ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

105.§. A Ward-azonosság

A mértékinvariancia következményeként még egy, a Dyson-egyenleteknél egyszerűbb összefüggéssel kapcsolható egybe a fotonpropagátor és a vertexoperátor.

Levezetéséhez végezzük el a (99,8) mértéktranszformációt, feltéve, hogy χ(x)≡δχ(x) infinitezimális, egyszerű (nem operátor) függvénye a téridőnek. Ekkor az elektronpropagátor a

11.88. egyenlet - (105,1)

δ 𝒢 (x, x^{'}) = i e 𝒢 (x - x^{'}) [δ χ (x) - δ χ (x^{'})]

mennyiséggel változik meg. Hangsúlyozzuk, hogy az ilyen típusú mértéktranszformáció sérti a téridő homogenitását, és a függvény már külön-külön függ azés az változóktól, nem csupán az x–x′ különbségtől. Más szavakkal, impulzusreprezentációban két impulzustól függ:

Ebbe (105,1)-et behelyettesítve és a d4xd4ξ vagy a d4ξd4x′ szerint integrálva ( ξ=x–x′ ), azt kapjuk, hogy

11.89. egyenlet - (105,2)

δ 𝒢 (p + q, p) = i e δ χ (q) [𝒢 (p) - 𝒢 (p + q)] .

Másrészt az Aμ(x) operátorhoz mértéktranszformációkor a

11.90. egyenlet - (105,3)

δ A_{μ}^{(e)} (x) = - \frac{\partial}{\partial x^{μ}} δ χ

függvényt adjuk hozzá, amely infinitezimális külső térként tekinthető. Impulzusreprezentációban

11.91. egyenlet - (105,4)

δ A_{μ}^{(e)} (q) = i q_{μ} δ χ (q) .

A propagátorkorrekcióúgy is számítható, mint a propagátor megváltozása e tér hatására. -ben első rendig nyilván egyetlen vázdiagrammal ábrázolható a változás:

Itt a vastag szaggatott vonal a külső tér effektív vonala, azaz ehhez [l. (100,15)] a

tényező tartozik. Ám a δAλ(e)(q) négyesvektor longitudinális (-hoz viszonyítva), a tenor viszont transzverzális. Így a második tag nulla; ami megmarad, az

11.92. egyenlet - (105,5)

egyenlőségként írható, ahol a vékony szaggatotthoz a szokásos módon a δA(e) teret rendeljük hozzá. Analitikusan:

11.93. egyenlet - (105,6)

δ 𝒢 = e 𝒢 (p + q) Γ^{μ} (p + q, p; q) 𝒢 (p) \cdot δ A_{μ}^{(e)} .

Ebbe (105,4)-et behelyettesítve és a kapott eredményt (105,2)-vel összehasonlítva, a

összefüggésre jutunk, illetve az inverz mátrixokra nézve

11.94. egyenlet - (105,7)

𝒢^{- 1} (p + q) - 𝒢^{- 1} (p) = q_{μ} Γ^{μ} (p + q, p; q)

(H. S. Green, 1953).

Ebben az egyenlőségben elvégezve a q→0 határátmenetet, és végtelen kicsiny esetén összehasonlítva a két oldalt, a

11.95. egyenlet - (105,8)

\frac{\partial}{\partial p_{μ}} 𝒢^{- 1} (p) = Γ^{μ} (p, p; 0)

egyenlőségre az ún. Ward-azonosságra jutunk (J. G. Ward, 1950). Látható, hogy –1(p) impulzus szerinti deriváltja a vertexoperátor nulla impulzusátadáshoz tartozóértékével egyezik.^[392] A (p) függvény deriváltjára a

11.96. egyenlet - (105,9)

- \frac{\partial}{\partial p_{μ}} i 𝒢 (p) = i 𝒢 (p) [- i Γ^{μ} (p, p; 0)] i 𝒢 (p)

azonosság igaz.

Hasonló módon a magasabb deriváltakat is megadhatjuk, ha a -ben magasabb rendű tagokig elmegyünk. Ezekre a képletekre azonban nem lesz szükségünk.

Vizsgáljuk most a polarizáció vektorának ∂(k)∕∂kμ derivált függvényét. A (p) függvénytől eltérően ez a mennyiség mértékinvariáns, és így a (105,4) fiktív külső tér bevezetésekor változatlan marad. Ezért deriváltjának megadására a fenti módszer nem alkalmazható. Kiszámítására mégis egy jól definiált diagram-összefüggést kaphatunk.

E célból tekintsük az első diagramot, amely -be járulékot ad – a másodrendű

11.97. egyenlet - (105,10)

diagramot. A folytonos vonalaknak az iG(p) és iG(p+k) mennyiségeket feleltetjük meg. A szerinti deriválás ezek közül a másodikat i∂G(p+k)∕∂k -ra változtatja, ami a (105,9) azonosság következtében ekvivalens egy nulla impulzusú fotonvonalnak az eléktronvonalra való „ráültetésével”:

11.98. egyenlet - (105,11)

Látjuk, hogy az első nem eltűnő rendben a keresett mennyiség kifejezhető egy 3 fotonágú diagrammal. Azonnal hangsúlyozzuk, hogy ez a diagram nem egy fotonnak kettővé való felhasadását írja le. E folyamat amplitúdóját a (105,11) diagram és egy, a belső elektronvonál irányításában tőle különböző diagram írná le, ezeknek összege a Furry-tétel alapján nulla. A (105,11) diagram egymagában azonban nullától külöböző lehet.

Hasonlóan differenciálhatjuk a bonyolultabb diagramokat is minden -tól függő elektronvonalhoz egy k′=0 impulzusú fotonvonalat kapcsolva. Vannak azonban olyan diagramok is, amelyekben a belső fotonvonalak is -függők, például a

egyenlőség bal oldalán álló diagramban. A zárójelbeli diagram deriváltját itt új grafikus jelölés bevezetésével fejezhetjük ki grafikusan – a fiktív háromfotonos csúcséval , amelyben három fotonvonal találkozik, és amelyhez a

11.99. egyenlet - (105,12)

4 π i \frac{\partial D^{- 1}}{\partial k^{μ}} = 2 i k_{μ} \equiv v_{μ}

mennyiségeket rendelhetjük. Ezek után tetszőleges diagramot differenciálhatunk, a-tól függő vonalakhoz -t vagy -t rendelve, majd azt a szokásos szabályok szerint kiértékelve. Ezeket a magasabb rendű korrekciókat összegezve, az adódik, hogy

11.100. egyenlet - (105,13)

- \frac{1}{4 π} \frac{\partial 𝒫_{μ ν}}{\partial k^{λ}} = 𝒱_{μ λ ν},

ahol ieμλν az összes, a fent mutatott módon kapott 3 fotonágú diagramösszegeként adódó belső betétrészt jelöli.

A továbbiak szempontjából még a polarizációs operátor második deriváltjára is szükségünk lesz. Hasonló módon, még egyszer deriválva a (105,13) egyenletet, kapjuk, hogy

11.101. egyenlet - (105,14)