Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A kapott eredményeket alkalmazzuk a Coulomb-törvény korrekcióinak meghatározására. Ezeket szemléletesen mint a vákuum pontszerű töltés körüli polarizációját írhatjuk le.
A rögzített töltés tere a korrekciók figyelembevétele nélkül a
skalár Coulomb-potenciállal adható meg. Ennek háromdimenziós
Fourier-transzformáltja :
Ha a sugárzási korrekciókat is tekintetbe vesszük, a teret egy „effektív”
térrel helyettesítjük [vö. (100,15)]. A
második tag adja a skalárpotenciál keresett korrekcióját. A perturbációszámítás első
közelítését -re alkalmazva, az előző szakasz eredményeit használjuk,
-re pedig a nulladik közelítést, azaz
Így a tér potenciáljához járuló sugárzási korrekció
Inverz Fourier-transzformációval kaphatjuk a módosítás koordinátatérbeli alakját:
Mivel csak
függvénye, így a szög szerinti integrálást elvégezve,
adódik (az utóbbi átalakításban kihasználtuk az integrandusnak mint
függvényének párosságát). Ezután az integrálási kontúrt a komplex
változó felső félsíkjába tolhatjuk el, és összeejthetjük a
függvény vágásával (19. ábra).
Ez a vágás a pontban kezdődik, és a pozitív képzetes tengely mentén halad (a
fizikai levélnek a vágás bal partja felel meg).
helyett az
új változót bevezetve,
Végül a integrálra visszatérve, adódik a
végeredmény. Az
képzetes részt (110,8)-ból vehetjük, majd nyilvánvaló változócserék után
adódik (E. Uehling, R. Serber, 1935).
Ezt az integrált két szélsőséges esetben könnyen kiszámíthatjuk. Először a kis
távolságok esetét tekintjük (
). Az integrál első tagját két részre bontjuk:
ahol -et úgy választjuk, hogy az
feltétel teljesüljön. Ennek alapján az első integrálban
írható, amivel
adódik. -ben éppen ellenkezőleg, a gyök alatt az
elhanyagolható:
A kitevőbe és az integrál alsó határába helyettesíthető. Ezután a
helyettesítést végrehajtva, adódik, hogy
ahol az Euler-szám.(111,5) második tagjának integráljában azonnal
-t helyettesíthetünk:
A három integrál eredményét összeadva (amelynek során a
segédmennyiség kiesik), a következőt kapjuk az elektrosztatikus
potenciálra :
Ha , az integrálba a lényeges járulékot a
tartomány adja, amely a
helyettesítéssel és a megfelelő elhanyagolásokkal az
integrálra vezet.
Így ez esetben a potenciál:[411]
Látjuk, hogy a vákuumpolarizáció a pontszerű töltés
terét az tartományban változtatja meg, ahol
az elektron tömege. E tartományon kívül a tér módosulása
exponenciálisan lecseng.
Még egy általános érvényű megjegyzés. Mindeddig feltettük, hogy a sugárzási
korrekciók a foton és az elektron–pozitron tér
kölcsönhatásából származnak. Így a foton sajátenergiás ábráiban elektronhurkokat
rajzolva, figyelembe vettük a foton és az „elektron–pozitron vákuum” kölcsönhatását. A
foton azonban más részecskék „vákuumaival” is kölcsönhat, ez pedig ugyanilyen
sajátenergiás diagramokkal írható le, amelyekben azonban a hurkokat a megfelelő
részecskék adják. E diagramok járuléka az elektrondiagramokéhoz nagyságrendileg
valamely hatványával aránylik, ahol
az adott részecske,
az elektron tömege.
Az elektronhoz legközelebbi tömegű részecskék a müonok és a pionok. Az
és
hányadosok numerikusan
-hoz közeli értékűek. E részecskék járulékát tehát a következő rendű
elektronjárulékkal együtt kell figyelembe vennünk. A müonokra a jelenlegi elmélet
keretei között a számítás elvégezhető, viszont az (erősen kölcsönható) pionokra nem
megengedett.
Ez a körülmény elvileg korlátozza a jelenlegi kvantumelmélet konkrét effektusainak számíthatóságát. Már az elektron-foton kölcsönhatásból származó korrekciók tetszőleges rendig való vizsgálata is meghaladja a megengedett pontosság követelményeit.
A Coulomb-törvény e szakaszban tárgyalt sugárzási
korrekciói , mint láttuk, az tartományban lényegesek. Ehhez hozzátehetjük, hogy a kapott képletek
(vagy
) távolságokon belül újból rosszak lesznek, és a más részecskék
vákuumpolarizációjából származó effektusok is lényegesekké válnak.