Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az e fejezetben eddig kifejtett elmélet jelentős mértékben formális jellegű. Minden
mennyiséggel mint végessel operáltunk, és nem fordítottunk figyelmet az elméletben
előforduló divergenciákra. Többek között a függvények perturbatív kiszámítása során divergens integrálokkal
találkozunk, amelyekhez, külön kiegészítő megfontolások nélkül, nem tudunk határozott
értéket hozzárendelni. E divergenciák megjelenése a jelen kvantumelektrodinamika logikai
lezáratlanságát (inkonzisztenciáját) jelzi. Látni fogjuk, hogy ennek az elméletnek a
keretei között lehetséges határozott, a „végtelenek levonását” egyértelművé tevő
előírások kidolgozása, amelyek végül is minden közvetlen fizikai jelentésű mennyiséghez
véges értéket rendelnek. Ezek az előírások azon a nyilvánvaló fizikai követelményen
alapulnak, hogy a foton tömege nulla, az elektron töltése és tömege pedig a megfigyelt
mennyiségek legyenek.
Kezdjük a foton propagátorára kiszabott feltételek megvilágításával.
Olyan szórásfolyamatot vizsgálunk, amely egyetlen részecskét, egy virtuális fotont
tartalmazó közbenső állapotok révén mehet végbe. Az amplitúdónak pólusa van ott, ahol a
bejövő részecskék teljes négyesimpulzusának négyzete a valódi foton tömegének négyzetével
egyezik:
; mint a 80. §-ban láttuk, ez a
követelmény az unitaritás következménye. Az amplitúdó pólustagját a (80,1) típusú
diagram adja:
a sugárzási korrekciók figyelembevételére a diagram két részét vastag
szaggatott vonallal kell összekötnünk (a pontos fotonpropagátort kell alkalmaznunk).
Tehát a függvénynek
-ban pólusa kell legyen, azaz alakjára a
követelmény érvényes, ahol konstans. A
polarizációs operátorra a (100,20)
egyenlet szerint a
feltétel adódik. Ekkor a (107,2)-beli
együttható az
egyenlettel határozható meg.
A függvényre további megkötéseket kaphatunk, ha elemezzük a részecske
elektromos töltésének fizikai definícióját. Eszerint két klasszikus (azaz elég nehéz)
részecske, egymástól nagy távolságra[396] nyugalomban a Coulomb-törvény szerint hat kölcsön:
. Másrészt e kölcsönhatást a
diagram is leírja, ahol az alsó és felső részecskék klasszikus részecskéket
jelentenek. A foton sajátenergiás korrekcióit a virtuális foton vonalán vettük figyelembe. Minden további korrekció, amely a nehéz
részecskék vonalait módosítja, a diagramot nullává teszi. Ugyanis a (107,4) diagramhoz további belső vonalakat adva (pl. az
és
vagy
és
vonalakat fotonvonallal összekötve) további nehéz virtuális részecskék
jelennek meg a diagramon, amelyekhez a megfelelő propagátorokat kell hozzárendelnünk. A
tömeget a nevezőben tartalmazó propagátor az
határátmenetben azonban eltűnik.
A (107,4) diagram alakjából világos (l. 83. §), hogy a benne fellépő tényezőnek a kölcsönható részecskék közötti potenciál
Fourier-transzformáltját kell adnia (egy előjel erejéig). A kölcsönhatás statikus
jellege azt jelenti, hogy a virtuális fotonok frekvenciája
, a nagy távolságok viszont kis
hullámszámvektoroknak felelnek meg. A Coulomb-potenciál
Fourier-transzformáltja
. Végül, minthogy
csak
-től függ, a kapott feltétel a következő:[397]
azaz a (107,2)-beli együttható,
. Eszerint a polarizációs operátorra,
-re vonatkozó megkötés:
A már ismert (107,3)összefüggés mellett
így a
összefüggés is teljesül.
A 100. §-ban megjegyeztük, hogy a valódi külső foton effektív vonalának a (100,15) tényezőt feleltetjük meg, amely (100,16) és (100,19) figyelembevételével
alakban írható. Ugyanakkor (107,5), (107,6) alapján most látjuk, hogy a korrekciót adó tag nulla. Más szavakkal, arra a fontos eredményre jutottunk, hogy a külső fotonvonalak sugárzási korrekcióját egyáltalán nem kell figyelembe venni.
