Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A fotonpropagátor analitikus tulajdonságainak tanulmányozását legkényelmesebb a
függvény tulajdonságaival kezdeni. A helyzet ugyanis az, hogy a (100,1) definíció felhasználása erre a célra az
operátorok mértéktranszformációs többértékűsége és tulajdonságainak
ebből következő határozatlansága miatt nehézkes.
A foton sajátenergiás függvényének az áramoperátor mértékinvariáns mátrixelemeivel
való felírása alapján a 101. §-ban levezettük a
függvény (101,11)
integrál-előállítását. A
változót
-vel[402] jelölve, vizsgáljuk
tulajdonságait a komplex
síkon.
integrálalakból látszik, hogy a negatív valós féltengelyen a függvény valós, a félsík további részén pedig kielégíti a
szimmetriarelációt.
A függvény szinguláris pontjai csak a
függvényből származhatnak. Ezek a valódi részek virtuális
fotonkeltésének küszöbenergiáihoz tartozó
értékeknél helyezkednek el. Az energiaértékek elérésekor a (101,9) összegbe új típusú közbenső állapotok „lépnek
be”. Ezeknek az állapotoknak a járuléka a küszöb alatt nulla, felette pedig nullától
különböző, azaz szingularitásra vezet a küszöbérték pontjában. Ezek a küszöbértékek
természetesen valósak, nemnegatívok.[403] Így a
függvény szinguláris pontjai a pozitív féltengelyen helyezkednek el.
Ha a síkot e féltengely mentén felvágjuk,
az így kapott felvágott síkban mindenütt analitikus.
A (108,1) nevezőjében a tag arra utal, hogy a
-beli pólust alulról kell kerülnünk. Ez a kijelentés
-hez, valós
-kre, a
-vel a vágás felső széléhez tartva adódó értéket rendeli hozzá. A (76,18) szabály szerint:
A vágáshoz alulról tartva, előjelet vált,
pedig mindkét ponton azonos.Így a
függvény ugrása a vágáson
Ebből a szempontból a (108,1) integrálelőállítás
egyszerűen a analitikus függvényre vonatkozó Cauchy-előállításként tekinthető. Ugyanis a Cauchy-formulát alkalmazva,
ahol a vágást kikerülő, (108,7)
görbe:
A végtelenben elég gyors lecsökkenését feltételezve, a nagy körön az integrál értéke
nulla, a vágás mentén vett integrálok pedig a következő összefüggést adják
(diszperziós előállítás ) a
függvényre:
Ezt (108,4) segítségével a (108,1) alakra hozhatjuk.[404]
A és
függvények analitikus tulajdonságai
-ével egyezők, minthogy ez utóbbival az egyszerű (101,2) és (100,20)
képletek révén kifejezhetők.
-re
írható. Ezt a valós pozitív () féltengelyen a
előírás szerintértelmezzük.
képzetes részét ezután (108,3)és
(108,4) segítségével számolhatjuk, ahol (107,6) figyelembevételével kihasználjuk, hogy
, ha
. Ekkor
adódik. A függvényre a (108,8) típusú
diszperziós összefüggést felírva, a következő integrál-előállítást kapjuk:
Ezt Källen–Lehmann előállításnak hívjuk (G. Källen 1952, H. Lehmann , 1954).
A függvény vágásának elhelyezkedése (és a vágáson vett ugrása, képzetes
része) és az
folyamat amplitúdójára alkalmazott, a (107,4) diagrammal kifejezett unitaritási feltétel között mély kapcsolat van (ez a reakció tisztán fiktív;
azonban nem mond ellent a megmaradási törvényeknek, így az unitaritás formálisan erre is
érvényes kell legyen).
E folyamat kezdeti állapotában (i) két „klasszikus”,
és
részecskét találunk, a végállapotban
-t és
-t. A (72,2) unitaritási feltétel:
ahol az összegezést az összes fizikai közbensőállapotra vesszük.[405] Ez esetben a fenti kijelentés nyilván fotonok és valódi párok halmazát
takarja, amelyeket virtuális fotonnal kelthetünk, azaz éppen azokat az állapotokat,
amelyek a(101,9)-beli
függvényben előfordulhatnak. Tehát az
és
amplitúdók rendre a
és
tényezőket, különbségük pedig az
-et tartalmazza. Így látjuk, hogy a [(108,4)-ből már ismert] kapcsolat
képzetes részének megjelenése és a közbensőállapotok fellépte között
az unitaritás szükségszerű következménye.
A továbbiakban belátjuk, hogy tényleges perturbatív kiszámítását
képzetes részének [vagy ami ugyanaz, a
függvénynek] a számításával érdemes kezdeni, amely nem tartalmaz
divergens kifejezéseket. Ha ezután
-t (108,8) jellegű diszperziós
kifejezéssel számoljuk, az integrál divergál, és érdemes a
és
feltételek teljesítésére további levonásokat végeznünk. Ezeket a
divergens integrállal való közvetlen számítás nélkül is elvégezhetjük. Elegendő a (108,8) diszperziós előállítást nem egyszerűen a
, hanem rögtön a
kifejezésre alkalmazni. Ekkor
a
alakban adható meg. Ez konvergens integrál, és az adódó függvény
automatikusan eleget tesz az összes kiszabott feltételnek.[406]