4.1.1 Vektortér: b), d), e), f), h), i), j).

4.1.2 Vektortér: a), c), d), e), j), l), m), o).

4.1.3 Vektortér: a), b), f), g), k).

4.1.4 A P7 példa esetén: legyen T₁ a T₂ test részteste, ekkor V=T₂ vektortér a T₁ felett a T₂-beli műveletekre. Sőt, az is elég, hogy T₂ olyan kommutatív gyűrű, amelynek az egységeleme megegyezik a T₁ test egységelemével.

4.1.5 Igen. (Ennek „mélyebb” magyarázatát lásd az 5.2.2 feladatban.)

4.1.6 Igen. (Ennek „mélyebb” magyarázatát lásd az 5.2.2 feladatban.)

4.1.7 Nem.

4.1.8

a) Nem. — Útmutatás: pl. λ=1/2, v=3 bajt okoz.

b) Nem. — Útmutatás: az a)-beli gondolatmenetet csak olyan testeknél kell módosítani, amelyekben „nincs ½”.

c) Igen. — Útmutatás: van az egész számokkal azonos számosságú halmaz, amely jól ismert vektorteret ad.

d) Nem. — Útmutatás: lássuk be, hogy V számossága nem lehet kisebb T számosságánál.

e) Igen. — Útmutatás: a valós számsorozatokat próbáljuk meg komplex számsorozatokként tekinteni.

f) Igen. — A megoldáshoz komolyabb lineáris algebrai meggondolások kellenek, amelyekkel azt a meglepő tényt lehet megmutatni, hogy a komplex számok az összeadásra nézve és a valós számok az összeadásra nézve izomorf struktúrát (csoportot) alkotnak. Tekintsük ugyanis a valós számokat és a komplex számokat a racionális test feletti szokásos vektorterekként. Ekkor számossági megfontolások alapján ezek (Hamel-)bázisa azonos számosságú, tehát a két vektortér dimenziója megegyezik, és így izomorfak — lásd a 4.5 és 5.2 pontok végén szereplő megjegyzéseket is.

4.1.9 Mindegyik esetben csak egyetlen axióma nem teljesül, ezek: a) (S1); b) (S1); c) (S4); d) (S3).

4.1.10

(ii) Induljunk ki a $\left(0+\lambda \right)\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v}$ összefüggésből.

(iii) Induljunk ki az $\left(1+\left(-1\right)\right)\underset{\_}{v}=0\underset{\_}{v}$ összefüggésből.

(iv) Ha λ≠0, akkor $\lambda \underset{\_}{v}=0$ mindkét oldalát szorozzuk meg a λ^–1 skalárral.

4.1.11 Igaz: a), b).

4.1.12 (S4)-ből a) triviálisan következik, b) pedig éppen a 4.1.2 Tétel (iv) állítása. A megfordításokhoz az a) esetben $1\underset{\_}{v}=1\left(\lambda \underset{\_}{v}\right)$ jobb oldalát alakítsuk tovább, a b) esetben pedig induljunk ki az $1\left(1\underset{\_}{v}+\left(-\underset{\_}{v}\right)\right)$ kifejezésből.

4.1.13 Bontsuk fel kétféleképpen az $(1+1)(\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v})$ kifejezést.

4.1.14 Néhány ilyen példát ad a 4.1.9 feladat. — Az összeadási axiómák függetlenségének bizonyításához jól használható a következő észrevétel: ha minden $\underset{\_}{v}$-re $\underset{\_}{v}+\underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$ és a skalárral való szorzás $\lambda \underset{\_}{v}=\underset{\_}{v}$-vel van definiálva, akkor a skalárral való szorzásra vonatkozó axiómák valamennyien teljesülnek. — Legnehezebb az (S2) függetlenségének az igazolása, ehhez útmutatás: legyen V=C², T=C, az összeadás a szokásos és a skalárral való szorzásnál $\lambda \underset{\_}{v}$ értékét $\underset{\_}{v}$ bizonyos tulajdonságaitól függően hol a λ-val, hol pedig a $\stackrel{-}{\mathrm{\lambda }}$-tal történő szokásos szorzással definiáljuk.

