Legyen ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m{T}^k$ és ${\lambda }_1,\dots {\lambda }_{m}T$ azaz vegyünk m darab T^k-beli vektort és ugyanennyi T-beli skalárt. Ekkor a ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m { T}^k$ vektort az ${\underset{\_}{u}}_i$ vektorok (λ_i skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.❶

Ennek alapján a lineáris egyenletrendszer megoldhatósága éppen azt jelenti, hogy $\underset{\_}{b}$ előáll az ${\underset{\_}{a}}_j$ oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, és az ilyen előállítás(ok)ban szereplő skalárok szolgáltatják az egyenletrendszer megoldását (megoldásait).

Különösen fontos lesz a homogén egyenletrendszer, azaz a $\underset{\_}{b}=\underset{\_}{0}$ eset. A homogén egyenletrendszer triviális megoldásának éppen az felel meg, ha az ${\underset{\_}{a}}_j$-k mindegyikét a λ_j=0 skalárral szorozzuk meg, és az így elkészített $0{\underset{\_}{a}}_1+...+0{\underset{\_}{a}}_n$ ún. triviális lineáris kombináció eredménye természetesen valóban a nullvektor. Nemtriviális megoldás pedig egy olyan nemtriviális lineáris kombinációt jelent, amely a nullvektort állítja elő, azonban a kombinációban szereplő skalárok nem mindegyike nulla.

Alapvetően fontos két definíció következik:

Az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m{T}^k$ vektorok lineárisan összefüggők, ha léteznek olyan ${\lambda }_1,\dots {\lambda }_{m}T$ skalárok, amelyek nem mind 0-k, és ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$❶

Az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m{T}^k$ vektorok lineárisan függetlenek, ha ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$CSAK úgy valósulhat meg, ha mindegyik λ_i=0. Azaz

❶

Egy ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m{T}^k$vektorrendszerre tehát a lineáris függetlenség és a lineáris összefüggés közül pontosan az egyik teljesül. A „lineáris” jelzőt a rövidség kedvéért gyakran elhagyjuk.

A „vektorrendszer” kifejezésben a „rendszer szó arra utal, hogy (a halmazzal ellentétben) ugyanaz a vektor többször is előfordulhat az ${\underset{\_}{u}}_i$-k között. Ez a körülmény lényegesen befolyásol(hat)ja a függetlenség kérdését: ha az

${\underset{\_}{u}}_i$-k között szerepelnek azonos vektorok, pl. ${\underset{\_}{u}}_1={\underset{\_}{u}}_2$ akkor $1{\underset{\_}{u}}_1+\left(-1\right){\underset{\_}{u}}_2+0{\underset{\_}{u}}_3+...+0{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ tehát az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorrendszer mindenképpen összefüggő.

Példák:

P1. Az ${\underset{\_}{u}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right) , {\underset{\_}{u}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right) , {\underset{\_}{u}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right) {\mathbf{R}}^3$ vektorok lineárisan összefüggők, mert $1{\underset{\_}{u}}_1+1{\underset{\_}{u}}_2+\left(-3\right){\underset{\_}{u}}_3=\underset{\_}{0}$

P2. Az előző ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2$ valamint az ${\underset{\_}{u}}_4=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ vektorokból álló rendszer lineárisan független. Ennek igazolásához írjuk ki részletesen a ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+{\lambda }_2{\underset{\_}{u}}_2+{\lambda }_4{\underset{\_}{u}}_4=\underset{\_}{0}$ egyenlőséget:

 ami pontosan

 teljesülését jelenti. A Gauss-kiküszöböléssel könnyen adódik, hogy ennek a homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása van, azaz CSAK λ₁=λ₂=λ₄=0 lehetséges, így az ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_4$ vektorok valóban függetlenek.

Természetesen a P1 példában, az ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3$ vektorok lineáris összefüggésének az igazolásához sincs szükség arra, hogy valahonnan megsejtsük a megfelelő skalárokat. Ekkor a

homogén egyenletrendszert kell vizsgálni, és Gauss-kiküszöböléssel kapjuk az általános megoldást: λ₁=λ₂=–μ/3, λ₃=μ, ahol μ tetszőleges valós szám. Mivel van nemtriviális megoldás, ezért a vektorok összefüggők, és bármely μ≠0 szolgáltat egy alkalmas nemtriviális kombinációt. (A P1 példában az indoklásként rögtön az elején felírt kombinációhoz — amelyet talán tényleg „ki lehetett találni” — a μ=–3 paraméterérték tartozik).

