ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

90.§. Elektron fékezési sugárzása atommag terében. A nemrelativisztikus eset

Ebben és néhány következő szakaszban egy fontos jelenséggel foglalkozunk, a részecskék ütközését kísérő fékezési sugárzással. Először elektron és atommag nemrelativisztikus ütközését tárgyaljuk. Az atommagot mozdulatlannak tekintjük, azaz rögzített centrum Coulomb-terében történő szórásnál fellépő sugárzást vizsgáljuk (A. Sommerfeld , 1931).

A dipólussugárzás valószínűségének (45,5) képletéből indulunk ki:

10.77. egyenlet - (90,1)

d w = \frac{ω^{3}}{2 π} | e^{*} d_{f i} |^{2} d Ω_{k} .

Esetünkben az elektron kezdeti és végállapota egyaránt a folytonos spektrumhoz tartozik, a foton frekvenciája

10.78. egyenlet - (90,2)

ω = \frac{1}{2 m} (p^{2} - p^{' 2}),

ahol p=mv , p′=mv′ az elektron kezdeti és végső impulzusa. Ha az elektron kezdeti és végállapotbeli hullámfüggvényének normálása „ V=1 térfogatban egy részecske”, akkor a (90,1) kifejezést d3p′∕(2π)3 -nel szorozva és a v∕V=v bejövőáramsűrűséggel osztva, kapjuk annak dσkp′ differenciális hatáskeresztmetszetét, hogy impulzusú foton emittálódik a dΩk térszögbe, az elektron pedig egy d3p′ intervallumba esőállapotba kerül. A d=er dipólusmomentum mátrixelemét

szerint az impulzus mátrixelemével helyettesítjük, ezzel a hatáskeresztmetszet kifejezését a

10.79. egyenlet - (90,3)

d σ_{k p^{'}} = \frac{ω e^{2}}{{(2 π)}^{4} m p} | e^{*} p_{f i} |^{2} d Ω_{k} d^{3} p^{'}

alakban írhatjuk,^[319] ahol

ψ i és a vonzó Coulomb-térbeli egzakt hullámfüggvények, ezek közül is azokat kell használni, amelyek aszimptotikusan egy sík- és egy gömbhullámot tartalmaznak; -ben befutó, -ben kifutó gömbhullámnak kell lennie (l. III. 136. §). Ezek alakja

10.80. egyenlet - (90,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} ψ_{i} & = A_{i} e^{i p r} F (i ν, 1, i (p r - p r)), ν = \frac{Z e^{2} m}{p}; \\ ψ_{f} & = A_{f} e^{i p^{'} r} F (- i ν^{'}, 1, - i (p^{'} r + p^{'} r)), ν^{'} = \frac{Z e^{2} m}{p^{'}} . \end{aligned} & (90,4) \end{matrix}

Az együtthatók normálása:

10.81. egyenlet - (90,5)

A_{i} = e^{π ν ∕ 2} Γ (1 - i ν), A_{f} = e^{π ν^{'} ∕ 2} Γ (1 + i ν^{'}) .

∇F(iν,1,i(pr–pr))=i(p(r/r)–p)F′=–(p/r)((∂F/∂p))ν

összefüggés segítségével ∇ψi a következő alakban írható:

A ψf∗ -gal való szorzás és integrálás során az első tag és ortogonalitása következtében eltűnik. Ezért az impulzus mátrixeleme

10.82. egyenlet - (90,6)

p_{f i} = i A_{i} A_{f} p \frac{\partial J}{\partial p},

ahol

10.83. egyenlet - (90,7)

J = \int \frac{e^{- i q r}}{r} F (i ν^{'}, 1, i (p^{'} r + p^{'} r)) F (i ν, 1, i (p r - p r)) d^{3} x, q = p^{'} - p .

A ∂∕∂p szerinti differenciálás és az integrálás sorrendjét felcseréltük, természetesen differenciálásakor a , és mennyiségeket független paramétereknek kell tekinteni, és csak differenciálás után kell -t és -t -vel kifejezni.

