Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az elektron-pozitron tér kvantálásakor (25. §) láttuk, hogy a vákuum energiájának kifejezésében egy végtelen nagy állandó jelenik meg, amelyet[457]
alakban írhatunk fel, ahol a Dirac-egyenlet megoldásakor fellépő
negatív frekvenciákat jelöli. Ennek az állandónak önmagában nincs fizikai jelentése,
mivel a vákuum energiája definíció szerint nulla. Más oldalról viszont, elektromágneses
tér jelenlétében az
energiaszintek megváltoznak. Ezek a változások végesek, és van fizikai
értelmük. A tér tulajdonságainak az elektromágneses tértől való függését írják le, és
megváltoztatják az elektromágneses tér egyenleteit a vákuumban.
A téregyenletek megváltozását a tér Lagrange-függvényének megváltozása fejezi ki. A
Lagrange-függvény sűrűsége relativisztikusan invariáns, és így csak az
és az
invariánsok függvénye lehet. A szokásos kifejezés,
az általános kifejezés invariánsok hatványai szerinti kifejtésének első
tagja.
A Lagrange-függvényt arra az esetre fogjuk meghatározni, amikor az és
terek olyan lassan változnak térben és időben, hogy homogéneknek és
állandóknak tekinthetők. Ehhez az szükséges, hogy a tér változására jellemző
frekvencia és
hullámvektor kielégítse az
egyenlőtlenségeket. Ekkor úgy vehetjük, hogy nem tartalmazza a terek deriváltjait.
Ahhoz azonban, hogy a kitűzött feladatnak értelme legyen, az elektromágneses teret elég gyengének kell feltételeznünk. Az a helyzet, hogy a homogén elektromos tér a vákuumból párt kelthet. Az elektromágneses teret önmagában (zárt rendszerként) tekinteni csak akkor megengedett, ha a párkeltés valószínűsége elég kicsi. Ehhez teljesülnie kell az
feltételnek (az töltés energiájának változása
távolságon kicsi kell, hogy legyen
-hez képest). A későbbiekben majd látni fogjuk (l. még a 2. feladatot),
hogy ebben az esetben a párkeltés valószínűsége exponenciálisan kicsi.
Ha az elektromos téren kívül mágneses tér is van, akkor, általában véve,
kiválaszthatunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben és
párhuzamosak. Ekkor a mágneses tér nem hat a töltés
irányú mozgására. Ebben a koordináta-rendszerben (a további
számításokban ennek a kiválasztását tételezzük fel) teljesülnie kell a (126,4) feltételnek.
A Lagrange-függvény kiszámítását kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a vákuum
energiájának megváltozását, a -t. A
mennyiség a tér (126,1)
„hullaenergiájának” megváltozásából ered. Ebből a mennyiségből ki kell vonni azonban a
negatív energiájú „állapotokban” levő elektronok potenciális energiájának átlagértékét.
Az utóbbi kivonás egyszerűen azt jelenti, hogy a vákuum össztöltése definíciószerűen
zérus.
A nullaponti energia elektromágneses tér jelenlétében:
ahol az adott térben felírt Dirac-egyenlet negatív frekvenciás
megoldásait jelöli.
Feltételezzük, hogy az integrálást egységnyi térfogatra végezzük, és a hullámfüggvények
ebben a térfogatban 1-re vannak normálva; ekkor
az egységnyi térfogat energiája. A fentiek szerint
-ból ki kell vonni az
mennyiséget, ahol , a homogén tér potenciálja. Viszont az operátorok paraméterek szerinti
deriválására vonatkozó tétel alapján [l. a III. (11,16) képletet]:
Így végül a vákuum energiasűrűségének teljes megváltozása :
Határozzuk meg és a Lagrange-függvény sűrűségének
megváltozása közti összefüggést
. Ehhez felhasználjuk az általános
képletet, ahol a tér „általánosított koordinátáit” (l. II. 32. §) jelöli.
