ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

118.§. Elektronszórás külső térben a második Born-közelítésben

A külső tér szerinti első két közelítésben az elektron szórását a következő diagramok ábrázolják:

12.115. egyenlet - (118,1)

Az első gráfnak a 81. §-ban vizsgált M(1)∼Ze2 amplitúdó felel meg. A második közelítés amplitúdója M(2)∼(Ze2)2 .

Könnyen látható, hogy ugyanilyen nagyságrendű tagok származnak a sugárzási korrekciókból. A perturbációszámítás harmadik rendjében a szórási amplitúdó sugárzási korrekcióit a következő diagramok ábrázolják:

12.116. egyenlet - (118,2)

Ekkor M(3)∼Ze2⋅e2 , és ha Z∼1 , akkor M(3)∼M(2) .

(65,26) szerint a szórás hatáskeresztmetszete

12.117. egyenlet - (118,3)

d σ = | M_{f i}^{(1)} + M_{f i}^{(2)} + M_{f i}^{(3)} |^{2} \frac{d Ω^{'}}{16 π^{2}} .

Az itt álló amplitúdó négyzetében jogunk van megtartani |Mfi(1)|2 mellett az Mfi(1) és Mfi(2) , valamint az Mfi(1) és Mfi(3) közötti interferenciatagokat is. Így ∼e6 pontossággal a hatáskeresztmetszet

12.118. egyenlet - (118,4)

d σ = d σ^{(1)} + d σ^{(2)} + d σ_{s u g},

ahol dσ(1) a hatáskeresztmetszet az első Born-közelítésben (81. §), az ehhez járuló korrekciók pedig

12.119. egyenlet - (118,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ^{(2)} & = 2 ℜ M_{f i}^{(1)} M_{f i}^{{(2)}^{*}} \frac{d Ω^{'}}{16 π^{2}}, \\ d σ_{s u g} & = 2 ℜ M_{f i}^{(1)} M_{f i}^{{(3)}^{*}} \frac{d Ω^{'}}{16 π^{2}} . \end{aligned} & (118,5) \end{matrix}

Emlékeztetünk arra (81. §), hogy

12.120. egyenlet - (118,6)

M_{f i}^{(1)} = | e | (ū^{'} γ^{0} u) Φ (q),

ahol Φ(q) az állandó külső tér skalárpotenciáljának ( Φ≡A0(e) ) Fourier-komponense , és ahol figyelembe vettük, hogy az elektron töltése e=–|e| .

A (118,5)-ben levő két kifejezést nyilvánvalóan ki lehet számítani egymástól függetlenül. Az elsőt ebben, a másodikat a következő szakaszban fogjuk tárgyalni.

A (118,1) gráf szerint felépített második közelítés amplitúdóját a következő integrál adja meg:

12.121. egyenlet - (118,7)

M_{f i}^{(2)} = - e^{2} \int \{ū (p^{'}) γ^{0} \frac{\hat{f} + m}{f^{2} - m^{2} + i 0} γ^{0} u (p)\} Φ (p^{'} - f) Φ (f - p) \frac{d^{3} f}{{(2 π)}^{3}} .

Az állandó külső tér „négyesimpulzusai”, q1=f–p és q2=p′–f , nem rendelkeznek időkomponensekkel. Így

12.122. egyenlet - (118,8)

f_{0} = 𝜀 = 𝜀^{'},

ahol és az elektron kezdeti és végső energiája; rugalmas szórás esetén ezek megegyeznek egymással.

Egy Z|e| töltésű mag tiszta Coulomb-terében:

Ilyen potenciálra a (118,7) integrál logaritmikusan divergál (mikor f≈p és f≈p′ ). Ez a divergencia a Coulomb-térre jellemző, és azzal kapcsolatos, hogy a potenciál nagy távolságokra lassan csökken. Az eredetét legegyszerűbben a nemrelativisztikus eset példáján lehet megmegyarázni. III. (135,8) szerint az ei|p|r∕r gömbhullám együtthatója a Coulomb-térben szórt elektron esetén

alakú. Viszont ez az együttható éppen a külső téren való szóródás amplitúdója , és látjuk, hogy fázisa ( r→∞ esetén) divergens tagot tartalmaz. Ha a szórási amplitúdót hatványai szerint sorba fejtjük, ez a tag azt eredményezi, hogy a sor minden egyes tagja divergál [a másodiktól kezdve, mivel f() arányos -val]. A relativisztikus esetben természetesen hasonló a helyzet.

