ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

A sugárzási korrekciók tényleges kiszámítását a polarizációs operátorral kezdjük (J. Schwinger , 1949, R. P. Feynman , 1949). Ezt a perturbációszámítás első rendjében a hurkot tartalmazó

12.1. egyenlet - (110,1)

diagram adja meg.

Mint már megjegyeztük, a feladatot megkönnyíti, ha a számítást a keresett függvény imaginárius részének kiszámításával kezdjük. Ezt a legmegfelelőbb formában az unitaritási összefüggést felhasználva tehetjük meg. Ehhez a virtuális fotonvonalakat valamely képzelt „valódi” M2=k2 tömegű vektorrészecskéhez tartozóknak tekintjük, amely az elektronokkal a fotonnal azonos módon hat kölcsön. Így (110,1) valós folyamatot leíró diagrammá válik, amelyre az unitaritási követelmény alkalmazható.

Tehát (110,1)-et mint a vektor–bozon elektron–pozitron párrá való bomláson keresztül önmagába való átmenetét (az -mátrix diagonális elemét) leíró diagramot tekintjük. A keresztek azokat a pontokat jelölik, ahol a diagramot felvágva, a közbenső állapotként fellépő elektron-pozitron párt kapjuk. Az elektron négyesimpulzusa p–=p , a pozitroné p+=–(p–k) .

A (72,4) kétrészecskés unitaritási feltétel azonos kiinduló és végső rendszer esetén így írható:

12.2. egyenlet - (110,2)

2 ℑ M_{i i} = \frac{| p |}{{(4 π)}^{2} 𝜀} \sum_{p o l a r} \int | M_{n i} |^{2} d Ω .

Itt a (110,1) diagram alapján képzett Mii amplitúdó a következő:

12.3. egyenlet - (110,3)

i M_{i i} = \sqrt{4 π} e_{μ}^{*} \cdot \sqrt{4 π} e_{ν} \frac{i 𝒫^{μ ν}}{4 π},

ahol a bozon polarizációs négyesvektora, amely (14,13)-nak megfelelően kielégíti az

egyenletet.

Az Mni amplitúdót a bozon elektron-pozitron párrá történő elbomlásának diagramja adja:

A megfelelő analitikus kifejezés:

12.4. egyenlet - (110,4)

M_{n i} = - e \sqrt{4 π} e_{μ} j^{μ}, j^{μ} = ū (p_{-}) γ^{μ} u (- p_{+}) .

(110,3)-at és (110,4)-et (110,2)-be helyettesítve, az adódik, hogy

12.5. egyenlet - (110,5)

2 e_{μ}^{*} e_{ν} ℑ 𝒫^{μ ν} = \frac{e^{2}}{4 π} \frac{| p |}{𝜀} \sum_{p o l a r} \int j^{μ^{*}} j^{ν} e_{μ}^{*} e_{ν} d Ω .

Ebben az egyenletben p=p–=–p+ és ε=ε++ε–=2ε+ az impulzusok és azösszenergia a pár tömegközépponti rendszerében. Az integrálást minden lehetséges iránya, az összegezést mindkét részecske polarizációja szerint el kell végeznünk.

Átlagoljuk (110,5) mindkét oldalát a bozon polarizációjára. Ezt az

képlet segítségével végezhetjük el [l. alább (117,5)-öt]. Figyelembe véve a tenzor és a vektor transzverzális jellegét ( μνkν=0,jμkμ=0 ) és -t -vel jelölve, kapjuk a

12.6. egyenlet - (110,6)

2 ℑ 𝒫 = \frac{1}{12 π} \frac{| p |}{𝜀} \sum_{p o l a r} \int (j j^{*}) d Ω

egyenlőséget.

A polarizációs összegezést szokásos módon, a nyom képzésével végezhetjük el, míg a szerinti integrálás -vel való szorzásra redukálódik, így végeredményben a

2ℑ=e2(|p|/3ε)Spγμ(p̂–+m)γμ(p̂+–m)=–e2(8|p|/3ε)(p+p–+2m2)

adódik. Vezessük be a

12.7. egyenlet - (110,7)

t = k^{2} = {(p_{+} + p_{-})}^{2} = 2 (m^{2} + p_{+} p_{-})

változót. Ezzel

és az -re vonatkozó egyenlőség ebben a változóban az

12.8. egyenlet - (110,8)

ℑ 𝒫 (t) = - \frac{α}{3} \sqrt{\frac{t - 4 m^{2}}{t}} (t + 2 m^{2}), t \geq 4 m^{2}

alakot ölti. t=4m2 az elektron-pozitron pár virtuális fotonkeltésének küszöbenergiája (vö. a XI. fejezet 33. lábjegyzetével); a perturbációszámítás adott rendjében ( ∼e2 ) a (110,2) unitaritási feltételben az egyetlen lehetséges közbensőállapot éppen az elektron-pozitron pár. Így ebben a közelítésben t<4m2 esetén (110,2) jobb oldala nulla:

12.9. egyenlet - (110,9)

ℑ 𝒫 (t) = 0, t < 4 m^{2} .