Az imént elmondottak teljesen általános érvényűek: az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_n{T}^k$ vektorok lineáris összefüggőségének, illetve függetlenségének az eldöntéséhez tekintsük az $U\underset{\_}{x}=\underset{\_}{0}$ homogén lineáris egyenletrendszert, ahol az $U{T}^{k\times n}$ mátrix oszlopvektorai az ${\underset{\_}{u}}_j$-k. Ha ennek az egyenletrendszernek csak triviális megoldása van, akkor az ${\underset{\_}{u}}_j$ vektorok függetlenek, ha pedig létezik nemtriviális megoldás is, akkor összefüggők. Azt, hogy létezik-e az egyenletrendszernek nemtriviális megoldása vagy sem, Gauss-eliminációval határozhatjuk meg. Nemtriviális megoldás létezése esetén a megoldások egyúttal meg is adják a skalárokat a nullvektort előállító lineáris kombinációkhoz.

A lineáris függetlenség kérdésénél adódó homogén egyenletrendszereknél általában a Gauss-kiküszöbölés alkalmazása a legcélszerűbb. Abban a (nagyon) speciális esetben, amikor a vektorok száma megegyezik k-val (tehát a komponensek számával), egy négyzetes U mátrixot kapunk, és így alkalmazhatjuk a 3.2.3 Tételt is: a vektorok ebben az esetben akkor és csak akkor összefüggők, ha det U=0 (azonban ez összefüggőség esetén nem ad információt a nemtriviális lineáris kombinációkban szereplő skalárokról).

Ha a vektorok száma k-nál nagyobb, akkor egy olyan homogén egyenletrendszerhez jutunk, amelyben több az ismeretlen, mint az egyenlet. A 3.1.4 Tétel szerint ennek mindig van nemtriviális megoldása, a vektorok tehát biztosan összefüggők. Ezt az egyszerű tényt nagyon sokszor fel fogjuk használni, ezért külön tételként is megfogalmazzuk:

Akárhogyan választunk T^k-ban k-nál több vektort, ezek szükségképpen lineárisan összefüggők.❶

A lineáris függetlenség, illetve összefüggőség definíciójából azonnal adódnak az alábbi egyszerű észrevételek. Egyetlen vektor egyedül akkor és csak akkor független, ha nem a nullvektor. Két vektor akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyik sem skalárszorosa a másiknak. Több vektor esetén ez már nem igaz, lásd pl. a P1 példában szereplő ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2$ és ${\underset{\_}{u}}_3$ vektorokat, amelyek közül egyik sem skalárszorosa a másiknak, mégis összefüggők.

Az alábbi tételben a definíciók néhány további egyszerű következményét foglaljuk össze (melegen ajánljuk, hogy az Olvasó próbálja ezeket előbb önállóan bebizonyítani, és csak utána nézze meg az általunk közölt bizonyításokat):

I. Ha egy (legalább kételemű) lineárisan független rendszerből egy tetszőleges elemet elhagyunk, akkor a maradék vektorok is lineárisan független rendszert alkotnak.

II. Ha egy lineárisan összefüggő rendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, akkor az így kapott vektorrendszer is lineárisan összefüggő.

III. Egy legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha van benne (legalább egy) olyan vektor, amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.

IV. Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független, de az ${\underset{\_}{u}}_{m+1}$ vektor hozzávételével kapott rendszer lineárisan összefüggő, akkor ${\underset{\_}{u}}_{m+1}$ előáll az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineáris kombinációjaként.

V. Tegyük fel, hogy valamely $\underset{\_}{v}$ vektor előáll ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineáris kombinációjaként. Ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független.❶

Bizonyítás: Lássuk be először II-t. Tegyük fel, hogy az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok lineárisan összefüggők, azaz léteznek olyan ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{m}T$ skalárok, amelyek nem mind 0-k, és ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ Ekkor a vektorrendszerhez tetszőleges ${\underset{\_}{u}}_{m+1}$ vektort hozzávéve, a ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m+0{\underset{\_}{u}}_{m+1}$ lineáris kombináció nemtriviálisan állítja elő a nullvektort, tehát a kibővített vektorrendszer is összefüggő.