Tehát természetes fizikai követelmények meghatározzák a és
mennyiségek értékét (mindkettő zérus). Ugyanakkor, ha ezeket
amennyiségeket perturbatív úton kívánnánk meghatározni, divergens integrálokra jutnánk.
Úgy tűnik, e végtelen mennyiségek eltávolításának az az útja, hogy azokhoz előre,
fizikai követelmények alapján meghatározott értékeket rendelünk. Ezt az eljárást hívják
a szóban forgó mennyiségek renormálásának
.[398]
Az eljárás az eddigiektől kissé eltérő formában is megfogalmazható. A töltés
renormálásakor bevezetik a „csupasz” töltés fogalmát,
amely az elektromágneses kölcsönhatás kiindulási Hamilton-függvényében fordul elő
. Ezután a renormálási feltétel
(ha
) alakban fogalmazható meg, ahol
a részecske valódi fizikai töltése. Ebből
, és ennek révén a nemfizikai
, mennyiség eltűnik azokból a kifejezésekből, amelyek megfigyelhető
folyamatokat írnak le. Ha rögtön a
követelménnyel élünk, akkor mintegy „menet közben” renormálunk, és a
közbenső lépésekben is megszabadulunk a nemfizikai mennyiségek bevezetésének
szükségességétől.
Térjünk rá az elektronpropagátor renormálásának megvilágítására. E célból tekintsünk
egyetlen virtuális elektron mint közbenső állapot révén végbemenő szórásfolyamatot. E
folyamat amplitúdójának pólusa van, mikor a bejövő részek teljes négyesimpulzusának
négyzete a valódi elektron tömegnégyzetével egyezik meg: . Az amplitúdó pólustagját a
alakú diagram írja le, ahol a vastag vonal a
pontos elektronpropagátor. Eszerint a függvénynek
helyen pólusa van, azaz a
határátmenetben az alakja:
ahol skalár,
pedig
esetén regulárisan viselkedő rész. A (107,9)-beli pólustag mártixszerkezete (a
-mel való arányosság) ugyanúgy az unitaritás következménye, mint
magának a pólusnak a léte. Ezt a külső elektronvonalak renormálásával kapcsolatos
meggondolásokkal egyidejűleg bizonyítjuk be.
Ha (107,9) alakú, akkor az inverz mátrixra
áll fenn. A tömegoperátor alakja tehát a
következő:
Az effektív (pl. bejövő) elektronvonalnak [vö. (100,15)] az
szorzótényező felel meg, ahol az elektronnak a
Dirac-egyenletet kielégítő hullámfüggvénye.
a relativisztikus invariancia követelményeértelmében (
csakúgy, mint
bispinor) csak egy állandó skalár szorzótényezőben térhet el
-tól:
Ez a szorzó határozott kapcsolatban van a
tényezővel, de ezt (107,10)-nek
és(107,11)-nek (107,12)-be való egyszerű behelyettesítésével lehetetlen megadni a fellépő
határozatlan mennyiségek miatt: a végeredmény függ attól, hogy milyen sorrendben
végezzük el (107,12) egyes tényezőire a szóban forgó
határátmenetet.
Megkerülhetjük azonban a helyes sorrend megadásának kérdését, ha ehelyett a (107,8) diagramon megadott rekacióra felírjuk az
unitaritási feltételt . Az unitaritást általában
nem különálló diagramokra, hanem teljes amplitúdókra szoktuk alkalmazni. De
esetén a (107,8) pólustag adja a
lényeges járulékot az
amplitúdóhoz, így az egyéb, ugyanezt a reakciót leíró diagramoktól
eltekinthetünk.
