Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Nézzük meg, hogyan lehet ténylegesen kiszámítani az elektron alakfaktorait (J. Schwinger , 1949).
A perturbációszámítás nulladik rendjében a vertexoperátor tehát az elektron-alakfaktorok:
Az alakfaktorokhoz az első sugárzási korrekciót a következő diagram adja:
(két valódi elektronvégződéssel és egy virtuális fotonvégződéssel).
Számítsuk ki először az alakfaktorok képzetes részeit . Amint azt az előző szakaszban megmutattuk,
ezek csak a szétsugárzási csatornában különböznek zérustól (itt ; ennek megfelelően a (114,1)
diagram elektronvégződéseihez tartozó négyesimpulzusok egy keletkező elektronnak és
pozitronnak felelnek meg, így
és
segítségével jelöljük őket. A (114,1) diagram analitikus kifejezése:
jelölést, és a tömörség kedvéért elhagytuk az tényezőket; a továbbiakban mindenütt fel fogjuk tételezni, hogy az
egyenlőségek mindkét oldalát ezek közé fogjuk („szendvicselés”).
A (114,1) diagramon behúzott vízszintes pontozott
vonal a gráfot két részre vágja, így jelölve azt a közbenső állapotot; amely az
alakfaktor képzetes részének az unitaritási feltétel alapján való kiszámításakor fellépne: ez egy elektron–pozitron pár olyan állapota, amelyben az impulzusok -tól és
-tól különböznek. Ugyanez a kettévágás mutatja, hogy a (114,2) integrálban hol kell a pólustényezők
helyettesítését elvégezni, ha a (112,9) szabály
szerint számolunk [(114,3)-ban ezeket a tényezőket az
integrandusban kiemeltük].
(114,3)-ban ugyanolyan alakú integrál szerepel, mint (112,2)-ben. Így a közbenső lépéseket elhagyva, rögtön felírhatjuk a (112,10)-nek megfelelő eredményt:
ahol , az integrálást a
vektor irányára végezzük, a
és
négyesvektorok pedig a
függvény (114,4) definíciójában
valódi (nem pedig virtuális) részecskék négyesimpulzusai. A (114,5) kifejezést abban a vonatkoztatási rendszerben írtuk fel, amelyben
; ez a keletkezett
pár tömegközépponti rendszere (és így a „közbenső”
páré is). Ebben a rendszerben tehát:
és könnyen ellenőrizhető, hogy
ahol a
és
vektorok által bezárt szög. Helyettesítsük most (114,4)-et (114,5)-be,és küszöböljük ki az integrandusban fellépő
mátrixokat a (22,6) képletek
segítségével. Ekkor azt kapjuk, hogy
négyesvektorokat.
Az integrálást így visszavezettük
integrálok kiszámítására.
Az integrál logaritmikusan divergál, mikor
. Ezt az integrált
alakba írva, látjuk, hogy a divergencia a virtuális foton kis „tömegének” felel meg. Így ez „infravörös” divergencia . Ennek a részletes tárgyalását elhalasztjuk a 119. §-ig. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy ez a divergencia fiktív abban az értelemben, hogy ha helyesen vesszük figyelembe az összes fizikai jelenséget, a hasonló divergenciák kölcsönösen kompenzálják egymást, és eltűnnek. Ezért az integrált alulról tetszőleges módon „levághatjuk”, és a későbbiekben, valódi fizikai folyamatok kiszámításánál, a levágási határral nullához tartunk.
Itt a legegyszerűbb relativisztikusan invariáns módon végezni a levágást. Ezért az
virtuális fotonnak egy kicsi, de véges
tömeget adunk (
), azaz a (114,2)-ben szereplő
fotonpropagátorban az
helyettesítést hajtjuk végre. Ezután az első integrál:
Az integrálnak, ahol
a térszerű négyesvektor, a
négyesvektorral kell arányosnak lennie, ugyanis a rendelkezésünkre
álló két négyesvektor,
és
közül csak
térszerű (tetszőleges
mellett). Így
. Ezt az egyenlőséget
-vel szorozva és a
integrált az elektron–pozitron pár tömegközépponti rendszerében kiszámítva [az
és
négyesvektorok komponenseit ekkor (114,8) adja meg], azt kapjuk, hogy
Hasonlóképpen számítható ki az
integrál is (az együtthatók meghatározásához elegendő az és az
integrálokat kiszámítani).
A további számításokat a következőképpen végezzük. A (114,11)-(114,13) integrálokat (114,7)-be helyettesítve, több tagból álló összeget
kapunk, amelyet közé kell fogni. Mindegyik tagban (a
mátrixok felcserélési szabályainak segítségével) a
tényezőt jobbra,
-ot pedig balra visszük; ezután
,
szerint helyettesíthetjük őket, mivel
Az így kapott
összegben -t helyettesíthetjük a vele ekvivalens (
között!)
kifejezéssel [vö. (113,5)]. Végül
minden mennyiséget a invariáns segítségével kifejezve (
), majd a (114,7) egyenlőség két
oldalát összehasonlítva, az alakfaktorok képzetes részeire a következő képleteket
kapjuk:
Infravörös divergencia csak
-ben van.
Maguk az és
függvények, képzetes részeik alapján a (113,11), (113,12) képletek segítségével
számíthatók ki. Az integrálást ezekben a képletekben célszerű ugyanazokkal a
helyettesítésekkel elvégezni, amelyeket a 110. §-ban
kiszámításakor használtunk. Az alakfaktorok a
(110,11) változó függvényében a következők:
ahol a (127,19) szerint definiált
Spence-függvény .
A nemfizikai tartományban () a
helyettesítés célszerű. Ekkor az alakfaktorok:
Végül közöljük a kis értékek mellett igaz képleteket:
A nagy értékekre fennálló kifejezések:
A (114,21) képlet ( tekintetében), ahogy mondani szokták, kettős logaritmikus pontossággal
érvényes, azaz nagy logaritmusértékek négyzeteit tartalmazó pontossággal.[414]
[414] A vertexoperátorra vonatkozó kifejezés abban az esetben, mikor egy virtuális és egy valódi elektron-, valamint egy valódi fotonvégződés van, a következő helyen található meg: A. I. Ahiezer , V. B. Bereszteckij : Kvantumelektrodinamika, 3. kiadás, „Nauka”, 1969, 36. §., 505. old.