Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Kétszeresen logaritmikus tagok az amplitúdók aszimptotikus kifejezéseiben nemcsak külső téren történő elektronszórás esetén jelennek meg, hanem kétrészecskés szórási folyamatoknál is.
Példa gyanánt tekintsük az elektron negatív müonon való szórását , ebben pedig a hátraszórás esetét, vagyis amikor a szórási szög (V. G. Gorskov , V. N. Gribov , L. N. Lipatov , G. V. Frolov , 1967). Ez a folyamat két szempontból is a
legegyszerűbb. Először is, mivel a részecskék nem azonosak, hiányzanak a kicserélési
gráfok . Másodszor, hátraszórás esetén a lágy
fotonok emissziója erősen lecsökken, és ennek következtében nem jelenik meg infravörös
divergencia . Valóban, (95,8) szerint a lágy fotonok emissziójának hatáskeresztmetszete :
ahol és
a részecskék sebessége az ütközés előtt és után. Viszont
ultrarelativisztikus esetben az impulzusok
egyenlősége a sebességek egyenlőségét jelenti, és ilyen pontossággal a tömegközépponti
rendszerben hátraszórás esetén fennáll, hogy
Ekkor a (131,1) kifejezés zérussá válik.
Ha a fenti szórási folyamat a reakció -csatornájának felel meg, akkor a
-csatornában abba a folyamatba megy át, amikor egy elektron–pozitron
pár
párrá változik. Ebben a csatornában a
feltétel azt jelenti, hogy az
és
(valamint az
és
) mozgási iránya megegyezik. A fékezési sugárzás lecsökkenésének különösen szemléletes oka van, itt ugyanis az
adott előjelű töltések mozgásiránya egyáltalán nem változik.
Az, hogy az emissziós hatáskeresztmetszetben a vezető tagok kiejtik egymást, azt jelenti, hogy aszimptotikus kifejezésében nem lépnek fel kétszeresen logaritmikus korrekciók . Ennek megfelelően nem kapunk infravörös divergenciát (ugyanolyan kétszeresen logaritmikus pontossággal) a szórási amplitúdóban sem, amikor a virtuális fotonok impulzusaira integrálunk.
Ha a folyamatot az
invariáns változókkal írjuk le, akkor az ultrarelativisztikus esetben a hátraszórásnak az
értékek felelnek meg.
A perturbációszámítás ( szerinti) első közelítésében az elektron–müon szórást a következő gráf írja le:
A (131,2) határesetre úgy térhetünk át,
hogy a fenti kifejezésben a mátrix-négyesvektort helyettesítjük
-vel, ahol az utóbbi
-nek a
sík normális síkjára eső„vetülete” (a
sík megegyezik a
síkkal, mivel ultrarelativisztikus esetben hátraszóráskor
). Valóban, a
síkkal párhuzamos komponensek az
mátrixok (az első -lal esik egybe, a második pedig
, ahol
a
irányába mutató egységvektor). Az
és
bispinorokra felhasználva a Dirac-egyenletet , azt kapjuk, hogy
és így ezeket a tagokat elhagyhatjuk.
A következő közelítésben megjelenik a
gráf, valamint a „keresztezett” fotonvonalakkal felírt gráf , amelyet célszerű (131,5)-től csupán az egyik folytonos vonal irányában
eltérő alakban ábrázolni:
A megfelelő integrálok vizsgálata azt mutatja, hogy mindkét gráfban a „lágy” virtuális fotonok
tartományából
származó kétszeresen logaritmikus tagok
jelennek meg. Ezek a járulékok az integrálok infravörös divergenciáival kapcsolatosak, és így a fentiek alapján ki kell
ejteniük egymást. A (131,6) gráfban azonban a nagy
impulzusok, tartománya is ad kétszeresen logaritmikus járulékot . Ezt a járulékot kell kiszámítanunk.
A (131,6) gráfnak a következő integrál felel meg:
(ahol felhasználtuk, hogy ). Legyen ismét
[vö. (129,13)]. A kétszeresen
logaritmikus járulék az alábbi
egyenlőtlenségek által meghatározott tartományból származik:
ahol . Az
négyesvektort úgy határozzuk meg, hogy
; az adott esetben (hátraszórás) innen következik, hogy a
tömegközépponti rendszerben
, tehát
.
