A renormálásnak az előző szakaszban megadott fizikai feltételei elvileg lehetőséget adnak az összes elektrodinamikai folyamat amplitúdójának végessé tételére a perturbációszámítás minden rendjében.

Elsőként nézzük meg közelebbről a Feynman-diagramok alapján felírt integrálokban fellépő divergenciák jellegét. Erre fontos utalást ad az integrandusokban előforduló virtuális impulzusok hatványkitevőinek összeszámolása.

Tekintsünk egy -edrendű diagramot (mely számú csúcsot tartalmaz), amelynek külső elektron- és , külső fotonvonala van. páros, és az ábra elektronvonalai számú, egymást folytonosan követő elektronvonal sorozatába rendezhetők, amelyek mindegyike külső elektronvonallal kezdődik, és azzal is végződik. A belső elektronvonalak száma minden ilyen sorozatban eggyel kevesebb a vonalon levő csúcsok számánál, így a belső elektronvonalak száma

Minden csúcspontba egy fotonvonal torkollik; számú olyan csúcs van, amelyhez külső, a maradék számúhoz pedig belső fotonvonal tartozik. Minthogy minden belső fotonvonal két csúcsot köt össze, így ezek száma

Minden fotonvonalhoz a függvényt rendeljük hozzá, amely -t a -edik hatványon tartalmazza. Az elektronvonalakat az analitikus kifejezésekben reprezentáló függvény -t (ha ) a -edik hatványon tartalmazza. Tehát végeredményben a négyesimpulzusok kitevője az integrandus nevezőjében

Az integrálások száma ( vagy szerint) megegyezik a belső vonalak számával, ha levonjuk belőle a virtuális impulzusokra vonatkozó megmaradási tételekből következő számú megkötést (az -edik a teljes diagramra vonatkozó impulzus-megmaradást adja, csak a külső impulzusokat tartalmazza). Ha ezt -gyel szorozzuk, akkor a komponensenkénti integrálások száma:

Végül az integrálások számának és a nevezőben levő négyesimpulzusok kitevőjének különbsége:

Megjegyezzük, hogy független a diagram rendjétől.

Az feltétel teljesülése általában önmagában nem elegendő az integrál konvergenciájának biztosításához. Az szükséges, hogy hasonló számok jellemezzék a belső blokkokat is. Az karakterisztikájú blokkok jelenléte divergenciára vezetne, függetlenül a többi integrál esetleges „szuperkonvergenciájától ”. Az feltétel viszont elegendő a legegyszerűbb, az összefüggéssel és egyetlen szerinti integrállal jellemezhető diagramokra.

Ha , az integrál mindenképpen divergál. A divergencia foka -nél nem kisebb, ha páros, és legalább , ha páratlan (az utóbbi esetben a divergencia fokának eggyel való csökkenése a páratlan számú négyesvektor szorzata teljes térfogatra vett integráljának eltűnéséhez kapcsolódik). Ugyanakkor az belső blokkok jelenléte növelheti a divergencia fokát.

Vegyük észre, hogy mivel és egész számok, a (109,1) egyenletből láthatóan csak egészen kevés olyan értéket vehetnek fel, amely -t ad. Felsoroljuk a legegyszerűbb ilyen típusú diagramokat, de rögtön eltekintünk az (vákuumpolarizáció) és az , (áram vákuumbeli várható értéke ) esetektől, minthogy ezeknek nincs fizikai tartalmuk és a 100. § alapján ezeket egyszerűen el kell hagynunk. A megmaradtak a következők:

Az első ábra esetén kvadratikus, az összes többiben ( vagy ) logaritmikus a divergencia.

