ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

95§. Lágy fotonok kisugárzása ütközésekben

Legyen dσ0 a hatáskeresztmetszete töltött részecskék valamilyen szórásfolyamatának, amellyel adott számú foton emissziója járhat együtt. Vizsgáljuk azt a folyamatot is, mely az előzőtől csak annyiban különbözik, hogy eggyel több foton emittálódik. Ha ez utóbbi frekvenciája elég kicsi (a feltételeket a későbbiekben pontosan megfogalmazzuk), akkor a második folyamat hatáskeresztmetszete egyszerű kapcsolatban áll dσ0 -lal.

Valóban, kis értékeknél a fotonkvantum emissziójának a szórásfolyamatra való visszahatása elhanyagolható. Más szavakkal kifejezve, a hatáskeresztmetszet két egymástól független tényező szorzataként írható fel: az egyik a dσ0 hatáskeresztmetszet, a másik az egy foton kisugárzásának valószínűsége. A lágy foton emissziója kváziklasszikus folyamat; a valószínűség ezért megegyezik az ütközés során kisugárzott kvantumok klasszikus számítással adódó számával, azaz a sugárzás klasszikus intenzitásának (a teljes energiának) és -nak ( =ℏω ) hányadosával. Így

10.181. egyenlet - (95,1)

d σ = d σ_{0} \frac{d I}{ω} .

Megmutatjuk, hogyan vezethető le ez az összefüggés a diagramtechnika általános szabályait használva (J. M. Jauch , F. Rohrlich , 1954).

A második folyamat gráfjait az alapfolyamat gráfjaiból úgy kaphatjuk, hogy azokat egy külső fotonvonallal egészítjük ki, amely valamelyik (külső vagy belső) elektronvonalból „ágazik el”; ez a

10.182. egyenlet - (95,2)

helyettesítésnek felel meg. Könnyen látható, hogy a főszerepet azok a gráfok játsszák, amelyeken a foton külső elektronvonalhoz csatlakozik. Valóban, ha egy külső vonalhoz tartozó impulzus ( p2=m2 ), akkor kis mellett (p–k)2≈m2 , azaz az eredeti gráfhoz járuló G(p–k) szorzótényező argumentuma a pólushely közelébe esik.

Ha a (95,2) helyettesítést egy kezdeti elektronhoz tartozó vonalon végezzük, ez az amplitúdóban az

u(p)→e√(4π)G(p–k) ê∗u(p)=e√(4π)(p̂–k̂+m/(p–k)2–m2)ê∗u(p)≈ ≈ –e√(4π)(p̂+m/2(pk))ê∗u(p)

helyettesítést jelenti (az első tényező a töltés).

Mivel p̂ê∗=2pe∗–ê∗p̂ és p̂u(p)=mu(p) , ezért a helyettesítési szabálya következő:

10.183. egyenlet - (95,3)

u (p) \to - e \sqrt{4 π} \frac{(p e^{*})}{(p k)} u (p) .

Hasonlóan, egy végállapotbeli elektronvonalon elvégzett

helyettesítés az amplitúdóra nézve az

10.184. egyenlet - (95,4)

ū (p^{'}) \to e \sqrt{4 π} ū (p^{'}) \frac{(p^{'} e^{*})}{(p^{'} k)}

változtatást jelenti.

A gráf összes többi részében a fotonemisszióval kapcsolatos impulzusváltozásokat elhanyagolhatjuk. A foton energiája természetesen kicsi kell, hogy legyen a folyamatban részt vevő mindegyik részecske energiájához képest (a kisugárzott kemény fotonok energiájához képest is, ha ilyenek vannak).

Megvizsgálunk egy konkrét esetet; legyen dσ0 az elektron mozdulatlan atommagon való szóródásának hatáskeresztmetszete (esetleg kemény fotonok kisugárzásával együtt). A folyamat amplitúdója

Elvégezve egyrészt a (95,3), másrészt a (95,4) helyettesítést, és a két eredményt összeadva, annak a fékezési sugárzásnak az amplitúdóját kapjuk, melyben ugyanazok a kemény fotonok és mellettük a lágy foton emittálódik:^[350]

10.185. egyenlet - (95,5)

M_{f i} = M_{f i}^{(0)} e \sqrt{4 π} (\frac{p^{'} e^{*}}{p^{'} k} - \frac{p e^{*}}{p k}) .

A hatáskeresztmetszet ennek megfelelően:

10.186. egyenlet - (95,6)

d σ = d σ_{0} \cdot 4 π e^{2} {|\frac{p^{'} e}{p^{'} k} - \frac{p e}{p k}|}^{2} \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3} 2 ω} .

