Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Számítsuk ki a külső téren való elektronszórás sugárzási korrekcióit (J. Schwinger , 1949).
A szórási amplitúdó megfelelő részét a (118,2) gráfok ábrázolják. Az első diagram járuléka az amplitúdóhoz
ahol a gráfban található huroknak megfelelő polarizációs operátor . A második diagram járuléka
ahol a vertexoperátorban szereplő korrekciós tag (
); (113,6) alapján
A két járulékot összeadva azt kapjuk, hogy[427]
Vizsgáljuk meg először az alakfaktorban és így a (119,1)
szórási amplitúdóban is fellépő infravörös divergencia kérdését.
Már megjegyeztük (a 95. §-ban), hogy a tisztán
rugalmatlan szórás pontos amplitúdója zérus, azaz nincs értelme. Fizikai jelentése csak
olyan folyamat szórási amplitúdójának van, amelyben tetszőleges számú, egy adott
-nál alacsonyabb energiájú lágy foton emisszióját engedjük meg, ahol
Más szóval, csak a következő összegnek van értelme:
ahol a fotonok emissziója nélküli folyamat,
pedig annak a differenciális valószínűsége, hogy az elektron egy
frekvenciájú fotont emittál. Eközben feltételezzük, hogy magát a
-t perturbációs sorként számítjuk ki, azaz
hatványai szerinti sor alakjában.[428] Miután (119,2) minden tagjából
összegyűjtjük az azonos
hatványokat, megkapjuk
-nak
szerinti sorfejtését, amelynek minden tagja véges lesz.
Az első Born-közelítésben. Ennek a taganak természetesen már önmagában van értelme. Ha
-ban a következő korrekciót (az
-nal arányos tagot) is figyelembe akarjuk venni, akkor ezzel együtt
kell tekintenünk a (119,2) összeg második tagját:
mivel
, így
-tel szorozva ez is
nagyságrendű tagot ad. Megmutatjuk, hogy e két mennyiség összeadásakor
az infravörös divergencia eltűnik.
Az alakfaktor divergens része(114,17) szerint
alakú.[429] A (119,1) amplitúdó megfelelő tagja:
a (118,5) szórási hatáskeresztmetszetben pedig
Ezt összehasonlítva a
Born-hatáskeresztmetszettel , azt kapjuk, hogy
Másrészről -t (117,11)-ből véve, (119,2) második tagja azt adja, hogy
Végül (119,3)-at és (119,4)-et összeadva, az eredmény
Látjuk, hogy a lágy () virtuális fotonok divergens járulékát kiejti a hasonló valódi fotonok
kisugárzásától származó járulék. Ugyanez a helyzet bármely más szórási folyamatban
is.
Ugyanakkor a szórási hatáskeresztmetszet függ -tól. Ez annak következménye, hogy
szerepel magában a szórás definíciójában – olyan folyamatról van szó,
ahol tetszőleges számú lágy foton emittálódhat. Természetes, hogy egy ilyen folyamat
hatáskeresztmetszete annál kisebb, minél kisebb az
korlát, amelynél alacsonyabb frekvenciájú fotonok emittálását még az
adott szórási folyamathoz soroljuk.
Vezessük most le a szórás hatáskeresztmetszetének sugárzási korrekcióját leíró teljes kifejezést. A szokásos szabályok szerint eljárva [l. (66,7)], a bejövő elektronok polarizációjára átlagolt, a kimenő elektronok polarizációjára összegezett hatáskeresztmetszet :
(119,1) szerint
Az -ban és
-ben lineáris tagokat tartalmazó pontossággal (119,6)-ban a nyom:
ahol a polarizálatlan elektronok szórásának (81,5) hatáskeresztmetszete ; az
alakfaktort
indexszel láttuk el, emlékeztetőül arra, hogy „
fotontömegnél levágtuk”.
(119,7)-hez hozzá kell még adni a lágy fotonok
emissziójának hatáskeresztmetszetét . Ha -t
alakban írjuk fel, akkor (117,11)
szerint a fenti hozzáadás azt jelenti, hogy (119,7)-ben -t a következő kifejezéssel kell helyettesíteni:
Ezzel a helyettesítéssel (119,7) a helyes
eredményt adja.
Megemlítjük, hogy nemrelativisztikus közelítésben[430]
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a külső tér adatait a hatáskeresztmetszet
sugárzási korrekciója csak -en keresztül tartalmazza; (119,7)-ben a kapcsos zárójelben álló tényező univerzális jellegű.
Nemrelativisztikus közelítésben
[ide (119,7) minden tagja ad járulékot].
Az ellenkező, az ultrarelativisztikus esetben lényeges járulékot csak az tag ad. Ekkor
Végül megemlítjük, hogy az itt vizsgált sugárzási korrekciók nem vezetnek olyan
polarizációs effektusokhoz, amelyek az első Born-közelítésben hiányzanak (a 118. §-ban vizsgált második Born-közelítéssel ellentétben). A helyzet az, hogy az első
Born-közelítés speciális jellege végső soron az
-mátrix hermitikus voltával kapcsolatos. Ez a tulajdonság azonban
megmarad a vizsgált sugárzási korrekciók figyelembevétele esetén is, mivel ebben a
közelítésben a szórási csatornában nincs semmilyen valódi közbenső állapot (így az
unitaritási összefüggés jobb oldala
eltűnik).[431]
[427] Eközben emlékeznünk kell arra, hogy ha akkor
. Ezért
.
[428] Ami a valószínűséget illeti, a hozzá járuló sugárzási korrekciók
figyelembevételének szükségessége függ az
mennyiségtől;
a klasszikus határesetet jelenti, amelyben a sugárzási
korrekciók eltűnnek; így mindig kicsivé tehetjük őket, ha
-ot elég kicsinek választjuk.
[431] A perturbációszámításnak csak a második rendjében megjelenő folyamatokhoz
tartozó sugárzási korrekciók kiszámítása lényegesen hosszadalmasabb, és ebben a
könyvben ezeket nem tárgyaljuk. Mindössze néhány irodalmi hivatkozásra
szorítkozunk: foton-elektron szóráshoz tartozó sugárzási korrekciók – L.
M. Brown , R. Feynman , Phys. Rev. 85,
231 (1952); pár kétfotonos szétsugárzásához – J. Harris , L. M. Brown, Phys. Rev.
105, 1656 (1957); elektron szórásához
elektronon és pozitronon – M. Redhead , Proc. Roy. Soc.
220, 219 (1953); P. V.
Polovin , ZSETF 31, 449
(1956); fékezési sugárzáshoz – P. I. Fomin , ZSETF 35, 707
(1958).