ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

102.§. A pontos elektronpropagátor

A foton esetéhez hasonlóan, a pontos elektronpropagátor definíciója

11.47. egyenlet - (102,1)

𝒢_{i k} (x - x^{'}) = - i ⟨0 | T Ψ_{i} (x) {\bar{Ψ}}_{k} (x^{'}) | 0⟩

( i,k bispinor indexek), amely a szabad részecskék (76,1)-beli

11.48. egyenlet - (102,2)

G_{i k} (x - x^{'}) = - i ⟨0 | T Ψ_{i}^{i n t} (x) {\bar{Ψ}}_{k}^{i n t} (x^{'}) | 0⟩

propagátorától a kölcsönhatási képbeli -operátoroknak Heisenberg-képbeliekkel való helyettesítésében tér el.

A (100,7) képlet lezetésével azonos megfontolásokkal -t a következő alakra hozhatjuk:

11.49. egyenlet - (102,3)

𝒢_{i k} (x - x^{'}) = - i \frac{⟨0 | T Ψ_{i}^{i n t} (x) {\bar{Ψ}}_{k}^{i n t} (x^{'}) S | 0⟩}{⟨0 | S | 0⟩} .

E kifejezés kifejtése hatványai szerint függvénynek két külső elektronvonallal és különböző számú csúccsal rendelkező diagramok összességeként való előállítására vezet. A (102,3) egyenlet nevezőjének szerepe újra csak az izolált „vákuumhurkok” kiküszöbölése a sorfejtésből. Így ∼e4 pontosságig a propagátor grafikus előállítása (vastag folytonos vonal) a következő alakú:^[383]

11.50. egyenlet - (102,4)

A vastag folytonos vonalhoz (impulzusreprezentációban) i(p) rendeljük hozzá, az egyenlőség jobb oldalának összes folytonos és szaggatott vonalához pedig a szabad részecskék megfelelő propagátorait, -t, illetve –iD -t.

A két elektronvonal által közrezárt blokkot az elektron sajátenergiás betétrészének nevezzük. Csakúgy, mint a foton esetében, ezt a részt akkor hívjuk kompaktnak , ha már nem bontható tovább két sajátenergiás betétre egy elektronvonal elvágásával. Az összes kompakt betétrész összegét –iℳik -val jelöljük; az ℳik(p) függvény neve tömegoperátor . Így ∼e4 rendben

11.51. egyenlet - (102,5)

Összegezéssel a (100,13) egyenlet levezetésével teljesen megegyező módon kapjuk a

11.52. egyenlet - (102,6)

𝒢 (p) = G (p) + G (p) ℳ (p) 𝒢 (p)

(a bispinor indexeket elhagytuk), vagy az inverz mátrixokra vonatkozóan a

11.53. egyenlet - (102,7)

𝒢^{- 1} (p) = G^{- 1} (p) - ℳ (p) = \hat{p} - m - ℳ (p)

egyenletet.

A 99. §-ban már megjegyeztük, hogy a Heisenberg-képbeli -operátorok (a kölcsönhatási képbeliekkel ellentétben) transzformálódnak az elektromágneses potenciálok mértéktranszformációja eredményeként. Ennek következtében a pontos propagátor nem mértékinvariáns. Alább megadjuk mértéktranszformációjának szabályát (L. D. Landau , I. M. Halatnyikov , 1952).

Eleve világos, hogy mértéktranszformáció során bekövetkező változását ugyanazzal a D(l) mennyiséggel kell kifejeznünk, amely e transzformáció során a foton-propagátorhoz adódik. Ez nyilvánvaló, ha észrevesszük, hogy mikor -t a perturbációszámítás diagramjai szerint számítjuk, akkor a sor minden tagját a függvény segítségével lehet kifejezni, és azokban semmilyen más elektromágneses mennyiség nem lép fel. Ezt a körülményt a levezetés egyszerűsítésére használhatjuk fel: tetszőleges speciális feltevéssel élhetünk a (99,8) transzformációt jellemző operátorra vonatkozóan; a válasz általános érvényű lesz, amennyiben csak D(l) -lel kifejezhető.