Ez a gondolatmenet ugyanakkor azt is megmutatja, hogy a divergens tagoknak ki kell ejteniük egymást a hatáskeresztmetszetek kiszámításakor, ahol is a fázis lényegtelen. A számítások korrekt elvégzésének legegyszerűbb módja, hogy kezdetben árnyékolt Coulomb-potenciálon való szórást vizsgálunk, azaz

12.123. egyenlet - (118,9)

Φ (q) = \frac{4 π Z | e |}{q^{2} + δ^{2}},

ahol a árnyékolási állandó kicsi ( δ≪|p| ). Ezzel eltüntettük az amplitúdóból a divergenciát, majd a hatáskeresztmetszetet leíró végeredménybe már beírhatjuk a δ=0 -t.

(118,9)-et (118,7)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy

Mfi(2)=–(2/π)Z2α2ū(p′)[(γ0ε+m)J1+γJ]u(p),

ahol bevezettük a következő jelöléseket:

12.124. egyenlet - (118,10)

\begin{matrix} \begin{aligned} J_{1} & = \int \frac{d^{3} f}{[{(p^{'} - f)}^{2} + δ^{2}] [{(f - p)}^{2} + δ^{2}] [p^{2} - f^{2} + i 0]}, \\ J & = \int \frac{f d^{3} f}{[{(p^{'} - f)}^{2} + δ^{2}] [{(f - p)}^{2} + δ^{2}] [p^{2} - f^{2} + i 0]} \equiv \frac{p + p^{'}}{2} J_{2} . \end{aligned} & (118,10) \end{matrix}

Itt p2=ε2–m2=p′2 , és a integrál szimmetrikus -ben és -ben; a vektorszimmetria miatt eleve nyilvánvaló, hogy -nek p+p′ irányába kell mutatnia. A mátrixokat a

egyenlőségek segítségével kiküszöbölve, a következő kifejezéshez jutunk:

12.125. egyenlet - (118,11)

M_{f i}^{(2)} = - \frac{2}{π} Z^{2} α^{2} ū (p^{'}) [γ^{0} 𝜀 (J_{1} + J_{2}) + m (J_{1} - J_{2})] u (p) .

A további számítások elvégzése céljából térjünk át (akárcsak a 81. §-ban) az és bispinor amplitúdókról a nekik [(23,9) és (23,11) szerint] megfelelő és háromdimenziós spinorokra . Egyszerű szorzással kapjuk, hogy

ū′u =w′∗{(ε+m)–(ε–m)cos+iνσ(ε–m)sin}w, ū′γ0u =w′∗{(ε+m)+(ε–m)cos–iνσ(ε–m)sin}w,

ahol

ν=(n×n′/sin), n=(p/|p|), n′=(p′/|p′|), cos=nn′.

Ezután a (118,11) amplitúdó a következő alakban írható:^[423]

12.126. egyenlet - (118,12)

\begin{matrix} \begin{aligned} M_{f i}^{(2)} = 4 π w^{' *} (A^{(2)} + B^{(2)} ν σ) w, \\ A^{(2)} & = - \frac{1}{2 π^{2}} Z^{2} α^{2} \{[(𝜀 + m) + (𝜀 - m) cos 𝜃] 𝜀 (J_{1} + J_{2}) + \\ + [(𝜀 + m) - (𝜀 - m) cos 𝜃] m (J_{1} - J_{2})\}, \\ B^{(2)} & = \frac{i}{2 π^{2}} Z^{2} α^{2} (𝜀 - m) sin 𝜃 [𝜀 (J_{1} + J_{2}) - m (J_{1} - J_{2})] . \end{aligned} & (118,12) \end{matrix}