Az integráláshoz célszerű elfajult, hipergeometrikus függvényt vonalintegrálként előállitani. Csak a végeredményt adjuk meg:^[320]

10.84. egyenlet - (90,8)

\begin{matrix} \begin{aligned} J & = B F (i ν^{'}, i ν, 1, z), \\ B & = 4 π e^{- π ν} {(- q^{2} - 2 q p)}^{- i ν} {(q^{2} - 2 q p^{'})}^{- i ν^{'}} {(q^{2})}^{i ν + i ν^{'} - 1}, \\ z & = 2 \frac{q^{2} (p p^{'} + p p^{'}) - 2 (q p) (q p^{'})}{(q^{2} - 2 q p^{'}) (q^{2} + 2 q p)} . \end{aligned} & (90,8) \end{matrix}

Itt F(iν′,iν,1,z) a teljes hipergeometrikus függvény.

A differenciálás elvégzése után (90,6)-ba q=p′–p helyettesíthető; ezzel

10.85. egyenlet - (90,9)

z = - 2 \frac{p p^{'} - p p^{'}}{{(p - p^{'})}^{2}}, q^{2} = {(p - p^{'})}^{2} (1 - z)

( z<0 ). Megjegyezzük még, hogy

A mátrixelemre végeredményben a következő kifejezést kapjuk:

10.86. egyenlet - (90,10)

\begin{matrix} \begin{aligned} p_{f i} & = A_{i} A_{f} \frac{8 π i e^{- π ν}}{{(p - p^{'})}^{3} (p + p^{'})} {(\frac{p + p^{'}}{p - p^{'}})}^{- i (ν + ν^{'})} \times \\ \times {(1 - z)}^{i (ν + ν^{'}) - 1} [i ν p q F (z) + (1 - z) F^{'} (z) (p^{'} p - p p^{'})], \end{aligned} & (90,10) \end{matrix}

ahol a rövidség kedvéért az

10.87. egyenlet - (90,11)

F (z) = F (i ν^{'}, i ν, 1, z)

jelölést használtuk.

(90,10)-et (90,3)-ba helyettesítve, kapjuk a hatáskeresztmetszetet. A végső képlet igen terjedelmes és nehezen áttekinthető. Ezért áttérünk a spektrális eloszlás kiszámítására, azaz a hatáskeresztmetszetet a foton és a végállapotbeli elektron iránya szerint integráljuk.

A dΩk szerinti integrálás és a foton polarizációja szerinti összegezés az irányok szerinti átlagolást és 2⋅4π -vel való szorzást jelent, azaz az

helyettesítést kell elvégezni. Ezek után a hatáskeresztmetszet:

10.88. egyenlet - (90,12)

d σ_{p^{'}} = \frac{4 ω e^{2}}{3 p m} | p_{f i} |^{2} \frac{d^{3} p^{'}}{{(2 π)}^{3}} = \frac{ω e^{2} p^{'}}{6 π^{3} p} | p_{f i} |^{2} d ω d Ω_{p^{'}} .

|pfi|2 -et (90,9)(90,11) felhasználásával számítjuk, figyelembe véve, hogy

Az eredmény a következő:

10.89. egyenlet - (90,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} | p_{f i} |^{2} & = \frac{32 π {(Z e^{2})}^{2} m^{3}}{p {(p + p^{'})}^{2} {(p - p^{'})}^{4} (1 - e^{- 2 π ν^{'}}) (e^{2 π ν} - 1)} \times \\ \times \{\frac{ν ν^{'}}{1 - z} | F |^{2} - z | F^{'} |^{2} + i \frac{ν + ν^{'}}{2} \frac{z}{1 - z} (F F^{' *} - F^{*} F^{'})\} . \end{aligned} & (90,13) \end{matrix}

A (90,12) kifejezésben a dΩp′=2πsinϑdϑ szerinti integrálban a (szórásszög) változóról a

z=–(2pp′/(p–p′)2)(1–cosϑ), dΩp′→(π(p–p′)2/pp′) dz

változóra térünk át. A szerinti integráláshoz célszerű a (90,13) kapcsos zárójelében levő kifejezést átalakítani. A hipergeometrikus függvényekre vonatkozó differenciál egyenlet szerint [l. III. (e,2)]:

z(1–z)F″+[1–(1+iν+iν′)z]F′+νν′F =0, z(1–z)F′′∗+[1–(1–iν–iν′)z]F′∗+νν′F∗ =0.

