Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Ebben és néhány következő szakaszban egy fontos jelenséggel foglalkozunk, a részecskék ütközését kísérő fékezési sugárzással. Először elektron és atommag nemrelativisztikus ütközését tárgyaljuk. Az atommagot mozdulatlannak tekintjük, azaz rögzített centrum Coulomb-terében történő szórásnál fellépő sugárzást vizsgáljuk (A. Sommerfeld , 1931).
A dipólussugárzás valószínűségének (45,5) képletéből indulunk ki:
Esetünkben az elektron kezdeti és végállapota egyaránt a folytonos
spektrumhoz tartozik, a foton frekvenciája
ahol ,
az elektron kezdeti és végső impulzusa. Ha az elektron kezdeti és
végállapotbeli hullámfüggvényének normálása „
térfogatban egy részecske”, akkor a (90,1) kifejezést
-nel szorozva és a
bejövőáramsűrűséggel osztva, kapjuk annak
differenciális hatáskeresztmetszetét, hogy
impulzusú foton emittálódik a
térszögbe, az elektron pedig egy
intervallumba esőállapotba kerül. A
dipólusmomentum mátrixelemét
szerint az impulzus mátrixelemével helyettesítjük, ezzel a hatáskeresztmetszet kifejezését a
alakban írhatjuk,[319] ahol
és
a vonzó Coulomb-térbeli egzakt hullámfüggvények, ezek közül is azokat
kell használni, amelyek aszimptotikusan egy sík- és egy gömbhullámot tartalmaznak;
-ben befutó,
-ben kifutó gömbhullámnak kell lennie (l. III. 136. §). Ezek alakja
A
összefüggés segítségével a következő alakban írható:
A -gal való szorzás és integrálás során az első tag
és
ortogonalitása következtében eltűnik. Ezért az impulzus mátrixeleme
A szerinti differenciálás és az integrálás sorrendjét felcseréltük,
természetesen
differenciálásakor a
,
és
mennyiségeket független paramétereknek kell tekinteni, és csak
differenciálás után kell
-t és
-t
-vel kifejezni.
Az integráláshoz célszerű elfajult, hipergeometrikus függvényt vonalintegrálként előállitani. Csak a végeredményt adjuk meg:[320]
Itt a teljes hipergeometrikus függvény.
A differenciálás elvégzése után (90,6)-ba
helyettesíthető; ezzel
(). Megjegyezzük még, hogy
A mátrixelemre végeredményben a következő kifejezést kapjuk:
jelölést használtuk.
(90,10)-et (90,3)-ba helyettesítve, kapjuk a hatáskeresztmetszetet. A végső képlet igen terjedelmes és nehezen áttekinthető. Ezért áttérünk a spektrális eloszlás kiszámítására, azaz a hatáskeresztmetszetet a foton és a végállapotbeli elektron iránya szerint integráljuk.
A szerinti integrálás és a foton polarizációja szerinti összegezés az
irányok szerinti átlagolást és
-vel való szorzást jelent, azaz az
helyettesítést kell elvégezni. Ezek után a hatáskeresztmetszet:
-et (90,9)
(90,11) felhasználásával számítjuk, figyelembe véve,
hogy
A (90,12) kifejezésben a szerinti integrálban a
(szórásszög) változóról a
változóra térünk át. A szerinti integráláshoz célszerű a (90,13) kapcsos zárójelében levő kifejezést átalakítani. A hipergeometrikus
függvényekre vonatkozó differenciál egyenlet
szerint [l. III. (e,2)]:
E két egyenletet rendre -gal és
-fel szorozva és összeadva, azt kapjuk, hogy
Innen látható, hogy (90,13)-ban a kapcsos zárójelben álló kifejezés:
ami közvetlenül integrálható.
A kapott képleteket összegyűjtve a következő kifejezést kapjuk a frekvenciatartományba eső fékezési sugárzás
hatáskeresztmetszetére :[321]
ahol
A (90,15) kvantummechanikai képletnek át kell
mennie a klasszikus eredménybe (l. II. 70. §) abban a határesetben, amikor
és
(az első egyenlőtlenség az elektron Coulomb-térben való
kváziklasszikus mozgásának feltétele, a második annak, hogy az átmeneti mátrixelem
kváziklasszikus legyen). Ennek megállapításához szükségünk lenne a hipergeometrikus
függvények aszimptotikus kifejezéseire az argumentum és a paraméterek nagy értékeinél,
amivel itt nem foglalkozunk.
