Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Tartalom
A sugárzási korrekciók tényleges kiszámítását a polarizációs operátorral kezdjük (J. Schwinger , 1949, R. P. Feynman , 1949). Ezt a perturbációszámítás első rendjében a hurkot tartalmazó
diagram adja meg.
Mint már megjegyeztük, a feladatot megkönnyíti, ha a számítást a keresett függvény
imaginárius részének kiszámításával kezdjük. Ezt a legmegfelelőbb formában az
unitaritási összefüggést felhasználva tehetjük meg. Ehhez a virtuális fotonvonalakat
valamely képzelt „valódi” tömegű vektorrészecskéhez tartozóknak tekintjük, amely az
elektronokkal a fotonnal azonos módon hat kölcsön. Így (110,1) valós folyamatot leíró diagrammá válik, amelyre az unitaritási
követelmény alkalmazható.
Tehát (110,1)-et mint a vektor–bozon elektron–pozitron párrá
való bomláson keresztül önmagába való átmenetét (az -mátrix diagonális elemét) leíró diagramot tekintjük. A keresztek
azokat a pontokat jelölik, ahol a diagramot felvágva, a közbenső állapotként fellépő
elektron-pozitron párt kapjuk. Az elektron négyesimpulzusa
, a pozitroné
.
A (72,4) kétrészecskés unitaritási feltétel azonos kiinduló és végső rendszer esetén így írható:
Itt a (110,1) diagram alapján képzett
amplitúdó a következő:
ahol a bozon polarizációs négyesvektora, amely (14,13)-nak megfelelően kielégíti az
egyenletet.
Az amplitúdót a bozon elektron-pozitron párrá történő elbomlásának
diagramja adja:
![]() |
A megfelelő analitikus kifejezés:
(110,3)-at és (110,4)-et (110,2)-be helyettesítve, az adódik, hogy
Ebben az egyenletben és
az impulzusok és azösszenergia a pár tömegközépponti rendszerében. Az
integrálást
minden lehetséges iránya, az összegezést mindkét részecske
polarizációja szerint el kell végeznünk.
Átlagoljuk (110,5) mindkét oldalát a bozon polarizációjára. Ezt az
képlet segítségével végezhetjük el [l. alább (117,5)-öt]. Figyelembe véve a tenzor és a
vektor transzverzális jellegét (
) és
-t
-vel jelölve, kapjuk a
egyenlőséget.
A polarizációs összegezést szokásos módon, a
nyom képzésével végezhetjük el, míg a szerinti integrálás
-vel való szorzásra redukálódik, így végeredményben a
változót. Ezzel
és az -re vonatkozó egyenlőség ebben a változóban az
alakot ölti. az elektron-pozitron pár virtuális fotonkeltésének küszöbenergiája
(vö. a XI. fejezet33. lábjegyzetével); a perturbációszámítás adott rendjében
(
) a (110,2) unitaritási feltételben
az egyetlen lehetséges közbensőállapot éppen az elektron-pozitron pár. Így ebben a
közelítésben
esetén (110,2) jobb oldala
nulla:
Ennél az oknál fogva a vizsgált közelítésben a függvény komplex
síkbeli vágása csak
-től indul a valós tengely mentén, így ez az érték a diszperziós
integrál alsó határa [l. (108,13)]:
A továbbiakban célszerű helyett a
változót használni. Ez a leképezés a komplex felső félsíkot a komplex
felső félsík egységnyi sugarú félkörébe viszi át, amint az a 18. ábrán is látható (azonos jellegű vonal jelzi a
két tartomány határán az egymásnak megfelelő szakaszokat). A (
) nemfizikai tartománynak a leképezés során a
félkör, a fizikai tartományoknak (
és
) pedig a bal és jobb oldali valós sugarak felelnek meg.
A (110,10) integrált legegyszerűbben a
helyettesítéssel számíthatjuk ki, miközben egyelőre csak a
esetet tekintjük (ekkor ugyanis az integrálási tartományban a nevező
nem zérus, és az
képzetes rész elhagyható). A
változóval kifejezve az integrálás eredményét,
Ezt az egyenlőséget analitikusan folytatva határozzuk meg -t a
tartományban: e célból (110,12)-ben
-t írunk (ekkor a logaritmust tartalmazó tag az imaginárius részbe ad
járulékot:
).[410] A nemfizikai tartományban
-t kell helyettesítenünk:
A kis értékek határesetében (azaz, ha
) ez a képlet a
alakot veszi fel. Ha nagy (azaz
esetet vizsgáljuk),
adódik.
A perturbációszámítás alapgondolatának megfelelően a kapott formulák addig értelmesek
csak, amíg . Így a (110,15) eredmények
alkalmazhatósági tartományát az
egyenlőtlenség korlátozza.
[410] Ilyen módon, amint kell is, a vágás felső partjához folytatunk analitikusan,
minthogy a síkbeli félkör a felső
félsíknak felel meg.