E két egyenletet rendre -gal és -fel szorozva és összeadva, azt kapjuk, hogy

(1–z)[(d/dz)z(F′F∗+F′∗F)–2z|F′|2+(i(ν+ν′)z/1–z)(F′∗F–F′F∗)+(2νν′/1–z)|F|2]=0.

Innen látható, hogy (90,13)-ban a kapcsos zárójelben álló kifejezés:

10.90. egyenlet - (90,14)

{\dots} = - \frac{1}{2} \frac{d}{d z} z (F^{'} F^{*} + F F^{' *}),

ami közvetlenül integrálható.

A kapott képleteket összegyűjtve a következő kifejezést kapjuk a frekvenciatartományba eső fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetére :^[321]

10.91. egyenlet - (90,15)

d σ_{ω} = \frac{64 π^{2}}{3} Z^{2} α r_{e}^{2} \frac{m^{2} c^{2}}{{(p - p^{'})}^{2}} \frac{p^{'}}{p} \frac{1}{(1 - e^{- 2 π ν^{'}}) (e^{2 π ν} - 1)} (- \frac{d}{d ξ} | F (ξ) |^{2}) \frac{d ω}{ω},

ahol

ν=(Zαmc/p) =(Ze2/ℏν), ν′=(Ze2/ℏν′), p′=√(p2–2mℏω), F(ξ) =F(iν′,iν,1,ξ), ξ=–(4pp′/(p–p′)2).

A (90,15) kvantummechanikai képletnek át kell mennie a klasszikus eredménybe (l. II. 70. §) abban a határesetben, amikor ν≫1 és ℏω≪p2∕2m (az első egyenlőtlenség az elektron Coulomb-térben való kváziklasszikus mozgásának feltétele, a második annak, hogy az átmeneti mátrixelem kváziklasszikus legyen). Ennek megállapításához szükségünk lenne a hipergeometrikus függvények aszimptotikus kifejezéseire az argumentum és a paraméterek nagy értékeinél, amivel itt nem foglalkozunk.

Vizsgáljuk azt a határesetet, mikor a és sebességek olyan nagyok, hogy ν≪1 , ν′≪1 (de természetesen az előzőek szerint v≪1 , úgyhogy Zα≪ν≪1 , ami csak kis esetén lehetséges). F′(ξ) kiszámításához a

képletet használjuk, amit a hipergeometrikus sor differenciálásával könnyen igazolhatunk Így

(a második egyenlőség a sorfejtett alakok összehasonlításából látható). Maga az F(ξ) függvény:

(90,15)-ből a következő eredményt kapjuk:

10.92. egyenlet - (90,16)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ_{ω} & = \frac{16}{3} Z^{2} α r_{e}^{2} \frac{c^{2}}{v^{2}} ln \frac{v + v^{'}}{v - v^{'}} \frac{d ω}{ω}, \\ \frac{Z e^{2}}{ℏ v} ≪ 1, \frac{Z e^{2}}{ℏ v^{'}} ≪ 1 . \end{aligned} & (90,16) \end{matrix}

és kicsinysége éppen a Born-közelítés alkalmazhatóságának feltétele Coulomb-kölcsönhatás esetén. Ezért a (90,16) képlet a perturbációszámítás segítségével egyszerűen megkapható (l. az 1. feladatot).

