Freud Róbert (2014)
ELTE Eötvös Kiadó
Tartalom
Ebben a fejezetben véges dimenziós vektorterek lineáris transzformációival foglalkozunk. A sajátértékek központi szerepet játszanak ezek leírásánál és a legkülönfélébb alkalmazásokban. A sajátértékek meghatározásának fő eszköze a karakterisztikus polinom, de a minimálpolinommal is szoros kapcsolatban állnak. A sajátértékek, a karakterisztikus polinom és a minimálpolinom segítségével olyan bázis létezését is garantálhatjuk, amelyben a transzformáció mátrixa a „lehető legszebb”.
Ebben a fejezetben V mindig véges dimenziós, nemnulla vektortér a T kommutatív test felett és tetszőleges lineáris transzformáció. A dimenzió végességét általában igen erősen ki fogjuk használni. Az Olvasónak javasoljuk, hogy gondolja majd végig, melyek azok a megállapítások, amelyek végtelen dimenzióra is átmenthetők.
Ha egy nemnulla vektort a skalárszorosába képez le (azaz a vektor a transzformáció hatására a „saját egyenesében” marad), akkor ezt a vektort (az -hoz tartozó) sajátvektornak, a megfelelő skalárt (azaz „a nagyítás mértékét”) sajátértéknek nevezzük. Pontosabban:
Egy skalárt az lineáris transzformáció sajátértékének nevezünk, ha létezik olyan nemnulla vektor, amelyre ❶
Egy nemnulla vektort az lineáris transzformáció sajátvektorának nevezünk, ha létezik olyan skalár, amelyre ❶
A sajátérték definíciójában a nullvektort mindenképpen ki kellett zárnunk, hiszen minden λ-ra fennáll, vagyis a kikötés nélkül a test minden eleme sajátérték lenne.
A sajátvektoroknál is célszerű kihagyni a nullvektort, például azért, mert a „hozzá tartozó” λ nem egyértelmű (sőt bármi lehet).
FIGYELEM! A sajátértékek köréből azonban nem zárjuk ki a 0 skalárt. A definícióból azonnal adódik, hogy a 0 pontosan akkor sajátértéke -nak, ha a megfelelő sajátvektorok pedig a magtér nemnulla elemei.
További példák: -nek egyetlen sajátértéke az 1, és minden nemnulla vektor sajátvektor. A síkon az origó körüli forgatásnak nincs sajátértéke (és így persze sajátvektora sem), kivéve, ha a forgatás szöge π-nek egész számú többszöröse. Az origón átmenő egyenesre való tükrözés sajátértékei az 1 és a –1, a vetítésé az 1 és a 0 (a sajátvektorok meghatározását az Olvasóra bízzuk).
Ha és akkor λ-t a -hez tartozó sajátértéknek, -t pedig a λ-hoz tartozó (egyik) sajátvektornak nevezzük.
I. Minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik.
II. Egy adott λ sajátértékhez tartozó összes sajátvektor és a alteret alkotnak. Ezt az alteret a λ-hoz tartozó sajátaltérnek nevezzük.❶
Megjegyzés: Egy sajátaltér — a sajátérték definíciója alapján — nem állhat egyedül a vektorból.
Bizonyítás: I. Ha valamely vektorra λ-val és μ-vel is teljesül akkor ebből miatt λ=μ következik.
II. Az adott halmazba pontosan azok a vektorok tartoznak, amelyekre Azt kell igazolnunk, hogy ez a (nyilvánvalóan) nemüres halmaz zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra. Legyen ekkor
és hasonlóan adódik is.❷
Sajátvektorokból álló bázis esetén igen „szép” a lineáris transzformáció mátrixa: a főátlón kívül minden elem 0 (azaz a mátrix diagonális).
Egy transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha a mátrixot sajátvektorokból álló bázis szerint írtuk fel. Ekkor a főátlóban álló elemek éppen a megfelelő bázisvektorokhoz tartozó sajátértékek.❶
Bizonyítás:
pontosan akkor teljesül, ha ❷
Feladatok
6.1.1 Legyen V a legfeljebb 6-odfokú valós együtthatós polinomok (és a 0) szokásos vektortere. Egy általános polinomot f-fel jelölünk. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk sajátértékeit és sajátvektorait. Hány dimenziósak a megfelelő sajátalterek? Mely transzformációknak létezik diagonális mátrixa?
a)
b)
c)
d) maradéka x2+2x+3-mal osztva.
6.1.2 Legyen és α közös sajátértéke -nak és -nek. Következik-e ebből, hogy -nak, -nek, -nek, -nek, illetve -nek is van sajátértéke, és ha igen, akkor hogyan függ ez a sajátérték α-tól?
6.1.3 Legyen és közös sajátvektora -nak és -nek. Következik-e ebből, hogy sajátvektora -nak, -nek, -nek, -nek, illetve -nek is, és ha igen, akkor milyen sajátérték tartozik hozzá?
6.1.4 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
a) Ha sajátvektora -nek, akkor sajátvektora -nak.
b) Ha a 0 sajátértéke -nek, akkor a 0 sajátértéke -nak.
c) Ha μ2=λ, és a λ sajátértéke -nek, akkor a μ és a –μ közül legalább az egyik sajátértéke -nak.
6.1.5 Melyek igazak az alábbi állítások közül?
a) Ha akkor -nak és -nek ugyanazok a sajátvektorai.
b) Ha akkor -nak és -nek ugyanazok a sajátvektorai.
c) akkor és csak akkor teljesül, ha az -nak a 0 az egyetlen sajátértéke.
d) akkor és csak akkor nullosztó, ha a 0 sajátértéke -nak.
e) -nak a λ sajátértékhez tartozó sajátaltere éppen
f) minden sajátvektora és közül legalább az egyiknek eleme.
g) akkor és csak akkor teljesül, ha az -nak sajátaltere.
6.1.6 Adjunk meg a (közönséges háromdimenziós) térben egy-egy olyan lineáris transzformációt, amelynek 1, 2, illetve 3 (különböző) sajátértéke van.
6.1.7 Legyenek és az transzformáció sajátvektorai. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy is sajátvektora legyen -nak?
6.1.8 Melyek azok a lineáris transzformációk, amelyeknek minden nemnulla vektor sajátvektora?
6.1.9 Legyenek az lineáris transzformáció olyan sajátvektorai, amelyek közül bármelyik kettőhöz különböző sajátérték tartozik. Bizonyítsuk be, hogy lineárisan független.
6.1.10 Bizonyítsuk be, hogy ha dim V=n, akkor bármely -nek legfeljebb n (különböző) sajátértéke lehet.
6.1.11 Egy transzformáció mátrixa valamely bázisban Bizonyítsuk be, hogy van olyan bázis is, amelyben ugyanennek a transzformációnak a mátrixa