Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
A külső tér szerinti első két közelítésben az elektron szórását a következő diagramok ábrázolják:
Az első gráfnak a 81. §-ban vizsgált
amplitúdó felel meg. A második közelítés amplitúdója
.
Könnyen látható, hogy ugyanilyen nagyságrendű tagok származnak a sugárzási korrekciókból. A perturbációszámítás harmadik rendjében a szórási amplitúdó sugárzási korrekcióit a következő diagramok ábrázolják:
Ekkor , és ha
, akkor
.
(65,26) szerint a szórás hatáskeresztmetszete
Az itt álló amplitúdó négyzetében jogunk van megtartani mellett az
és
, valamint az
és
közötti interferenciatagokat is. Így
pontossággal a hatáskeresztmetszet
ahol a hatáskeresztmetszet az első Born-közelítésben (81. §), az
ehhez járuló korrekciók pedig
Emlékeztetünk arra (81. §), hogy
ahol az állandó külső tér skalárpotenciáljának (
) Fourier-komponense , és ahol figyelembe vettük, hogy az
elektron töltése
.
A (118,5)-ben levő két kifejezést nyilvánvalóan ki lehet számítani egymástól függetlenül. Az elsőt ebben, a másodikat a következő szakaszban fogjuk tárgyalni.
A (118,1) gráf szerint felépített második közelítés amplitúdóját a következő integrál adja meg:
Az állandó külső tér „négyesimpulzusai”, és
, nem rendelkeznek időkomponensekkel. Így
ahol és
az elektron kezdeti és végső energiája; rugalmas szórás esetén ezek
megegyeznek egymással.
Egy töltésű mag tiszta Coulomb-terében:
Ilyen potenciálra a (118,7)
integrál logaritmikusan divergál (mikor és
). Ez a divergencia a Coulomb-térre jellemző, és azzal kapcsolatos,
hogy a potenciál nagy távolságokra lassan csökken. Az eredetét legegyszerűbben a
nemrelativisztikus eset példáján lehet megmegyarázni. III. (135,8) szerint az
gömbhullám együtthatója a Coulomb-térben szórt elektron esetén
alakú. Viszont ez az együttható éppen a külső téren való szóródás
amplitúdója , és látjuk, hogy
fázisa ( esetén) divergens tagot tartalmaz. Ha a
szórási amplitúdót
hatványai szerint sorba fejtjük, ez a tag azt eredményezi, hogy a sor
minden egyes tagja divergál [a másodiktól kezdve, mivel
arányos
-val]. A relativisztikus esetben természetesen hasonló a helyzet.
Ez a gondolatmenet ugyanakkor azt is megmutatja, hogy a divergens tagoknak ki kell ejteniük egymást a hatáskeresztmetszetek kiszámításakor, ahol is a fázis lényegtelen. A számítások korrekt elvégzésének legegyszerűbb módja, hogy kezdetben árnyékolt Coulomb-potenciálon való szórást vizsgálunk, azaz
ahol a árnyékolási állandó kicsi
(
). Ezzel eltüntettük az amplitúdóból a
divergenciát, majd a hatáskeresztmetszetet leíró végeredménybe már beírhatjuk a
-t.
(118,9)-et (118,7)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy
ahol bevezettük a következő jelöléseket:
Itt , és a
integrál szimmetrikus
-ben és
-ben; a vektorszimmetria miatt eleve nyilvánvaló, hogy
-nek
irányába kell mutatnia. A
mátrixokat a
egyenlőségek segítségével kiküszöbölve, a következő kifejezéshez jutunk:
A további számítások elvégzése céljából térjünk át (akárcsak a 81. §-ban) az és
bispinor amplitúdókról a nekik [(23,9) és (23,11)
szerint] megfelelő
és
háromdimenziós spinorokra . Egyszerű szorzással kapjuk, hogy
ahol
Ezután a (118,11) amplitúdó a következő alakban írható:[423]
Az első közelítés amplitúdója hasonló jelölésekkel a következő alakú:
ahol .
A szórás hatáskeresztmetszetét és a polarizációs effektusokat az és
mennyiségek segítségével fejezhetjük ki a III. 140. §-ban levezetett
képletek segítségével. Így a polarizálatlan elektronok szórási
hatáskeresztmetszete ,
A (118,12) és (118,13) képleteket behelyettesítve, egyszerű számítások után azt kapjuk, hogy
ahol az elektron sebessége,
a szórási szög. A szórás folyamán az elektronok polarizálódnak; a
végállapotbeli elektronok polarizációs vektora :
vagy (118,12) és (118,13) behelyettesítésével:
Számítsuk ki a és a
integrált. Ezt megkönnyíti a (127,2) képlet szerinti parametrizálás alkalmazása. A
integrál a következő alakot ölti:
A szerinti integrálás eltünteti a
-függvényt; a nevezőt átrendezve,
helyett az új
változót bevezetve, a
szerinti integrálást
alakú integrálra vezethetjük vissza. Így
és
helyett vezessük be az
,
szimmetrikus kombinációkat . A
szerinti integrálás (
és
határok közt) elemi, és eredménye
ahol
A szerinti integrált
esetén úgy számítjuk ki, hogy az integrálási tartományt két részre
bontjuk:
Az első integrálban írható; ekkor[424]
A második integrálban mindenütt helyettesíthető az
tagot kivéve, és a nevező első zárójelében
írható. Ekkor[425]
A két integrált összeadva a mennyiség természetesen kiesik, és azt kapjuk, hogy
A integrált hasonlóan számíthatjuk ki, és az eredmény
A fenti kifejezéseket be kell még helyettesítenünk (118,14)-be és (118,15)-be, és megkapjuk a végeredményt:[426]
Az első Born-közelítésben az elektron és a pozitron szórási
hatáskeresztmetszete (ugyanabban a külső térben) egybeesik. A második
közelítésben ez a szimmetria elvész. Pozitronszórás esetén
(töltése ) az első közelítés, (118,16)
előjele ellenkező lesz, de
nem változik. Így a
hatáskeresztmetszet, amely az
és
interferenciatagja, előjelet vált. Ugyanez történik a polarizációs
vektort leíró (118,19) kifejezéssel. Általában véve,
az elektron szórási képleteiből megkaphatjuk a pozitron szórási
képleteit , ha elvégezzük a formális
cserét.
[423] Az és
mennyiségek definíciója megegyezik a 37. § és a III. 140. § definíciójával, és egy szorzótényezőben eltér a
81. §-ban használttól.
[424] A pólus kikerülésének szabálya
(az tag) meghatározza a logaritmus argumentuma fázisának
megváltozását, miközben
-tól
-ig változik: az elágazási pont alulról való megkerülésekor az
argumentum
-tól
-ig változik.
[425] Ha a gyök alatti kifejezés negatívvá válik, ismét a kikerülési szabály határozza meg a négyzetgyök előjelét.
[426] A helyes eredményeket először W. A. McKinley és H. Feshbach (1948) vezették le a szórás parciális fázisainak pontos kifejezéseiből kiindulva. A perturbációszámításon alapuló számítást R. H. Dalitz (1950) végezte el.