Egy $\lambda T$ skalárt az $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció sajátértékének nevezünk, ha létezik olyan $\underset{\_}{v}V$nemnulla vektor, amelyre $\mathcal{A}\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v}$❶

Egy $\underset{\_}{v}V$nemnulla vektort az $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció sajátvektorának nevezünk, ha létezik olyan $\lambda T$ skalár, amelyre $\mathcal{A}\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v}$❶

A sajátérték definíciójában a nullvektort mindenképpen ki kellett zárnunk, hiszen $\mathcal{A}\underset{\_}{0}=\lambda \underset{\_}{0}$ minden λ-ra fennáll, vagyis a kikötés nélkül a test minden eleme sajátérték lenne.

A sajátvektoroknál is célszerű kihagyni a nullvektort, például azért, mert a „hozzá tartozó” λ nem egyértelmű (sőt bármi lehet).

FIGYELEM! A sajátértékek köréből azonban nem zárjuk ki a 0 skalárt. A definícióból azonnal adódik, hogy a 0 pontosan akkor sajátértéke $\mathcal{A}$-nak, ha $Ker \mathcal{A}\ne \underset{\_}{0},$ a megfelelő sajátvektorok pedig a magtér nemnulla elemei.

További példák: $\mathrm{ℇ}$-nek egyetlen sajátértéke az 1, és minden nemnulla vektor sajátvektor. A síkon az origó körüli forgatásnak nincs sajátértéke (és így persze sajátvektora sem), kivéve, ha a forgatás szöge π-nek egész számú többszöröse. Az origón átmenő egyenesre való tükrözés sajátértékei az 1 és a –1, a vetítésé az 1 és a 0 (a sajátvektorok meghatározását az Olvasóra bízzuk).

Ha $\underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0}$ és $\mathcal{A}\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v}$ akkor λ-t a $\underset{\_}{v}$-hez tartozó sajátértéknek, $\underset{\_}{v}$-t pedig a λ-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezzük.

I. Minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik.

II. Egy adott λ sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a $\underset{\_}{0}$ alteret alkotnak. Ezt az alteret a λ-hoz tartozó sajátaltérnek nevezzük.❶

Megjegyzés: Egy sajátaltér — a sajátérték definíciója alapján — nem állhat egyedül a $\underset{\_}{0}$ vektorból.

Bizonyítás: I. Ha valamely $\underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0}$ vektorra λ-val és μ-vel is teljesül $\mathcal{A}\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v}=\mu \underset{\_}{v}$ akkor ebből $\underset{\_}{v}\ne \underset{\_}{0}$ miatt λ=μ következik.

II. Az adott halmazba pontosan azok a $\underset{\_}{v}$ vektorok tartoznak, amelyekre $\mathcal{A}\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v}$ Azt kell igazolnunk, hogy ez a (nyilvánvalóan) nemüres halmaz zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra. Legyen $\mathcal{A}\underset{\_}{v}=\lambda \underset{\_}{v} és \mathcal{A}\underset{\_}{z}=\lambda \underset{\_}{z}$ ekkor

és hasonlóan adódik $\mathcal{A}\left(\alpha \underset{\_}{v}\right)=\lambda \left(\alpha \underset{\_}{v}\right)$ is.❷

Sajátvektorokból álló bázis esetén igen „szép” a lineáris transzformáció mátrixa: a főátlón kívül minden elem 0 (azaz a mátrix diagonális).

Egy transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha a mátrixot sajátvektorokból álló bázis szerint írtuk fel. Ekkor a főátlóban álló elemek éppen a megfelelő bázisvektorokhoz tartozó sajátértékek.❶

Bizonyítás:

pontosan akkor teljesül, ha $\mathcal{A}{\underset{\_}{\mathcal{a}}}_1=\lambda {\underset{\_}{\mathcal{a}}}_1,\dots ,\mathcal{A}{\underset{\_}{\mathcal{a}}}_{\mathcal{n}}={\lambda }_{\mathcal{n}}{\underset{\_}{\mathcal{a}}}_{\mathcal{n}}$❷

Feladatok

6.1.1 Legyen V a legfeljebb 6-odfokú valós együtthatós polinomok (és a 0) szokásos vektortere. Egy általános polinomot f-fel jelölünk. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk sajátértékeit és sajátvektorait. Hány dimenziósak a megfelelő sajátalterek? Mely transzformációknak létezik diagonális mátrixa?

a) $f\mapsto f^{\text{'}}$

b) $f\mapsto {\mathcal{x}f}^{\text{'}}$

c) $f\mapsto f{\left(6\right)x}^6$

d) $f\mapsto f$ maradéka x²+2x+3-mal osztva.