A foton polarizációjára összegezve azt kapjuk, hogy

10.187. egyenlet - (95,7)

d σ = - e^{2} {|\frac{p^{'}}{p^{'} k} - \frac{p}{p k}|}^{2} \frac{d^{3} k}{4 π^{2} ω} d σ_{0} .

Háromdimenziós mennyiségekkel kifejezve az összefüggés a következő:^[351]

10.188. egyenlet - (95,8)

d σ = α {(\frac{v^{'} \times n}{1 - v^{'} n} - \frac{v \times n}{1 - v n})}^{2} \frac{d ω d Ω_{k}}{4 π^{2} ω} d σ_{0},

ahol n=k∕ω , és pedig az elektron kezdeti és végső sebessége. Látjuk, hogy a dσ0 előtt álló kifejezés (az nevezőtől eltekintve) valóban a sugárzási intenzitás klasszikus alakjával esik egybe [vö. II. (69,4)], amint azt (95,1)-benállítottuk.

A kapott összefüggések akkor érvényesek, ha a magnak átadott impulzus nagy ahhoz a impulzusátadás-változáshoz képest, amit a lágy foton kisugárzása okoz. Fennáll, hogy

emellett |δp′|∼(∂|p′|/∂ε)ω∼(ω/v) , és |k|=ω . Nemrelativisztikus esetben ezért a feltétel a következő:

10.189. egyenlet - (95,9)

\frac{ω}{| q | v} ≪ 1 .

Mivel másrészt |q|∼q∕ϱ ( az ütközési paraméter), ezért a feltétel az ωτ≪1 alakban is írható, ahol τ∼ϱ∕v az ütközés karakterisztikus ideje.

Ultrarelativisztikus esetben a fotonok főleg -hez vagy -höz közeli irányokban emittálódnak [amint ez (95,8) nevezőjéből látható]. Ha az elektron szóródási szöge kicsi, akkor a , , vektorok közelítőleg azonos irányúak. Ekkor

és mivel |q|∼ε , ezért a

10.190. egyenlet - (95,10)

𝜃 ≫ \frac{ω}{𝜀} \frac{m^{2}}{𝜀^{2}}

feltételt kapjuk.

Mivel a (95,5)(95,8) képletek kváziklasszikusak, ezért tetszőleges töltött részecske sugárzására érvényesek (nemcsak elektronokra, melyekre a levezetés vonatkozott). Általános esetben, mikor a folyamatban több ilyen részecske vesz részt, (95,5)-öt a következő alakban kell írni:

10.191. egyenlet - (95,11)

M_{f i} = M_{f i}^{(0)} e \sqrt{4 π} \sum Z (\frac{p^{'} e^{*}}{p^{'} k} - \frac{p e^{*}}{p k}),

ahol az összes ( töltésű) részecskére összegezni kell; ennek megfelelően változnak a (95,6)(95,8) képletek is.

Speciálisan, nemrelativisztikus esetben

10.192. egyenlet - (95,12)

M_{f i} = M_{f i}^{(0)} \frac{e \sqrt{4 π}}{ω} \sum Z (v^{'} - v) e^{*} .

Két részecskére ez a következő alakot ölti:

10.193. egyenlet - (95,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} M_{f i} & = M_{f i}^{(0)} \frac{\sqrt{4 π}}{ω} (\frac{Z_{1} e}{m_{1}} - \frac{Z_{2} e}{m_{2}}) {q e}^{*}, \\ q & = m (v^{'} - v), m = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \end{aligned} & (95,13) \end{matrix}

ahol és a részecskék relatív sebessége ütközés előtt és után.

A kapott eredmények általánosíthatók arra az esetre, amikor egyidejűleg több lágy foton emittálódik. Az Mfi amplitúdóhoz minden egyes foton olyan tényezővel járul hozzá, mint amilyen (95,5)-ben Mi(0) mellett áll. Erről közvetlenül könnyen meggyőződhetünk, mondjuk két foton példáján. Mindkét fotonvonalat külső elektronvonalhoz kell csatlakoztatni, mégpedig mindkét lehetséges sorrendben, azaz egy külső vonallal rendelkező diagramot a következő kettővel kell helyettesíteni

Ezek az

(1/2(pk1+pk2))(1/2pk1) vagy (1/2(pk1+pk2))(1/2pk2)

szorzótényezőket tartalmazzák (az elektronpropagátorok nevezői). Összegük

tehát az egyes fotonokhoz tartozó, egymástól független tényezők szorzata. Végeredményben a diagramok összegezése után az egyes tagok (a mértékinvariancia következtében) mint különbségek szorzatai jelennek meg:

((p′e1∗/p′k1)–(pe1∗/pk1))((p′e2∗/p′k2)–(pe2∗/pk2)).

