ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Main page > TAMOP 4.2.5 Book Database

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

136.§. A hadronok multipólusmomentumai

Vizsgáljuk most az átmeneti áramot , amely a (132,2)-vel megegyező

14.51. egyenlet - (136,1)

diagramnak felel meg, amelyben azonban a és vonalak különböző ( és tömegű) részecskéket jelölnek; a fotonvonalat itt célszerűbb kimenőnek választani: k=p1–p2 . A foton ekkor virtuális és valódi egyaránt lehet: az egyetlen feltétel a k2<(M1–M2)2 teljesülése, azaz a k2=0 érték megengedett. Így a vizsgált diagram speciálisan a részecskék átalakulása mellett bekövetkező fotonemissziót is. magában foglalja. Ennek példája lehet a magállapotok bomlása is (ekkor a kezdeti és végállapot a mag két különböző állapota lesz).

A kitűzött feladattal kapcsolatban a legérdekesebb az az eset, amikor a foton hullámhossza nagy a részecske jellemző méreteihez képest (azokról a méretekről van szó, amelyeket alakfaktoruk definiál; magok esetén ezek természetesen megegyeznek a „sugárral”). Ekkor az átmeneti áramot hatványai szerint sorba lehet fejteni.^[479]

Először is megjegyezzük, hogy

14.52. egyenlet - (136,2)

J_{f i} = 0, ha k = 0 .

Valóban, a k→0 határesetnek a téridőben állandó potenciál felel meg. De ilyennek nincs fizikai jelentősége, nem hozhat létre semmiféle fizikaiátmenetet. Ugyanerre a következtetésre formális úton is eljuthatunk. A 132.§-ban vizsgált áramok k=0 esetén azért különböznek nullától, mivel P=p1+p2 -vel arányos tagokat tartalmaznak. Ha M1≠M2 , akkor Pk≠0 , azaz az ilyen tagokat az árammegmaradás, követelménye kiszűri.

A Jfi=(ϱfi,Jfi) áram transzverzalitási feltételét írjuk

14.53. egyenlet - (136,3)

{k J}_{f i} = ω ϱ_{f i}

háromdimenziós alakban. Ezt kétféle módon lehet kielégíteni:

14.54. egyenlet - (136,4)

J_{f i} = ω v (k, ω), ϱ_{f i} = k v (k, ω)

vagy

14.55. egyenlet - (136,5)

J_{f i} = k \times a (k, ω), ϱ_{f i} = 0

választással, ahol és valamilyen poláris, ill. axiális vektort jelöl. Az első esetben elektromos, a másodikban mágneses típusúáramról beszélünk. (136,2) szerint a k→0,ω→0 határesetben a és az vektor vagy eltűnik, vagy véges marad.

Legyen a foton energiája ω≪M1 . Ekkor a visszalökődés effektusa elhanyagolható. és (az részecske nyugalmi rendszerében) nyugvónak tekinthető az részecske is ekkor adott: ω=M1–M2 . A nyugvó és részecskék állapotait a és háromdimenziós spinorokkal ( 2s1 és 2s2 rendűek) írhatjuk le, ahol és a részecskék spinjei. Az átmeneti áramnak és w2∗ bilineáris kombinációjának kell lennie. E spinorok szorzatából l=s1+s2,…,|s1–s2| rendű irreducibilis tenzorokat lehet összeállítani (adott -re ezek valódi vagy pszeudotenzorok lesznek aszerint, hogy milyen és belső relatív paritása). E tenzorok mellett csak a vektor áll rendelkezésünkre. Mivel az áram szerinti sorfejtésének első tagját kívánjuk megalkotni; e mennyiségekkel a lehető legalacsonyabb hatványt tartalmazó vektoriális kombinációt kell elkészíteni. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a legalacsonyabb rendű tenzort skalárisan (l–1) -szer szorozzuk. Ez lesz a poláris vagy az axiális vektor kifejtésének első tagja.

