ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

126.§. Sugárzási korrekciók az elektromágneses tér egyenleteihez

Az elektron-pozitron tér kvantálásakor (25. §) láttuk, hogy a vákuum energiájának kifejezésében egy végtelen nagy állandó jelenik meg, amelyet^[457]

12.247. egyenlet - (126,1)

ℰ_{0} = - \sum_{p σ} 𝜀_{p σ}^{(-)}

alakban írhatunk fel, ahol εpσ(–) a Dirac-egyenlet megoldásakor fellépő negatív frekvenciákat jelöli. Ennek az állandónak önmagában nincs fizikai jelentése, mivel a vákuum energiája definíció szerint nulla. Más oldalról viszont, elektromágneses tér jelenlétében az energiaszintek megváltoznak. Ezek a változások végesek, és van fizikai értelmük. A tér tulajdonságainak az elektromágneses tértől való függését írják le, és megváltoztatják az elektromágneses tér egyenleteit a vákuumban.

A téregyenletek megváltozását a tér Lagrange-függvényének megváltozása fejezi ki. A Lagrange-függvény sűrűsége relativisztikusan invariáns, és így csak az E2–H2 és az invariánsok függvénye lehet. A szokásos kifejezés,

12.248. egyenlet - (126,2)

L_{0} = \frac{1}{8 π} (E^{2} - H^{2})

az általános kifejezés invariánsok hatványai szerinti kifejtésének első tagja.

A Lagrange-függvényt arra az esetre fogjuk meghatározni, amikor az és terek olyan lassan változnak térben és időben, hogy homogéneknek és állandóknak tekinthetők. Ehhez az szükséges, hogy a tér változására jellemző frekvencia és hullámvektor kielégítse az

12.249. egyenlet - (126,3)

ω ≪ m, | k | ≪ m

egyenlőtlenségeket. Ekkor úgy vehetjük, hogy nem tartalmazza a terek deriváltjait.

Ahhoz azonban, hogy a kitűzött feladatnak értelme legyen, az elektromágneses teret elég gyengének kell feltételeznünk. Az a helyzet, hogy a homogén elektromos tér a vákuumból párt kelthet. Az elektromágneses teret önmagában (zárt rendszerként) tekinteni csak akkor megengedett, ha a párkeltés valószínűsége elég kicsi. Ehhez teljesülnie kell az

12.250. egyenlet - (126,4)

| E | ≪ \frac{m^{2}}{e} (= \frac{m^{2} c^{3}}{e ℏ})

feltételnek (az töltés energiájának változása ℏ∕mc távolságon kicsi kell, hogy legyen mc2 -hez képest). A későbbiekben majd látni fogjuk (l. még a 2. feladatot), hogy ebben az esetben a párkeltés valószínűsége exponenciálisan kicsi.

Ha az elektromos téren kívül mágneses tér is van, akkor, általában véve, kiválaszthatunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben és párhuzamosak. Ekkor a mágneses tér nem hat a töltés irányú mozgására. Ebben a koordináta-rendszerben (a további számításokban ennek a kiválasztását tételezzük fel) teljesülnie kell a (126,4) feltételnek.

A Lagrange-függvény kiszámítását kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a vákuum energiájának megváltozását, a -t. A mennyiség a tér (126,1) „hullaenergiájának” megváltozásából ered. Ebből a mennyiségből ki kell vonni azonban a negatív energiájú „állapotokban” levő elektronok potenciális energiájának átlagértékét. Az utóbbi kivonás egyszerűen azt jelenti, hogy a vákuum össztöltése definíciószerűen zérus.

A nullaponti energia elektromágneses tér jelenlétében:

ℰ0=–∑pσεpσ(–)=∑pσ∫ψpσ(–)∗i(∂/∂t)ψpσ(–)d3x,

ahol ψpσ(–) az adott térben felírt Dirac-egyenlet negatív frekvenciás megoldásait jelöli. Feltételezzük, hogy az integrálást egységnyi térfogatra végezzük, és a hullámfüggvények ebben a térfogatban 1-re vannak normálva; ekkor az egységnyi térfogat energiája. A fentiek szerint -ból ki kell vonni az

mennyiséget, ahol φ=–Er , a homogén tér potenciálja. Viszont az operátorok paraméterek szerinti deriválására vonatkozó tétel alapján [l. a III. (11,16) képletet]:

U0≡E∫∑pσψpσ(–)∗(∂H/∂E)ψpσ(–)d3x=–E∑pσ(∂εpσ(–)/∂E)=E(∂ℰ0/∂E).

