Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Vizsgáljuk most az átmeneti áramot , amely a (132,2)-vel megegyező
diagramnak felel meg, amelyben azonban a és
vonalak különböző (
és
tömegű) részecskéket jelölnek; a
fotonvonalat itt célszerűbb kimenőnek választani:
. A foton ekkor virtuális és valódi egyaránt lehet: az egyetlen
feltétel a
teljesülése, azaz a
érték megengedett. Így a vizsgált diagram speciálisan a részecskék
átalakulása mellett bekövetkező fotonemissziót is. magában foglalja. Ennek példája lehet
a magállapotok bomlása is (ekkor a kezdeti és végállapot a mag két különböző állapota
lesz).
A kitűzött feladattal kapcsolatban a legérdekesebb az az eset, amikor a foton
hullámhossza nagy a részecske jellemző méreteihez képest (azokról a méretekről van szó,
amelyeket alakfaktoruk definiál; magok esetén ezek természetesen megegyeznek a
„sugárral”). Ekkor az átmeneti áramot hatványai szerint sorba lehet fejteni.[479]
Valóban, a határesetnek a téridőben állandó potenciál felel meg. De ilyennek
nincs fizikai jelentősége, nem hozhat létre semmiféle fizikaiátmenetet. Ugyanerre a
következtetésre formális úton is eljuthatunk. A 132.§-ban vizsgált áramok
esetén azért különböznek nullától, mivel
-vel arányos tagokat tartalmaznak. Ha
, akkor
, azaz az ilyen tagokat az árammegmaradás, követelménye kiszűri.
A áram transzverzalitási feltételét írjuk
háromdimenziós alakban. Ezt kétféle módon lehet kielégíteni:
választással, ahol és
valamilyen poláris, ill. axiális vektort jelöl. Az első esetben
elektromos, a másodikban mágneses típusúáramról beszélünk. (136,2) szerint a
határesetben a
és az
vektor vagy eltűnik, vagy véges marad.
Legyen a foton energiája . Ekkor a visszalökődés effektusa elhanyagolható. és (az
részecske nyugalmi rendszerében) nyugvónak tekinthető az
részecske is ekkor
adott:
. A nyugvó
és
részecskék állapotait a
és
háromdimenziós spinorokkal (
és
rendűek) írhatjuk le, ahol
és
a részecskék spinjei. Az átmeneti áramnak
és
bilineáris kombinációjának kell lennie. E spinorok szorzatából
rendű irreducibilis tenzorokat lehet összeállítani (adott
-re ezek valódi vagy pszeudotenzorok lesznek aszerint, hogy milyen
és
belső relatív paritása). E tenzorok mellett csak a
vektor áll rendelkezésünkre. Mivel az áram
szerinti sorfejtésének első tagját kívánjuk megalkotni; e
mennyiségekkel a lehető legalacsonyabb
hatványt tartalmazó vektoriális kombinációt kell elkészíteni. Ezt úgy
kaphatjuk meg, hogy a legalacsonyabb rendű tenzort skalárisan
-szer szorozzuk. Ez lesz a
poláris vagy az
axiális vektor kifejtésének első tagja.
Legyen a részecskék hullámamplitúdóiból összeállított tenzor gömbi
komponense . A
komponensekből összeállított
rendű tenzor komponensei
alakúak (ahol
). A gömbi tenzorok összeadásának általános szabályai szerint [l. III. (107,3)] a
vektor gömbi komponensei a
alakban írhatók, ahol a
értékeket veheti fel (a számtényező megválasztását l. később). A (7,16) összefüggéseket felhasználva
-t a gömbi vektorokkal is kifejezhetjük:
(136,4)-be behelyettesítve kapjuk az átmeneti
elektromos áramot (-áram):
[mindenütt különbséget teszünk és
között, hogy mind a valódi, mind a virtuális fotonokra (melyekre e két
mennyiség nem azonos) való alkalmazás lehetőségét nyitva hagyjuk].
(136,7)-ben és (136,8)-ban feltételeztük, hogy a gömbi tenzor (melyet
-vel jelöltünk) valódi tenzor . Ha ez
pszeudotenzor (ekkor
-mel jelöljük), akkor a (136,6)
összefüggés az
vektor definíciója lesz. Ezt (136,5)-be helyettesítve adódik az
-áram (az átmeneti mágneses áram):
A és
mennyiségek a hadronátmenetet jellemző elektromos, illetve mágneses
multipólusmomentumok. Szerepük a hadronok elektrodinamikájában teljesen hasonló az elektronok
elektrodinamikájának analóg mennyiségeivel. Míg viszont elektronrendszerre ezeket a
momentumokat elvben ki lehet számolni a hullámfüggvények segítségével (mint a megfelelő
operátorok mátrixelemeit), a hadronok elektrodinamikájában fenomenologikus
mennyiségekként jelennek meg, melyek értékét a kísérletből kell vennünk.
E mennyiségek normálását (136,7)–(136,9)-ben úgy választottuk, hogy az a 46. §-beli definíciónak megfeleljen. A norma e
tulajdonságáról meggyőződhetünk, ha a (136,7)–(136,9) áramokat a koordinátareprezentációbeli átmeneti
áram Fourier-komponenseiként tekintjük. Ekkor az tényezőt a
integrálban sorba fejtve, a (46,3)összefüggés révén
adódik. Az összegnek azt a legkisebb értékű tagját tartjuk meg, amelyre az integrál nullától különböző. A
függvényt
-re a (46,5)-beli sorfejtésének első
tagjával helyettesítve, a (136,9) képletet kapjuk
vissza, ha
ami megegyezik a (46,7)-beli
definícióval.