I-et indirekt igazoljuk. Ha a maradék vektorok összefüggők lennének, akkor az elhagyott vektort visszavéve II. alapján az eredeti rendszer is összefüggő lett volna.

III-nál tegyük fel először, hogy pl. ${\underset{\_}{u}}_m$ előáll a többi ${\underset{\_}{u}}_i$ lineáris kombinációjaként, azaz ${\underset{\_}{u}}_m={\delta }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\delta }_{m-1}{\underset{\_}{u}}_{m-1}$ Ezt nullára rendezve $\underset{\_}{0}={\delta }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\delta }_{m-1}{\underset{\_}{u}}_{m-1}+\left(-1\right){\underset{\_}{u}}_m$ adódik, ami a nullvektor egy nemtriviális előállítása, hiszen a –1 skalár biztosan nem nulla. Ebből következik, hogy a vektorok összefüggők. A megfordításhoz legyenek az ${\underset{\_}{u}}_i$ vektorok összefüggők, vegyük a nullvektor egy nemtriviális ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ előállítását, ahol mondjuk λ₁≠0. Ekkor az ${\underset{\_}{u}}_1$ vektor ${\underset{\_}{u}}_1=\left(-{\lambda }_2/{\lambda }_1\right){\underset{\_}{u}}_2+...+\left(-{\lambda }_m/{\lambda }_1\right){\underset{\_}{u}}_m$ formában előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.

III. második részében azt is igazoltuk, hogy bármelyik olyan vektor kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként, amely a nullvektort adó (egyik) nemtriviális lineáris kombinációban nemnulla skalárral van megszorozva. Így IV-hez elég azt belátnunk, hogy az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m,{\underset{\_}{u}}_{m+1}$ vektorok egy nemtriviális lineáris kombinációjában ${\underset{\_}{u}}_{m+1}$ együtthatója nem nulla. Ez valóban igaz, mert különben $\underset{\_}{0}={\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m+0{\underset{\_}{u}}_{m+1}={\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m$ miatt a nullvektor az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok egy nemtiriviális lineáris kombinációjaként is előállna, ami ellentmond azok függetlenségének.

Végül V-höz csak azt kell végiggondolnunk, hogy ${}_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{}_m{\underset{\_}{u}}_m={\pi }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\pi }_m{\underset{\_}{u}}_m$ pontosan akkor teljesül, ha $\left({}_1-{\pi }_1\right){\underset{\_}{u}}_1+...+\left({}_m-{\pi }_m\right){\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$❷

A III. és IV. állítással kapcsolatban külön is megjegyezzük, hogy lineáris összefüggőség esetén általában több olyan vektor is van, amely kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként. Ugyanígy, ha független vektorokhoz egy új vektort hozzávéve összefüggő rendszert kapunk, akkor általában nemcsak az új vektor írható fel a régiek lineáris kombinációjaként, hanem „szinte mindig” a régi vektorok között is van(nak) olyan(ok), amely(ek) előáll(nak) a többiek (azaz a többi régi és az új vektor) alkalmas lineáris kombinációjaként (lásd a 3.3.4 és 3.3.5 feladatokat).

A lineáris függetlenség szokatlan fogalom, alaposan meg kell emészteni. Ne felejtsük például el, hogy a lineáris függetlenséget sohasem lehet úgy megfogni, hogy az adott vektoroknak a csupa nulla skalárral vett lineáris kombinációját tekintjük. Ez ugyanis mindig a nullvektort eredményezi, tekintet nélkül arra, hogy a vektorok függetlenek vagy összefüggők voltak.

A lineáris függetlenséggel kapcsolatos kezdeti nehézségeken legkönnyebben úgy juthatunk túl, ha egyrészt mindent nagyon aprólékosan végiggondolunk, a legszigorúbban tartva magunkat a definíciókhoz, másrészt a bennünk kialakuló képet — ha lehet — minél többször összevetjük a sík- és térvektorok körében (azaz R²-ben és R³-ban) fennálló helyzettel, ahol tényleg „látjuk”, mi mit jelent és a geometriai szemléletre (is) támaszkodhatunk.