A (99,8) transzformáció eredményeként a (100,1)-ben megadott és a (102,1)-beli átmegy a

11.54. egyenlet - (102,8)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒟_{μ ν} & \to i ⟨0 | T [A_{μ} (x) - \partial_{μ} χ (x)] [A_{ν} (x^{'}) - \partial_{ν}^{'} χ (x^{'})] | 0⟩, \\ 𝒢_{i k} & \to - i ⟨0 | T Ψ_{i} (x) e^{i e χ (x)} e^{- i e χ (x^{'})} {\bar{Ψ}}_{k} (x^{'}) | 0⟩ \end{aligned} & (102,8) \end{matrix}

függvényekbe.

Most feltételezzük, hogy a operátorok kielégítik a Wick-tételt, azaz szorzataik páronként átlagolódnak, függetlenül a -szorzat egyéb operátoraitól; e feltevés egészen természetes, mivel a mértékinvariancia értelmében a „tér” nem vesz részt a kölcsönhatásban. Figyelembe vesszük azt is, hogy magának a operátornak is eltűnik a vákuumbeli várható értéke: ⟨0|χ|0⟩ . Ekkor (102,8)-ban a -t tartalmazó tagok leválaszthatók és a képlet a következő alakot ölti:

11.55. egyenlet - (102,9)

𝒟_{μ ν} \to 𝒟_{μ ν} + i ⟨0 | T \partial_{μ} χ (x) \cdot \partial_{ν}^{'} χ (x^{'}) | 0⟩,

11.56. egyenlet - (102,10)

𝒢_{i k} \to 𝒢_{i k} + ⟨0 | T e^{i e χ (x)} e^{- i e χ (x^{'})} | 0⟩ .

E transzformációk közül az elsőt

11.57. egyenlet - (102,11)

𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) \to 𝒟_{μ ν} (x - x^{'}) + \partial_{μ} \partial_{ν}^{'} d^{(l)} (x - x^{'}),

alakban írhatjuk,^[384] ahol

11.58. egyenlet - (102,12)

d^{(l)} (x - x^{'}) = i ⟨0 | T χ (x) χ (x^{'}) | 0⟩ .

Ebből látszik, hogy d(l) meghatározza a (l) fotonpropagátor longitudinális részének a mértéktranszformáció során bekövetkező változását.

Ezek után fejtsük ki a

11.59. egyenlet - (102,13)

B \equiv ⟨0 | T e^{i e χ (x)} e^{- i e χ (x^{'})} | 0⟩ .

mennyiséget hatványai szerint, és képezzük a várhatóértéket a Wick-tételt használva. Világos, hogy minden tag kifejezhető d(l) -lel. A számítás jelentősen leegyszerűsödik, ha figyelembe vesszük, hogy az eredmény szempontjából χ(x) és χ(x′) nem felcserélhető jellege lényegtelen, ui. felcserélésük csak a nyilvánvalóan páros d(l)(x–x′) függvény argumentumának előjelváltására vezet.^[385] Ha feltesszük χ(x) és kommutativitását, akkor (102,13)-ban a kitevőkösszeadhatók (és az időrendezés operátora elhagyható):

E kifejezés kifejtéséből az átlagolás során a páratlan kitevőjű hatványok eltűnnek,

Továbbá a Wick-tételt használva,

a jobb oldali számegyüttható a számú operátor lehetséges páronkénti összevonásainak száma (azaz azoknak a módoknak a száma, ahogyan megszámozott pontot páronként össze lehet kötni).^[386] Innen

B=∑n=0∞(1/n!)((1/2)⟨0|φ2|0⟩)n=exp(⟨0|φ2|0⟩/2).

Végül figyelembe véve, hogy

⟨0|φ2|0⟩=–e2⟨0|χ2(x)+χ2(x′)–2χ(x)χ(x′)|0⟩=2ie2[ d(l)(0)– d(l)(x–x′)],

transzformációjára, ha (102,11) szerint transzformálódott, a következő eredményt kapjuk:

11.60. egyenlet - (102,14)

𝒢 (x - x^{'}) \to 𝒢 (x - x^{'}) exp {i e^{2} [d^{(l)} (0) - d^{(l)} (x - x^{'})]} .