Vizsgáljuk most azt az esetet, mikor egy gyors ( ν≪1 ) elektron a sugárzás során energiájának nagy részét elveszti, úgyhogy v′≪v , és -nek nem kell kicsinek lennie. Ekkor

–ξ ≈(4p′/p)=(4ν/ν′)≪1, F(ξ)≈F(iν′,0,1,ξ)=1, F′(ξ) ≈–νν′F(1+iν′,1,2,ξ)≈–νν′,

és a hatáskeresztmetszet

10.93. egyenlet - (90,17)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ_{ω} = \frac{64 π}{3} Z^{3} α^{2} r_{e}^{2} & {(\frac{c}{v})}^{3} \frac{1}{1 - exp (- 2 π Z e^{2} ∕ ℏ v^{'})} \frac{d ω}{ω}, \\ \frac{Z e^{2}}{ℏ v} & ≪ 1, \frac{Z e^{2}}{ℏ v^{'}} ≿ 1 . \end{aligned} & (90,17) \end{matrix}

Ha ν′≪1 , akkor

ugyanezt adja a (90,16) képlet is a v′≪v esetben. Így (90,16), (90,17) együtt lefedik lehetséges értékeit ( ν≪1 ).

ω→ω0 esetén (ahol ℏω0=mv2∕2 ) v→0 és ν′→∞ . Ebben a határesetben (90,17) alakja a következő:

10.94. egyenlet - (90,18)

d σ_{ω} = \frac{128 π}{3} Z^{2} α^{2} r_{e}^{2} {(\frac{c}{v})}^{3} \frac{ℏ d ω}{m v^{2}}

dσω∕ dω tehát véges értékhez tart ω→ω0 esetén. Ez a tény megmagyarázható olyan általános meggondolásokból kiindulva, mint amilyeneket a III. 147. §-ban fejtettünk ki. Fizikailag azzal függ össze, hogy az ω=ω0 frekvencia csak a folytonos fékezési spektrumra nézve határfrekvencia. Az elektron ω>ω0 frekvenciájú fotont is kisugározhat, miközben kötött állapotba kerül. A Coulomb-tér magasan gerjesztett kötött állapotai azonban, tulajdonságaikat tekintve, kevéssé különböznek a kötött állapotok közelében levő szabad állapotoktól. Ezért a folytonos és diszkrét spektrum határa fizikailag nem kitüntetett.

A leírt összes kifejezés vonzó Coulomb-térre vonatkozik. A taszító térbeli sugárzás hatáskeresztmetszetét (90,15)-ből a ν→–ν , ν′→–ν′ helyettesítéssel kapjuk. A (90,16) közelítő Born-képlet egyáltalán nem változik. A ν≪1 , ν′→∞ határesetben (90,18) helyett a

10.95. egyenlet - (90,19)

d σ_{ω} = \frac{128 π}{3} Z^{2} α^{2} r_{e}^{2} {(\frac{c}{v})}^{3} exp (- \frac{\sqrt{2 m c^{2}} π Z α}{\sqrt{ℏ (ω_{0} - ω)}}) \frac{ℏ d ω}{m v^{2}}

összefüggést kapjuk, azaz a differenciális hatáskeresztmetszet ω→ω0 esetén exponenciálisan eltűnik. Ez az eredmény is természetes: taszító térben kötöttállapotok nincsenek, az ω=ω0 frekvencia ténylegesen a spektrum határa.

Feladatok

1. Határozzuk meg Born-közelítésben a fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetét két olyan részecske nemrelativisztikus ütközésénél, amelyekre nézve az e∕m hányados értéke különböző.

Megoldás. Az , töltésű, , tömegű részecskékből álló rendszer dipólusmomentuma a tömegközépponti rendszerben

ahol μ=(m1m2/m1+m2) , r=r1–r2 . Innen

d̈=((e1/m1)–(e2/m2))μr̈=–((e1/m1)–(e2/m2))∇(e1e2/r).

A mátrixelem

( p=μv,p′=μv′ a relatív mozgás impulzusai). Ezt a

síkhullámokkal számítjuk ki,^[322] felhasználjuk közben a

összefüggést. Az eredmény a következő:

dσkp′=(e12e22/π2)((e1/m1)–(e2/m2))2(v′/v)(μ2/q4)(eq)(e∗q)(dω/ω) dΩp′dΩk.