Az első közelítés amplitúdója hasonló jelölésekkel a következő alakú:

12.127. egyenlet - (118,13)

\begin{matrix} \begin{aligned} M_{f i}^{(1)} & = 4 π w^{' *} (A^{(1)} + B^{(1)} ν σ) w, \\ A^{(1)} & = \frac{Z α}{q^{2}} [(𝜀 + m) + (𝜀 - m) cos 𝜃], \\ B^{(1)} & = - i \frac{Z α}{q^{2}} (𝜀 - m) sin 𝜃, \end{aligned} & (118,13) \end{matrix}

ahol q=p′–p .

A szórás hatáskeresztmetszetét és a polarizációs effektusokat az A=A(1)+A(2) és B=B(1)+B(2) mennyiségek segítségével fejezhetjük ki a III. 140. §-ban levezetett képletek segítségével. Így a polarizálatlan elektronok szórási hatáskeresztmetszete ,

dσ=(|A|2+|B|2) dΩ′≈ dσ(1)+2(A(1)ℜA(2)–iB(1)ℑB(2)) dΩ′.

A (118,12) és (118,13) képleteket behelyettesítve, egyszerű számítások után azt kapjuk, hogy

12.128. egyenlet - (118,14)

d σ^{(2)} = - d Ω^{'} \frac{Z^{3} α^{3} 𝜀^{3}}{π^{2} p^{2} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}} [(1 - v^{2} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}) ℜ (J_{1} + J_{2}) + \frac{m^{2}}{𝜀^{2}} ℜ (J_{1} - J_{2})],

ahol p=|p|∕ε az elektron sebessége, a szórási szög. A szórás folyamán az elektronok polarizálódnak; a végállapotbeli elektronok polarizációs vektora :

ζ′=(2ℜ(AB∗)/|A|2+|B|2)ν≈(2(A(1)ℜB(2)–iB(1)ℑA(2))/|A(1)|2+|B(1)|2)ν,

vagy (118,12) és (118,13) behelyettesítésével:

12.129. egyenlet - (118,15)

ζ^{'} = \frac{4 Z α m p^{4}}{π^{2} 𝜀^{2}} \frac{{sin}^{3} \frac{𝜃}{2} cos \frac{𝜃}{2}}{1 - v^{2} s i n^{2} \frac{𝜃}{2}} ℑ (J_{1} - J_{2}) ν .

Számítsuk ki a és a integrált. Ezt megkönnyíti a (127,2) képlet szerinti parametrizálás alkalmazása. A integrál a következő alakot ölti:

J1=–2∫01∫01∫01∫(d3fdξ1dξ2dξ3⋅δ(1–ξ1–ξ2–ξ3)/{[(p′–f)2+δ2]ξ1+[(p–f)2+δ2]ξ2+[f–p2–i0]ξ3}3).

A dξ3 szerinti integrálás eltünteti a -függvényt; a nevezőt átrendezve,

J1=–2∫01∫01–ξ2∫(d3fdξ1dξ2/{δ2(ξ1+ξ2)+p2(2ξ1+2ξ2–1)–2f(ξ1p′+ξ2p)+f2–i0}3).

helyett az új k=f–ξ1p′–ξ2p változót bevezetve, a d3f szerinti integrálást

alakú integrálra vezethetjük vissza. Így

J1=–(iπ2/2)∫01∫01–ξ2(dξ1dξ2/{p2(ξ12+ξ22–2ξ1–2ξ2+1)+2ξ1ξ2pp′–δ2(ξ1+ξ2)–i0}3∕2).

és helyett vezessük be az x=ξ1+ξ2 , y=ξ1–ξ2 szimmetrikus kombinációkat . A szerinti integrálás ( és határok közt) elemi, és eredménye

J1=–(iπ2/2|p|3)∫01(xdx/[bx2–2x+1–(δ2/p2)x–i0][(1–x)2–(δ2/p2)x–i0]1∕2),

ahol

A szerinti integrált δ→0 esetén úgy számítjuk ki, hogy az integrálási tartományt két részre bontjuk:

∫01… dx=∫01–δ1… dx+∫1–δ11… dx, 1≫δ1≫(δ/|p|).