A lineáris függetlenség fogalmát a 4.4 pontban majd tetszőleges vektortérre is általánosítjuk. Többszörösen kiderül azonban, hogy a fogalom minden lényeges eleme megtalálható már a most definiált T^k-beli speciális esetben is; egyrészt azt itt elmondottak szinte szó szerint átvihetők az általános esetre, másrészt pedig belátjuk majd, hogy minden (ún. véges dimenziós) vektortér „tulajdonképpen” megegyezik valamelyik T^k-val (lásd a 4.7 és 5.2 pontokat). Ennek ellenére (vagy éppen ezért) a lineáris függetlenség alapvető szerephez jut a matematika valamennyi ágában.

Feladatok

(Lásd a 4.4.1–4.4.8 feladatokat is.)

3.3.1 Döntsük el az alábbi R⁴-beli vektorokról, hogy lineárisan összefüggők vagy függetlenek. Ha összefüggők, fejezzük ki az egyiket a többi lineáris kombinációjaként.

 (i) $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right) , \left(\begin{array}{r}-2\\ 5\\ 0\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 1\\ 2\end{array}\right)$ (ii) $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right) , \left(\begin{array}{r}-2\\ 5\\ 1\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 1\\ 2\end{array}\right)$

3.3.2 Döntsük el az alábbi R⁴-beli vektorokról, hogy lineárisan összefüggők vagy függetlenek.

 (i) $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ (ii) $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ (iii) $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right) , \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

 Legyen T a modulo 3 test. Mennyiben változik a helyzet, ha a fenti vektorokat T⁴-belieknek tekintjük?

3.3.3 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_5$ lineárisan független, de ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_7$ lineárisan összefüggő, akkor ${\underset{\_}{u}}_6$ és ${\underset{\_}{u}}_7$ közül legalább az egyik felírható az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_5$ vektorok lineáris kombinációjaként.

b) Ha van olyan $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ vektor, amely felírható ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3$ lineáris kombinációjaként és ${\underset{\_}{u}}_4,{\underset{\_}{u}}_5,{\underset{\_}{u}}_6$ lineáris kombinációjaként is, akkor az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_6$ vektorok lineárisan összefüggők.

c) Ha az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_6$ vektorok egyike sem a nullvektor és lineárisan összefüggők, akkor van olyan $\underset{\_}{u}\ne \underset{\_}{0}$ vektor, amely felírható ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3$ lineáris kombinációjaként és ${\underset{\_}{u}}_4,{\underset{\_}{u}}_5,{\underset{\_}{u}}_6$ lineáris kombinációjaként is.

3.3.4 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha egy ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ nemtriviális lineáris kombinációban λ₃≠0, akkor ${\underset{\_}{u}}_3$ előáll a többi ${\underset{\_}{u}}_i$ vektor lineáris kombinációjaként.

b) Ha egy ${\lambda }_1{\underset{\_}{u}}_1+...+{\lambda }_m{\underset{\_}{u}}_m=\underset{\_}{0}$ nemtriviális lineáris kombinációban λ₃=0, akkor ${\underset{\_}{u}}_3$nem áll elő a többi ${\underset{\_}{u}}_i$ vektor lineáris kombinációjaként.

c) Ha az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok között pontosan d olyan van, amely kifejezhető a többi m–1 vektor lineáris kombinációjaként, akkor az ${\underset{\_}{u}}_i$ vektorok közül kiválasztható m–d elemű független rendszer.

d) Ha az ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorok között pontosan d olyan van, amely kifejezhető a többi m–1 vektor lineáris kombinációjaként, akkor az ${\underset{\_}{u}}_i$ vektorok közül nem választható ki m–d-nél több elemű független rendszer.

3.3.5 Tegyük fel, hogy ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független, ${\underset{\_}{u}}_1,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m,\underset{\_}{v}$ lineárisan összefüggő, továbbá egyik ${\underset{\_}{u}}_i$ sem írható fel a $\underset{\_}{v}$ és a többi $\underset{\_}{v}$ lineáris kombinációjaként. Határozzuk meg ${\underset{\_}{u}}_j$-t.

3.3.6 Az ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3,{\underset{\_}{u}}_4$ vektorok lineárisan függetlenek, ${\underset{\_}{u}}_5\ne \underset{\_}{0}$ és ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_5$ lineárisan összefüggő. Mit állíthatunk lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából az ${\underset{\_}{u}}_3,{\underset{\_}{u}}_4,{\underset{\_}{u}}_5$ vektorokról? (Lehetséges válaszok: szükségképpen függetlenek — szükségképpen összefüggők — lehetnek függetlenek is és összefüggők is.)