Így végül a vákuum energiasűrűségének teljes megváltozása :

12.251. egyenlet - (126,5)

W^{'} = {(ℰ_{0} - E \frac{\partial ℰ_{0}}{\partial E}) - (ℰ_{0} - E \frac{\partial ℰ_{0}}{\partial E})|}_{E = H = 0} .

Határozzuk meg és a Lagrange-függvény sűrűségének megváltozása közti összefüggést (L=L0+L′) . Ehhez felhasználjuk az általános

képletet, ahol a tér „általánosított koordinátáit” (l. II. 32. §) jelöli. Elektromágneses tér esetén az és potenciálok játsszák a mennyiségek szerepét. Mivel

12.252. egyenlet - (126,6)

E = - \dot{A} - Δ φ, H = rot A,

így a „sebességek” közül csak szerepel -ben, és az szerinti deriválás ekvivalens az szerinti deriválással. Így

12.253. egyenlet - (126,7)

W^{'} = E \frac{\partial L^{'}}{\partial E} - L^{'} .

A (126,5)és (126,7) képleteket összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

12.254. egyenlet - (126,8)

L^{'} = - [{ℰ_{0} - ℰ_{0}|}_{E = H = 0}] .

Tehát kiszámítása a (126,1)összeg kiszámítására vezethető vissza.

Tekintsük először azt az esetet, amikor csak mágneses tér van. Állandó, homogén Hz=H mágneses térben az elektron „negatív” energiaszintjei (a töltés e=–|e| ):

12.255. egyenlet - (126,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} - 𝜀_{p}^{(-)} & = - \sqrt{m^{2} + | e | H (2 n - 1 + σ) + p_{z}^{2}}, \\ n & = 0, 1, 2, \dots; σ = \pm 1 \end{aligned} & (126,9) \end{matrix}

(l. a 32. § feladatát). Az összeg kiszámításakor vegyük figyelembe, hogy a dpz intervallumban az állapotok száma

(l. III. 111. §); az első tényező a különböző értékekhez tartozó állapotok száma – az energia -től nem függ. Ezenkívül minden szint, az n=0,σ=–1 szint kivételével, kétszeresen elfajult: az n,σ=+1 és az n+1,σ=–1 szintek egybeesnek. Így

12.256. egyenlet - (126,10)

- ℰ_{0} = \frac{| e | H}{{(2 π)}^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} \{\sqrt{m^{2} + p_{z}^{2}} + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{m^{2} + 2 | e | H n + p_{z}^{2}}\} d p_{z} .

A (126,10) integrálok divergenciáját kiszámításakor (126,8)-ban az összeg H=0 -ra felvett értékének levonása tünteti el. E „renormálás ” elvégzéséhez előbb célszerű a következő konvergens mennyiséget kiszámítani:

Φ≡–(∂2ℰ0/(∂m2)2) =–(|e|H/2(2π)2)∫0∞{(m2+pz2)–3∕2+2∑n=1∞(m2+2|e|Hn+pz2)–3∕2} dpz= =–(|e|H/8n2){(1/m2)+2∑n=1∞(1/m2+2|e|Hn)}.

A kapcsos zárójelben kijelölt összegezést mértani sor összegezésére vezethetjük vissza a következő módon:

12.257. egyenlet - (126,11)

\begin{matrix} \begin{matrix} Φ & = - \frac{| e | H}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- m^{2} η} [2 \sum_{n = 0}^{\infty} e^{- 2 | e | H n η} - 1] d η = \\ = - \frac{| e | H}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- m^{2} η} [\frac{2}{1 - e^{- 2 | e | H η}} - 1] d η = - \frac{| e | H}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- m^{2} η} cth (| e | H η) d η . \end{matrix} & (126,11) \end{matrix}

meghatározásához -t kétszer kell integrálnunk szerint, majd az így kapott mennyiségből le kell vonni a H=0 -nál felvett értékét. Így azt kapjuk, hogy

12.258. egyenlet - (126,12)

L^{'} = - \frac{1}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- m^{2} η}}{η^{3}} {η | e | H cth (η | e | H) - 1} d η + c_{1} + c_{2} m^{2},

ahol és függ -tól, de nem függ -től.