6.1.2 Legyen $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ és α közös sajátértéke $\mathcal{A}$-nak és $\mathcal{B}$-nek. Következik-e ebből, hogy $\mu \mathcal{A}$-nak, $\mathcal{A}+\mathcal{B}$-nek, ${\mathcal{A}}^2$-nek, $\mathcal{A}\mathcal{B}$-nek, illetve ${\mathcal{A}}^{-1}$-nek is van sajátértéke, és ha igen, akkor hogyan függ ez a sajátérték α-tól?

6.1.3 Legyen $\mathcal{A},\mathcal{B}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$ és $\underset{\_}{v}$ közös sajátvektora $\mathcal{A}$-nak és $\mathcal{B}$-nek. Következik-e ebből, hogy $\underset{\_}{v}$ sajátvektora $\mu \mathcal{A}$-nak, $\mathcal{A}+\mathcal{B}$-nek, ${\mathcal{A}}^2$-nek, $\mathcal{A}\mathcal{B}$-nek, illetve ${\mathcal{A}}^{-1}$-nek is, és ha igen, akkor milyen sajátérték tartozik hozzá?

6.1.4 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha $\underset{\_}{v}$ sajátvektora ${\mathcal{A}}^2$-nek, akkor $\underset{\_}{v}$ sajátvektora $\mathcal{A}$-nak.

b) Ha a 0 sajátértéke ${\mathcal{A}}^2$-nek, akkor a 0 sajátértéke $\mathcal{A}$-nak.

c) Ha μ²=λ, és a λ sajátértéke ${\mathcal{A}}^2$-nek, akkor a μ és a –μ közül legalább az egyik sajátértéke $\mathcal{A}$-nak.

6.1.5 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha $\mathcal{ }\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathrm{ℇ}$ akkor $\mathcal{A}$-nak és $\mathcal{B}$-nek ugyanazok a sajátvektorai.

b) Ha $\mathcal{ }\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{O}$ akkor $\mathcal{A}$-nak és $\mathcal{B}$-nek ugyanazok a sajátvektorai.

c) ${\mathcal{A}}^2=\mathcal{O}$ akkor és csak akkor teljesül, ha az $\mathcal{A}$-nak a 0 az egyetlen sajátértéke.

d) $\mathcal{ }\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$ akkor és csak akkor nullosztó, ha a 0 sajátértéke $\mathcal{A}$-nak.

e) $\mathcal{ }\mathcal{A}$-nak a λ sajátértékhez tartozó sajátaltere éppen $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathcal{A}-\lambda \mathrm{ℇ})$

f) $\mathcal{ }\mathcal{A}$ minden sajátvektora $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathcal{ }\mathcal{A}$ és $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}$ közül legalább az egyiknek eleme.

g) ${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A}\ne \mathcal{O}$ akkor és csak akkor teljesül, ha $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathcal{ }\mathcal{A}$ az $\mathcal{A}$-nak sajátaltere.

6.1.6 Adjunk meg a (közönséges háromdimenziós) térben egy-egy olyan lineáris transzformációt, amelynek 1, 2, illetve 3 (különböző) sajátértéke van.

6.1.7 Legyenek $\underset{\_}{u}$ és $\underset{\_}{v}$ az $\mathcal{ }\mathcal{A}$ transzformáció sajátvektorai. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy $\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v}$ is sajátvektora legyen $\mathcal{ }\mathcal{A}$-nak?

6.1.8 Melyek azok a lineáris transzformációk, amelyeknek minden nemnulla vektor sajátvektora?

6.1.9 Legyenek ${\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_k$ az $\mathcal{A}$ lineáris transzformáció olyan sajátvektorai, amelyek közül bármelyik kettőhöz különböző sajátérték tartozik. Bizonyítsuk be, hogy ${\underset{\_}{v}}_1,\dots ,{\underset{\_}{v}}_k$ lineárisan független.

6.1.10 Bizonyítsuk be, hogy ha dim V=n, akkor bármely $\mathcal{A}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m} V$-nek legfeljebb n (különböző) sajátértéke lehet.

6.1.11 Egy transzformáció mátrixa valamely bázisban $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end{array}\right)$ Bizonyítsuk be, hogy van olyan bázis is, amelyben ugyanennek a transzformációnak a mátrixa $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0 \end{array}\right)$