Ennél az oknál fogva a vizsgált közelítésben a (t) függvény komplex síkbeli vágása csak t=4m2 -től indul a valós tengely mentén, így ez az érték a diszperziós integrál alsó határa [l. (108,13)]:

12.10. egyenlet - (110,10)

𝒫 (t) = - \frac{α}{3 π} t^{2} \int_{4 m^{2}}^{\infty} \frac{d t^{'}}{t^{'} - t - i 0} \sqrt{\frac{t^{'} - 4 m^{2}}{t^{'}}} \frac{t^{'} + 2 m^{2}}{t^{' 2}} .

18. ábra.

A továbbiakban célszerű helyett a

12.11. egyenlet - (110,11)

\frac{t}{m^{2}} = - \frac{{(1 - ξ)}^{2}}{ξ}

változót használni. Ez a leképezés a komplex felső félsíkot a komplex felső félsík egységnyi sugarú félkörébe viszi át, amint az a 18. ábrán is látható (azonos jellegű vonal jelzi a két tartomány határán az egymásnak megfelelő szakaszokat). A ( 0≤t∕m2≤4 ) nemfizikai tartománynak a leképezés során a ξ=eiφ,0≤φ≤π félkör, a fizikai tartományoknak ( t<0 és t∕m2>4 ) pedig a bal és jobb oldali valós sugarak felelnek meg.

A (110,10) integrált legegyszerűbben a

(t′/m2)=((1+ξ′)2/ξ′), (dt′/m2)=–((1–ξ′2) dξ′/ξ′2)

helyettesítéssel számíthatjuk ki, miközben egyelőre csak a t<0 esetet tekintjük (ekkor ugyanis az integrálási tartományban a nevező nem zérus, és az képzetes rész elhagyható). A változóval kifejezve az integrálás eredményét,

12.12. egyenlet - (110,12)

𝒫 (ξ) = \frac{α m^{2}}{3 π} \{- \frac{22}{3} + \frac{5}{3} (ξ + \frac{1}{ξ}) + (ξ + \frac{1}{ξ} - 4) \frac{1 + ξ}{1 - ξ} ln ξ\} .

Ezt az egyenlőséget analitikusan folytatva határozzuk meg (t) -t a t>4m2 tartományban: e célból (110,12)-ben ξ=|ξ|eiπ -t írunk (ekkor a logaritmust tartalmazó tag az imaginárius részbe ad járulékot: lnξ=ln|ξ|+iπ ).^[410] A nemfizikai tartományban ξ=eiφ -t kell helyettesítenünk:

12.13. egyenlet - (110,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒫 (t) = \frac{α m^{2}}{3 π} \{- \frac{5}{3} {sin}^{2} \frac{φ}{2} & - 4 + (2 + {sin}^{2} \frac{φ}{2}) φ ctg \frac{φ}{2} \}, \\ \frac{t}{4 m^{2}} & = {sin}^{2} \frac{φ}{2} . \end{aligned} & (110,13) \end{matrix}

A kis |t| értékek határesetében (azaz, ha ξ→1 ) ez a képlet a

12.14. egyenlet - (110,14)

𝒫 (t) = - \frac{α}{15 π} \frac{t^{2}}{m^{2}}, | t | ≪ 4 m^{2}

alakot veszi fel. Ha |t| nagy (azaz ξ→0 esetet vizsgáljuk),

12.15. egyenlet - (110,15)

\begin{matrix} \begin{aligned} 𝒫 (t) = - \frac{α}{3 π} | t | ln \frac{| t |}{m^{2}}, & ha - t ≫ 4 m^{2}, \\ 𝒫 (t) = \frac{α}{3 π} t (ln \frac{t}{m^{2}} - i π), & ha t ≫ 4 m^{2}, \end{aligned} & (110,15) \end{matrix}

adódik.

A perturbációszámítás alapgondolatának megfelelően a kapott formulák addig értelmesek csak, amíg ∕4π≪D–1=t∕4π . Így a (110,15) eredmények alkalmazhatósági tartományát az