Elektromágneses tér esetén
az
és
potenciálok játsszák a
mennyiségek szerepét. Mivel
így a „sebességek” közül csak
szerepel
-ben, és az
szerinti deriválás ekvivalens az
szerinti deriválással. Így
A (126,5)és (126,7) képleteket összehasonlítva, azt kapjuk, hogy
Tehát kiszámítása a (126,1)összeg
kiszámítására vezethető vissza.
Tekintsük először azt az esetet, amikor csak mágneses tér van. Állandó, homogén
mágneses térben az elektron „negatív” energiaszintjei (a töltés
):
(l. a 32. § feladatát). Az összeg
kiszámításakor vegyük figyelembe, hogy a intervallumban az állapotok száma
(l. III. 111. §); az első tényező a különböző értékekhez tartozó állapotok száma – az energia
-től nem függ. Ezenkívül minden szint, az
szint kivételével, kétszeresen elfajult: az
és az
szintek egybeesnek. Így
A (126,10) integrálok divergenciáját
kiszámításakor (126,8)-ban az
összeg
-ra felvett értékének levonása tünteti el. E „renormálás ” elvégzéséhez előbb célszerű a következő konvergens mennyiséget
kiszámítani:
A kapcsos zárójelben kijelölt összegezést mértani sor összegezésére vezethetjük vissza a következő módon:
meghatározásához
-t kétszer kell integrálnunk
szerint, majd az így kapott mennyiségből le kell vonni a
-nál felvett értékét. Így azt kapjuk, hogy
ahol és
függ
-tól, de nem függ
-től.
Dimenzionális megfontolásokból és a szerinti párosság figyelembevételéből nyilvánvaló, hogy
a
-tól és
-től csak a következő alakban függhet:
Ezért az -ben páratlan tagok
-ben egyáltalán nem szerepelhetnek, és így
. A
együtthatót abból a feltételből határozzuk meg, hogy
-nek
szerinti sorfejtése
nagyságrendű taggal kezdődjék. Valóban, a
nagyságrendű tag
-ben azt jelentené, hogy a kezdeti Lagrange-függvény
együtthatója megváltozik. Ez viszont a térerősség és ezzel együtt a
töltés definíciójának megváltoztatása lenne. Ezért a
nagyságrendű tagok kiküszöbölése a töltés renormálását jelenti. Könnyű belátni, hogy ez akkor teljesül, ha
Végül, (126,12)-ben az
változócserét végrehajtva, azt kapjuk, hogy
ahol .
Térjünk vissza az általános esethez, amikor a mágneses tér mellett vele párhuzamos
elektromos tér van, amely eleget tesz a (126,4) feltételnek.
kiszámításához azonban ebben az estben nem kell ismét meghatároznunk
az elektron (
) energiaszintjeit az elektromágneses térben. Elég azt észrevenni, hogy
ha a hullámfüggvényt – a (32,7) másodrendű egyenlet
megoldását – szorzat alakban keressük:
[ahol a hullámfüggvény a mágneses térben,
és
esetén], akkor az
tömeg és
térerősség a
-re felírt egyenletben csak az
kombinációban szerepel. Ha most figyelembe vesszük, hogy a
szerinti összegezés (az energia nem függ
-től) ismét az
szorzótényezőt eredményezi, akkor dimenzionális megfontolásokból a
mennyiséget a következő alakban írhatjuk fel:
[A kapcsos zárójelben levő minden egyes tag az energiának a tömeg négyzete
szerinti második deriváltja, azaz , amely az
kivételével minden kvantumszámra összegezve van.] Itt
egyelőre ismeretlen függvény, amit a relativisztikus
invariancia segítségével fogunk meghatározni.