Az első integrálban δ=0 írható; ekkor^[424]

∫01–δ1… dx=(1/2(1–b))ln((1–x)2/(bx2–2x+1–i0))|01–δ1=(1/2(1–b))[ln(δ12/1–b)+iπ].

A második integrálban mindenütt x=1 helyettesíthető az (1–x)2 tagot kivéve, és a nevező első zárójelében δ=0 írható. Ekkor^[425]

∫1–δ11… dx =–(1/1–b)∫0δ1(dx′/(x′2–(δ2/p2)–i0)1∕2)= =–(1/1–b)[∫δ∕|p|δ1(dx′/(x′2–(δ2/p2))1∕2)+i∫0δ∕|p|(dx′/((δ2/p2)–x′2)1∕2)]= =–(1/1–b)[ln(2|p|δ1/δ)+i(π/2)].

A két integrált összeadva a mennyiség természetesen kiesik, és azt kapjuk, hogy

12.130. egyenlet - (118,16)

J_{1} = \frac{i π^{2}}{2 | p |^{3} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}} ln (\frac{2 | p |}{δ} sin \frac{𝜃}{2}) .

A integrált hasonlóan számíthatjuk ki, és az eredmény

12.131. egyenlet - (118,17)

J_{2} = J_{1} - \frac{π^{3} (1 - sin \frac{𝜃}{2})}{4 | p |^{3} {cos}^{2} \frac{𝜃}{2} sin \frac{𝜃}{2}} - \frac{i π^{2}}{2 | p |^{3} {cos}^{2} \frac{𝜃}{2}} ln sin \frac{𝜃}{2} .

A fenti kifejezéseket be kell még helyettesítenünk (118,14)-be és (118,15)-be, és megkapjuk a végeredményt:^[426]

12.132. egyenlet - (118,18)

d σ^{(2)} = \frac{π {(Z α)}^{3} 𝜀}{4 | p |^{3} {sin}^{3} \frac{𝜃}{2}} (1 - sin \frac{𝜃}{2}) d Ω^{'},

12.133. egyenlet - (118,19)

ζ^{'} = \frac{2 Z α m | p |}{𝜀^{2}} \frac{{sin}^{3} \frac{𝜃}{2} ln sin \frac{𝜃}{2}}{(1 - v^{2} {sin}^{2} \frac{𝜃}{2}) cos \frac{𝜃}{2}} ν .

Az első Born-közelítésben az elektron és a pozitron szórási hatáskeresztmetszete (ugyanabban a külső térben) egybeesik. A második közelítésben ez a szimmetria elvész. Pozitronszórás esetén (töltése +|e| ) az első közelítés, (118,16) előjele ellenkező lesz, de Mfi(2) nem változik. Így a dσ(2) hatáskeresztmetszet, amely az Mfi(1) és Mfi(2) interferenciatagja, előjelet vált. Ugyanez történik a polarizációs vektort leíró (118,19) kifejezéssel. Általában véve, az elektron szórási képleteiből megkaphatjuk a pozitron szórási képleteit , ha elvégezzük a formális Z→–Z cserét.

^[423] Az és mennyiségek definíciója megegyezik a 37. § és a III. 140. § definíciójával, és egy szorzótényezőben eltér a 81. §-ban használttól.

^[424] A pólus kikerülésének szabálya (az tag) meghatározza a logaritmus argumentuma fázisának megváltozását, miközben -tól 1–δ1 -ig változik: az elágazási pont alulról való megkerülésekor az argumentum -tól -ig változik.

^[425] Ha a gyök alatti kifejezés negatívvá válik, ismét a kikerülési szabály határozza meg a négyzetgyök előjelét.

^[426] A helyes eredményeket először W. A. McKinley és H. Feshbach (1948) vezették le a szórás parciális fázisainak pontos kifejezéseiből kiindulva. A perturbációszámításon alapuló számítást R. H. Dalitz (1950) végezte el.