Ez a képlet a propagátor koordinátareprezentációbeli alakjára vonatkozik. Általában nem írható át a Fourier-komponensekre , azaz nem lehet a (p) propagátor változását impulzusreprezentációban a (p) propagátor változásával kifejezni. Ez az áttérés azonban infinitezimális mértéktranszformáció esetén lehetséges. A világos írásmód kedvéért d(l) -et ez esetben δd(l) -lel jelölve, (102,14)-ből megváltozására a

11.61. egyenlet - (102,15)

δ 𝒢 (x - x^{'}) = i e^{2} 𝒢 (x - x^{'}) [δ d^{(l)} (0) - δ d^{(l)} (x - x^{'})]

összefüggés érvényes. Fourier-komponensekben kifejezve:^[387]

11.62. egyenlet - (102,16)

δ 𝒢 (p) = i e^{2} \int \frac{d^{4} q}{{(2 π)}^{4}} δ d^{(l)} (q) [𝒢 (p) - 𝒢 (p - q)] .

Itt δd(l)(q) a (l) függvény megváltozásával a

11.63. egyenlet - (102,17)

δ 𝒟^{(l)} (q) = q^{2} δ d^{(l)} (q)

összefüggés szerint hozható kapcsolatba.

Az elektronpropagátorra is lehetséges lenne a (101,11) képlethez hasonló integrálelőállítás levezetése. A levezetés a -operátor mátrixelemére vonatkozó

11.64. egyenlet - (102,18)

ψ_{n m} (x) = ψ_{n m} (0) e^{- i (P_{m} - P_{n}) x}

összefüggésen alapszik, hasonlóan a 101. §-nak a (101,6) kifejezésében azáram-mátrixelemekre használt összefüggésekhez. Az árammal ellentétben azonban a -operátorok nem mértékinvariánsak. Ezért a (102,18) típusú koordinátafüggés sem érvényes általában, hanem csak valamely meghatározott mérték használata esetén. Ugyanígy, csak egy meghatározott mérték használata esetén érvényes a(102,18)-ra alapozott integrálelőállítás is. E helyzet mélyebb fizikai oka abban rejlik, hogy a foton nulla tömege az infravörös katasztrófára vezet (95. §). Ennek következtében az elektron a kölcsönhatás során végtelen sok lágy kvantumot bocsát ki, amely körülmény nagymértékben csökkenti a (102,1) propagátor „egyrészecskés” propagátorként valóértelmezhetőségét.

^[383] Mint a 100. §-ban már megmagyaráztuk, az önmagában zárt elektronvonalat tartalmazó diagramokat, amelyek itt már másodrendben megjelennének: nem kell figyelembe venni.

^[384](102,9)-ről (102,11)-re áttérhetünk, ha a d(l) függvény és szerinti differenciálhányadosa t=t′ -ben folytonos. Ellenkező esetben a kifejezések jobb oldalai a -függvényeket tartalmazó tagokban különböznének [vö. a (76,2) képlet levezetésével]. Impulzustérben ez a feltétel ekvivalens módon úgy fogalmazható meg, hogy d(l)(q)|q|2→∞ esetén 1∕q2 -nél gyorsabban csökken.

^[385] A χ(x) és χ(x′) operátorok felcserélési tulajdonságai nyilván lényegesek d(l)(x–x′) konkrét függvényalakjának meghatározása szempontjából. Megjegyezzük, hogy χ(x) -et a ∑λ(ω)(ake–ikx+ak+eikx) alakban választva, csak olyan transzformációkat engedünk meg, amelyek a téridő homogenitását nem sértik, azaz -nek csak x–x′ -től való függésére vezetnek.

^[386] Valóban, válasszunk valamilyen várható érték képzési módot. Ha most a pontok összes permutációját képezzük, akkor (2n)! tagot kapunk. Ezek között feleslegesek is vannak. Először is nem vezet új összevonásra a pontok párokon belüli felcserélése: . Másodszor maguknak a pároknak a felcserélése sem változtat semmit: . Így (2n)! -t 2n⋅n! -sal osztva, kapjuk a fenti számot.

^[387] Ha f(x)=f1(x)f2(x) , akkor Fourier-transzformáltja f(p)=∫f(x)eipxd4x=∭ d4x(d4q1d4q2/(2π)8)eix(p–q1–q2)f1(q1)f2(q2)=∫(d4q1d4q2/(2π)4)δ(4)(p–q1–q2)f1(q1)f2(q2)=∫(d4q/(2π)4)f1(q)f2(p–q) . A (102,15)-ról (102,16)-ra való áttérés során tekintetbe vettük, hogy f(x=0)=∫f(q)(d4q/(2π)4) .