Elvi problémákat vet fel az (Ö3), és még inkább az (Ö), illetve az (S) axiómák függetlenségének a kérdése. Ha (Ö3) nem teljesül, akkor az (Ö4) tulajdonképpen értelmetlen, hiszen ellentettről csak akkor beszélhetünk, ha van nullelem. Ennek ellenére formálisan felvethetjük (Ö3) függetlenségét is a következő módon: nincs nullelem, de létezik egy olyan $\underset{\_}{0}$-val jelölt [és az (Ö4)-en kívül más axiómában szerepet nem játszó] elem, hogy (Ö4) igaz [és persze (Ö3) kivételével az összes többi axióma is].

Még erőltetettebb a többi axióma megfelelő értelmezése, ha az (Ö), illetve az (S) axióma nem teljesül, hiszen ha gond van magával a művelettel, akkor nem szoktuk ennek a tulajdonságait vizsgálni. Előfordulhat azonban olyan eset, amikor azért a „legtöbb” elempárhoz megtörtént az egyértelmű hozzárendelés, ilyen például az osztás a valós számoknál. Ezért (Ö3)-nak és (Ö4)-nek még akkor is lehet értelme, ha (Ö) „csak parciálisan teljesül”, az azonosságokat pedig (nagyon mesterkélten) úgy lehet felfogni, hogy minden olyan esetben érvényesek, amikor mindkét oldal valóban létezik.

4.2.1 Mindhárom feladat egy-egy adott vektortér bizonyos részhalmazairól azt kérdezi, hogy azok alteret alkotnak-e.

4.2.2 Altér: a), b), h), i), j).

4.2.3 A magtér meghatározása egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. A képtér esetében azt kell eldönteni, hogy egy adott együtthatómátrixú egyenletrendszer a „jobb oldal” mely értékeire oldható meg. Ehhez a jobb oldalt célszerű paraméterként tekinteni, és így elvégezni a Gauss-kiküszöbölést. Az adott A mátrixra

ahol $\lambda ,\mu ,\alpha ,\beta T$ (Mindkét altér másfajta paraméterezésekkel vagy más egyéb formában is megadható.)

4.2.4 Az F_p testek felett a) nem valósulhat meg.

4.2.5 Válasz: a), b), c), e). — Az a), b) és c) feltételek bármelyike ekvivalens azzal, hogy W altér, az e) feltétel pedig pontosan a W=V esetben teljesül.

4.2.6 Igaz: b), c).

4.2.7

a) $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ vagy mindketten W-beliek, vagy egyikük sem az.

b) $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ közül legfeljebb az egyik W-beli.

c) $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ mindketten W-beliek.

d) $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ egyike sem W-beli.

e) $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ közül legfeljebb az egyik W-beli. (Ne felejtsük el megmutatni, hogy megvalósulhat az az eset is, amikor pontosan az egyikük W-beli, és az is, amikor egyikük sem esik W-be.)

Más test felett: pl. F₁₁ esetén c) úgy is teljesülhet, ha $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ egyike sem W-beli.

4.2.8 $5\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}+\underset{\_}{w}W ,6\underset{\_}{u}+3\underset{\_}{v}+\underset{\_}{w}W$

4.2.9 Egyetlen vektor skalárszorosaiból állnak.

4.2.10 Ha V a síkvektorok szokásos vektortere, akkor az origón átmenő egyenesek megfelelnek. Ezt a következőképpen általánosíthatjuk tetszőleges vektortérre: ha $\underset{\_}{a}\ne \underset{\_}{0}$ és $\underset{\_}{b}$ nem skalárszorosa $\underset{\_}{a}$-nak, akkor a ${\underset{\_}{c}}_{\mu }=\underset{\_}{a}+\mu \underset{\_}{b}$ vektor összes skalárszorosai minden $\mu T$ esetén más és más alteret adnak.

4.2.11 5; p+3.