Dimenzionális megfontolásokból és a szerinti párosság figyelembevételéből nyilvánvaló, hogy a -tól és -től csak a következő alakban függhet:

Ezért az -ben páratlan tagok -ben egyáltalán nem szerepelhetnek, és így c2=0 . A együtthatót abból a feltételből határozzuk meg, hogy -nek szerinti sorfejtése ∼H4 nagyságrendű taggal kezdődjék. Valóban, a nagyságrendű tag -ben azt jelentené, hogy a kezdeti Lagrange-függvény L0=–H2∕8π együtthatója megváltozik. Ez viszont a térerősség és ezzel együtt a töltés definíciójának megváltoztatása lenne. Ezért a ∼H2 nagyságrendű tagok kiküszöbölése a töltés renormálását jelenti. Könnyű belátni, hogy ez akkor teljesül, ha

Végül, (126,12)-ben az m2η→η változócserét végrehajtva, azt kapjuk, hogy

12.259. egyenlet - (126,13)

L^{'} (H; E = 0) = \frac{m^{4}}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} \{- η b cth b η + 1 + \frac{b^{2} η^{2}}{3}\} e^{- η} \frac{d η}{η^{3}},

ahol b=|e|H∕m2 .

Térjünk vissza az általános esethez, amikor a mágneses tér mellett vele párhuzamos elektromos tér van, amely eleget tesz a (126,4) feltételnek.

L ′ kiszámításához azonban ebben az estben nem kell ismét meghatároznunk az elektron ( εp(–) ) energiaszintjeit az elektromágneses térben. Elég azt észrevenni, hogy ha a hullámfüggvényt – a (32,7) másodrendű egyenlet megoldását – szorzat alakban keressük:

[ahol χnσ(y) a hullámfüggvény a mágneses térben, E=0 és pz=0 esetén], akkor az tömeg és térerősség a ψE(z) -re felírt egyenletben csak az

kombinációban szerepel. Ha most figyelembe vesszük, hogy a szerinti összegezés (az energia nem függ -től) ismét az |e|H∕2π szorzótényezőt eredményezi, akkor dimenzionális megfontolásokból a

mennyiséget a következő alakban írhatjuk fel:

12.260. egyenlet - (126,14)

\begin{matrix} \begin{aligned} Φ (H, E) & = - \frac{| e | H}{8 π^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{σ = \pm 1} \frac{F (\frac{m^{2} + | e | H (2 n + 1 + σ)}{| e | H})}{m^{2} + | e | H (2 n + 1 + σ)} = \\ = - \frac{b}{8 π^{2}} \{F (\frac{1}{a}) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{F (\frac{1 + 2 b n}{a})}{1 + 2 b n}\}, a = \frac{| e | E}{m^{2}} . \end{aligned} & (126,14) \end{matrix}

[A kapcsos zárójelben levő minden egyes tag az energiának a tömeg négyzete szerinti második deriváltja, azaz –d2εp(–)∕(dm2)2 , amely az kivételével minden kvantumszámra összegezve van.] Itt egyelőre ismeretlen függvény, amit a relativisztikus invariancia segítségével fogunk meghatározni.

Valóban, a H2–E2 és az (EH)2=(EH)2 skalárok függvénye kell, hogy legyen:

Így

Viszont a Φ(iE,0) függvényt megkaphatjuk (126,11)-ből a H→iE cserével; az integrálási változó megváltoztatásával azt kapjuk, hogy

12.261. egyenlet - (126,15)

Φ (i E, 0) = \frac{1}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} e^{- η ∕ a} ctg η d η .

Ezt a kifejezést a (126,14)-ből kapott Φ(H→0,E) határértékkel összehasonlítva, megkaphatjuk az függvényt.

A H→0 határátmenet (126,14)-ben azt jelenti, hogy az szerinti összegezés helyett dn=dx∕2b szerint integrálhatunk:

12.262. egyenlet - (126,16)

Φ (0, E) = - \frac{1}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} F (\frac{1 + x}{a}) \frac{d x}{1 + x} = - \frac{1}{8 π^{2}} \int_{1 ∕ a}^{\infty} \frac{F (y)}{y} d y .

A (126,15)és (126,16) kifejezéseket egyenlővé téve, majd ezt az egyenlőséget 1∕a≡z szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

Ezután (126,14)-ben az összegezés ismét egy mértani sor összegezésére vezethető vissza, és a további számítások a fentiekhez hasonlóak: -t kifejezzük m2,E és függvényeként, kétszer integrálunk szerint, kivonjuk az E=H=0 -nál felvett értéket, és meghatározzuk az integrálási állandókat, akárcsak (126,13) levezetésekor. A végeredmény:^[458]

12.263. egyenlet - (126,17)

\begin{matrix} \begin{matrix} L^{'} = \frac{m^{4}}{8 π^{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- η}}{η^{3}} \{- (η a ctg η a) (η b cth η b) + 1 - \frac{η^{2}}{3} (a^{2} - b^{2})\} d η, \\ a = \frac{| e | E}{m^{2}} (= \frac{| e | ℏ E}{m^{2} c^{3}}), b = \frac{| e | H}{m^{2}} (= \frac{| e | ℏ H}{m^{2} c^{3}}) . \end{matrix} & (126,17) \end{matrix}

