Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Legyen a hatáskeresztmetszete töltött részecskék valamilyen
szórásfolyamatának, amellyel adott számú foton emissziója járhat együtt. Vizsgáljuk azt
a folyamatot is, mely az előzőtől csak annyiban különbözik, hogy eggyel több foton
emittálódik. Ha ez utóbbi
frekvenciája elég kicsi (a feltételeket a későbbiekben pontosan
megfogalmazzuk), akkor a második folyamat
hatáskeresztmetszete egyszerű kapcsolatban áll
-lal.
Valóban, kis értékeknél a fotonkvantum emissziójának a szórásfolyamatra való
visszahatása elhanyagolható. Más szavakkal kifejezve, a
hatáskeresztmetszet két egymástól független tényező szorzataként
írható fel: az egyik a
hatáskeresztmetszet, a másik az egy foton kisugárzásának
valószínűsége. A lágy foton emissziója kváziklasszikus folyamat; a
valószínűség ezért megegyezik az ütközés során kisugárzott kvantumok klasszikus
számítással adódó számával, azaz a sugárzás
klasszikus intenzitásának (a teljes energiának) és
-nak (
) hányadosával. Így
Megmutatjuk, hogyan vezethető le ez az összefüggés a diagramtechnika általános szabályait használva (J. M. Jauch , F. Rohrlich , 1954).
A második folyamat gráfjait az alapfolyamat gráfjaiból úgy kaphatjuk, hogy azokat egy külső fotonvonallal egészítjük ki, amely valamelyik (külső vagy belső) elektronvonalból „ágazik el”; ez a
helyettesítésnek felel meg. Könnyen látható, hogy a főszerepet azok a gráfok
játsszák, amelyeken a foton külső elektronvonalhoz csatlakozik. Valóban, ha
egy külső vonalhoz tartozó impulzus (
), akkor kis
mellett
, azaz az eredeti gráfhoz járuló
szorzótényező argumentuma a pólushely közelébe esik.
Ha a (95,2) helyettesítést egy kezdeti elektronhoz tartozó vonalon végezzük, ez az amplitúdóban az
helyettesítést jelenti (az első tényező a töltés).
Mivel és
, ezért a helyettesítési szabálya
következő:
Hasonlóan, egy végállapotbeli elektronvonalon elvégzett
![]() |
helyettesítés az amplitúdóra nézve az
változtatást jelenti.
A gráf összes többi részében a fotonemisszióval kapcsolatos impulzusváltozásokat elhanyagolhatjuk. A
foton
energiája természetesen kicsi kell, hogy legyen a folyamatban részt
vevő mindegyik részecske energiájához képest (a kisugárzott kemény fotonok energiájához
képest is, ha ilyenek vannak).
Megvizsgálunk egy konkrét esetet; legyen az elektron mozdulatlan atommagon való szóródásának
hatáskeresztmetszete (esetleg kemény fotonok kisugárzásával együtt). A folyamat
amplitúdója
Elvégezve egyrészt a (95,3),
másrészt a (95,4) helyettesítést, és a két eredményt
összeadva, annak a fékezési sugárzásnak az amplitúdóját kapjuk, melyben ugyanazok a
kemény fotonok és mellettük a lágy foton emittálódik:[350]
A hatáskeresztmetszet ennek megfelelően:
A foton polarizációjára összegezve azt kapjuk, hogy
Háromdimenziós mennyiségekkel kifejezve az összefüggés a következő:[351]
ahol ,
és
pedig az elektron kezdeti és végső sebessége. Látjuk, hogy a
előtt álló kifejezés (az
nevezőtől eltekintve) valóban a sugárzási intenzitás klasszikus
alakjával esik egybe [vö. II. (69,4)], amint azt (95,1)-benállítottuk.
A kapott összefüggések akkor érvényesek, ha a magnak átadott impulzus nagy ahhoz a
impulzusátadás-változáshoz képest, amit a lágy foton kisugárzása okoz.
Fennáll, hogy
emellett , és
. Nemrelativisztikus esetben ezért a feltétel a következő:
Mivel másrészt (
az ütközési paraméter), ezért a feltétel az
alakban is írható, ahol
az ütközés karakterisztikus ideje.