Legyen Qlm a részecskék hullámamplitúdóiból összeállított tenzor gömbi komponense . A komponensekből összeállított l–1 rendű tenzor komponensei |k|l–1Yl–1,m(n) alakúak (ahol n=k∕ω ). A gömbi tenzorok összeadásának általános szabályai szerint [l. III. (107,3)] a vektor gömbi komponensei a

ϑλ =(–1)λ+1il(√(4π)/(2l–1)!!)√((2l+1/l))|k|l–1× ×∑m(l–1 1 l / λ+m –λ –m)Ql,–mYl–1,λ+m(n)

alakban írhatók, ahol a 0,±1 értékeket veheti fel (a számtényező megválasztását l. később). A (7,16) összefüggéseket felhasználva -t a gömbi vektorokkal is kifejezhetjük:

14.56. egyenlet - (136,6)

v = i^{l} \frac{\sqrt{4 π} | k |^{l - 1}}{(2 l - 1)!! \sqrt{l (2 l + 1)}} \sum_{m} {(- 1)}^{l - m} Q_{l, - m} [\sqrt{l + 1} Y_{l m}^{(e)} (n) + \sqrt{l} Y_{l m}^{(l)} (n)] .

(136,4)-be behelyettesítve kapjuk az átmeneti elektromos áramot (-áram):

14.57. egyenlet - (136,7)

J_{f i} = i^{l} \frac{\sqrt{4 π} ω | k |^{l - 1}}{(2 l - 1)!! \sqrt{l (2 l + 1)}} \sum_{m} {(- 1)}^{l - m} Q_{l, - m}^{(e)} [\sqrt{l + 1} Y_{l m}^{(e)} (n) + \sqrt{l} Y_{l m}^{(l)} (n)] .

14.58. egyenlet - (136,8)

ϱ_{f i} = i^{l} \frac{\sqrt{4 π} | k |^{l}}{(2 l - 1)!! \sqrt{2 l + 1}} \sum_{m} {(- 1)}^{l - m} Q_{l, - m}^{(e)} Y_{l m} (n)

[mindenütt különbséget teszünk |k| és között, hogy mind a valódi, mind a virtuális fotonokra (melyekre e két mennyiség nem azonos) való alkalmazás lehetőségét nyitva hagyjuk].

(136,7)-ben és (136,8)-ban feltételeztük, hogy a Qlm gömbi tenzor (melyet Qlm(e) -vel jelöltünk) valódi tenzor . Ha ez pszeudotenzor (ekkor Qlm(m) -mel jelöljük), akkor a (136,6) összefüggés az vektor definíciója lesz. Ezt (136,5)-be helyettesítve adódik az -áram (az átmeneti mágneses áram):

14.59. egyenlet - (136,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} J_{f i} = i^{l} \frac{\sqrt{4 π}}{(2 l - 1)!!} \sqrt{\frac{l + 1}{l (2 l + 1)}} | k |^{l} \sum_{m} {(- 1)}^{l - m} Q_{l, - m}^{(m)} Y_{l m}^{(m)} (n), \\ ϱ_{f i} = 0 . \end{aligned} & (136,9) \end{matrix}

A Qlm(e) és Qlm(m) mennyiségek a hadronátmenetet jellemző elektromos, illetve mágneses multipólusmomentumok. Szerepük a hadronok elektrodinamikájában teljesen hasonló az elektronok elektrodinamikájának analóg mennyiségeivel. Míg viszont elektronrendszerre ezeket a momentumokat elvben ki lehet számolni a hullámfüggvények segítségével (mint a megfelelő operátorok mátrixelemeit), a hadronok elektrodinamikájában fenomenologikus mennyiségekként jelennek meg, melyek értékét a kísérletből kell vennünk.