A (131,7) integrál számlálójában elhanyagolhatjuk
-t és
-t, valamint minden olyan tagot, amely
-t vagy
-t tartalmaz; az
vagy
tényezők kiejtenék a nevezőből eredő megfelelő pólusokat (l. alább),
és így nem lépnének fel a kívánt négyzetes logaritmikus kifejezések. Észrevéve, hogy
és a integrálelemet (129,16) szerint
átalakítva, a (131,7) integrált a következő alakba
írhatjuk át:
Az integrandus számlálóját átalakítjuk úgy, hogy irányára átlagolunk, és [hasonló okokból, mint (131,4)-ben]
helyett a
komponenseket írjuk. Egyszerű átalakítások után azt kapjuk, hogy
ahol
Végül, a számlálót alakban írva, a második tagot – amely az egyszerű pólusokat
eltüntetné, és így nem adna kétszeresen logaritmikus járulékot – elhagyjuk. Így
Ez az integrál ugyanolyan alakú, mint (129,20),
így a szerinti integrálást ugyanúgy végezzük. Mivel most
, megjelenik az
feltétel (
helyett). Így azt kapjuk, hogy
ahol az integrálási tartományt az alábbi egyenlőtlenségek határozzák meg:
(logaritmikus pontossággal számolva az erős egyenlőtlenségek helyett egyszerű egyenlőtlenségeket írhatunk).
Közvetlen számítás eredményeként:
A perturbációszámítás magasabb rendű közelítéseiben a bennünket érdeklő
járulékok a(131,6)-hoz hasonlóan
„létra”-diagramokból származnak, ahol egyre több „létrafokot”
kell figyelembe venni. Így a teljes kétszeresen logaritmikus aszimptotikát a következő végtelen
adja:[468]
Ahhoz, hogy e sor általános tagjának alakját megállapítsuk, nézzük meg még a harmadrendű közelítést [(131,14) sor harmadik tagja]. A neki megfelelő integrált a következő alakra hozhatjuk:
ahol az integrálási tartomány
A fenti integrál kétszeresen logaritmikus részét kiemelhetjük, ha az integrálási tartományt a
további feltételekkel korlátozzuk.[469] Ekkor
ahol
az integrálási tartományt pedig a következő egyenlőtlenségek határozzák meg:
Hasonlóan, a sor -edik tagja
alakba írható, ahol
amelyben az integrálási tartomány:
A fenti összeg kiszámításához vezessük be ideiglenesen az függvényeket, amelyeket ugyanazok a (131,17) integrálok határoznak meg, integrálási tartományuk viszont
[-ben és
-ben különbözőek az integrálási határok, (131,18)-ban viszont egyenlőek]. Nyilvánvaló, hogy
, ahol
Az függvények definíciójából következik, hogy kielégítik az
rekurzív összefüggést. Ezeket az egyenlőségeket szerint (1-től
-ig) összegezve, egy integrálegyenletet kapunk
-ra:
Az függvényt a továbbiak számára elegendő a
tartományban vizsgálni. Ekkor a (131,22) egyenletet
alakban írhatjuk. Ezt az egyenlőséget szerint deriválva, azt kapjuk, hogy
és azután szerint is deriválva egy differenciálegyenletet kapunk
-ra:
(131,23)-ból és (131,24)-ből közvetlenül következő peremfeltételek mellett kell megoldani.
A megoldást a változó szerinti Laplace-transzformáció segítségével kaphatjuk meg:
ahol a komplex
síkon egy zárt görbe, amely körülveszi a
pontot. (131,27)-et a (131,25) egyenletbe helyettesítve és az integrandust
zérussal egyenlővé téve, kapjuk, hogy
ahol tetszőleges függvény. A (131,26)
peremfeltételek közül az első az
feltételt adja, ahonnan következik, hogy
ahol analitikus függvény, amelynek a
görbe belsejében nincs szingularitás. A második feltétel is teljesül,
ha
; valóban, ekkor
A kapott eredményeket összegyűjtve és a helyettesítést elvégezve, azt kapjuk, hogy
Végül parciálisan integrálva és az ismert
képletet felhasználva [ képzetes argumentumú Bessel-függvény ], a következő végeredményt kapjuk a
szórási amplitúdóra :
A szórási hatáskeresztmetszet ( szögre) ennek megfelelően
ahol
a hatáskeresztmetszet Born-közelítésben , ultrarelativisztikus esetben (l. a 82. § 6. feladatát).[470]
[468] Ez a sor a Salpeter–Bethe-egyenletre vezet (122. §). Ezt megoldva megkaphatjuk -t. Célszerűbb azonban az alábbiakban tárgyalt módszert
alkalmazni, amelynél az egyes tagokat az összegezés előtt egyszerűsítjük.
[470] Felsorolunk néhány kiegészítő irodalmi hivatkozást a kétrészecskés szórási folyamatok kétszer resenlogaritmikus aszimptotikájával kapcsolatban: V.G. Gorskov , V. N. Gribov , G. V. Frolov , ZSETF 51, 1093 (1966) (foton-elektron hátraszórás); V. G. Groskov, V. N. Gribov, L. N. Lipatov , G. V. Frolov, JaF 6, 361 (1967) (elektron?pozitron hátraszórás); V. G, Groskov, JaF 6, 579 (1967) (tetszőleges szögű szórási folyamatok).