Ultrarelativisztikus esetben a fotonok főleg -hez vagy
-höz közeli irányokban emittálódnak [amint ez (95,8) nevezőjéből látható]. Ha az elektron
szóródási szöge kicsi, akkor a
,
,
vektorok közelítőleg azonos irányúak. Ekkor
feltételt kapjuk.
Mivel a (95,5)(95,8) képletek kváziklasszikusak, ezért tetszőleges
töltött részecske sugárzására érvényesek (nemcsak elektronokra, melyekre a levezetés
vonatkozott). Általános esetben, mikor a folyamatban több ilyen részecske vesz részt,
(95,5)-öt a következő alakban kell írni:
ahol az összes ( töltésű) részecskére összegezni kell; ennek megfelelően változnak a
(95,6)
(95,8) képletek is.
Speciálisan, nemrelativisztikus esetben
Két részecskére ez a következő alakot ölti:
ahol és
a részecskék relatív sebessége ütközés előtt és után.
A kapott eredmények általánosíthatók arra az esetre, amikor egyidejűleg több lágy
foton emittálódik. Az amplitúdóhoz minden egyes foton olyan tényezővel járul hozzá, mint
amilyen (95,5)-ben
mellett áll. Erről közvetlenül könnyen meggyőződhetünk, mondjuk két
foton példáján. Mindkét fotonvonalat külső elektronvonalhoz kell csatlakoztatni,
mégpedig mindkét lehetséges sorrendben, azaz egy
külső vonallal rendelkező diagramot a következő kettővel kell
helyettesíteni
![]() |
Ezek az
szorzótényezőket tartalmazzák (az elektronpropagátorok nevezői). Összegük
tehát az egyes fotonokhoz tartozó, egymástól független tényezők szorzata. Végeredményben a diagramok összegezése után az egyes tagok (a mértékinvariancia következtében) mint különbségek szorzatai jelennek meg:
Az amplitúdó faktorizációja következtében a folyamat hatáskeresztmetszete is
tényezőkre bomlik. A lágy fotonok emissziója tehát egymástól független. számú lágy foton kisugárzásával járó folyamat hatáskeresztmetszetét a
alakban írhatjuk, ahol az egyes,
impulzusú fotonok külön-külön való kisugárzásának valószínűsége. A
változók (frekvenciaés irány) lehetséges értékei, azaz a fázistér mindegyik kvantumra
azonos. Az integrálás során egy
tényezővel kell figyelembe venni a fotonok azonosságát.
A sugárzás (95,1) hatáskeresztmetszetét a
frekvencia szerint valamilyen -től
-ig terjedő véges tartományra integrálva, a
kifejezést kapjuk [vö. (95,8)]. Magától
értetődően mindkét frekvenciaérték kicsi, lehetséges értékeit a módszer alkalmazhatóságának feltétele
korlátozza. Logaritmikus pontossággal
írható, ahol
a sugárzó részecske kezdeti energiája.
értéke alulról egyáltalán nem korlátozott. Láthatjuk azonban, hogy
esetén a hatáskeresztmetszet végtelenhez tart. A következőkben
megvilágítjuk e körülmény – azú.n. infravörös katasztrófa– lényegét (F. Bloch , A. Nordsieck , 1937).
akkor . Ez azonban azt jelenti, hogy a perturbációszámítás nem alkalmazható,
ui.
nem alacsonyabb nagyságrendű mennyiség, mint
. Más szóval, ebben az esetben a sorfejtés kis paraméterének nem
-t, hanem
-et kell tekinteni.
Így a perturbációszámítás alapján levezetett (95,5)(95,8) képletek túl kis frekvenciákra nem érvényesek.
