Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A foton esetéhez hasonlóan, a pontos elektronpropagátor definíciója
( bispinor indexek), amely a szabad részecskék (76,1)-beli
propagátorától a kölcsönhatási képbeli -operátoroknak Heisenberg-képbeliekkel való helyettesítésében tér
el.
A (100,7) képlet lezetésével azonos
megfontolásokkal -t a következő alakra hozhatjuk:
E kifejezés kifejtése hatványai szerint
függvénynek két külső elektronvonallal és különböző számú csúccsal
rendelkező diagramok összességeként való előállítására vezet. A (102,3) egyenlet nevezőjének szerepe újra csak az
izolált „vákuumhurkok” kiküszöbölése a sorfejtésből. Így
pontosságig a
propagátor grafikus előállítása (vastag folytonos vonal) a következő
alakú:[383]
A vastag folytonos vonalhoz (impulzusreprezentációban) rendeljük hozzá, az egyenlőség jobb oldalának összes folytonos és
szaggatott vonalához pedig a szabad részecskék megfelelő propagátorait,
-t, illetve
-t.
A két elektronvonal által közrezárt blokkot az elektron sajátenergiás
betétrészének nevezzük. Csakúgy, mint a foton
esetében, ezt a részt akkor hívjuk kompaktnak , ha már nem bontható tovább két
sajátenergiás betétre egy elektronvonal
elvágásával. Az összes kompakt betétrész összegét -val jelöljük; az
függvény neve tömegoperátor . Így
rendben
Összegezéssel a (100,13) egyenlet
levezetésével teljesen megegyező módon kapjuk a
(a bispinor indexeket elhagytuk), vagy az inverz mátrixokra vonatkozóan
a
egyenletet.
A 99. §-ban már megjegyeztük, hogy a
Heisenberg-képbeli -operátorok (a kölcsönhatási képbeliekkel ellentétben)
transzformálódnak az elektromágneses potenciálok mértéktranszformációja eredményeként.
Ennek következtében a
pontos propagátor nem mértékinvariáns. Alább megadjuk
mértéktranszformációjának szabályát (L. D. Landau , I. M. Halatnyikov , 1952).
Eleve világos, hogy mértéktranszformáció során bekövetkező változását ugyanazzal a
mennyiséggel kell kifejeznünk, amely e transzformáció során a
foton-propagátorhoz adódik. Ez nyilvánvaló, ha észrevesszük, hogy mikor
-t a perturbációszámítás diagramjai szerint számítjuk, akkor a sor
minden tagját a
függvény segítségével lehet kifejezni, és azokban semmilyen más
elektromágneses mennyiség nem lép fel. Ezt a körülményt a levezetés egyszerűsítésére
használhatjuk fel: tetszőleges speciális feltevéssel élhetünk a (99,8) transzformációt jellemző
operátorra vonatkozóan; a válasz általános érvényű lesz, amennyiben
csak
-lel kifejezhető.
A (99,8) transzformáció eredményeként a (100,1)-ben megadott és a (102,1)-beli
átmegy a
függvényekbe.
Most feltételezzük, hogy a operátorok kielégítik a Wick-tételt, azaz szorzataik páronként
átlagolódnak, függetlenül a
-szorzat egyéb operátoraitól; e feltevés egészen természetes, mivel a
mértékinvariancia értelmében a
„tér” nem vesz részt a kölcsönhatásban. Figyelembe vesszük azt is,
hogy magának a
operátornak is eltűnik a vákuumbeli várható értéke:
. Ekkor (102,8)-ban a
-t tartalmazó tagok leválaszthatók és a képlet a következő alakot ölti:
E transzformációk közül az elsőt
alakban írhatjuk,[384] ahol
Ebből látszik, hogy meghatározza a
fotonpropagátor longitudinális részének a mértéktranszformáció során
bekövetkező változását.
