ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

111.§. A Coulomb-törvény sugárzási korrekciói

A kapott eredményeket alkalmazzuk a Coulomb-törvény korrekcióinak meghatározására. Ezeket szemléletesen mint a vákuum pontszerű töltés körüli polarizációját írhatjuk le.

A rögzített (e1) töltés tere a korrekciók figyelembevétele nélkül a Φ≡A0(e)=e1∕r skalár Coulomb-potenciállal adható meg. Ennek háromdimenziós Fourier-transzformáltja :

Ha a sugárzási korrekciókat is tekintetbe vesszük, a teret egy „effektív”

12.17. egyenlet - (111,1)

𝒜_{0}^{(e)} = A_{0}^{(e)} + 𝒟_{0 ϱ} \frac{𝒫^{ϱ λ}}{4 π} A_{λ}^{(e)} = A_{0}^{(e)} + \frac{1}{4 π} 𝒫 𝒟 A_{0}^{(e)}

térrel helyettesítjük [vö. (100,15)]. A második tag adja a skalárpotenciál keresett korrekcióját. A perturbációszámítás első közelítését (k2) -re alkalmazva, az előző szakasz eredményeit használjuk, (k2) -re pedig a nulladik közelítést, azaz

Így a tér potenciáljához járuló sugárzási korrekció

12.18. egyenlet - (111,2)

δ Φ (k) = - \frac{4 π e_{1}}{{(k^{2})}^{2}} 𝒫 (- k^{2}) .

Inverz Fourier-transzformációval kaphatjuk a módosítás koordinátatérbeli alakját:

12.19. egyenlet - (111,3)

δ Φ (r) = \int e^{i k r} δ Φ (k) \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}} .

Mivel δΦ(k) csak t=–k2 függvénye, így a szög szerinti integrálást elvégezve,

δΦ(r)=(1/4π2)∫0∞δΦ(t)(sin(r√(–t))/r) d(–t)=(1/4π2r)ℑ∫–∞∞δΦ(–y2)eiryydy

adódik (az utóbbi átalakításban kihasználtuk az integrandusnak mint y=√(–t) függvényének párosságát). Ezután az integrálási kontúrt a komplex változó felső félsíkjába tolhatjuk el, és összeejthetjük a (–y2) függvény vágásával (19. ábra).

19. ábra.

Ez a vágás a 2im pontban kezdődik, és a pozitív képzetes tengely mentén halad (a fizikai levélnek a vágás bal partja felel meg). helyett az y=ix új változót bevezetve,

Végül a t=x2 integrálra visszatérve, adódik a

12.20. egyenlet - (111,4)

δ Φ (r) = \frac{1}{4 π^{2} r} \int_{4 m^{2}}^{\infty} ℑ δ Φ (t) e^{- r \sqrt{t}} d t

végeredmény. Az

képzetes részt (110,8)-ból vehetjük, majd nyilvánvaló változócserék után

12.21. egyenlet - (111,5)

Φ (r) = \frac{e_{1}}{r} + δ Φ (r) = \frac{e_{1}}{r} \{1 + \frac{2 α}{3 π} \int_{1}^{\infty} e^{- 2 m r ζ} (1 + \frac{1}{2 ζ^{2}}) \frac{\sqrt{ζ^{2} - 1}}{ζ^{2}} d ζ \}

adódik (E. Uehling, R. Serber, 1935).

Ezt az integrált két szélsőséges esetben könnyen kiszámíthatjuk. Először a kis távolságok esetét tekintjük ( mr≪1 ). Az integrál első tagját két részre bontjuk:

I=∫1∞e–2mrζ(√(ζ2–1)/ζ2) dζ=∫1ζ1… dζ+∫ζ1∞… dζ≡I1+I2,

ahol -et úgy választjuk, hogy az 1∕mr≫ζ1≫1 feltétel teljesüljön. Ennek alapján az első integrálban r=0 írható, amivel

adódik. -ben éppen ellenkezőleg, a gyök alatt az elhanyagolható:

I2≈∫ζ1∞e–2mrζ(dζ/ζ)=–lnζ1⋅e–2mrζ1+2mr∫ζ1∞e–2mrζlnζdζ.