Más oldalról viszont a
intenzitásra vonatkozó klasszikus képlet [II. (69,4)] annál inkább
alkalmazható, minél kisebb
. Ezért (95,1) helyes marad, ha
jelentését némileg a klasszikus jelleg felé megváltoztatjuk. (95,1)-ben feltételeztük, hogy egy foton keletkezik; ekkor a részecske által
a sugárzásra fordított energia
, a „relatív energiaveszteség hatáskeresztmetszetét” pedig az
kifejezés adja meg, ami másképpen
A valóságban azonban elegendően kis értékeknél a sugárzás valószínűsége nem kicsi, két vagy több foton
kisugárzásának valószínűsége pedig nem kisebb, hanem nagyobb, mint egy fotoné. Ilyen
feltételek mellett a (95,17) kifejezés érvényes
marad, azonban a
klasszikus intenzitás nem egy foton kisugárzásának valószínűségét
határozza meg, hanem az emittált fotonokátlagos számát:
vagy az véges frekvenciatartományban
Mivel a lágy fotonok statisztikusan függetlenül emittálódnak (ez a
perturbáció-számítás minden rendjében érvényes), a többszörös emisszióra a
Poisson-képletet alkalmazhatjuk: foton kisugárzásának
valószínűsége
-sal a következőképpen fejezhető ki:
Írjuk a fotonkisugárzással járó szórásfolyamat hatáskeresztmetszetét
alakban. Mivel , ezért
a tetszőleges számú lágy foton emissziójával együttjáró szóródás
hatáskeresztmetszete. Ez a körülmény a klasszikus tárgyalásból nyilvánvaló; a
perturbációszámítás szerint
a tisztán rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete. A
perturbációszámítás azonban itt nem alkalmazható.
a valóságban tetszőleges számú lágy foton emisszióját is tartalmazza.
A tisztán rugalmas szóródás hatáskeresztmetszete a valóságban nulla:
esetén
, és (95,20) szerint tetszőleges
véges számú foton emissziójának valószínűsége nulla.[352]
1. Határozzuk meg atommag terében ultrarelativisztikus elektron által fékezési sugárzással emittált lágy kvantumok spektrális eloszlását.
Megoldás. Integrálva (95,8)-at szerint, azt kapjuk, hogy
( az elektron impulzusa,
a szóródási szöge). Ultrarelativisztikus esetben a lényeges
járulékot az
szögtartomány adja [az alsó határ a (95,10) feltétel, a felső határról később lesz szó].
Így , tehát
az elektron magon való rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete pedig [l. (81,10)]:
integrál logaritmikusan divergens; alulról -nél, felülről
-nél, tehát
-nál vágjuk le (
esetén
tehát az integrál konvergens). Így logaritmikus pontossággal
megegyezésben a (91,17) képlet (ebben helyettesítendő) logaritmikus részével. A logaritmikus pontosság
csak úgy javítható, ha a kváziklasszikus tartomány határain túllépünk.
2. Határozzuk meg (tömegközépponti rendszerben) a következő folyamat hatáskeresztmetszetét: két ultrarelativisztikus elektron ütközésekor egyidejűleg két lágy foton emittálódik egymással ellentétes, az elektronok impulzusaival kis szöget bezáró irányokban.
Megoldás. Az egymással ellentétes irányban kirepülő fotonokat a megfelelő irányokban mozgó elektronok sugározzák ki. Az egyidejű sugárzás hatáskeresztmetszete
ahol az egyes elektronok energiája,
a tömegközépponti rendszerben mért szórási szög, amely a két
elektronra azonos (mivel a fotonok különböző irányokban emittálódnak, és ezt előre
kikötöttük, a hatáskeresztmetszetet nem kell kettővel osztani). Az elektronok kis
szögben történő rugalmas szóródásának hatáskeresztmetszete ultrarelativisztikus
esetben tömegközépponti rendszerben (4)-gyel egyezik meg [vö. (82,11)]. (1)-től eltérően a (6) hatáskereáztmetszet
esetén úgy viselkedik, mint
, tehát az integrál konvergens. Ez a körülmény egyrészt lehetővé
teszi, hogy az integrálást
-tól kezdjük (nem törődve azzal, hogy esetleg megsértjük a módszer
alkalmazhatóságának feltételét). Másrészt a lényeges járulékot most a
tartomány adja (nem pedig a
), úgyhogy a (2) kifejezés pontos alakját kell használni. A szögek
szerinti integrálás eredménye:
[350] A különbség megjelenése a képletben a mértékinvariancia természetes
következménye: a folyamat amplitúdója nem változhat, ha a polarizációs
négyesvektoron az helyettesítést végezzük.
[351] Ennek levezetésére célszerű visszatérni a (95,6) alakhoz, abban elvégezni a ,
, helyettesítéseket és újra összegezni a polarizációra,
felhasználva (45,4a)-t.
[352] Ennek részletesebb tárgyalására a könyv második részében a sugárzási korrekciók számításánál visszatérünk.