Rögtön megjegyezzük, hogy a fenti képlet némileg feltételes jellegű. Csak kis elektromos térerősség esetén igaz: vagyis, ha a≪1 [l. (126,4); (126,17)-ben ezt nem használtuk fel]. Ez abban nyilvánul meg, hogy (126,17)-ben az integrandusnak pólusai vannak az η=nπ∕a ( n=1,2,… ) helyeken, és így a fenti alakban felírt integrálnak, szigorúan véve, nincs értelme. Ezért (126,17) lényegében csak arra használható, hogy ctg formális kifejtésével az hatványai szerinti aszimptotikus sor tagjait meghatározzuk (l. alább).

A (126,17) integrálnak matematikai jelentést tulajdoníthatunk, ha a pólusokat komplex síkjában kikerüljük. Ekkor -ben és hasonlóan a energiasűrűségben képzetes rész jelenik meg. A komplex energia, mint általában, itt is azt jelenti, hogy az állapotok kvázistacionárisak.^[459] Az adott esetben az állapotok stacionárius volta a párkeltés miatt szűnik meg; a –2ℑW′ mennyiség annak a valószínűségét adja meg, hogy egységnyi térfogatban egységnyi idő alatt egy pár keletkezik. Mivel és csupán előjelben különböznek, így a valószínűség és függvényében egyszerűen

12.264. egyenlet - (126,18)

w = 2 ℑ L^{'} .

Nyilvánvaló, hogy ez e–π∕a -val arányos [l. alább, (126,20)]. Éppen az, hogy ℑW′ exponenciálisan kicsi a≪1 esetén, teszi lehetővé, hogy az a szerinti aszimptotikus hatványsorban tetszőleges véges számú tagot megtartsunk.

Vizsgáljuk meg a (126,17) képlet határeseteit. Gyenge terek ( a≪1,b≪1 ) esetén a sorfejtés első tagjai:

12.265. egyenlet - (126,19)

L^{'} = \frac{m^{4}}{8 π^{2}} \frac{{(a^{2} - b^{2})}^{2} + 7 {(a b)}^{2}}{45} = \frac{e^{4}}{45 \cdot 8 π^{2} m^{4}} [{(E^{2} - H^{2})}^{2} + 7 {(E H)}^{2}] .

Speciálisan, ha b=0 , akkor a relatív korrekció :

Megjegyezzük, hogy miután -et az E2–H2 és invaránsok segítségével kifejeztük [mint (126,19)-ben], a képlet tetszőleges vonatkoztatási rendszerben érvényes (nemcsak abban, ahol E∥H ).

L ′ képzetes részét a≪1 esetén úgy kaphatjuk meg (126,17)-ből, hogy a ctg függvény fél reziduumát vesszük a nullához legközelebb álló pólus helyén, azaz ahol ηa=π–i0 . (126,18) szerint ez megadja annak a valószínűségét, hogy a gyenge elektromos tér egy párt kelt :

12.266. egyenlet - (126,20)

w = \frac{m^{4}}{4 π^{3}} a^{2} e^{- π ∕ a} = \frac{1}{4 π^{3}} (\frac{e E ℏ}{m^{2} c^{3}})^{2} \frac{m c^{2}}{ℏ} (\frac{m c}{ℏ})^{3} exp (- \frac{π m^{2} c^{3}}{| e | ℏ E}) .

Erős mágneses térben ( a=0,b≫1 ) a (126,13) alakból indulunk ki, amelyet (a bη→η csere után) a következő alakban írunk:

L′=(m4b2/8π3)∫0∞(e–η∕b/η)[(1/3)–(ηcthη–1/η2)] dη.

b≫1 esetén ebben az integrálban az 1≪η≪b tartomány lényeges. Itt e–η∕b≈1 , és a zárójelben álló második tag elhanyagolható, az integrált pedig (logaritmikus pontossággal) levághatjuk az η≈1 és η≈b határokon. Ekkor

12.267. egyenlet - (126,21)

L^{'} = \frac{m^{4} b^{2}}{24 π^{2}} ln b

pontosabb számítás esetén az eredmény lnb helyett lnb–2,29 ). Ebben az esetben

Innen látható, hogy a téregyenletekhez járuló sugárzási korrekciók relatív nagyságrendje az egységet csak exponenciálisan nagy terek,

12.268. egyenlet - (126,22)

H \sim \frac{m^{2}}{| e |} e^{3 π ∕ α}

esetén érhetné el.