4.2.12 b) Valamelyik tartalmazza a másikat. — c) Nem. — d) Általában nem, de az F₂ test feletti vektorterekben előfordulhat. — g) Útmutatás: $F_2^2$-re ez a 4.2.11 feladatból következik. Ugyanígy igazolható bármely T felett T²-re is. Az általános esetet úgy vezethetjük vissza erre, hogy V-ben veszünk egy „nagy” alteret, amelyet egy „2-dimenziós” altérrel „kibővítve” megkapjuk az egész V-t.

4.2.14 V nem vektortér.

4.2.15 Csak a d) helyes.

4.2.16

a) A térvektoroknál a pontok, az egyenesek, a síkok és maga a tér.

c) Legyen $\underset{\_}{v}$ közös eleme a két sokaságnak. Lássuk be, hogy $\underset{\_}{u}$ pontosan akkor lesz ilyen közös elem, ha $\underset{\_}{v}-\underset{\_}{u}$ benne van a két altér metszetében.

d) Ha $\underset{\_}{a}=\underset{\_}{u}+{\underset{\_}{w}}_1, \underset{\_}{b}=\underset{\_}{u}+{\underset{\_}{w}}_2,\underset{\_}{c}=\underset{\_}{u}+{\underset{\_}{w}}_3,{\underset{\_}{w}}_{i}W$ akkor az altér tulajdonságainak felhasználásával adódik, hogy $\underset{\_}{a}+\lambda (\underset{\_}{b}-\underset{\_}{c})$ is ilyen alakú. A megfordításhoz próbáljuk meg L elemeiből előállítani a megfelelő W-t, és a feltétel segítségével igazoljuk, hogy ez valóban altér.

4.2.17 A fő problémát az jelenti, hogy az $\underset{\_}{u}+W$ sokaság nem határozza meg egyértelműen magát az $\underset{\_}{u}$ vektort. Ezért először azt kell igazolni, hogy a műveletek nem függnek attól, hogy a sokaságot melyik $\underset{\_}{u}$-val „reprezentáltuk”.

4.3.1 Csak a c) generátorrendszer.

4.3.2 A 4.1. pont példái közül: P1, P2, P3, P7. — A 4.1.1 feladatban: b). — A 4.1.2 feladatban: c), l), m). — A 4.1.3 feladatban: nincs ilyen.

4.3.3 Igaz: a), d), e).

4.3.4 Igaz: a), c), e).

4.3.6 Igaz: c), e).

4.3.7 Csak $\underset{\_}{c}=\underset{\_}{0}$ lehetséges.

4.3.8 Ha két altér mindegyike kielégíti a feltételeket, akkor (iii) alapján ezek kölcsönösen tartalmazzák egymást, tehát egyenlőek.

4.3.9 Lássuk be, hogy ez a metszet kielégíti a 4.3.4 Tétel (i)-(iii) követelményeit.

4.3.10 a), b), d), e) V. — c) {f|f(x)=0, ha x≠5, x≠6}. — Direkt összeg: a), c), d).

4.3.12 a) $〈W_1,W_2〉\bigcap W_3\supseteq 〈W_1\bigcap W_3,{ W}_2\bigcap W_3〉$

b) $〈W_1\bigcap W_2,W_3〉\subseteq 〈W_1,W_3〉\bigcap 〈W_2,W_3〉$

Az a) és b) résznél általában nem áll fenn egyenlőség. Ez is mutatja, hogy a generátum és az egyesítés tulajdonságai alapvetően eltérnek egymástól.

c) A két altér egyenlő.

4.3.13 a) Nem $\left(W\bigcap Z\ne \underset{\_}{0}\right)$ — b) és c) Igen. — d) Nem (Z nem altér). — e) Igen. — f) Nem $\left(〈W,Z〉\ne V\right)$

4.3.14 Több altér által generált altér (egyik lehetséges) definíciója: 

A 4.3.6 Tétel általánosítása: az elemek ilyen előállítása akkor és csak akkor egyértelmű, ha

Ebben az esetben a W_i-k által generált alteret a W_i-k direkt összegének hívjuk. Jelölés: $W_1\dots W_k$ Ez sokkal erősebb megkötést jelent, mint az, hogy az összes altér metszete $\underset{\_}{0}$ például a sík nem direkt összege három, az origón átmenő különböző egyenesnek.