Vizsgáljuk azt a határesetet, mikor a és
sebességek olyan nagyok, hogy
,
(de természetesen az előzőek szerint
, úgyhogy
, ami csak kis
esetén lehetséges).
kiszámításához a
képletet használjuk, amit a hipergeometrikus sor differenciálásával könnyen igazolhatunk Így
(a második egyenlőség a sorfejtett alakok összehasonlításából
látható). Maga az függvény:
(90,15)-ből a következő eredményt kapjuk:
és
kicsinysége éppen a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele
Coulomb-kölcsönhatás esetén. Ezért a (90,16) képlet
a perturbációszámítás segítségével egyszerűen megkapható (l. az 1. feladatot).
Vizsgáljuk most azt az esetet, mikor egy gyors () elektron a sugárzás során energiájának nagy részét elveszti, úgyhogy
, és
-nek nem kell kicsinek lennie. Ekkor
Ha , akkor
ugyanezt adja a (90,16) képlet
is a esetben. Így (90,16), (90,17) együtt lefedik
lehetséges értékeit (
).
esetén (ahol
)
és
. Ebben a határesetben (90,17)
alakja a következő:
tehát véges értékhez tart
esetén. Ez a tény megmagyarázható olyan általános meggondolásokból
kiindulva, mint amilyeneket a III. 147. §-ban fejtettünk ki. Fizikailag azzal függ
össze, hogy az
frekvencia csak a folytonos fékezési spektrumra nézve határfrekvencia.
Az elektron
frekvenciájú fotont is kisugározhat, miközben kötött állapotba kerül.
A Coulomb-tér magasan gerjesztett kötött állapotai azonban, tulajdonságaikat tekintve,
kevéssé különböznek a kötött állapotok közelében levő szabad állapotoktól. Ezért a
folytonos és diszkrét spektrum határa fizikailag nem kitüntetett.
A leírt összes kifejezés vonzó Coulomb-térre vonatkozik. A taszító térbeli sugárzás
hatáskeresztmetszetét (90,15)-ből a ,
helyettesítéssel kapjuk. A (90,16)
közelítő Born-képlet egyáltalán nem változik. A
,
határesetben (90,18) helyett a
összefüggést kapjuk, azaz a differenciális hatáskeresztmetszet
esetén exponenciálisan eltűnik. Ez az eredmény is természetes: taszító
térben kötöttállapotok nincsenek, az
frekvencia ténylegesen a spektrum határa.
1. Határozzuk meg Born-közelítésben a fékezési
sugárzás hatáskeresztmetszetét két olyan részecske nemrelativisztikus ütközésénél,
amelyekre nézve az hányados értéke különböző.
Megoldás. Az ,
töltésű,
,
tömegű részecskékből álló rendszer dipólusmomentuma a
tömegközépponti rendszerben
ahol ,
. Innen
A mátrixelem
( a relatív mozgás impulzusai). Ezt a
síkhullámokkal számítjuk ki,[322] felhasználjuk közben a
összefüggést. Az eredmény a következő:
A polarizációra való összegezés után a sugárzás szögeloszlását a tényező határozza meg, ahol
a foton
iránya és a szórás síkjában fekvő
vektor által bezárt szög [l. (45,4a)].
A foton irányára való integrálás után
ahol a szórásszög. Végül a
szerinti integrálás után,
Mozdulatlan Coulomb-centrum terében való sugárzás esetében ez megegyezik a (90,16) képlettel.
2. Határozzuk meg Born-közelítésben két elektron nemrelativisztikus ütközésekor fellépő fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetét.[323]
Megoldás. Ebben az esetben nincs dipólussugárzás, tehát a kvadrupólussugárzást kell vizsgálnunk. A klasszikus elméletben a kvadrupólussugárzás teljes intenzitását az
képlet határozza meg, ahol a töltésrendszer kvadrupólusmomentum tenzora .[324] Két elektronra tömegközépponti rendszerükben
A kvantumelméletre való áttéréskor a Fourier-komponens helyébe a
mátrixelemet kell írni (vö. a dipólussugárzásról a 45. §-ban elmondottakkal), és a hullámfüggvényeket (síkhullámokat)
megfelelően normálva – a foton energiájával való osztás után -, kapjuk a sugárzás
hatáskeresztmetszetét (az elektronok a
intervallumban levő állapotba kerülnek):
ahol a relatív mozgás kezdeti sebessége; a sugárzás frekvenciája
.