Valóban, a
és az
skalárok függvénye kell, hogy legyen:
Így
Viszont a függvényt megkaphatjuk (126,11)-ből a
cserével; az integrálási változó megváltoztatásával azt kapjuk, hogy
Ezt a kifejezést a (126,14)-ből kapott
határértékkel összehasonlítva, megkaphatjuk az
függvényt.
A határátmenet (126,14)-ben azt
jelenti, hogy az
szerinti összegezés helyett
szerint integrálhatunk:
A (126,15)és (126,16) kifejezéseket egyenlővé téve, majd ezt az
egyenlőséget szerint deriválva, azt kapjuk, hogy
Ezután (126,14)-ben az összegezés ismét egy
mértani sor összegezésére vezethető vissza, és a további számítások a fentiekhez
hasonlóak: -t kifejezzük
és
függvényeként, kétszer integrálunk
szerint, kivonjuk az
-nál felvett értéket, és meghatározzuk az integrálási állandókat,
akárcsak (126,13) levezetésekor. A
végeredmény:[458]
Rögtön megjegyezzük, hogy a fenti képlet némileg feltételes jellegű. Csak kis
elektromos térerősség esetén igaz: vagyis, ha [l. (126,4); (126,17)-ben ezt nem használtuk fel]. Ez abban
nyilvánul meg, hogy (126,17)-ben az integrandusnak
pólusai vannak az
(
) helyeken, és így a fenti alakban felírt integrálnak, szigorúan véve,
nincs értelme. Ezért (126,17) lényegében csak arra
használható, hogy
formális kifejtésével az
hatványai szerinti aszimptotikus sor tagjait meghatározzuk (l. alább).
A (126,17) integrálnak matematikai jelentést
tulajdoníthatunk, ha a pólusokat komplex síkjában kikerüljük. Ekkor
-ben és hasonlóan a
energiasűrűségben képzetes rész jelenik meg. A komplex
energia, mint általában, itt is azt jelenti, hogy az állapotok
kvázistacionárisak.[459] Az adott esetben az állapotok stacionárius volta a párkeltés miatt szűnik
meg; a
mennyiség annak a
valószínűségét adja meg, hogy egységnyi térfogatban egységnyi idő
alatt egy pár keletkezik. Mivel
és
csupán előjelben különböznek, így a
valószínűség
és
függvényében egyszerűen
Nyilvánvaló, hogy ez -val arányos [l. alább, (126,20)].
Éppen az, hogy
exponenciálisan kicsi
esetén, teszi lehetővé, hogy az a szerinti aszimptotikus hatványsorban
tetszőleges véges számú tagot megtartsunk.
Vizsgáljuk meg a (126,17) képlet határeseteit.
Gyenge terek () esetén a sorfejtés első tagjai:
Speciálisan, ha , akkor a relatív korrekció :
Megjegyezzük, hogy miután -et az
és
invaránsok segítségével kifejeztük [mint (126,19)-ben], a képlet tetszőleges vonatkoztatási rendszerben érvényes
(nemcsak abban, ahol
).
képzetes részét
esetén úgy kaphatjuk meg (126,17)-ből, hogy a
függvény fél reziduumát vesszük a nullához legközelebb álló pólus
helyén, azaz ahol
. (126,18) szerint ez megadja annak
a valószínűségét, hogy a gyenge elektromos tér egy párt kelt :
Erős mágneses térben () a (126,13) alakból indulunk ki,
amelyet (a
csere után) a következő alakban írunk:
esetén ebben az integrálban az
tartomány lényeges. Itt
, és a zárójelben álló második tag elhanyagolható, az integrált pedig
(logaritmikus pontossággal) levághatjuk az
és
határokon. Ekkor
pontosabb számítás esetén az eredmény helyett
). Ebben az esetben
Innen látható, hogy a téregyenletekhez járuló sugárzási korrekciók relatív nagyságrendje az egységet csak exponenciálisan nagy terek,
esetén érhetné el.