A polarizációra való összegezés után a sugárzás szögeloszlását a sin2Θ tényező határozza meg, ahol a foton iránya és a szórás síkjában fekvő vektor által bezárt szög [l. (45,4a)].

A foton irányára való integrálás után

dσω=(16/3)e12e22((e1/m1)–(e2/m2))2(v′/v)(dω/ω)(sind/v2+v′2–2vv′cos),

ahol a szórásszög. Végül a szerinti integrálás után,

dσω=(16/3)e12e22((e1/m1)–(e2/m2))2(1/v2)ln(v+v′/v–v′)(dω/ω).

Mozdulatlan Coulomb-centrum terében való sugárzás esetében ez megegyezik a (90,16) képlettel.

2. Határozzuk meg Born-közelítésben két elektron nemrelativisztikus ütközésekor fellépő fékezési sugárzás hatáskeresztmetszetét.^[323]

Megoldás. Ebben az esetben nincs dipólussugárzás, tehát a kvadrupólussugárzást kell vizsgálnunk. A klasszikus elméletben a kvadrupólussugárzás teljes intenzitását az

képlet határozza meg, ahol Dik=∑e(3xixk–r2δik) a töltésrendszer kvadrupólusmomentum tenzora .^[324] Két elektronra tömegközépponti rendszerükben

A kvantumelméletre való áttéréskor a Fourier-komponens helyébe a mátrixelemet kell írni (vö. a dipólussugárzásról a 45. §-ban elmondottakkal), és a hullámfüggvényeket (síkhullámokat) megfelelően normálva – a foton energiájával való osztás után -, kapjuk a sugárzás hatáskeresztmetszetét (az elektronok a d3p′ intervallumban levő állapotba kerülnek):

dσp′=(1/90ω)|(D...ik)p′p|2(d3p′/v(2π)3),

ahol v=2p∕m a relatív mozgás kezdeti sebessége; a sugárzás frekvenciája ω=(p2–p′2)∕m .

A D...ik operátort úgy számíthatjuk ki, hogy képezzük a Dik operátor és a

Hamilton-operátor háromszoros kommutátorát :^[325]

D...ik =(2e3/m)[6((xi/r3)pk+pk(xi/r3))+6((xk/r3)pi+pi(xk/r3))– –9((xixkxl/r5)pl+pl(xixkxl/r5))–δik((xl/r3)pl+pl(xl/r3))].

Szem előtt tartva, hogy a két részecske azonos, a mátrixelemet a

ψp=(1/√2)(eipr±e–ipr), ψp′=(1/√2)(eip′r±e–ip′r)

hullámfüggvényekkel számítjuk ki, ahol a vagy előjel annak felel meg, hogy az elektronok együttes spinje 0 vagy 1 (az elektronok felcserélését az r→–r helyettesítés jelenti).

Hosszadalmas számítás^[326] vezet a sugárzás spektrális eloszlását megadó képletre:

dσω=(4/15)αre2{17–(3x2/(2–x)2)+(12(2–x)4–7(2–x)2x2–3x4/(2–x)3√(1–x))arch(1/√x)}(√(1–x)/x) dx,

ahol x=ω∕ε , ε=p2∕m az elektronok relatív mozgásának energiája a kezdeti állapotban; a hatáskeresztmetszet az elektronok teljes spinjének lehetséges értékeire átlagolt. A sugárzási energiaveszteségre vonatkozó hatáskeresztmetszet:

3. Határozzuk meg atommag által kibocsátott állapotú nemrelativisztikus elektron fékezési sugárzásának energiáját .

Megoldás. A mag által kibocsátott elektron hullámfüggvénye kifutó -gömbhullám, a teljes áramsűrűséget 1-re normáljuk:

[l. III. (33,14)]. Az elektron végállapotbeli (a fotonemisszió utáni) hullámfüggvényét síkhullámnak választjuk:

Az átmeneti mátrixelem

pfi=(pif)∗=(∫ψi∗pψfd3x)∗=(p′/√(4πv))∫e–ip′r+ipr(d3x/r)=√((4π/v))(p′/p′2–p2)=–√((π/v))(v′/ω)

