Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A mértékinvariancia következményeként még egy, a Dyson-egyenleteknél egyszerűbb összefüggéssel kapcsolható egybe a fotonpropagátor és a vertexoperátor.
Levezetéséhez végezzük el a (99,8)
mértéktranszformációt, feltéve, hogy infinitezimális, egyszerű (nem operátor) függvénye a téridőnek. Ekkor
az elektronpropagátor a
mennyiséggel változik meg. Hangsúlyozzuk, hogy az ilyen típusú
mértéktranszformáció sérti a téridő homogenitását, és a függvény már külön-külön függ az
és az
változóktól, nem csupán az
különbségtől. Más szavakkal, impulzusreprezentációban
két impulzustól függ:
Ebbe (105,1)-et behelyettesítve
és a vagy a
szerint integrálva (
), azt kapjuk, hogy
Másrészt az operátorhoz mértéktranszformációkor a
függvényt adjuk hozzá, amely infinitezimális külső térként tekinthető.
Impulzusreprezentációban
A propagátorkorrekcióúgy is
számítható, mint a propagátor megváltozása e tér hatására.
-ben első rendig nyilván egyetlen vázdiagrammal ábrázolható a változás:
![]() |
Itt a vastag szaggatott vonal a külső tér effektív vonala, azaz ehhez [l. (100,15)] a
tényező tartozik. Ám a négyesvektor longitudinális (
-hoz viszonyítva), a
tenor viszont transzverzális. Így a második tag nulla; ami megmarad,
az
egyenlőségként írható, ahol a vékony szaggatotthoz a szokásos módon a
teret rendeljük hozzá. Analitikusan:
Ebbe (105,4)-et behelyettesítve és a kapott eredményt (105,2)-vel összehasonlítva, a
összefüggésre jutunk, illetve az inverz mátrixokra nézve
Ebben az egyenlőségben elvégezve a határátmenetet, és végtelen kicsiny
esetén összehasonlítva a két oldalt, a
egyenlőségre az ún. Ward-azonosságra jutunk (J. G. Ward, 1950). Látható, hogy impulzus szerinti deriváltja a vertexoperátor nulla impulzusátadáshoz
tartozóértékével egyezik.[392] A
függvény deriváltjára a
azonosság igaz.
Hasonló módon a magasabb deriváltakat is megadhatjuk, ha a -ben magasabb rendű tagokig elmegyünk. Ezekre a képletekre azonban nem
lesz szükségünk.
Vizsgáljuk most a polarizáció vektorának derivált függvényét. A
függvénytől eltérően ez a mennyiség mértékinvariáns, és így a (105,4) fiktív külső tér bevezetésekor változatlan
marad. Ezért deriváltjának megadására a fenti módszer nem alkalmazható. Kiszámítására
mégis egy jól definiált diagram-összefüggést kaphatunk.
E célból tekintsük az első diagramot, amely -be járulékot ad – a másodrendű
diagramot. A folytonos vonalaknak az és
mennyiségeket feleltetjük meg. A
szerinti deriválás ezek közül a másodikat
-ra változtatja, ami a (105,9)
azonosság következtében ekvivalens egy nulla impulzusú fotonvonalnak az eléktronvonalra
való „ráültetésével”:
Látjuk, hogy az első nem eltűnő rendben a keresett mennyiség kifejezhető egy 3 fotonágú diagrammal. Azonnal hangsúlyozzuk, hogy ez a diagram nem egy fotonnak kettővé való felhasadását írja le. E folyamat amplitúdóját a (105,11) diagram és egy, a belső elektronvonál irányításában tőle különböző diagram írná le, ezeknek összege a Furry-tétel alapján nulla. A (105,11) diagram egymagában azonban nullától külöböző lehet.
Hasonlóan differenciálhatjuk a bonyolultabb diagramokat is minden -tól függő elektronvonalhoz egy
impulzusú fotonvonalat kapcsolva. Vannak azonban olyan diagramok is,
amelyekben a belső fotonvonalak is
-függők, például a
![]() |
egyenlőség bal oldalán álló diagramban. A zárójelbeli diagram deriváltját itt új grafikus jelölés bevezetésével fejezhetjük ki grafikusan – a fiktív háromfotonos csúcséval , amelyben három fotonvonal találkozik, és amelyhez a
mennyiségeket rendelhetjük. Ezek után tetszőleges diagramot
differenciálhatunk, a-tól függő vonalakhoz
-t vagy
-t rendelve, majd azt a szokásos szabályok szerint kiértékelve. Ezeket
a magasabb rendű korrekciókat összegezve, az adódik, hogy
ahol az összes, a fent mutatott módon kapott 3 fotonágú diagramösszegeként
adódó belső betétrészt jelöli.
A továbbiak szempontjából még a polarizációs operátor második deriváltjára is szükségünk lesz. Hasonló módon, még egyszer deriválva a (105,13) egyenletet, kapjuk, hogy
ahol a 4 fotonágú belső betétrészekösszegét képviseli:
[ez természetesen tartalmazza a fiktív 3 fotonágú csúcsok(105,12) járulékát is].
[392] Nulladik közelítésben, azaz szabad részecskék propagátorára ez az azonosság
nyilvánvaló: , így
.