A kitevőbe és az integrál alsó határába ζ1=0 helyettesíthető. Ezután a 2mrζ=x helyettesítést végrehajtva, adódik, hogy

I2=–ln2ζ1+ln(1/mr)+∫0∞e–xlnxdx=–ln2ζ1+ln(1/mr)–C,

ahol C=0,577… az Euler-szám.(111,5) második tagjának integráljában azonnal r=0 -t helyettesíthetünk:

A három integrál eredményét összeadva (amelynek során a segédmennyiség kiesik), a következőt kapjuk az elektrosztatikus potenciálra :

12.22. egyenlet - (111,6)

Φ (r) = \frac{e_{1}}{r} [1 + \frac{2 α}{3 π} (ln \frac{1}{m r} - C - \frac{5}{6})], r ≪ \frac{1}{m} .

Ha mr≫1 , az integrálba a lényeges járulékot a ζ–1∼1∕mr≪1 tartomány adja, amely a ζ=1+ξ helyettesítéssel és a megfelelő elhanyagolásokkal az

e–2mr∫0∞e–2mrξ(3/2)√(2ξ) dξ=(3/8(mr)3∕2)√πe–2mr

integrálra vezet.

Így ez esetben a potenciál:^[411]

12.23. egyenlet - (111,7)

Φ (r) = \frac{e_{1}}{r} (1 + \frac{α}{4 \sqrt{π}} \frac{e^{- 2 m r}}{{(m r)}^{3 ∕ 2}}), r ≫ \frac{1}{m} .

Látjuk, hogy a vákuumpolarizáció a pontszerű töltés terét az r∼1∕m(=ℏ∕mc) tartományban változtatja meg, ahol az elektron tömege. E tartományon kívül a tér módosulása exponenciálisan lecseng.

Még egy általános érvényű megjegyzés. Mindeddig feltettük, hogy a sugárzási korrekciók a foton és az elektron–pozitron tér kölcsönhatásából származnak. Így a foton sajátenergiás ábráiban elektronhurkokat rajzolva, figyelembe vettük a foton és az „elektron–pozitron vákuum” kölcsönhatását. A foton azonban más részecskék „vákuumaival” is kölcsönhat, ez pedig ugyanilyen sajátenergiás diagramokkal írható le, amelyekben azonban a hurkokat a megfelelő részecskék adják. E diagramok járuléka az elektrondiagramokéhoz nagyságrendileg me∕m valamely hatványával aránylik, ahol az adott részecske, az elektron tömege.

Az elektronhoz legközelebbi tömegű részecskék a müonok és a pionok. Az me∕mμ és me∕mπ hányadosok numerikusan -hoz közeli értékűek. E részecskék járulékát tehát a következő rendű elektronjárulékkal együtt kell figyelembe vennünk. A müonokra a jelenlegi elmélet keretei között a számítás elvégezhető, viszont az (erősen kölcsönható) pionokra nem megengedett.

Ez a körülmény elvileg korlátozza a jelenlegi kvantumelmélet konkrét effektusainak számíthatóságát. Már az elektron-foton kölcsönhatásból származó korrekciók tetszőleges rendig való vizsgálata is meghaladja a megengedett pontosság követelményeit.

A Coulomb-törvény e szakaszban tárgyalt sugárzási korrekciói , mint láttuk, az r≾1∕me tartományban lényegesek. Ehhez hozzátehetjük, hogy a kapott képletek r<1∕mμ (vagy 1∕mπ ) távolságokon belül újból rosszak lesznek, és a más részecskék vákuumpolarizációjából származó effektusok is lényegesekké válnak.

^[411] δΦ(r) -ben az e–2mr tényező eredete már a kiindulási (111,4) integrálból világos: nagy -ekre csak az alsó határhoz közeli értékek fontosak. Más szavakkal, az exponenciális tényező kitevőjét a δΦ(t) függvény első szingularitásának a helye határozza meg.