Beláthatjuk azt is, hogy valódi foton emissziójának esetére a kapott összefüggések a már megismert eredményekbe mennek át.
Az átmenet valószínűségi amplitúdója a impulzusú és
polarizációjú foton kibocsátásakor:
Ha a kezdeti és a végállapotban a magnak határozott spinvetülete van
(és
), akkor a (136,7)-(136,9) képletekben az
szerinti összegben csak egyetlen tag marad:
. Minthogy (16,23) szerint az
vagy
szorzatok (ahol
a foton helicitása és
) arányosak
-lel, így visszakapjuk a 48.§-ban
levezetett képleteket.
A sugárzás differenciális valószínűsége :[480]
( a mag kezdeti és végenergiája). A teljes valószínűséget a
polarizációraösszegezve és
szerint integrálva kapjuk. (136,7)-et vagy (136,9)-et (136,12)-be, majd ezt (136,13)-ba helyettesítve és az említett műveleteket elvégezve, a (46,9) [vagy a (47,2)]összefüggést kapjuk.
A (136,7)-(136,9) képletek az összes valódi foton kibocsátásának megfelelő esetet leírják. Virtuális fotonokra még egy eset lehetséges, melyet ezek a képletek nem tartalmaznak (R. H. Fowler, 1930).
Ha a kezdeti és végső magállapotok spinjei és paritásai megegyeznek; akkor
hullám-amplitúdóikból előállítható egy skalár, ennek segítségével pedig egy
alakúátmeneti áram. A mennyiséget az átmenet monopólus-
momentumának hívják. Valódi foton emissziója
esetén az átmeneti áram megfelelő mátrixeleme eltűnik (mivel
). A monopólus áram azonban a virtuális
fotonok emissziójával kísért átmenetek forrása lehet. Sőt az
esetben ez az egyetlen ilyen forrás, minthogy ekkor a többi
multipólusmomentum eltűnik.
A (136,14) monopólus áram és
függését tekintve analóg az elektromos kvadrupólusárammal . Ennek megfelelően a
momentum azonos nagyságrendű a kvadrupólusmomentummal. Ugyanerre a
következtetésre jutunk, ha (136,14)-et a
koordinátareprezentációbeli áram Fourier-transzformáltjaként tekintjük. (136,10)-ben az
sorfejtést elvégezve, és feltéve, hogy az első két tag integrálja zérus, azt kapjuk, hogy
vagy -et gömbszimmetrikusnak véve,
Ezt (136,14)-gyel összehasonlítva,
E mennyiség rokonsága a kvadrupólusmomentummal nyilvánvaló.
1. Számítsuk ki az atom -héjáról a mag
gerjesztési energiájának rovására végbemenő ionizáció
valószínűségét (a
-sugarak belső konverziója)
-magátmenet esetén, elhanyagolva az elektron kötési energiáját és a
mag erőterének hatását az elektron hullámfüggvényeire.[481]
diagram írja le, ahol és
a mozdulatlan mag különböző állapotainak,
és
pedig a kezdeti és a végső elektronoknak a négyesimpulzusa. E
diagramhoz az
amplitúdó tartozik, ahol az átmeneti áram. Az elektron végső polarizációira való összegezés
a kezdetiekre való átlagolás után:
(felhasználtuk, hogy így
). A konverzió valószínűségét
adja, ahol az (136.1.1) diagramon ábrázolt
szórás hatáskeresztmetszete,
, és
az atomi elektron hullámfüggvénye [
-elektronra
]. A 2 szorzótényező a
-héjon elhelyezkedő két elektront veszi számba. A
hatáskeresztmetszetet a
(vö. XIV. fejezet10. lábjegyzetével) összefüggéssel számíthatjuk ki.
átmenetekre a
áramot (136,9)-ből kell vennünk.
A
differenciális mennyiség
szerinti integrálása eltünteti a
-függvényt, a
integrálás után viszont
. Végeredményben a konverzió valószínűsége
-tel fejezhető ki. (46,9) szerint
azonban ugyanezzel a mennyiséggel fejezhető ki azonos magátmenet esetén a foton
spontán emissziójának valószínűsége. Így végül
(ezt a hányadost konverziós együtthatónak nevezik).
2. Ugyanez, átmenet esetére.
(136,7)-ből és (136,8)-ból vett átmeneti áram révén azonos módszerrel adódik, hogy
3. Ugyanez, a mag monopólusátmeneteire.
Megoldás. A (136,14) átmeneti árammal adódik, hogy
Minthogy foton monopólusemissziója nem lehetséges,
nem küszöbölhető ki.
[479] Az alábbiakban V. B. Bereszteckij módszerét követjük (1948).
[480] A szorzó, amely e képletekben a (65,11)-beli
helyett áll, abból származik, hogy a visszalökődést
elhanyagolva, az impulzus nem marad meg, csak az energia.
[481] Ez a közelítés megköveteli a mag töltésének kicsiny voltát, valamint az
gerjesztési energia elegendően nagyra választását (ugyanakkor
feltesszük, hogy
elég nagy a mag méreteihez képest). Valójában ez a közelítés
nem kielégítő, a pontosabb számítás a mag Coulomb-terének figyelembevételét is
megköveteli.