3.3.7

a) Megadható-e öt vektor úgy, hogy közülük az első három vektor lineárisan összefüggő, de bármelyik másik vektorhármas lineárisan független legyen?

b) Megadható-e öt vektor úgy, hogy közülük az első három vektor lineárisan független, de bármelyik másik vektorhármas lineárisan összefüggő legyen, és a vektorok egyike sem a nullvektor?

3.3.8 Legyenek ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3,{\underset{\_}{u}}_4{\mathit{R}}^8$ lineárisan függetlenek. Döntsük el, hogy az alábbi vektorrendszerek lineárisan függetlenek vagy összefüggők:

a) ${\underset{\_}{u}}_1-{\underset{\_}{u}}_2, {\underset{\_}{u}}_2-{\underset{\_}{u}}_3, {\underset{\_}{u}}_3-{\underset{\_}{u}}_4$

b) ${\underset{\_}{u}}_1-{\underset{\_}{u}}_2, {\underset{\_}{u}}_2-{\underset{\_}{u}}_3, {\underset{\_}{u}}_3-{\underset{\_}{u}}_1$

c) ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2, {\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_3, {\underset{\_}{u}}_3+{\underset{\_}{u}}_4, {\underset{\_}{u}}_4+{\underset{\_}{u}}_1$

d) ${\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2, {\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_3, {\underset{\_}{u}}_3+{\underset{\_}{u}}_4, {\underset{\_}{u}}_4+{\underset{\_}{u}}_2$

e) $\begin{array}{c}{\underset{\_}{u}}_1+\pi {\underset{\_}{u}}_2+\sqrt{2}{\underset{\_}{u}}_3+\left(\sin 1°\right){\underset{\_}{u}}_4+100{\underset{\_}{u}}_1+77{\underset{\_}{u}}_2+\left(3/11\right){\underset{\_}{u}}_3+{\underset{\_}{u}}_4, \\ {\underset{\_}{u}}_1+5^6{\underset{\_}{u}}_2+{\pi }^2{\underset{\_}{u}}_3-\left(1/8\right){\underset{\_}{u}}_4, \left( \lg 3\right){\underset{\_}{u}}_1+1999{\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_3+{\underset{\_}{u}}_4, {\underset{\_}{u}}_1+{\underset{\_}{u}}_2+{\underset{\_}{u}}_3\end{array}$

 Oldjuk meg a feladatot arra az esetre is, ha az ${\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_3,{\underset{\_}{u}}_4$ vektorok lineárisan összefüggők voltak.

3.3.9 Tekintsünk m darab vektort, és készítsük el ezeknek q darab lineáris kombinációját. Mit állíthatunk az így kapott vektorokról lineáris függetlenség, illetve összefüggőség szempontjából, ha az eredeti vektorok lineárisan a) függetlenek; b) összefüggők voltak, és α) q=m+1; β) q=m; γ) q=m–1? (Ez összesen hat kérdés. Lehetséges válaszok: szükségképpen függetlenek — szükségképpen összefüggők — lehetnek függetlenek is és összefüggők is.)

3.3.10 Legyenek ${\underset{\_}{u}}_1, {\underset{\_}{u}}_2,\dots {,\underset{\_}{u}}_m$ lineárisan független vektorok és λ≠0 egy T-beli skalár. Mutassuk meg, hogy ekkor a $\lambda {\underset{\_}{u}}_1,{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ illetve ${\underset{\_}{u}}_1+\lambda {\underset{\_}{u}}_2,{\underset{\_}{u}}_2,\dots ,{\underset{\_}{u}}_m$ vektorrendszerek is lineárisan függetlenek.

3.3.11 Bizonyítsuk be, hogy egy mátrix oszlopvektorainak a lineáris függetlensége, illetve összefüggősége nem változik meg, ha a mátrixszal elemi a) oszlopekvivalens; b) sorekvivalens átalakításokat végzünk [ami b)-nél az 57. oldalon felsorolt M1–M4 lépéseket, a)-nál pedig ezek oszlopokra vonatkozó változatait jelenti].

*3.3.12 Vegyünk 11 tetszőleges pozitív egészt, amelyek egyike sem osztható 30-nál nagyobb prímszámmal. Bizonyítsuk be, hogy a számok közül kiválasztható néhány (esetleg csak egy, esetleg az összes), amelyek szorzata négyzetszám.