Ennek ellenére a kiszámított korrekcióknak van értelme: megszüntetik a Maxwell-egyenletek linearitását , és ezzel – elvileg – megfigyelhető folyamatokhoz vezetnek (például, fény szórása fényen vagy külső térben).

Az és térerősségek és az és potenciálok kapcsolata definíció szerint változatlan, (126,6) marad. Így az első két Maxwell-egyenlet sem változik:

A másik két egyenletet az

hatás és szerinti variálásával kaphatjuk meg. Ezek a következő alakban írhatók:

12.269. egyenlet - (126,23)

rot (H - 4 π M) = \frac{\partial}{\partial t} (E + 4 π P),

12.270. egyenlet - (126,24)

div (E + 4 π P) = 0,

ahol bevezettük a

12.271. egyenlet - (126,25)

P = \frac{\partial L^{'}}{\partial E}, M = \frac{\partial L^{'}}{\partial H}

jelöléseket. A (126,23), (126,24) egyenletek alakja megegyezik a makroszkopikus Maxwell-egyenletekkel , amelyek anyagi közegben írják le az elektromágneses teret.^[460] Innen látható, hogy a és mennyiségek a vákuum elektromos és mágneses polarizációját jelentik.

Végül megjegyezzük, hogy síkhullám terére és eltűnik, mivel itt, mint ismeretes, mindkét invariáns, E2–H2 és nulla. Más szóval síkhullámra a nemlineáris korrekciók vákuumban hiányzanak.

Feladatok

1. Határozzuk meg egy kis, mozdulatlan töltés teréhez a korrekciót, amely a Maxwell-egyenletek nemlineáris voltából ered.

Megoldás. H=0 esetén (126,19)-ből azt kapjuk, hogy

Gömbszimmetrikus esetben (126,24)-ből

(az állandót abból a feltételből határoztuk meg, hogy az r→∞ értékekre a tér egybeesik az töltés Coulomb-terével). A (126.1.2) egyenletet közelítőleg megoldva, az eredmény:

vagy

A (126.1.3)-ban szereplő szerint nemlineáris korrekciót meg kell különböztetnünk a (111,6)-ban szereplő lineáris korrekciótól, amely végső soron a Coulomb-tér inhomogenitásából ered. A (126.1.3) korrekció -ban magasabb rendű, de lassabban csökken a távolsággal, és gyorsabban nő növelésével.

2. Becsüljük meg közvetlenül a párkeltés valószínűségét gyenge homogén, állandó elektromos térben a kváziklasszikus közelítés segítségével, exponenciális pontossággal (F. Sauter , 1931).

Megoldás. A gyenge térben történő mozgás kváziklasszikus (a φ=–Er=–Ez potenciál lassan változik). Mivel a folyamat amplitúdójában a végállapotbeli pozitron hullámfüggvénye kezdőállapotbeli „negatív frekvenciás” függvény alakjában szerepel, a párkeltést úgy tekinthetjük, mintha az elektron egy „negatív frekvenciás” állapotából egy „pozitív frekvenciás” állapotba menne át. Az elsőben elektromos tér esetén a kváziklasszikus impulzus, p(z) , a következő egyenlőségből kapható meg:

a másikban pedig

Az első állapotból a másodikba való átmenet olyan potenciálgáton [az a tartomány, ahol p(z) képzetes] történő áthaladásnak felel meg, amely az (126.2.1) és (126.2.2) összefüggések tartományát [ahol p(z) valós] adott mellett elválasztja egymástól. A gát határait, -et és -t a p(z)=0 összefüggésből kaphatjuk meg, azaz

A kváziklasszikus gáton való áthaladás valószínűsége:

w∝exp(–2∫z2z1|p(z)| dz)=exp(–4(m2/eE)∫01√(1–ξ2) dξ),

ahonnan

összhangban a (126,20) képlettel.

^[457] Itt betűt írunk helyett, hogy ne tévesszük össze az elektromos térerősséggel.

^[458] Ezt az eredményt először W. Heisenberg és H. Euler vezette le (1935). A fenti számításokban a V. Weisskopf levezetésében (1936) található gondolatokat is felhasználtuk.

^[459] Az integrálban a pólusokat úgy kell kikerülni, hogy ℑW′<0 teljesüljön. Ennek a követelménynek felel meg a tömeg helyettesítésének m2→m2–i0 szabálya (tehát az adott esetben a→a+i0 ).

^[460] Az összehasonlításkor emlékeznünk kell arra, hogy a makroszkopikus elektrodinamikában a mágneses térerősség átlagértékét -vel jelölik, nem pedig -val, mint itt.