E mennyiségek normálását (136,7)–(136,9)-ben úgy választottuk, hogy az a 46. §-beli definíciónak megfeleljen. A norma e tulajdonságáról meggyőződhetünk, ha a (136,7)–(136,9) áramokat a koordinátareprezentációbeli átmeneti áram Fourier-komponenseiként tekintjük. Ekkor az e–ikr tényezőt a

14.60. egyenlet - (136,10)

ϱ_{f i} (k) = \int ϱ_{f i} (r) e^{- i k r} d^{3} x

integrálban sorba fejtve, a (46,3)összefüggés révén

ϱfi(k)=4πil∑l,mYlm(n)∫ϱfi(r)Ylm∗((r/r))gl(|k|r) d3x

adódik. Az összegnek azt a legkisebb értékű tagját tartjuk meg, amelyre az integrál nullától különböző. A gl(|k|r) függvényt |k|r≪1 -re a (46,5)-beli sorfejtésének első tagjával helyettesítve, a (136,9) képletet kapjuk vissza, ha

14.61. egyenlet - (136,11)

Q_{l m}^{(e)} = \sqrt{\frac{4 π}{2 l + 1}} \int r^{l} ϱ_{f i} (r) Y_{l m} (\frac{r}{r}) d^{3} x,

ami megegyezik a (46,7)-beli definícióval.

Beláthatjuk azt is, hogy valódi foton emissziójának esetére a kapott összefüggések a már megismert eredményekbe mennek át.

Az átmenet valószínűségi amplitúdója a k=ωn impulzusú és e=(0,e) polarizációjú foton kibocsátásakor:

14.62. egyenlet - (136,12)

M_{f i} = - e \sqrt{4 π} e^{*} J_{f i} .

Ha a kezdeti és a végállapotban a magnak határozott spinvetülete van (és), akkor a (136,7)-(136,9) képletekben az szerinti összegben csak egyetlen tag marad: m=Mi–Mf . Minthogy (16,23) szerint az Ylm(e)e(λ)∗ vagy Ylm(m)e(λ)∗ szorzatok (ahol λ=±1 a foton helicitása és e(λ)⊥n ) arányosak Dλml -lel, így visszakapjuk a 48.§-ban levezetett képleteket.

A sugárzás differenciális valószínűsége :^[480]

14.63. egyenlet - (136,13)

d w = 2 π δ [ω - (E_{i} - E_{f})] | M_{f i} |^{2} \frac{d^{3} k}{2 ω {(2 π)}^{3}}

( Ei,Ef a mag kezdeti és végenergiája). A teljes valószínűséget a polarizációraösszegezve és d3k szerint integrálva kapjuk. (136,7)-et vagy (136,9)-et (136,12)-be, majd ezt (136,13)-ba helyettesítve és az említett műveleteket elvégezve, a (46,9) [vagy a (47,2)]összefüggést kapjuk.

A (136,7)-(136,9) képletek az összes valódi foton kibocsátásának megfelelő esetet leírják. Virtuális fotonokra még egy eset lehetséges, melyet ezek a képletek nem tartalmaznak (R. H. Fowler, 1930).

Ha a kezdeti és végső magállapotok spinjei és paritásai megegyeznek; akkor hullám-amplitúdóikból előállítható egy skalár, ennek segítségével pedig egy

14.64. egyenlet - (136,14)

ϱ_{f i} = Q_{0} k^{2}, J_{f i} = Q_{0} ω k

alakúátmeneti áram. A mennyiséget az átmenet monopólus- momentumának hívják. Valódi foton emissziója esetén az átmeneti áram megfelelő mátrixeleme eltűnik (mivel e∗k=0 ). A monopólus áram azonban a virtuális fotonok emissziójával kísért átmenetek forrása lehet. Sőt az s1=s2=0 esetben ez az egyetlen ilyen forrás, minthogy ekkor a többi multipólusmomentum eltűnik.