Az amplitúdó faktorizációja következtében a folyamat hatáskeresztmetszete is tényezőkre bomlik. A lágy fotonok emissziója tehát egymástól független. számú lágy foton kisugárzásával járó folyamat hatáskeresztmetszetét a

10.194. egyenlet - (95,14)

d σ = d σ_{0} d w_{1} \dots d w_{n}

alakban írhatjuk, ahol dw1, dw2,… az egyes, k1,k2,… impulzusú fotonok külön-külön való kisugárzásának valószínűsége. A változók (frekvenciaés irány) lehetséges értékei, azaz a fázistér mindegyik kvantumra azonos. Az integrálás során egy 1∕n! tényezővel kell figyelembe venni a fotonok azonosságát.

A sugárzás (95,1) hatáskeresztmetszetét a frekvencia szerint valamilyen -től -ig terjedő véges tartományra integrálva, a

10.195. egyenlet - (95,15)

d σ \sim α ln \frac{ω_{2}}{ω_{1}} d σ_{0}

kifejezést kapjuk [vö. (95,8)]. Magától értetődően mindkét frekvenciaérték kicsi, lehetséges értékeit a módszer alkalmazhatóságának feltétele korlátozza. Logaritmikus pontossággal ω2∼ε írható, ahol a sugárzó részecske kezdeti energiája. értéke alulról egyáltalán nem korlátozott. Láthatjuk azonban, hogy ω1→0 esetén a hatáskeresztmetszet végtelenhez tart. A következőkben megvilágítjuk e körülmény – azú.n. infravörös katasztrófa– lényegét (F. Bloch , A. Nordsieck , 1937).

10.196. egyenlet - (95,16)

α ln \frac{𝜀}{ω_{1}} ≿ 1,

akkor dσ≿ dσ0 . Ez azonban azt jelenti, hogy a perturbációszámítás nem alkalmazható, ui. nem alacsonyabb nagyságrendű mennyiség, mint dσ0 . Más szóval, ebben az esetben a sorfejtés kis paraméterének nem -t, hanem αln(ε∕ω1) -et kell tekinteni.

Így a perturbációszámítás alapján levezetett (95,5)(95,8) képletek túl kis frekvenciákra nem érvényesek. Más oldalról viszont a intenzitásra vonatkozó klasszikus képlet [II. (69,4)] annál inkább alkalmazható, minél kisebb . Ezért (95,1) helyes marad, ha jelentését némileg a klasszikus jelleg felé megváltoztatjuk. (95,1)-ben feltételeztük, hogy egy foton keletkezik; ekkor a részecske által a sugárzásra fordított energia , a „relatív energiaveszteség hatáskeresztmetszetét” pedig az ωdσ∕ε kifejezés adja meg, ami másképpen

10.197. egyenlet - (95,17)

d σ_{0} \frac{d I}{𝜀} .

A valóságban azonban elegendően kis értékeknél a sugárzás valószínűsége nem kicsi, két vagy több foton kisugárzásának valószínűsége pedig nem kisebb, hanem nagyobb, mint egy fotoné. Ilyen feltételek mellett a (95,17) kifejezés érvényes marad, azonban a klasszikus intenzitás nem egy foton kisugárzásának valószínűségét határozza meg, hanem az emittált fotonokátlagos számát:

10.198. egyenlet - (95,18)

d \bar{n} = \frac{d I}{ω},

vagy az ω1–ω2 véges frekvenciatartományban

10.199. egyenlet - (95,19)

\bar{n} = \int_{ω = ω_{1}}^{ω_{2}} \frac{d I}{ω} .

Mivel a lágy fotonok statisztikusan függetlenül emittálódnak (ez a perturbáció-számítás minden rendjében érvényes), a többszörös emisszióra a Poisson-képletet alkalmazhatjuk: foton kisugárzásának w(n) valószínűsége -sal a következőképpen fejezhető ki:

10.200. egyenlet - (95,20)

w (n) = \frac{{\bar{n}}^{n}}{n!} e^{- \bar{n}} .

Írjuk a fotonkisugárzással járó szórásfolyamat hatáskeresztmetszetét

10.201. egyenlet - (95,21)

d σ = d σ_{0} \cdot w (n)

alakban. Mivel ∑w(n)=1 , ezért dσ0 a tetszőleges számú lágy foton emissziójával együttjáró szóródás hatáskeresztmetszete. Ez a körülmény a klasszikus tárgyalásból nyilvánvaló; a perturbációszámítás szerint dσ0 a tisztán rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete. A perturbációszámítás azonban itt nem alkalmazható. dσ0 a valóságban tetszőleges számú lágy foton emisszióját is tartalmazza. A tisztán rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete a valóságban nulla: ω1→0 esetén n̄→∞ , és (95,20) szerint tetszőleges véges számú foton emissziójának valószínűsége nulla.^[352]

Feladatok^[353]

1. Határozzuk meg atommag terében ultrarelativisztikus elektron által fékezési sugárzással emittált lágy kvantumok spektrális eloszlását.