Az unitaritási feltétel értelmében, mint ezt a 80. §-ban megmutattuk, az amplitúdó imaginárius részében megjelenik egy
-függvénnyel arányos tag az egyrészecskés közbenső állapotok
hatásaként:
ahol ez esetben az index csak az egy valódi elektront tartalmazóállapotokat jelöli, az
összegezés pedig ennek polarizációjára vonatkozik (a szükségtelen bonyodalmak elkerülése
érdekében, csakúgy mint a 80. §-ban, feltételezzük,
hogy az unitaritási feltételt a kezdetiés a
végső részek helicitásában
szimmetrizáltuk , és ekkor
). Az
amplitúdó a
![]() |
diagrammal szemléltetett folyamatot írja le, és így alakja
ahol egy szabad bispinor indexű szorzótényező.[399] Hasonló az
amplitúdó szerkezete:
Az elektron polarizációjára való összegezés az kifejezésből
-re vezet, így a (107,14) tag
járuléka az
amplitúdóhoz a
alakot ölti. Az imaginárius rész e tagja révén megkapjuk az amplitúdó pólustagját; és (80,5) szerint az adódik, hogy
Másrészt ugyanezt az amplitúdót közvetlenül is kiszámítva a (107,8) diagramból, adódik, hogy
A két egyenlőség összehasonlítása alátámasztja a -nek
körüli viselkedését [(107,9) első
tagját] és azt kapjuk, hogy[400]
Ezek után megmutatjuk, hogy az elektronpropagátor kívánt alakjának megadásával a vertexoperátorra már nem adódik újabb megszorítás.
diagramot, amely az elektron külső téren való szóródását írja le (első rendben a tér szerint sorba
fejtve) az összes sugárzási korrekció figyelembevételével. A
határátmenetben
, a külső tér sajátenergiás korrekciói eltűnnek (emlékezzünk, hogy azok
esetén is eltűnnek már). Ekkor a diagramhoz tartozó amplitúdó,
az potenciálnak és az elektron
átmeneti áramának szorzata. De
esetén az
potenciál egy tértől és időtől független állandóhoz tart. Ehhez a
potenciálhoz fizikai tér azonban nem tartozik (a mértékinvariancia speciális esete), így
az elektromos áram semmiféle változását nem idézheti elő. Más szavakkal, a vizsgált
határesetben az
átmeneti áramnak a szabad
árammal kell megegyeznie:
Ez a követelmény lényegében megadja az elektron fizikai töltésének
definícióját is. Ugyanis -t (107,10)-ből a (105,8) Ward-azonosságba
helyettesítve,
adódik, és a (107,18) egyenletet
és
figyelembevételével ez kielégíti.
Látható, hogy a fizikai folyamat amplitúdójának megadásakor a „renormálási állandó ” kiesik.
Kihasználva a
kiszámításakor fellépő divergenciák miatti határozatlanságot,
megkövetelhetjük
teljesülését, azaz választható.
E definíció hasznát a külső elektronvonalak korrigálásának feleslegessé válása adja:
Erről közvetlenül is meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy
választásakor a (107,11)
tömegoperátor kifejezése az
alakba megy át, és ekkor (107,12)
második tagja nulla. Így a valódi részek külső vonalainak renormálásától eltekinthetünk
– legyen az foton vagy elektron.[401]
[396] Az távolságokat tekintjük, ahol
az elektron tömege.
[397] Az előjel nyilvánvaló: -nek a szabad fotonok
propagátorához kell tartania.
[398] A fenti megközelítés ötletét H. Kramers vetette fel 1947-ben. A renormálási módszer következetes megvalósítása a kvantumelektrodinamikában F. Dyson , S. Tomonaga , R. P. Feynman és J. Schwinger nevéhez fűződik.
[399] Itt pontosabb fogalmazás szükséges. Az elektron mint stabil rész valójában nem alakulhat át valódi részecskék más halmazába. Formálisan azonban ez utóbbiakként olyan fiktív részecskéket tekinthetünk, amelyeknek a tömege ezt az átalakulást lehetővé tenné. A kapott kifejezést analitikusan kell folytatni a valódi tömegekhez.
[400] A (107,15) egyenlőség közvetlen levezetése a (107,12) definícióból bonyolult számolást igényel; F. Dyson , Phys. Rev. 83, 608 (1951).
[401] A fotonpropagátor renormálásakor a választás mint szükséges fizikai követelmény jelentkezett, és
ebből a külső fotonvonalak korrekciójának eltűnése automatikusan következik.
Formálisan azonban az elektron- és fotonvonalak viselkedése megegyezik: ha
lenne, a valós foton
hullámamplitúdója a korrekciók figyelembevételével
-vel szorzódna.