ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

114.§. Az elektron alakfaktorának kiszámítása

Nézzük meg, hogyan lehet ténylegesen kiszámítani az elektron alakfaktorait (J. Schwinger , 1949).

A perturbációszámítás nulladik rendjében a vertexoperátor Γμ=γμ tehát az elektron-alakfaktorok:

Az alakfaktorokhoz az első sugárzási korrekciót a következő diagram adja:

12.49. egyenlet - (114,1)

(két valódi elektronvégződéssel és egy virtuális fotonvégződéssel). Számítsuk ki először az alakfaktorok képzetes részeit . Amint azt az előző szakaszban megmutattuk, ezek csak a szétsugárzási csatornában különböznek zérustól (itt k2>4m2 ; ennek megfelelően a (114,1) diagram elektronvégződéseihez tartozó négyesimpulzusok egy keletkező elektronnak és pozitronnak felelnek meg, így és –p+ segítségével jelöljük őket. A (114,1) diagram analitikus kifejezése:

12.50. egyenlet - (114,2)

\begin{matrix} \begin{aligned} - i e ū (p_{-}) & Γ^{μ} u (- p_{+}) = \\ = {(- i e)}^{3} ū (p_{-}) γ^{ν} i \int G (p) γ^{μ} G (p - k) γ^{ν} D_{μ ν} (f) \frac{d^{4} p}{{(2 π)}^{4}} u (- p_{+}), \end{aligned} & (114,2) \end{matrix}

vagy kifejtve:

12.51. egyenlet - (114,3)

γ^{μ} f (k^{2}) - \frac{1}{2 m} g (k^{2}) σ^{μ ν} k_{ν} = \int \frac{i φ^{μ} (p) d^{4} p}{(p^{2} - m^{2}) [{(p - k)}^{2} - m^{2}]},

ahol bevezettük a

12.52. egyenlet - (114,4)

φ^{μ} (p) = - e^{2} \frac{γ^{ν} (\hat{p} + m) γ^{μ} (\hat{p} - \hat{k} + m) γ_{ν}}{4 π^{3} {(p_{-} - p)}^{2}}

jelölést, és a tömörség kedvéért elhagytuk az ū(p–)…u(–p+) tényezőket; a továbbiakban mindenütt fel fogjuk tételezni, hogy az egyenlőségek mindkét oldalát ezek közé fogjuk („szendvicselés”).

A (114,1) diagramon behúzott vízszintes pontozott vonal a gráfot két részre vágja, így jelölve azt a közbenső állapotot; amely az alakfaktor képzetes részének az unitaritási feltétel alapján való kiszámításakor fellépne: ez egy elektron–pozitron pár olyan állapota, amelyben az impulzusok -tól és -tól különböznek. Ugyanez a kettévágás mutatja, hogy a (114,2) integrálban hol kell a pólustényezők helyettesítését elvégezni, ha a (112,9) szabály szerint számolunk [(114,3)-ban ezeket a tényezőket az integrandusban kiemeltük].

(114,3)-ban ugyanolyan alakú integrál szerepel, mint (112,2)-ben. Így a közbenső lépéseket elhagyva, rögtön felírhatjuk a (112,10)-nek megfelelő eredményt:

12.53. egyenlet - (114,5)

2 γ^{μ} ℑ f (t) - \frac{2}{2 m} σ^{μ ν} k_{ν} ℑ g (t) = - \frac{π^{2}}{2} \sqrt{\frac{t - 4 m^{2}}{t}} \int φ^{μ} (p) d Ω_{p},

ahol t=k2 , az integrálást a vektor irányára végezzük, a p–′≡p és p+′≡k–p négyesvektorok pedig a φμ(p) függvény (114,4) definíciójában valódi (nem pedig virtuális) részecskék négyesimpulzusai. A (114,5) kifejezést abban a vonatkoztatási rendszerben írtuk fel, amelyben k=0 ; ez a keletkezett p–,p+ pár tömegközépponti rendszere (és így a „közbenső” p–′,p+′ páré is). Ebben a rendszerben tehát:

k=(k0,0), p–=((k0/2),p–), p+=((k0/2),–p–), p=((k0/2),p),

és könnyen ellenőrizhető, hogy

12.54. egyenlet - (114,6)

f^{2} = {(p - p_{-})}^{2} = - 2 p^{2} (1 - cos 𝜃) = - \frac{t - 4 m^{2}}{2} (1 - cos 𝜃),

ahol a és vektorok által bezárt szög. Helyettesítsük most (114,4)-et (114,5)-be,és küszöböljük ki az integrandusban fellépő γν…γν mátrixokat a (22,6) képletek segítségével. Ekkor azt kapjuk, hogy

