ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

119.§. A külső téren való elektronszórás sugárzási korrekciói

Számítsuk ki a külső téren való elektronszórás sugárzási korrekcióit (J. Schwinger , 1949).

A szórási amplitúdó megfelelő részét a (118,2) gráfok ábrázolják. Az első diagram járuléka az amplitúdóhoz

ahol (–q2) a gráfban található huroknak megfelelő polarizációs operátor . A második diagram járuléka

ahol a vertexoperátorban szereplő korrekciós tag ( Γμ=γμ+Λμ ); (113,6) alapján

A két járulékot összeadva azt kapjuk, hogy^[427]

12.134. egyenlet - (119,1)

\begin{matrix} \begin{aligned} M_{f i}^{(3)} & = - (ū^{'} γ^{0} Q_{s u g} u) e Φ (q), \\ Q_{s u g} (q) & = f (- q^{2}) - 1 - \frac{1}{q^{2}} 𝒫 (- q^{2}) + \frac{1}{2 m} g (- q^{2}) q γ . \end{aligned} & (119,1) \end{matrix}

Vizsgáljuk meg először az f(–q2) alakfaktorban és így a (119,1) szórási amplitúdóban is fellépő infravörös divergencia kérdését.

Már megjegyeztük (a 95. §-ban), hogy a tisztán rugalmatlan szórás pontos amplitúdója zérus, azaz nincs értelme. Fizikai jelentése csak olyan folyamat szórási amplitúdójának van, amelyben tetszőleges számú, egy adott ωmax -nál alacsonyabb energiájú lágy foton emisszióját engedjük meg, ahol

Más szóval, csak a következő összegnek van értelme:

12.135. egyenlet - (119,2)

d σ = d σ_{r u g} + d σ_{r u g} \int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω} + d σ_{r u g} \frac{1}{2!} \int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω_{1}} \int_{0}^{ω_{m a x}} a w_{ω_{2}} + \dots,

ahol dσrug a fotonok emissziója nélküli folyamat, dwω pedig annak a differenciális valószínűsége, hogy az elektron egy frekvenciájú fotont emittál. Eközben feltételezzük, hogy magát a dσrug -t perturbációs sorként számítjuk ki, azaz hatványai szerinti sor alakjában.^[428] Miután (119,2) minden tagjából összegyűjtjük az azonos hatványokat, megkapjuk -nak szerinti sorfejtését, amelynek minden tagja véges lesz.

Az első Born-közelítésben dσrug∼α2 . Ennek a taganak természetesen már önmagában van értelme. Ha dσrug -ban a következő korrekciót (az -nal arányos tagot) is figyelembe akarjuk venni, akkor ezzel együtt kell tekintenünk a (119,2) összeg második tagját: mivel dwω∼α , így dσrug∼α2 -tel szorozva ez is nagyságrendű tagot ad. Megmutatjuk, hogy e két mennyiség összeadásakor az infravörös divergencia eltűnik.

Az alakfaktor divergens része (114,17) szerint

alakú.^[429] A (119,1) amplitúdó megfelelő tagja:

a (118,5) szórási hatáskeresztmetszetben pedig

dσinfra=–αKln(m/λ)⋅|ū′γ0u|2|eΦ(q)|2(dΩ′/16π2).

Ezt összehasonlítva a

Born-hatáskeresztmetszettel , azt kapjuk, hogy

12.136. egyenlet - (119,3)

d σ^{infra} = - α K ln \frac{m}{λ} \cdot d σ^{(1)} .

Másrészről ∫ dwω -t (117,11)-ből véve, (119,2) második tagja azt adja, hogy

12.137. egyenlet - (119,4)

d σ_{r u g} \int_{0}^{ω_{m a x}} d w_{ω} = α K ln \frac{2 ω_{m a x}}{λ} \cdot d σ^{(1)} .

Végül (119,3)-at és (119,4)-et összeadva, az eredmény

12.138. egyenlet - (119,5)

- d σ^{(1)} \cdot α K (\frac{| q |}{2 m}) ln \frac{m}{2 ω_{m a x}} .

Látjuk, hogy a lágy ( |k|∼λ ) virtuális fotonok divergens járulékát kiejti a hasonló valódi fotonok kisugárzásától származó járulék. Ugyanez a helyzet bármely más szórási folyamatban is.

Ugyanakkor a szórási hatáskeresztmetszet függ ωmax -tól. Ez annak következménye, hogy ωmax szerepel magában a szórás definíciójában – olyan folyamatról van szó, ahol tetszőleges számú lágy foton emittálódhat. Természetes, hogy egy ilyen folyamat hatáskeresztmetszete annál kisebb, minél kisebb az ωmax korlát, amelynél alacsonyabb frekvenciájú fotonok emittálását még az adott szórási folyamathoz soroljuk.