mennyiséget hatványai szerint, és képezzük a várhatóértéket a Wick-tételt használva. Világos, hogy minden tag kifejezhető
-lel. A számítás jelentősen leegyszerűsödik, ha figyelembe vesszük,
hogy az eredmény szempontjából
és
nem felcserélhető jellege lényegtelen, ui. felcserélésük csak a
nyilvánvalóan páros
függvény argumentumának előjelváltására vezet.[385] Ha feltesszük
és
kommutativitását, akkor (102,13)-ban a kitevőkösszeadhatók (és az időrendezés operátora elhagyható):
E kifejezés kifejtéséből az átlagolás során a páratlan kitevőjű hatványok eltűnnek,
Továbbá a Wick-tételt használva,
a jobb oldali számegyüttható a számú
operátor lehetséges páronkénti összevonásainak száma (azaz azoknak a
módoknak a száma, ahogyan
megszámozott pontot páronként össze lehet kötni).[386] Innen
Végül figyelembe véve, hogy
transzformációjára, ha
(102,11) szerint transzformálódott, a következő
eredményt kapjuk:
Ez a képlet a propagátor koordinátareprezentációbeli alakjára vonatkozik. Általában
nem írható át a Fourier-komponensekre , azaz nem
lehet a propagátor változását impulzusreprezentációban a
propagátor változásával kifejezni. Ez az áttérés azonban
infinitezimális mértéktranszformáció esetén lehetséges. A világos írásmód kedvéért
-et ez esetben
-lel jelölve, (102,14)-ből
megváltozására a
összefüggés érvényes. Fourier-komponensekben kifejezve:[387]
Itt a
függvény megváltozásával a
összefüggés szerint hozható kapcsolatba.
Az elektronpropagátorra is lehetséges lenne a (101,11) képlethez hasonló integrálelőállítás levezetése. A levezetés a
-operátor mátrixelemére vonatkozó
összefüggésen alapszik, hasonlóan a 101. §-nak a (101,6) kifejezésében
azáram-mátrixelemekre használt összefüggésekhez. Az árammal ellentétben azonban a
-operátorok nem mértékinvariánsak. Ezért a (102,18) típusú koordinátafüggés sem érvényes általában, hanem csak valamely
meghatározott mérték használata esetén. Ugyanígy, csak egy meghatározott mérték
használata esetén érvényes a(102,18)-ra alapozott
integrálelőállítás is. E helyzet mélyebb fizikai oka abban rejlik, hogy a foton nulla
tömege az infravörös katasztrófára vezet (95. §). Ennek következtében az elektron a kölcsönhatás
során végtelen sok lágy kvantumot bocsát ki, amely körülmény nagymértékben csökkenti a
(102,1) propagátor „egyrészecskés” propagátorként
valóértelmezhetőségét.
[383] Mint a 100. §-ban már megmagyaráztuk, az
önmagában zárt elektronvonalat tartalmazó diagramokat, amelyek itt már
másodrendben megjelennének: nem kell figyelembe venni.
[384] (102,9)-ről (102,11)-re áttérhetünk, ha a függvény és
szerinti differenciálhányadosa
-ben folytonos. Ellenkező esetben a kifejezések jobb oldalai a
-függvényeket tartalmazó tagokban különböznének [vö. a (76,2) képlet levezetésével]. Impulzustérben ez a
feltétel ekvivalens módon úgy fogalmazható meg, hogy
esetén
-nél gyorsabban csökken.
[385] A és
operátorok felcserélési tulajdonságai nyilván lényegesek
konkrét függvényalakjának meghatározása szempontjából.
Megjegyezzük, hogy
-et a
alakban választva, csak olyan transzformációkat engedünk meg,
amelyek a téridő homogenitását nem sértik, azaz
-nek csak
-től való függésére vezetnek.
[386] Valóban, válasszunk valamilyen várható érték képzési módot. Ha most a pontok
összes permutációját képezzük, akkor tagot kapunk. Ezek között feleslegesek is vannak. Először is nem
vezet új összevonásra a pontok párokon belüli felcserélése:
. Másodszor maguknak a pároknak a felcserélése sem változtat
semmit:
. Így
-t
-sal osztva, kapjuk a fenti számot.