12.55. egyenlet - (114,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} γ^{μ} ℑ f (t) - \frac{1}{2 m} σ^{μ ν} k_{ν} ℑ g (t) = \\ = - \frac{e^{2}}{4 \sqrt{t (t - 4 m^{2})}} \int \frac{d Ω_{p}}{2 π (1 - cos 𝜃)} γ^{ν} (\hat{p} + m) γ^{μ} (\hat{p} - \hat{k} + m) γ_{ν} = \\ = - \frac{e^{2}}{4 \sqrt{t (t - 4 m^{2})}} \int \frac{d Ω_{f}}{2 π (1 - cos 𝜃)} [- 2 m^{2} γ^{μ} + 4 m (P^{μ} + 2 f^{μ}) + 2 ({\hat{p}}_{+} - \hat{f}) γ^{μ} ({\hat{p}}_{-} + \hat{f})], \end{aligned} & (114,7) \end{matrix}

ahol bevezettük az

12.56. egyenlet - (114,8)

f = p - p_{-} = (0, f), P = p_{-} - p_{+} = (0, 2 p_{-})

négyesvektorokat.

Az integrálást így visszavezettük

12.57. egyenlet - (114,9)

(I, I^{μ}, I^{μ ν}) = \int \frac{(1, f^{μ}, f^{μ} f^{ν})}{1 - cos 𝜃} \frac{d Ω_{f}}{2 π}

integrálok kiszámítására.

Az integrál logaritmikusan divergál, mikor . Ezt az integrált

I=∫0t–4m2(d(f2)/f2)=∫0–(t–4m2)(d(f2)/f2)

alakba írva, látjuk, hogy a divergencia a virtuális foton kis „tömegének” felel meg. Így ez „infravörös” divergencia . Ennek a részletes tárgyalását elhalasztjuk a 119. §-ig. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy ez a divergencia fiktív abban az értelemben, hogy ha helyesen vesszük figyelembe az összes fizikai jelenséget, a hasonló divergenciák kölcsönösen kompenzálják egymást, és eltűnnek. Ezért az integrált alulról tetszőleges módon „levághatjuk”, és a későbbiekben, valódi fizikai folyamatok kiszámításánál, a levágási határral nullához tartunk.

Itt a legegyszerűbb relativisztikusan invariáns módon végezni a levágást. Ezért az virtuális fotonnak egy kicsi, de véges tömeget adunk ( λ≪m ), azaz a (114,2)-ben szereplő D(f2) fotonpropagátorban az

12.58. egyenlet - (114,10)

f^{2} \to f^{2} - λ^{2}

helyettesítést hajtjuk végre. Ezután az első integrál:

12.59. egyenlet - (114,11)

I = \int_{0}^{- (t - 4 m^{2})} \frac{d (f^{2})}{f^{2} - λ^{2}} = ln \frac{t - 4 m^{2}}{λ^{2}} .

Az integrálnak, ahol a térszerű négyesvektor, a négyesvektorral kell arányosnak lennie, ugyanis a rendelkezésünkre álló két négyesvektor, és közül csak térszerű (tetszőleges p+,p– mellett). Így Iμ=APμ . Ezt az egyenlőséget -vel szorozva és a PμIμ integrált az elektron–pozitron pár tömegközépponti rendszerében kiszámítva [az és négyesvektorok komponenseit ekkor (114,8) adja meg], azt kapjuk, hogy

A=(1/2p2)∫–11(qpdcos/1–cos)=–(1/2)∫–11dcos=–1.

Tehát

12.60. egyenlet - (114,12)

I^{μ} = - P^{μ} .

Hasonlóképpen számítható ki az

12.61. egyenlet - (114,13)

I^{μ ν} = \frac{1}{4} P^{2} (g^{μ ν} - \frac{P^{μ} P^{ν}}{P^{2}}) + \frac{1}{4} P^{μ} P^{ν}

integrál is (az együtthatók meghatározásához elegendő az Iμμ és az IμνPμPν integrálokat kiszámítani).