A operátort úgy számíthatjuk ki, hogy képezzük a
operátor és a
Hamilton-operátor háromszoros kommutátorát :[325]
Szem előtt tartva, hogy a két részecske azonos, a mátrixelemet a
hullámfüggvényekkel számítjuk ki, ahol a vagy
előjel annak felel meg, hogy az elektronok együttes spinje 0 vagy 1
(az elektronok felcserélését az
helyettesítés jelenti).
Hosszadalmas számítás[326] vezet a sugárzás spektrális eloszlását megadó képletre:
ahol ,
az elektronok relatív mozgásának energiája a kezdeti állapotban; a
hatáskeresztmetszet az elektronok teljes spinjének lehetséges értékeire átlagolt. A
sugárzási energiaveszteségre vonatkozó hatáskeresztmetszet:
3. Határozzuk meg atommag által kibocsátott
állapotú nemrelativisztikus elektron fékezési sugárzásának
energiáját .
Megoldás. A mag által kibocsátott elektron hullámfüggvénye
kifutó -gömbhullám, a teljes áramsűrűséget 1-re normáljuk:
[l. III. (33,14)]. Az elektron végállapotbeli (a fotonemisszió utáni) hullámfüggvényét síkhullámnak választjuk:
[az integrált (57,6a) szerint számíthatjuk ki]. A sugárzás
energiáját a (45,8) képletből kapjuk, azt
-nel szorozva és
iránya szerint integrálva (az utóbbi
szorzótényezőt jelent). A kisugárzott energia spektrális eloszlása
esetén
, és a fenti képlet a klasszikus eredmény nemrelativisztikus
határesetével egyezik meg (l. a II. S.69. § feladatát). A teljes kisugárzott energia
(a szokásos egységekben):
ahol az elektron kezdeti energiája.
4. Határozzuk meg annak a fékezési sugárzásnak az energiáját, mely elektronnak végtelen magas „potenciálfalról” való visszaverődésekor keletkezik.
Megoldás. Az elekron mozgásának iránya legyen merőleges a
falra. Bár a foton tetszőleges irányban emittálódhat, minthogy nemrelativisztikus
esetben a foton impulzusa kicsi az elektronéhoz képest, feltehetjük, hogy a
visszaverődött elektron mozgásiránya is merőleges a falra. Legyen a fal az
síkban, az elektron az
oldalon. Az egydimenziós mozgás stacionárius állapotának
-re (
), normált hullámfüggvénye állóhullám (l. III. 21. §):
A operátor mátrixeleme:[327]
Az egyszeri visszaverődéskor kisugárzott energiát (45,8)-ból kapjuk, azt -vel szorozva és
-vel osztva (az utóbbi a fal felé futó hullám áramsűrűsége, ha a
hullámfüggvény
):
Kis frekvenciáknál ()
, és (90.4.3) a II. (69,5)
klasszikus képletbe megy át (melyet szögek szerint kell integrálni, és amelyben
, ahol
az elektron sebességváltozása visszaverődés esetén); ennek így is
kell lennie, mivel a falról való visszaverődésre minden esetben teljesül a II. (69,1)
feltétel, vagyis azütközési idő kicsi. Az (1) kvantummechanikai összefüggés
segítségével kiszámíthatjuk a teljes kisugárzott energiát:
(a szokásos egységekben).
[319] Ebben a szakaszban a ,
jelöléseket használjuk.
[320] A levezetést illetően l. A. Nordsieck , Phys. Rev. 93, 785 (1954).
[322] A két részecskének egyetlen, redukált tömegű részecskével való helyettesítése csak nemrelativisztikus közelítésben megengedett.
[323] A ütközési sebesség kielégíti az
feltételt. A klasszikus esetet
a II. 71. § feladatában vizsgáltuk.
[324] Ezt a képletet II. (71,5)-ből kapjuk, ugyanúgy, ahogyan II. (67,11)-et II. (67,8)-ból.
[325] E kifejezés a klasszikus képlettel analóg, az utóbbit úgy kaphatjuk, hogy
-t differenciáljuk, és figyelembe vesszük az
klasszikus mozgásegyenletet.
[326] A levezetésre vonatkozóan l. B. K. Fegyusin, ZSETF 22, 140, 1952.
[327] Az ilyen alakú integrálokat úgy kell érteni, hogy az integrandust
-szel szorozzuk, és integrálás után a
határesetet vizsgáljuk.