tetszőleges tagjával beszorozni. Az így maradó hat nyom között is
találhatók olyanok, amelyek egymástól csak a fotonok felcserélésében különböznek. A nyom
számítása során bejövő
,
,
,
négyesvektorok szorzatai mind kifejezhetők az
,
,
frekvenciákkal. Mivel
, így
. A
szorzatok is meghatározhatók a négyesimpulzus megmaradást kifejező
egyenletből; az utóbbit a
alakban írva és négyzetre emelve, azt kapjuk, hogy
Elég hosszú számítás a következő végeredményt adja:
Ezt (89,8)-ba helyettesítve, kapjuk a háromfotonos szétsugárzás differenciális hatáskeresztmetszetét :
Még a -függvényekkel kell egy kicsit foglalkoznunk. Az első a
szerinti integráláskor eltűnik, utána a
helyettesítést végezzük, ahol a
és
vektorok által bezárt szög;
iránya és
-nek
-hez viszonyított azimutszöge szerint már integráltunk. Az
egyenlőséget differenciálva kapjuk, hogy
A szerinti integrálás eltünteti a második
-függvényt. Így adódik az adott energiájú fotonokra való szétsugárzás
differenciális hatáskeresztmetszetére a következő képlet:
(mivel a továbbiakban a frekvenciák szerint kell integrálni, ezért beírtuk a
fotonok azonosságát figyelembe vevő tényezőt – vö. a VII. fejezet 5. lábjegyzetével).
Az ,
,
frekvenciák a 0 és
közötti értékeket vehetik fel (közülük kettő
, ha a harmadik 0). Ha
adott, akkor
az
és
között változhat. (89,14)-et
szerint e határok között integrálva, a fotonok spektrális eloszlását
kapjuk:
Az () függvény
-nál 0,
-nél 1, közben monoton növekszik; a függvénygörbe a 16. ábrán látható.
A szétsugárzás teljes hatáskeresztmetszetét úgy kapjuk, hogy (89,14)-et mindkét frekvencia szerint integráljuk:
Az itt szereplő integrál értéke , így kapjuk a korábbi (89,6)
képletet.