Ennek ellenére a kiszámított korrekcióknak van értelme: megszüntetik a Maxwell-egyenletek linearitását , és ezzel – elvileg – megfigyelhető folyamatokhoz vezetnek (például, fény szórása fényen vagy külső térben).
Az és
térerősségek és az
és
potenciálok kapcsolata definíció szerint változatlan, (126,6) marad. Így az első két Maxwell-egyenlet sem változik:
A másik két egyenletet az
hatás és
szerinti variálásával kaphatjuk meg. Ezek a következő alakban írhatók:
jelöléseket. A (126,23), (126,24) egyenletek alakja megegyezik a makroszkopikus
Maxwell-egyenletekkel , amelyek anyagi közegben
írják le az elektromágneses teret.[460] Innen látható, hogy a és
mennyiségek a vákuum elektromosés mágneses polarizációját jelentik.
Végül megjegyezzük, hogy síkhullám terére és
eltűnik, mivel itt, mint ismeretes, mindkét invariáns,
és
nulla. Más szóval síkhullámra a nemlineáris korrekciók vákuumban
hiányzanak.
1. Határozzuk meg egy kis, mozdulatlan
töltés teréhez a korrekciót, amely a Maxwell-egyenletek nemlineáris
voltából ered.
Megoldás.
esetén (126,19)-ből azt kapjuk,
hogy
Gömbszimmetrikus esetben (126,24)-ből
(az állandót abból a feltételből
határoztuk meg, hogy az értékekre a tér egybeesik az
töltés Coulomb-terével). A (126.1.2) egyenletet közelítőleg megoldva, az eredmény:
vagy
A (126.1.3)-ban szereplő szerint nemlineáris korrekciót meg kell különböztetnünk a (111,6)-ban szereplő lineáris korrekciótól, amely
végső soron a Coulomb-tér inhomogenitásából ered. A (126.1.3) korrekció
-ban magasabb rendű, de lassabban csökken a távolsággal, és
gyorsabban nő
növelésével.
2. Becsüljük meg közvetlenül a párkeltés valószínűségét gyenge homogén, állandó elektromos térben a kváziklasszikus közelítés segítségével, exponenciális pontossággal (F. Sauter , 1931).
Megoldás. A gyenge térben történő mozgás kváziklasszikus (a
potenciál lassan változik). Mivel a folyamat amplitúdójában a
végállapotbeli pozitron hullámfüggvénye kezdőállapotbeli „negatív frekvenciás”
függvény alakjában szerepel, a párkeltést úgy tekinthetjük, mintha az elektron egy
„negatív frekvenciás” állapotából egy „pozitív frekvenciás” állapotba menne át. Az
elsőben elektromos tér esetén a kváziklasszikus impulzus,
, a következő egyenlőségből kapható meg:
Az első állapotból a másodikba való
átmenet olyan potenciálgáton [az a tartomány, ahol képzetes] történő áthaladásnak felel meg, amely az (126.2.1) és (126.2.2) összefüggések tartományát [ahol
valós] adott
mellett elválasztja egymástól. A gát határait,
-et és
-t a
összefüggésből kaphatjuk meg, azaz
A kváziklasszikus gáton való áthaladás valószínűsége:
ahonnan
összhangban a (126,20) képlettel.
[457] Itt betűt írunk
helyett, hogy ne tévesszük össze az elektromos térerősséggel.
[458] Ezt az eredményt először W. Heisenberg és H. Euler vezette le (1935). A fenti számításokban a V. Weisskopf levezetésében (1936) található gondolatokat is felhasználtuk.
[459] Az integrálban a pólusokat úgy kell kikerülni, hogy teljesüljön. Ennek a követelménynek felel meg a tömeg
helyettesítésének
szabálya (tehát az adott esetben
).
[460] Az összehasonlításkor emlékeznünk kell arra, hogy a makroszkopikus
elektrodinamikában a mágneses térerősség átlagértékét -vel jelölik, nem pedig
-val, mint itt.