Megoldás. Integrálva (95,8)-at dΩk szerint, azt kapjuk, hogy

10.202. egyenlet - (1)

d σ = α K (ξ) \frac{d ω}{ω} d σ_{0},

ahol

10.203. egyenlet - (2)

K (ξ) = \frac{2}{π} [\frac{2 ξ^{2} + 1}{ξ \sqrt{ξ^{2} + 1}} ln (ξ + \sqrt{ξ^{2} + 1}) - 1], ξ = \frac{| p |}{m} sin \frac{𝜃}{2}

( az elektron impulzusa, a szóródási szöge). Ultrarelativisztikus esetben a lényeges járulékot az

10.204. egyenlet - (3)

\frac{m^{2} ω}{𝜀^{3}} ≪ 𝜃 ≪ \frac{m}{𝜀}

szögtartomány adja [az alsó határ a (95,10) feltétel, a felső határról később lesz szó]. Így ξ≈ε∕2m≪1 , tehát

az elektron magon való rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete pedig [l. (81,10)]:

10.205. egyenlet - (4)

d σ_{0} \approx 4 Z^{2} r_{e}^{2} \frac{m^{2}}{𝜀^{2}} \frac{d Ω}{𝜃^{4}} .

integrál logaritmikusan divergens; alulról ∼m2ω∕ε3 -nél, felülről ξ∼1 -nél, tehát ∼m∕ε -nál vágjuk le ( ξ→∞ esetén

tehát az integrál konvergens). Így logaritmikus pontossággal

10.206. egyenlet - (5)

d σ_{ω} = \frac{16}{3} Z^{2} α r_{e}^{2} \frac{d ω}{ω} ln \frac{𝜀^{2}}{m ω},

megegyezésben a (91,17) képlet (ebben ε≈ε′ helyettesítendő) logaritmikus részével. A logaritmikus pontosság csak úgy javítható, ha a kváziklasszikus tartomány határain túllépünk.

2. Határozzuk meg (tömegközépponti rendszerben) a következő folyamat hatáskeresztmetszetét: két ultrarelativisztikus elektron ütközésekor egyidejűleg két lágy foton emittálódik egymással ellentétes, az elektronok impulzusaival kis szöget bezáró irányokban.

Megoldás. Az egymással ellentétes irányban kirepülő fotonokat a megfelelő irányokban mozgó elektronok sugározzák ki. Az egyidejű sugárzás hatáskeresztmetszete

10.207. egyenlet - (6)

d σ = d σ_{0} \cdot α K (ξ) \frac{d ω_{1}}{ω_{1}} \cdot α K (ξ) \frac{d ω_{2}}{ω_{2}}, ξ = \frac{𝜀}{m} sin \frac{𝜃}{2},

ahol az egyes elektronok energiája, a tömegközépponti rendszerben mért szórási szög, amely a két elektronra azonos (mivel a fotonok különböző irányokban emittálódnak, és ezt előre kikötöttük, a hatáskeresztmetszetet nem kell kettővel osztani). Az elektronok kis szögben történő rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete ultrarelativisztikus esetben tömegközépponti rendszerben (4)-gyel egyezik meg [vö. (82,11)]. (1)-től eltérően a (6) hatáskereáztmetszet esetén úgy viselkedik, mint , tehát az integrál konvergens. Ez a körülmény egyrészt lehetővé teszi, hogy az integrálást -tól kezdjük (nem törődve azzal, hogy esetleg megsértjük a módszer alkalmazhatóságának feltételét). Másrészt a lényeges járulékot most a ∼m∕ε tartomány adja (nem pedig a ≪m∕ε ), úgyhogy a (2) kifejezés pontos alakját kell használni. A szögek szerinti integrálás eredménye:

dσω1ω2=(2/π)[5+(7/2)ζ(3)]re2α2(dω1/ω1)(dω2/ω2)=5,9re2α2(dω1/ω1)(dω2/ω2)

[ a Riemann-függvény , ζ(3)=1,202 ].

^[350] A különbség megjelenése a képletben a mértékinvariancia természetes következménye: a folyamat amplitúdója nem változhat, ha a polarizációs négyesvektoron az e→e+const⋅k helyettesítést végezzük.

^[351] Ennek levezetésére célszerű visszatérni a (95,6) alakhoz, abban elvégezni a p=(ε,εv) , pk=εω(1–vn),…,e=(0,e) , helyettesítéseket és újra összegezni a polarizációra, felhasználva (45,4a)-t.