ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

133.§. Elektronok szóródása hadronokon

Alkalmazzuk az előző szakasz képleteit az elektron–hadron rugalmas szórásra. Jelöljük a hadron kezdeti és végső impulzusát rendre -val és ph′ -vel, az elektronét pedig -vel és pe′ -vel; ekkor

14.12. egyenlet - (133,1)

p_{e} + p_{h} = p_{e}^{'} + p_{h}^{'} .

A vizsgált folyamat diagramja:

14.13. egyenlet - (133,2)

Az elektron által kibocsátott virtuális fotonhoz a szokásos vertexoperátor , a hadron által történő elnyeléshez pedig a operátor tartozik.

Tekintsük a legérdekesebb esetet, az (1/2) spinű hadronokét (pl. elektron–proton vagy elektron-neutron szórás).

A (133,2) diagramnak az

14.14. egyenlet - (133,3)

M_{f i} = 4 π e^{2} \frac{1}{q^{2}} (ū_{e}^{'} γ^{μ} u_{e}) (ū_{h}^{'} Γ_{μ} u_{h})

mátrixelem felel meg. A hatáskeresztmetszet kiszámítása ennek az amplitúdónak a segítségével, nem különbözik lényegesen a 82. §-ban végzett számításoktól; ennek során a operátort célszerű a (132,7)-ben felírt első alakjában használni.

Polarizálatlan részecskék szórására a következő eredményt kapjuk:

14.15. egyenlet - (133,4)

\begin{matrix} \begin{aligned} d σ & = \frac{π α^{2} d t}{[s - {(M + m)}^{2}] [s - {(M - m)}^{2}] t^{2} (1 - \frac{t}{4 M^{2}})} \times \\ \times \{F_{e}^{2} [{(s - u)}^{2} + (4 M^{2} - t) t] - \frac{t}{4 M^{2}} F_{m}^{2} [{(s - u)}^{2} - (4 M^{2} - t) (4 m^{2} + t)] \} . \end{aligned} & (133,4) \end{matrix}

Itt a hadron, az elektron tömege,

s=(pe+ph)2, t =q2=(pe–pe′)2, u=(pe–ph′)2, s +t+u=2m2+2M2.

Vizsgáljunk néhány határesetet.

Az elektronok nehéz magon való szóródásakor az az érdekes eset, amikor a magnak átadott |q| impulzus kicsi a mag tömegéhez, de nem kicsi 1∕R -hez képest (a mag sugara ); ekkor a mag nem tekinthető pontszerűnek. Ebben az esetben a tömegközépponti rendszer közelítőleg megegyezik a mag nyugalmi rendszerével, a mag visszalökődése elhanyagolható, és az elektron energiája változatlan. Ekkor

–t =q2≪M2, π |dt|=pe2dΩe′, s –M2≈M2–u≈2Mεe,

és a (133,4) összefüggés a

14.16. egyenlet - (133,5)

d σ = \frac{α^{2} d Ω_{e}^{'}}{q^{4}} (4 𝜀_{e}^{2} - q^{2}) F_{e}^{2} (- q^{2})

alakra egyszerűsödik. Ebben a közelítésben a hatáskeresztmetszetben csak az elektromos alakfaktort tartalmazó tag marad vissza, és (133,5) a (81,5) képletnek felel meg, amely az elektron sztatikus töltéseloszláson való szóródását írja le.

Az elektronnak mozdulatlan neutronon való szóródásakor ugyanebben az ε≪M határesetben ( a neutron tömege) az alakfaktorok helyettesíthetők a q=0 helyen felvett értékeikkel, mivel, ahogy már megjegyeztük, a különálló nukleonra a töltéseloszlás karakterisztikus „sugara” 1∕M -mel összemérhető.^[476] A neutron elektromos semlegessége miatt Fe(0)=0 , és a hatáskeresztmetszet

14.17. egyenlet - (133,6)

d σ = α μ^{2} [\frac{4 (𝜀_{e}^{2} - m^{2})}{q^{2}} + 1] d Ω_{e}^{'} = α μ^{2} (\frac{1}{{sin}^{2} \frac{𝜗}{2}} + 1) d Ω_{e}^{'}

ahol μ=(e/2M)Fm(0) a neutron mágneses momentuma, a szórási szög. Ez a képlet az elektron rögzített mágneses momentumon történő szóródásának felel meg.

Végül írjuk le az ultrarelativisztikus elektron ütközését nukleonnal a |q|≫m határesetben. továbbra is a tömegközépponti rendszerbeli impulzusátadás, így t=–q2 . A kezdeti nukleon nyugalmi rendszerében (laboratóriumi rendszer):

ahol és εe′ az elektron energiája a kezdeti, illetve a végállapotban, pedig az e rendszerbeli szórási szög. Ultrarelativisztikus esetben εe′ a -val ugyanúgy fejezhető ki, mint a fotonszórás esetében [vö. (86,8)]:

Így

14.18. egyenlet - (133,7)

- t = \frac{4 𝜀_{e}^{2} {sin}^{2} \frac{𝜗}{2}}{1 + \frac{2 𝜀_{e}}{M} {sin}^{2} \frac{𝜗}{2}},

14.19. egyenlet - (133,8)

π d | t | = \frac{𝜀_{e}^{2} d Ω_{e}^{'}}{(1 + \frac{2 𝜀_{e}}{M} {sin}^{2} \frac{𝜗}{2})^{2}} = 𝜀_{e}^{2} (1 - \frac{q^{2}}{2 𝜀_{e} M})^{2} d Ω_{e}^{'},

ahol dΩe′=2πsinϑdϑ . A (133,4)összefüggésben az elektron tömege mindenütt elhanyagolható; ezután az összes mennyiséget -vel és s–M2=2Mεe -vel kifejezve, azt kapjuk, hogy

14.20. egyenlet - (133,9)

d σ = \frac{π α^{2} d | t |}{𝜀_{e}^{2} t^{2}} \{F_{e}^{2} (t) [\frac{{(4 M 𝜀_{e} + t)}^{2}}{4 M^{2} - t} + t] - \frac{t}{4 M^{2}} F_{m}^{2} (t) [\frac{{(4 M 𝜀_{e} + t)}^{2}}{4 M^{2} - t} - t] \},

vagy (133,7)és (133,8) felhasználásával,

14.21. egyenlet - (133,10)

d σ = d Ω_{e}^{'} \frac{α^{2}}{4 𝜀_{e}^{2}} \frac{{cos}^{2} \frac{𝜗}{2}}{{sin}^{4} \frac{𝜗}{2}} \frac{1}{1 + \frac{2 𝜀_{e}}{M} {sin}^{2} \frac{𝜗}{2}} \{\frac{F_{e}^{2} - \frac{t}{4 M^{2}} F_{m}^{2}}{1 - \frac{t}{4 M^{2}}} - \frac{t}{2 M^{2}} F_{m}^{2} {tg}^{2} \frac{𝜗}{2}\}

(M. Rosenbluth, 1950).

Figyeljünk fel arra, hogy az és alakfaktorok függetlenül adnak járulékot a hatáskeresztmetszetbe, interferenciatagjaik nincsenek jelen. Ez igazolja az alakfaktorok fenti választásának célszerűségét.