4.3.15 Ha a részhalmaz altér, akkor az általa generált altér nyilván önmaga. Egyébként a 4.1.1 feladatnál: a) a legfeljebb 100-adfokú polinomok és a 0; c), g), k), l), m) az összes polinom. A 4.1.2 feladatnál: b), g), h), i) az összes sorozat; f) a konvergens sorozatok; k) a j)-beli sorozatok. — A 4.1.3 feladatnál: c) a b)-beli függvények; d), e), i), j), l), m) az összes függvény.

4.3.16 a) $f〈H〉$ — b) $g〈H〉$ — c) Nem változik a helyzet. Útmutatás c)-hez: a feladat átfogalmazható arra, hogy egy racionális együtthatós, végtelen sok egyenletből álló, de csak véges sok ismeretlent tartalmazó egyenletrendszernek van-e megoldása. A Gauss-kiküszöbölés segítségével igazoljuk, hogy ez nem függ attól, hogy az ismeretleneket a racionális vagy a valós számok körében keressük.

4.3.17 Csak a c) generátorrendszer. — Útmutatás b)-hez: nem állítható elő például egy olyan sorozat, amelynek az elemei egy transzcendens szám különböző hatványai. (A transzcendens szám definícióját lásd az A.7 pontban, az A.7.6 Definíció után.) Ennek igazolásához írjuk fel a feladatot egy (végtelen sok egyenletet, de csak véges sok ismeretlent tartalmazó) egyenletrendszer formájában, és alkalmazzuk a Gauss-kiküszöbölést vagy az algebrai bővítések elemi tulajdonságait (lásd az A.7 pontot).

4.4.1 Igaz: b), e), g), i), j).

4.4.2 a) Összefüggő. b) Független.

c) Lehet összefüggő, lehet független.

4.4.3 Következik.

4.4.4 A 4.4.3 Tétel III. állításának bizonyításához hasonlóan adódik.

4.4.5 Ha s≥2 és $\underset{\_}{v},{\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{m-s}$ lineárisan független, akkor megfelel pl. ${\lambda }_1\underset{\_}{v},\dots ,{\lambda }_s\underset{\_}{v},{\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_{m-s}$ ahol λ₁,…,λ_s különböző ≠0 skalárok.

4.4.6 Igaz: a), c).

4.4.7 Függetlenek.

4.4.8 Csak $\underset{\_}{d}=\underset{\_}{0}$ lehetséges.

4.4.9 Független: a), d). — Összefüggő: b), c), f). — Lehet összefüggő, lehet független: e), g).

4.4.10 a) m páratlan. b) (k,m)=1.

4.4.11 Csak a c) nem igaz.

4.4.12 Használjuk fel a) a számelmélet alaptételét; b) a transzcendens szám definícióját.

4.5.1 A bázisok elemszáma:

a) 11; b) 18; c) 19; d) 20; e) 20; f) 20; g) 19.

4.5.2 Bázis: a), d). — Független, de nem bázis: f). — Generátorrendszer, de nem bázis: b).

4.5.3 Mindkét fogalom azonos a bázissal. (Használjuk fel a 4.5.3 Tételt.)

4.5.4 Alkalmazzuk a 4.5.4 Tételt.

4.5.6 Összefüggő.

4.5.7 Igaz: b), c), f).

4.5.8 a) Egyik sem. — b) Független, de nem generátorrendszer. — c) Bázis, ha n páratlan, és egyik sem, ha n páros. — d) Bázis. — e) Generátorrendszer, de nem független.

4.5.9 Elég a függetlenséget vizsgálni.

4.5.11 Útmutatás: Írjuk fel a ${\underset{\_}{v}}_i$-ket a 4.5.10 feladat szerint. Lássuk be, hogy van olyan j, amelyre β_ij≠0, valamint a β_rs-ekből képezett determinánsban az A_ij előjeles aldetermináns sem nulla. Ekkor ${\underset{\_}{v}}_j$ kielégíti a feladat feltételeit.