Vezessük most le a szórás hatáskeresztmetszetének sugárzási korrekcióját leíró teljes kifejezést. A szokásos szabályok szerint eljárva [l. (66,7)], a bejövő elektronok polarizációjára átlagolt, a kimenő elektronok polarizációjára összegezett hatáskeresztmetszet :

12.139. egyenlet - (119,6)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = d σ^{(1)} + d σ_{s u g} = \\ = | e Φ (q) |^{2} Sp {({\hat{p}}^{'} + m) (γ^{0} + γ^{0} Q_{s u g}) (\hat{p} + m) (γ^{0} + γ^{0} {\bar{Q}}_{s u g})} \frac{d Ω^{'}}{32 π^{2}} . \end{aligned} & (119,6) \end{matrix}

(119,1) szerint

Az -ban és -ben lineáris tagokat tartalmazó pontossággal (119,6)-ban a nyom:

Így

12.140. egyenlet - (119,7)

d σ_{s u g} = 2 \{f_{λ} (- q^{2}) - 1 - \frac{1}{q^{2}} 𝒫 (- q^{2}) - \frac{q^{2}}{4 𝜀^{2} - q^{2}} g (- q^{2})\} d σ^{(1)},

ahol dσ(1) a polarizálatlan elektronok szórásának (81,5) hatáskeresztmetszete ; az alakfaktort indexszel láttuk el, emlékeztetőül arra, hogy „ fotontömegnél levágtuk”.

(119,7)-hez hozzá kell még adni a lágy fotonok emissziójának hatáskeresztmetszetét . Ha -t

12.141. egyenlet - (119,8)

f_{λ} (- q^{2}) = 1 - \frac{α}{2} K (\frac{| q |}{2 m}) ln \frac{m}{λ} + α K_{2}

alakban írjuk fel, akkor (117,11) szerint a fenti hozzáadás azt jelenti, hogy (119,7)-ben -t a következő kifejezéssel kell helyettesíteni:

12.142. egyenlet - (119,9)

f_{ω_{m a x}} = 1 - \frac{α}{2} K (\frac{| q |}{2 m}) ln \frac{m}{2 ω_{m a x}} + \frac{α}{2} K_{1} + α K_{2} .

Ezzel a helyettesítéssel (119,7) a helyes eredményt adja.

Megemlítjük, hogy nemrelativisztikus közelítésben^[430]

12.143. egyenlet - (119,10)

f_{ω_{m a x}} = 1 - \frac{α q^{2}}{3 π m^{2}} (l n \frac{m}{2 ω_{m a x}} + \frac{11}{24}), q^{2} ≪ m^{2} .

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a külső tér adatait a hatáskeresztmetszet sugárzási korrekciója csak dσ(1) -en keresztül tartalmazza; (119,7)-ben a kapcsos zárójelben álló tényező univerzális jellegű. Nemrelativisztikus közelítésben

12.144. egyenlet - (119,11)

d σ_{s u g} = - d σ^{(1)} \cdot \frac{2 α}{3 π} \frac{q^{2}}{m^{2}} (ln \frac{m}{2 ω_{m a x}} + \frac{19}{30}), q^{2} ≪ m^{2}

[ide (119,7) minden tagja ad járulékot]. Az ellenkező, az ultrarelativisztikus esetben lényeges járulékot csak az fωmax–1 tag ad. Ekkor

12.145. egyenlet - (119,12)

d σ_{s u g} = - d σ^{(1)} \cdot \frac{2 α}{π} ln \frac{q^{2}}{m^{2}} ln \frac{𝜀}{ω_{m a x}}, q^{2} ≫ m^{2} .

Végül megemlítjük, hogy az itt vizsgált sugárzási korrekciók nem vezetnek olyan polarizációs effektusokhoz, amelyek az első Born-közelítésben hiányzanak (a 118. §-ban vizsgált második Born-közelítéssel ellentétben). A helyzet az, hogy az első Born-közelítés speciális jellege végső soron az -mátrix hermitikus voltával kapcsolatos. Ez a tulajdonság azonban megmarad a vizsgált sugárzási korrekciók figyelembevétele esetén is, mivel ebben a közelítésben a szórási csatornában nincs semmilyen valódi közbenső állapot (így az unitaritási összefüggés jobb oldala eltűnik).^[431]

^[427] Eközben emlékeznünk kell arra, hogy ha qμ=(0,q) akkor qμ=(0,–q) . Ezért σ0νqν=–γ0qγ .

^[428] Ami a dwω valószínűséget illeti, a hozzá járuló sugárzási korrekciók figyelembevételének szükségessége függ az ωmax mennyiségtől; ω→0 a klasszikus határesetet jelenti, amelyben a sugárzási korrekciók eltűnnek; így mindig kicsivé tehetjük őket, ha ωmax -ot elég kicsinek választjuk.

^[429] Erről könnyen meggyőződhetünk, ha felhasználjuk |q| és a (114,17)-ben szereplő közti (|q|/m)=(1–ξ/√ξ) kapcsolatot.

^[430] Ez a kifejezés a lnλ→ln2ωmax–5∕6 cserében tér el a nemrelativisztikus (114,20)-tól.

^[431] A perturbációszámításnak csak a második rendjében megjelenő folyamatokhoz tartozó sugárzási korrekciók kiszámítása lényegesen hosszadalmasabb, és ebben a könyvben ezeket nem tárgyaljuk. Mindössze néhány irodalmi hivatkozásra szorítkozunk: foton-elektron szóráshoz tartozó sugárzási korrekciók – L. M. Brown , R. Feynman , Phys. Rev. 85, 231 (1952); e+e– pár kétfotonos szétsugárzásához – J. Harris , L. M. Brown, Phys. Rev. 105, 1656 (1957); elektron szórásához elektronon és pozitronon – M. Redhead , Proc. Roy. Soc. 220, 219 (1953); P. V. Polovin , ZSETF 31, 449 (1956); fékezési sugárzáshoz – P. I. Fomin , ZSETF 35, 707 (1958).