A (136,14) monopólus áram és függését tekintve analóg az elektromos kvadrupólusárammal . Ennek megfelelően a momentum azonos nagyságrendű a kvadrupólusmomentummal. Ugyanerre a következtetésre jutunk, ha (136,14)-et a koordinátareprezentációbeli áram Fourier-transzformáltjaként tekintjük. (136,10)-ben az

sorfejtést elvégezve, és feltéve, hogy az első két tag integrálja zérus, azt kapjuk, hogy

vagy ϱ(r) -et gömbszimmetrikusnak véve,

Ezt (136,14)-gyel összehasonlítva,

14.65. egyenlet - (136,15)

Q_{0} = - \frac{1}{6} \int ϱ_{f i} (r) r^{2} d^{3} x .

E mennyiség rokonsága a kvadrupólusmomentummal nyilvánvaló.

Feladatok

1. Számítsuk ki az atom -héjáról a mag gerjesztési energiájának rovására végbemenő ionizáció valószínűségét (a -sugarak belső konverziója) -magátmenet esetén, elhanyagolva az elektron kötési energiáját és a mag erőterének hatását az elektron hullámfüggvényeire.^[481]

Megoldás. A folyamatot a

14.66. egyenlet - (1)

diagram írja le, ahol és a mozdulatlan mag különböző állapotainak, p=(m,0) és p′=(m+ω,p′) pedig a kezdeti és a végső elektronoknak a négyesimpulzusa. E diagramhoz az

amplitúdó tartozik, ahol Jfi az átmeneti áram. Az elektron végső polarizációira való összegezés a kezdetiekre való átlagolás után:

(1/2)∑polar|Mfi|2=e4(16π2/(q2)2){q2(JfiJfi∗)+4(Jfip)(Jfi∗p)}

(felhasználtuk, hogy Jfiq=0 így Jfip=Jfip′ ). A konverzió valószínűségét

adja, ahol az (136.1.1) diagramon ábrázolt szórás hatáskeresztmetszete, p=(ε,p) , és az atomi elektron hullámfüggvénye [-elektronra |ψi(0)|2=(Zαm)3∕π ]. A 2 szorzótényező a -héjon elhelyezkedő két elektront veszi számba. A hatáskeresztmetszetet a

(vö. XIV. fejezet 10. lábjegyzetével) összefüggéssel számíthatjuk ki.

M l átmenetekre a Jfi áramot (136,9)-ből kell vennünk. A dwkonv differenciális mennyiség dε′ szerinti integrálása eltünteti a -függvényt, a dΩ′ integrálás után viszont |Ylm(m)|2→1 . Végeredményben a konverzió valószínűsége |Ql,–m(m)|2 -tel fejezhető ki. (46,9) szerint azonban ugyanezzel a mennyiséggel fejezhető ki azonos magátmenet esetén a foton spontán emissziójának valószínűsége. Így végül

(ezt a hányadost konverziós együtthatónak nevezik).

2. Ugyanez, átmenet esetére.

(136,7)-ből és (136,8)-ból vett átmeneti áram révén azonos módszerrel adódik, hogy

(wkonv/wγ)=2α(Zα)3(1+(l/l+1)(m2/ω2))(1+(2m/ω))l–1∕2.

3. Ugyanez, a mag monopólusátmeneteire.

Megoldás. A (136,14) átmeneti árammal adódik, hogy

Minthogy foton monopólusemissziója nem lehetséges, |Q0|2 nem küszöbölhető ki.

^[479] Az alábbiakban V. B. Bereszteckij módszerét követjük (1948).

^[480] A 2πδ szorzó, amely e képletekben a (65,11)-beli (2π)4δ(4) helyett áll, abból származik, hogy a visszalökődést elhanyagolva, az impulzus nem marad meg, csak az energia.

^[481] Ez a közelítés megköveteli a mag töltésének kicsiny voltát, valamint az gerjesztési energia elegendően nagyra választását (ugyanakkor feltesszük, hogy 1∕ω elég nagy a mag méreteihez képest). Valójában ez a közelítés nem kielégítő, a pontosabb számítás a mag Coulomb-terének figyelembevételét is megköveteli.