4.5.12 a) Van. — b) Nincs. (Írjuk fel a vektortér elemeit egy bázis segítségével.) — c) Lássuk be, hogy minden véges test tartalmaz egy F_p testet, és fölötte vektortér (vö. az A.8 ponttal). — d) Használjuk fel c) eredményét.

4.5.13 Útmutatás: használjuk fel pl. a 4.5.7 Tételt.

4.5.14 Útmutatás a)-hoz és b)-hez: $F_p^n$-ben az első báziselem (pⁿ–1)-féleképpen választható, a következő (pⁿ–p)-féleképpen stb. Az eredmény éppen a c) részben a jobb oldali szorzat.

4.6.1 a) 2. b) ∞. c) n(n+1)/2. d) ∞. e) p. (Útmutatás: használjuk fel a 3.2.14 feladat állítását is.) f) 84. g) 210. h) 20. i) n–r. j) Oszlopszám – rang. k) Rang.

4.6.2 Bázis: a), b), c). — Útmutatás d)-hez: már az első 8 vektor is lineárisan összefüggő.

4.6.3 Vegyünk k független vektor által generált alteret.

4.6.4 Használjuk fel, hogy A minden oszlopára ugyanaz a feltétel adódik.

4.6.5 Induljunk ki abból, hogy W₁ és W₂ bázisának egyesítése már összefüggő.

4.6.6

a) W₁ és W₂ bázisának egyesítése generátorrendszer $〈W_1,W_2〉$-ben.

c) W₁∩W₂ bázisát bővítsük ki W₁, illetve W₂ bázisává.

4.6.7 a) ∞. b) 101, 101, 102.

4.6.8 ${\phi }_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)$ – Az útmutatás szerinti részeredmények: (i) 2; (ii) keressünk mértani sorozatokat. – A részletes levezetést lásd a 9.2.1 Tétel első bizonyításában és az utána szereplő megjegyzésben.

4.6.9 A kilenc ismeretlenre adódó összefüggéseket felírva egy olyan egyenletrendszert kapunk, amelyben 3 szabad paraméter lesz. Szabadon választhatjuk pl. az α₁₁, α₁₂ és α₂₂ elemeket. Így bázist alkotnak azok a bűvös négyzetek, amelyekben a fenti elemek egyike 1, a másik kettő 0, a többi elem pedig a feltételekből egyértelműen meghatározható. Ezzel a paraméterezéssel az összes bűvös négyzet alakja

4.6.10 a) 3. b) 3. c) 4.

4.6.11 Útmutatás: az összegvektorok k≥4 esetén már összefüggők.

4.6.13 Vizsgáljuk az oszlopvektorok által generált alterek kapcsolatát.

4.6.14 Ha r>0, akkor egy r-dimenziós alteret r független vektorral generálhatunk. Így azonban ugyanazt az alteret sokszor megkapjuk, mégpedig bármelyik bázisa szerint. Eredmény:

4.6.15 Nyilván elég a 0<r≤min(k,n) esettel foglalkozni. Legkevesebb számolással úgy érhetünk célba, ha T^k-ban kiválasztunk egy r-dimenziós alteret és ebben egy n elemű generátorrendszert. Eredmény:

4.6.16 c) 1010.

4.7.1 a) A két megfelelő koordináta is felcserélődik. — b) Az adott koordináta 1/λ-val szorzódik. — c) Ha az eredeti koordináták α_i és α_j, akkor az újak α_i és α_j–λα_i lesznek.

4.7.2 Csak a $\underset{\_}{0}$ ilyen.

4.7.3 Érdemes felhasználni a három vektorból képezett mátrix inverzét. — Eredmény: Az $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ vektornak a megadott bázis szerinti koordinátái 26, –21, 19, azaz

A $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ vektor koordinátái: –10, 8, –7. A $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ vektor koordinátái: –1, 1, –1.

4.7.4 A $\underset{\_}{v}$ skalárszorosain kívül bármi lehet.

4.7.5 a) Életben marad. – b) Nem marad életben.