Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A renormálásnak az előző szakaszban megadott fizikai feltételei elvileg lehetőséget adnak az összes elektrodinamikai folyamat amplitúdójának végessé tételére a perturbációszámítás minden rendjében.
Elsőként nézzük meg közelebbről a Feynman-diagramok alapján felírt integrálokban fellépő divergenciák jellegét. Erre fontos utalást ad az integrandusokban előforduló virtuális impulzusok hatványkitevőinek összeszámolása.
Tekintsünk egy -edrendű diagramot (mely
számú csúcsot tartalmaz), amelynek
külső elektron- és
, külső fotonvonala van.
páros, és az ábra elektronvonalai
számú, egymást folytonosan követő elektronvonal sorozatába
rendezhetők, amelyek mindegyike külső elektronvonallal kezdődik, és azzal is végződik. A
belső elektronvonalak száma minden ilyen sorozatban eggyel kevesebb a vonalon levő
csúcsok számánál, így a belső elektronvonalak száma
Minden csúcspontba egy fotonvonal torkollik; számú olyan csúcs van, amelyhez külső, a maradék
számúhoz pedig belső fotonvonal tartozik. Minthogy minden belső
fotonvonal két csúcsot köt össze, így ezek száma
Minden fotonvonalhoz a függvényt rendeljük hozzá, amely
-t a
-edik hatványon tartalmazza. Az elektronvonalakat az analitikus
kifejezésekben reprezentáló
függvény
-t (ha
) a
-edik hatványon tartalmazza. Tehát végeredményben a négyesimpulzusok
kitevője az integrandus nevezőjében
Az integrálások száma ( vagy
szerint) megegyezik a belső vonalak számával, ha levonjuk belőle a
virtuális impulzusokra vonatkozó megmaradási tételekből következő
számú megkötést (az
-edik a teljes diagramra vonatkozó impulzus-megmaradást adja, csak a
külső impulzusokat tartalmazza). Ha ezt
-gyel szorozzuk, akkor a komponensenkénti integrálások száma:
Végül az integrálások számának és a nevezőben levő négyesimpulzusok kitevőjének különbsége:
Megjegyezzük, hogy független a diagram rendjétől.
Az feltétel teljesülése általában önmagában nem elegendő az integrál
konvergenciájának biztosításához. Az szükséges, hogy hasonló
számok jellemezzék a belső blokkokat is. Az
karakterisztikájú blokkok jelenléte divergenciára vezetne, függetlenül
a többi integrál esetleges „szuperkonvergenciájától ”.
Az
feltétel viszont elegendő a legegyszerűbb, az
összefüggéssel és egyetlen
szerinti integrállal jellemezhető diagramokra.
Ha , az integrál mindenképpen divergál. A divergencia foka
-nél nem kisebb, ha
páros, és legalább
, ha
páratlan (az utóbbi esetben a divergencia fokának eggyel való
csökkenése a páratlan számú négyesvektor szorzata teljes térfogatra vett integráljának
eltűnéséhez kapcsolódik). Ugyanakkor az
belső blokkok jelenléte növelheti a divergencia fokát.
Vegyük észre, hogy mivel és
egész számok, a (109,1) egyenletből
láthatóan csak egészen kevés olyan értéket vehetnek fel, amely
-t ad. Felsoroljuk a legegyszerűbb ilyen típusú diagramokat, de rögtön
eltekintünk az
(vákuumpolarizáció) és az
,
(áram vákuumbeli várható értéke ) esetektől, minthogy ezeknek nincs fizikai
tartalmuk és a 100. § alapján ezeket egyszerűen el
kell hagynunk. A megmaradtak a következők:
Az első ábra esetén kvadratikus, az összes többiben ( vagy
) logaritmikus a divergencia.
A (109,2)d) diagram a vertexoperátorhoz adódó első korrekció. Ennek ki kell elégítenie a (107,19) feltételt, amelyet ez alkalommal
Jelöljük a diagramnak megfelelő integrált -val. Ez logaritmikusan divergál, és magától értetődően nem tesz eleget
(109,3)-nak. Természetesen képezhetünk olyan
mennyiséget, amely kielégíti azt:
A integrál vezető divergenciáját akkor kapjuk, ha az integrandusban a
virtuális foton
impulzusát tetszőlegesen nagynak választjuk. Ez
alakú,[407] és független a külső vonalak négyesimpulzusától. Ezért a (109,5) különbségből a divergencia kiesik, és véges mennyiségre jutunk. A divergenciák eltávolításának e levonás útján végzett műveletét nevezzük regularizációnak .
Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy egy levonással való regularizálhatóságát az biztosítja, hogy ez
esetben a divergencia csak logaritmikus, azaz a lehető legkevésbé erős. Ha különböző
rendű szingularitások fordulnának elő az integrálban, akkor
esetén egy levonás elégtelennek bizonyulna az összes divergenciák
eltávolítására.
első korrekciójának (azaz
sorfejtése első tagjának) meghatározása után az elektronpropagátor
elsőrendű módosítását [a (109,2)a) diagramot] a (105,8)
Ward-azonosság segítségével számíthatjuk, miután azt
erre a célra
alakban írtuk ( helyett az
tömegoperátort,
helyett
-t bevezetve). Ezt az egyenletet az
határfeltétel mellett integráljuk, amely (107,20) következménye.
Végül a polarizációs operátor sorfejtése első tagjának kiszámítására a (105,14) azonosságot használjuk, amely bizonyos indexpárok összeejtése után a
alakra hozható, ahol a skalár és az
függvényekre kaptunk differenciálegyenletet. Mindkét függvény csak a
skalár változótól függ, ezért ezt az alakot a
egyenletté egyszerűsíthetjük, ahol a vesszők szerinti differenciálást jelentenek. A
feltétel értelmében az egyenletből világosan kitűnik az
követelmény.
-et a perturbációszámítás első rendjében a (109,2)e) diagramból kell számítani (a külső ágakon a
négyesimpulzusokkal). A megfelelő Feynman-integrál , amelyet
-tel jelölünk, logaritmikusan divergál, és a (109,9) feltételt kielégítő egy levonással
regularizálható:
Ezek után a (109,8) egyenletnek a
kezdőfeltételek melletti megoldásával adható meg.
A perturbációszámítás következő rendjében a vertexoperátor korrekcióját a (103,10)c–i) diagramok adják. Közülük az irreducibilis (103,10)d–f) diagramok (109,5)-tel
azonosan egy levonással regularizálhatók csakúgy, mint a
elsőrendű korrekció számításakor. A reducibilis diagramok alacsonyabb rendű, belső sajátenergiás betéteit és
csúcsrészeit azonnal helyettesíthetjük a már regularizált elsőrendű módosításokkal
(
), majd az így adódó integrálokat újra (109,5) szerint regularizáljuk.[408] A
és
korrekciók ezek után (109,6) és
(109,8) segítségével számíthatók.
A leírt következetes eljárás elvi lehetőséget kínál és
teljes kifejezésének kiszámítására a perturbációszámítás tetszőleges
rendjéig. Ezzel együtt ugyanez érvényes lesz a fizikai szórásfolyamatok amplitúdóira is,
amelyeket
és
betétrészeket tartalmazó diagramok írnak le.
Látjuk, hogy ily módon a 108. §-ban megállapított fizikai feltételek elegendőek az elmélet összes lehetcéges Feynman-diagramjának egyértelmű regularizációjára. Ez a körülmény távolról sem triviális tulajdonsága a kvantumelektrodinamikának. Neve renormálhatóság.[409]
A sugárzási korrekciók tényleges kiszámítására a fent leírt eljárás gyakran nem a legegyszerűbb és legésszerűbb út. A következő fejezetben többek között látni fogjuk, hogy a célszerű eljárás kezdete a megfelelő mennyiség képzetes részének kiszámítása lehet, ezeket pedig konvergens integrálok adják. Ezután a teljes mennyiséget diszperziós összefüggések segítségével adhatjuk meg. Ennek révén a levonásokkal végzett közvetlen regularizáció nehézkes, áttekinthetetlen számításai elkerülhetők.
[408] A még magasabb rendű diagramok esetén előfordulhat, hogy az négyágú blokkokat is már eleve regularizált értékeikkel kell
helyettesítenünk.
[409] A renormálás matematikailag szigorú megalapozását N. N. Bogoljubov és D. V. Sirkov : Bevezetés a kvantált terek elméletébe (Gosztehizdat, 1957, oroszul) című munkában találhatja meg az olvasó.