A további számításokat a következőképpen végezzük. A (114,11)-(114,13) integrálokat (114,7)-be helyettesítve, több tagból álló összeget kapunk, amelyet ū(p–)…u(–p+) közé kell fogni. Mindegyik tagban (a mátrixok felcserélési szabályainak segítségével) a p̂+ tényezőt jobbra, p̂– -ot pedig balra visszük; ezután p̂–→m , p̂+→–m szerint helyettesíthetjük őket, mivel

Az így kapott

összegben -t helyettesíthetjük a vele ekvivalens ( ū…u között!)

kifejezéssel [vö. (113,5)]. Végül minden mennyiséget a t=k2 invariáns segítségével kifejezve ( 2p+p–=t–2m2,P2=4m2–t ), majd a (114,7) egyenlőség két oldalát összehasonlítva, az alakfaktorok képzetes részeire a következő képleteket kapjuk:

12.62. egyenlet - (114,14)

ℑ g (t) = \frac{α m^{2}}{\sqrt{t (t - 4 m^{2})}},

12.63. egyenlet - (114,15)

ℑ f (t) = \frac{α}{4 \sqrt{t (t - 4 m^{2})}} [- 3 t + 8 m^{2} + 2 (t - 2 m^{2}) ln \frac{t - 4 m^{2}}{λ^{2}}] .

Infravörös divergencia csak ℑf(t) -ben van.

Maguk az f(t) és g(t) függvények, képzetes részeik alapján a (113,11), (113,12) képletek segítségével számíthatók ki. Az integrálást ezekben a képletekben célszerű ugyanazokkal a helyettesítésekkel elvégezni, amelyeket a 110. §-ban (t) kiszámításakor használtunk. Az alakfaktorok a (110,11) változó függvényében a következők:

12.64. egyenlet - (114,16)

g (ξ) = \frac{α}{π} \frac{ξ ln ξ}{ξ^{2} - 1},

12.65. egyenlet - (114,17)

\begin{matrix} \begin{aligned} f (ξ) - 1 & = \frac{α}{2 π} \{2 (1 + \frac{1 + ξ^{2}}{1 - ξ^{2}} ln ξ) ln \frac{m}{λ} - \frac{3 (1 + ξ^{2}) + 2 ξ}{2 (1 - ξ^{2})} ln ξ + \\ + \frac{1 + ξ^{2}}{1 - ξ^{2}} [\frac{π^{2}}{6} - \frac{1}{2} {ln}^{2} ξ - 2 F (ξ) + 2 ln ξ ln (1 + ξ)] \}, \end{aligned} & (114,17) \end{matrix}

ahol F(ξ) a (127,19) szerint definiált Spence-függvény .

A nemfizikai tartományban ( 0<t∕m2<4 ) a ξ=eiφ helyettesítés célszerű. Ekkor az alakfaktorok:

12.66. egyenlet - (114,18)

f (φ) = \frac{α}{π} \{(1 - \frac{φ}{tg φ}) ln \frac{m}{λ} + \frac{3 cos φ + 1}{2 sin φ} φ + \frac{2}{tg φ} \int_{0}^{φ ∕ 2} ξ tg ξ d ξ \},

12.67. egyenlet - (114,19)

g (φ) = \frac{α}{2 π} \frac{φ}{sin φ} .

Végül közöljük a kis |t| értékek mellett igaz képleteket:

12.68. egyenlet - (114,20)

\begin{matrix} \begin{aligned} f (t) - 1 & = \frac{α t}{3 π m^{2}} (ln \frac{m}{λ} - \frac{3}{8}), ha | t | ≪ 4 m^{2}, \\ g (t) & = \frac{α}{2 π} . \end{aligned} & (114,20) \end{matrix}

A nagy |t| értékekre fennálló kifejezések:

12.69. egyenlet - (114,21)

f (t) - 1 = - \frac{α}{2 π} (\frac{1}{2} {ln}^{2} \frac{| t |}{m^{2}} + 2 ln \frac{m}{λ} ln \frac{| t |}{m^{2}}) + \{\begin{matrix} i \frac{α}{2} ln \frac{t}{λ^{2}}, & ha t ≫ 4 m^{2}, \\ 0, & ha - t ≫ 4 m^{2}, \end{matrix}

12.70. egyenlet - (114,22)

g (t) = - \frac{α m^{2}}{π t} ln \frac{| t |}{m^{2}} + \{\begin{matrix} i \frac{α m^{2}}{t}, & ha t ≫ 4 m^{2}, \\ 0, & ha - t ≫ 4 m^{2} . \end{matrix}

A (114,21) képlet ( tekintetében), ahogy mondani szokták, kettős logaritmikus pontossággal érvényes, azaz nagy logaritmusértékek négyzeteit tartalmazó pontossággal.^[414]

^[414] A vertexoperátorra vonatkozó kifejezés abban az esetben, mikor egy virtuális és egy valódi elektron-, valamint egy valódi fotonvégződés van, a következő helyen található meg: A. I. Ahiezer , V. B. Bereszteckij : Kvantumelektrodinamika, 3. kiadás, „Nauka”, 1969, 36. §., 505. old.