A (109,2)d) diagram a vertexoperátorhoz adódó első korrekció. Ennek ki kell elégítenie a (107,19) feltételt, amelyet ez alkalommal

alakban írunk, ahol

Jelöljük a diagramnak megfelelő integrált -val. Ez logaritmikusan divergál, és magától értetődően nem tesz eleget (109,3)-nak. Természetesen képezhetünk olyan mennyiséget, amely kielégíti azt:

A integrál vezető divergenciáját akkor kapjuk, ha az integrandusban a virtuális foton impulzusát tetszőlegesen nagynak választjuk. Ez

alakú,^[407] és független a külső vonalak négyesimpulzusától. Ezért a (109,5) különbségből a divergencia kiesik, és véges mennyiségre jutunk. A divergenciák eltávolításának e levonás útján végzett műveletét nevezzük regularizációnak .

Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy egy levonással való regularizálhatóságát az biztosítja, hogy ez esetben a divergencia csak logaritmikus, azaz a lehető legkevésbé erős. Ha különböző rendű szingularitások fordulnának elő az integrálban, akkor esetén egy levonás elégtelennek bizonyulna az összes divergenciák eltávolítására.

első korrekciójának (azaz sorfejtése első tagjának) meghatározása után az elektronpropagátor elsőrendű módosítását [a (109,2)a) diagramot] a (105,8) Ward-azonosság segítségével számíthatjuk, miután azt erre a célra

alakban írtuk ( helyett az tömegoperátort, helyett -t bevezetve). Ezt az egyenletet az

határfeltétel mellett integráljuk, amely (107,20) következménye.

Végül a polarizációs operátor sorfejtése első tagjának kiszámítására a (105,14) azonosságot használjuk, amely bizonyos indexpárok összeejtése után a

alakra hozható, ahol a skalár és az függvényekre kaptunk differenciálegyenletet. Mindkét függvény csak a skalár változótól függ, ezért ezt az alakot a

egyenletté egyszerűsíthetjük, ahol a vesszők szerinti differenciálást jelentenek. A feltétel értelmében az egyenletből világosan kitűnik az

követelmény.

-et a perturbációszámítás első rendjében a (109,2)e) diagramból kell számítani (a külső ágakon a négyesimpulzusokkal). A megfelelő Feynman-integrál , amelyet -tel jelölünk, logaritmikusan divergál, és a (109,9) feltételt kielégítő egy levonással regularizálható:

Ezek után a (109,8) egyenletnek a kezdőfeltételek melletti megoldásával adható meg.

A perturbációszámítás következő rendjében a vertexoperátor korrekcióját a (103,10)c–i) diagramok adják. Közülük az irreducibilis (103,10)d–f) diagramok (109,5)-tel azonosan egy levonással regularizálhatók csakúgy, mint a elsőrendű korrekció számításakor. A reducibilis diagramok alacsonyabb rendű, belső sajátenergiás betéteit és csúcsrészeit azonnal helyettesíthetjük a már regularizált elsőrendű módosításokkal (), majd az így adódó integrálokat újra (109,5) szerint regularizáljuk.^[408] A és korrekciók ezek után (109,6) és (109,8) segítségével számíthatók.

A leírt következetes eljárás elvi lehetőséget kínál és teljes kifejezésének kiszámítására a perturbációszámítás tetszőleges rendjéig. Ezzel együtt ugyanez érvényes lesz a fizikai szórásfolyamatok amplitúdóira is, amelyeket és betétrészeket tartalmazó diagramok írnak le.

Látjuk, hogy ily módon a 108. §-ban megállapított fizikai feltételek elegendőek az elmélet összes lehetcéges Feynman-diagramjának egyértelmű regularizációjára. Ez a körülmény távolról sem triviális tulajdonsága a kvantumelektrodinamikának. Neve renormálhatóság.^[409]

A sugárzási korrekciók tényleges kiszámítására a fent leírt eljárás gyakran nem a legegyszerűbb és legésszerűbb út. A következő fejezetben többek között látni fogjuk, hogy a célszerű eljárás kezdete a megfelelő mennyiség képzetes részének kiszámítása lehet, ezeket pedig konvergens integrálok adják. Ezután a teljes mennyiséget diszperziós összefüggések segítségével adhatjuk meg. Ennek révén a levonásokkal végzett közvetlen regularizáció nehézkes, áttekinthetetlen számításai elkerülhetők.