[az integrált (57,6a) szerint számíthatjuk ki]. A sugárzás energiáját a (45,8) képletből kapjuk, azt d3p′∕(2π)3 -nel szorozva és iránya szerint integrálva (az utóbbi szorzótényezőt jelent). A kisugárzott energia spektrális eloszlása

ω→0 esetén v′→v , és a fenti képlet a klasszikus eredmény nemrelativisztikus határesetével egyezik meg (l. a II. S.69. § feladatát). A teljes kisugárzott energia (a szokásos egységekben):

ahol ε=mv2∕2 az elektron kezdeti energiája.

4. Határozzuk meg annak a fékezési sugárzásnak az energiáját, mely elektronnak végtelen magas „potenciálfalról” való visszaverődésekor keletkezik.

Megoldás. Az elekron mozgásának iránya legyen merőleges a falra. Bár a foton tetszőleges irányban emittálódhat, minthogy nemrelativisztikus esetben a foton impulzusa kicsi az elektronéhoz képest, feltehetjük, hogy a visszaverődött elektron mozgásiránya is merőleges a falra. Legyen a fal az x=0 síkban, az elektron az x>0 oldalon. Az egydimenziós mozgás stacionárius állapotának δ(p) -re ( p=px ), normált hullámfüggvénye állóhullám (l. III. 21. §):

A p=px operátor mátrixeleme:^[327]

pfi=–(2i/π)∫0∞sinp′x(d/dx)sinpxdx=–(2ip/π)∫0∞sinp′xcospxdx=–(2i/π)(pp′/p2–p′2).

Az egyszeri visszaverődéskor kisugárzott energiát (45,8)-ból kapjuk, azt dp′=dω∕v′ -vel szorozva és v∕2π -vel osztva (az utóbbi a fal felé futó hullám áramsűrűsége, ha a hullámfüggvény ):

10.96. egyenlet - (1)

d E_{ω} = \frac{4 ω^{2} e^{2}}{3 m^{2}} | p_{f i} |^{2} \frac{2 π d ω}{v v^{'}} = \frac{8}{3 π} e^{2} v v^{'} d ω .

Kis frekvenciáknál ( ω≪ε=mv2∕2 ) v′≈v , és (90.4.3) a II. (69,5) klasszikus képletbe megy át (melyet szögek szerint kell integrálni, és amelyben v=Δv∕2 , ahol az elektron sebességváltozása visszaverődés esetén); ennek így is kell lennie, mivel a falról való visszaverődésre minden esetben teljesül a II. (69,1) feltétel, vagyis azütközési idő kicsi. Az (1) kvantummechanikai összefüggés segítségével kiszámíthatjuk a teljes kisugárzott energiát:

(a szokásos egységekben).

^[319] Ebben a szakaszban a p=|p| , p′=|p′| jelöléseket használjuk.

^[320] A levezetést illetően l. A. Nordsieck , Phys. Rev. 93, 785 (1954).

^[321] A (90,15)–(90,19) összefüggéseket a szokásos egységekben írtuk fel.

^[322] A két részecskének egyetlen, redukált tömegű részecskével való helyettesítése csak nemrelativisztikus közelítésben megengedett.

^[323] A ütközési sebesség kielégíti az α≪(e2/ℏv)≪1 feltételt. A klasszikus esetet ((e2/ℏv)≫1) a II. 71. § feladatában vizsgáltuk.

^[324] Ezt a képletet II. (71,5)-ből kapjuk, ugyanúgy, ahogyan II. (67,11)-et II. (67,8)-ból.

^[325] E kifejezés a klasszikus D...ik=(4e3/m2)[6(xi/r3)pk+6(xk/r3)pi–9(xixk/r5)pr–(1/r3)δikpr] képlettel analóg, az utóbbit úgy kaphatjuk, hogy Dik -t differenciáljuk, és figyelembe vesszük az (m/2)r̈=(e2r/r3) klasszikus mozgásegyenletet.